正弦定理余弦定理习题及答案

正 余 弦 定 理
1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin
02
C
x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.
3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23
C π
∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，
sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．
6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2
7
4sin cos 222
B C A +-= （1）求A ∠的度数
（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值
7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45 求A 、C 及c .
《
1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ． [
2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222
C C
A B -=
⋅⋅=，从而A
B
3
23
π
2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-
cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，
所以ABC ∆一定是等腰三角形选C
3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.
【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C
【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得
1sin 60
A =得1
sin 2
A =
，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==
4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。

【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33
a a π
+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。

【答案】1
【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

[
5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A.
【规范解答】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0<B<π，
所以B=45，又因为a =2b =，所以在ABC ∆2
=sin 45
，解得1
sin A 2=
，又<b a ，所以A<B=45，所以A=30. 【答案】30°或
6π
6．【答案】由题意得
[]2721cos()2cos 12B C A -+-+= ()2
721cos 2cos 12A θ+-+= ∴1cos 2
A = 03
A π
<<
2221cos 22
b c a A bc +-==()2
23b c a bc +-=将3,3a b c =+=代入得2,bc =由
3b c +=及2bc =，得1,2b c ==或2,1b c ==.
7、 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA %
sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0
A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形
解法2:由余弦定理: 2
222
2222bc
a c
b b a
c b c a a -+⋅
=-+⋅ 22
b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形.
8、 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角
【答案】解法1：由正弦定理得：23
2
45sin 3sin sin =
== b B a A ∵B=45<90 即b <a ∴A=60或120
当A=60时C=75 22
645
sin 75sin 2sin sin +===
B
C b c 当A=120时C=15 2
2
645sin 15sin 2sin sin -===
B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 22
2
2
-+=将已知条件代入，整理：
0162=+-x x 解之：2
26±=
x 当226+=
c 时2
)13(2312
26223
)226(
22cos 2
2
2
2
1=++=+⋅
⋅-++=-+=
bc a c b A 从而A=60 ，C=75
'
当2
2
6-=
c 时同理可求得：A=120 C=15.
1.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 解：在△ADC 中，
cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，
又0＜C ＜180°，∴sin C ＝53
14 在△ABC 中，AC sin B ＝AB
sin C
∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝56
2.
2.在△ABC 中，已知cos A ＝35 ，sin B ＝5
13 ，求cos C 的值. 解：∵cos A ＝35 ＜2
2＝cos45°，0＜A ＜π ∴45°＜A ＜90°，∴sin A ＝4
5
；
∵sin B ＝513 ＜1
2 ＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180°
若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符. ∴0°＜B ＜30° cos B ＝12
13
∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝35 ·1213 －45 · 513 ＝16
65 又C ＝180°－（A ＋B ）.
∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－1665 . 3、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状. 解：在原等式两边同乘以sin A 得2cos B sin A sin C ＝sin 2A ， 由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ，
(
∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形.
1.在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin C
cos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状.
解：∵sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C ，∴cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C
sin A ，
应用正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c
a ， ∴
b （a 2
c 2－b 2）＋c （a 2－b 2c 2）＝2bc （b ＋c ）， ∴a 2（b ＋c ）－（b ＋c ）（b 2－2bc ＋c 2）＝2bc （b ＋c ） 即a 2＝b 2＋c 2
故△ABC 为直角三角形.
2.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：a 2－b 2c 2 ＝sin （A －B ）
sin C
. …
证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
两式相减得a 2－b 2＝c （a cos B －b cos A ）， ∴a 2－b 2c 2 ＝a cos B －b cos A c 2 . 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ，
∴a 2－b 2c 2 ＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C
. 3.在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状.
解：由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）2（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）
＝12
∴A ＝60°
又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C 于是有A ＝B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形.。