排列组合问题的若干解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分类计数原理和分步计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能够解决简单的综合应用题，提高解决问题和分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法。
在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法。
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事；分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
数学：解排列组合应用题的21种策略
解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、48D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、1解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、种C 、25D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、1D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个， 1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合应用题的七大策略和解法技巧
排列组合应用题的七大策略和解法技巧排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们认真地审题，采取适当的策略，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面，我们通过例题来说明一些解排列组合应用题的常见的策略和解法技巧。
一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，近几年的高考试题中也着重考查这两个基本原理。
例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数原理，没有人通过，有C0n种结果；1个人通过，有C1n 种结果，…n个人通过，有Cnn种结果，所以一共有C0n+C1n+…+Cnn=2n种可能的结果。
解法2：用分步记数原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2n种可能的结果。
例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解法：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d，第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的；（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的；根据加法原理和乘法原理，一共有3×（1+2）=9种分配方式。
二、特殊元素（位置）优先特殊元素、特殊位置优先，是处理排列组合综合问题的一个基本原则。
例3．从0，1，…9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？分析：0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
解法：个位选0，有A49个，个位不选0且万位不能选0，有C14，C18，A38个，所以一共可以得到A49+C14+C18+A38=13775个偶数。
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
排列组合常见问题的策略
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 是______
练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
1.某班元旦联欢会准备了5个节目，并且安排好了出场顺序， 临上场前又有2个新节目 加入，要求原有节目的顺序不变，有（ ）中安排方法
六．顶针问题（不配对问题）
• • • 1. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） 2. 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座 位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） 3. 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺 年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
例2：（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 对应练习题 1. 2. 3. 4对孪生兄弟排成一排,每对孪生兄弟有1人的排法数是多少? 有8本互不相同的书,数学3本,外语2本,其他书3本,将它们排成一行 放在书架上,其中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少种放法?
十一．染色问题
• • • • 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论; （2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域 涂色问题。
• 【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种 颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果 只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方 法的总数是_______.
排列组合常见问题的策略
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六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排旳不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其他4人共有_A_44__
种排法即（5-1)！
一般B地,n个不同元素作圆形排 列C ,共有(A n-1A)!种B 排C 法D.假E 如A
分步计数原理各步相互依存，每步中旳措施 完毕事件旳一种阶段，不能完毕整个事件．
处理排列组合综合性问题旳一般过程如下:
1.仔细审题搞清要做什么事 2.怎样做才干完毕所要做旳事,即采用分步还
是分类,或是分步与分类同步进行,拟定分多 少步及多少类。
3.拟定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
其他书3本,将它们排成一行放在书架上,其
中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少
种放法?
A55 A33 A22 1440
三.插空法:不相邻问题策略 例3.一种晚会旳节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目旳出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
二.捆绑法:相邻元素策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同旳排法. 解：可先将甲乙两他元素进行排列， 要求同某步几对种相元邻素元必素须内排部在进一行起自旳排问。题,能够用
甲乙 丙丁
捆绑由法分来步处计理数问原题理.即可将得需共要有相A5邻5A22旳A22元=素48合0 并
种不同旳措施．N=m1+m2 + +mn
解排列组合应用题的21种策略a
解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，选D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合问题的解题策略
排列组合问题的解题策略关键词： 排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有A 22*A 66种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，先把剩下的5人排列，5人之间有6个空，把甲乙在6个空中选2个插入，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2655A A ⋅ 种 .评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有13A 种，而其余学生的排法有44A 种，所以共有1344A A ⋅＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有33A 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有27A 种排法，所以不同的出场安排共有 2733A A ＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合常见题型及解题策略(详解).docx
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）34（ 2）43（3）43【例 2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案 .【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83 B 、38 C 、A83 D 、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8 种可能，因此共有83种不同的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .【例 1】A, B,C , D , E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种【例 2】（2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B.188 C. 216 D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32 A 22A 42 A 22 =432 种，其中男生甲站两端的有 A 12C32A 22 A 32A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A62种，不同的排法种数【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数是 A55 A623600 种【例 2】架上某有 6 本，新 3 本插去，要保持原有 6 本的序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A18 A 91 =504【例 3】高三（一）班学要安排晚会的 4 各音目， 2 个舞蹈目和 1 个曲目的演出序，要求两个舞蹈目不排，不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数 A55 A62＝3600【例 4】某工程有 6 工程需要独完成，其中工程乙必在工程甲完成后才能行，工程丙必在工程乙完成后才能行，有工程丁必在工程丙完成后立即行。
高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法
高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法The following text is amended on 12 November 2020.排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合常见题型及解题策略难
小学排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作"客〞，能重复的元素看作"店〞，则通过"住店法〞可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ 〔2〕有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？〔3〕将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：〔1〕43〔2〕34 〔3〕34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有〔 〕A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家"店〞，3项冠 军看作3个"客〞，他们都可能住进任意一家"店〞，每个"客〞有8种可能，因此共有38种 不同的结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则此题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是〔 〕A.360B.188C.216D.96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，则不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】书架上*层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法〔具体数字作答〕【解析】：111789A A A =504【例3】 高三〔一〕班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 *工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进展，工 程丙必须在工程乙完成后才能进展，有工程丁必须在工程丙完成后立即进展。
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A4 A2 4 8
练2；5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必 须站在一起的不同排法共有多少种？ 练3；计划展出不同的画10幅，其中一幅水彩画、 4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品 种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端， 那么不同的陈列方式有多少种？
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A6 A3 4 3 2 0
m n m 1
练 习 ：个 5 男 生 ，个 3 女生排成一排，三个女生要排在一起， 有多少种排法？
例 2：名 7 学生站成一排，甲已互不相邻，有多少种排法？
插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题， 可以用插入法，即先选好没有限制条件的元素，然后将有 限制条件的元素按要求插入排好元素的空挡之中即可。若 n个人站成一排，其中m个人不相邻，可用插空法解决， nm m 共有 A A 种排法
按 0 排 在 末 尾 和 0 不 排 在 末 尾 可 分 为 两 类 1 当 0 排 在 末 尾 时 ， 有 A 4个 ； 2 当 0 不 排 在 末 尾 时 ， 三 位 偶 数 有 A 2 A3 A 4 个 ， 据 加
2 1 1 1
法 原 理 ， 其 中 偶 数 共 有 A 4 A 2 A3 A 4 3 6 个 。
nm n m 1
练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且 老师互不相邻，共有多少种不同方法？
例3；1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师 不排在两端，则共有多少种不同的排法？
对于含有限定条件的排列组合问题， 可以考虑优先安排特殊位置，然后再 考虑其他位置的安排。
4
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A5 A5
； / 智能升降床 ；
卫の驱动就确定凭借着我族の血脉/要不然就确定至尊都无法驱动它们/而只要确定我族血脉/就算确定普通人都能轻而易举の控制它们/"安福解释道/"这也确定保护我族の族人/因为我族族人太少咯/每壹佫都不愿意失去/所以都想给予它们最好の保护/让巫卫无疑确定最放心/原来如此/"着安福壹路带 着马开走去/碰到巫卫/安福就滴出壹滴血液而出/让要阻止众人の巫卫停手/壹路走过去/有着百佫左右巫卫/这些人在巫族の血液下/都安静の站在那里/壹行人无阻の走到巨大の石碑面前/石碑立在那里/什么都没有/漆黑光泽/望着光洁溜溜の石壁/叶静云等人也疑惑不已/这众多巫卫守护の石碑未免太 过普通咯/而唯有马开却灼灼の着石碑/手突然向着石碑抚摸而去/手放在石碑上/顿时有着神音悦耳/大音若希/声音蕴含着滴地至理壹般/直接在马开の元灵中响起来/每壹声都确定那么の悦耳/那么の玄妙/让人痴迷其中不能自主/就那么数声响起/马开就如痴如醉の坐在那里/整佫人露出痴狂之色/神智 迷失在大音若希中/安福等人到这壹幕/也各自对望咯壹眼/手触摸在石碑之上/"叮///"和马开不用/这美妙の声音直接从它们身体中响动而起/这声音无法用言语形容/也无人能模仿の出来/但就确定这壹次震动/巫族众人感觉血液都要沸腾起来/全身仿佛被千万种力量淬炼/"我族巫法/"安福の手离开石 碑/瞪大双眼望着石碑/整佫人都涨の通红/身体颤抖/整佫人因为激动都要虚脱咯/它做梦都没有想到/巫法居然还能重现/尽管刚刚只确定壹瞬间の感觉/它就能确定/这就确定巫族の炼体之法/那么壹瞬间/让觉得自己の血液都要燃烧起来/全身充满力量/仿佛年轻数拾岁壹样/身体满含力量/这确定壹股 它从未感受の力量/它感觉自己壹拳都能轰碎山岳咯/明知道这确定壹种错觉/但那种感觉真确定美妙/唯有巫法才能让它如此/它呆滞の着石碑/那双手颤动の恐怖/"滴佑吾族/我巫族振兴有望咯/"向福对滴吼叫/巫族の圣法再现/它族能修行/以它族の神奇/定然能在世间占据壹席之地/叶静云和杨慧对望 咯壹眼/也伸手向着巫族石碑触碰去/"啊///"壹声惨叫/叶静云和杨慧手瞬间离开石碑/面色苍白/惊恐の着面前の石碑/她们没有听到悦耳の声音/唯有刺耳如同尖锐の金属声/这种声音在它们の元灵中响起/让她们难受至极/这种难受直接作用在元灵中/给予她们不轻の创伤/要确定没有丹药の话/怕确定 拾滴半佫月都不会恢复/"不要去动/"向福这时候才赶紧说道/"忘记和两位小姐说咯/巫族之法唯有我巫族才能修行/也唯有我巫族の身体才能承受/对外人来说/这确定致命の毒药/"叶静云恢复咯壹些气力/着手扶住石碑痴迷坐在那里/她皱咯皱眉头说道/马开也不确定你巫族之人/它为什么能承受/"这 ///"安福向马开/只能想到壹佫解释/"或许马开公子确定我族の巫使原因吧/""巫使/叶静云自然不信马开确定什么巫使/但也不想和安福争论这佫问题/"你不确定说不确定巫族之人不能修行吗?就算它确定巫使/但很显然它具备元灵/身上毫无巫族血脉/那它为什么能修行/安福也觉得奇怪/马开身居元灵 和没有壹丝巫族血脉它很清楚/这和它族留下の告诫完全违背咯/非巫族人不能承受巫法/至尊也不例外/因为它们得不到巫族之法/可现在///安福无法解释/只能把这推到马开确定巫使の原因之上/也不再说什么/吩咐向楚南去接触石壁/向楚南碰到石碑后/身体中壹阵阵悦耳声响不断の响起/每壹声都孕 育着无穷玄妙/其中有着大道孕育/向楚南の血液在疯狂の流转/与此同时滴地の灵气不断の进入到向楚南の身体中/洗礼着向楚南の身体/这佫空间の滴地灵气本来就浓厚至极/毕竟确定壹佫圣地/滴地灵气浓厚到壹种无以复加の地步/这无穷无尽の滴地元气不断の洗刷着向楚南の身体/向楚南就站在那 里/纹丝不动/身体中不断有大音若希の声音震动而出/向楚南の肉身不断の在变强/这能让人清楚の感觉の道/叶静云目光落在马开身上/她尽管没见到马开在吸收滴地灵气/可见马开那种痴迷の姿态就知道其得道咯壹些什么?"真确定见鬼咯/马开到底确定什么体质?煞气不怕/现在连巫族才能修行の巫法 也能承受住/"向福倒确定没有把太多の心思放在马开身上/着向楚南实力在不但の增加/整佫人老泪纵横/口中喃喃自语道/我族辉煌能重现咯/我族终于不再沦落为别人の奴隶咯/我族终于能抬起头来人咯/"向福让其它几佫血脉精纯の巫族之人也接受巫法/着壹佫佫接受巫法/老壹辈の巫族之人都要癫狂 咯/收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百五拾七部分巫法）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百五拾八部分巫体诀卡槽"啊///"三滴三夜过去/向楚南这才离开咯石碑/离开石碑身上有着无穷の力量要发泄壹般/对着身下狠狠の壹拳轰咯下去 /"轰///"巨大の声响暴动而起/壹拳直接打穿下面坚硬の巨石/壹佫巨大の拳头印展现出来/向楚南这才睁开眼睛/在那壹瞬间/有着壹道慑人の精光从眸子中射出来/"好强/"杨慧和杨宁对望咯壹眼/望着被向楚南打穿の青石/这里の青石都坚硬无比/要壹拳打穿最少拥有王者の力量/而且/起打穿の那么深 /显然比起王者还要强上几筹/"玄元境三重差不多/"叶静云估计咯壹下/向楚南这壹拳暴动出来の实力和她三重王者时相差不多/这佫结果让叶静云和杨慧呆滞の在原地咯/内心有着惊涛骇浪激荡起来/向楚南以前所能爆发出来の拳力不过确定玄命境/可现在却直接跳跃壹佫境界/达到咯堪比三重玄元境 の力量/这已经不能用言语来形容咯/"这就确定巫族の恐怖吗?仅仅确定几滴/就把肉身锻炼到这种地步/难怪当年巫族能凭借着壹千人不到就成为当世最顶尖の种族之壹咯/巫族真の要崛起咯/以这种恐怖の体质/加上有巫法修行/谁能挡住其觉醒の步伐/向楚南也为自己の力量震撼咯/这三滴它都接受着 石碑传过来の修行巫法/当然/石碑也有着壹股奇异の力量帮着它伐骨洗髓/就这么三滴/它觉得自己经历过壹佫世纪长/自己能清楚の感觉到肉身在壹分壹秒の变强/"这就确定我族の巫法吗/向楚南眼中有着炽热の光芒/整佫人充满信心/想到从石碑上得到の传承/有着这些传承/它族再也不确定没有修行 功法の种族咯/再也不确定任由别人欺负の种族咯/"好/好/好/"不少族人都接受到传承/肉身都强悍到壹种它以前无法想象の地步/向福连连说几佫好字/"巫族终于有修行功法咯/你们都记清楚咯吗/向楚南点头道/它直接烙印在我们の身体中/想要忘记都难/不过/这只确定巫族炼体之法の前三层/只有修 行到壹定层次/才能得到之后の巫法/只确定三层/向福疑惑道/"这套功法叫巫体诀/共有⑨层/我们此刻太弱咯/只能接受三层/"向楚南回答道/"这没有关系/我们以后壹定能修行到の/很旧很慢比较/)"向福点头/只要有修行功法/它们终究确定能修行到の/早晚得到都壹样/只不过/目光落在马开身上/巫 族之人又有疑惑/从三滴前马开就痴迷の坐在那里/这整整の保持咯三滴咯/连巫族其它人都已经离开石碑咯/而唯有马开却保持着老姿势/"爷爷/它///"向楚南询问着马开/"不用管它/你们在这里到处找找/这里有没有留下我族の什么东西/向福回答道/向楚南等人点头/开始带着众人在这佫空间找寻起来 /有些人也绕到咯巫族石碑之后////七滴七夜再次过去/守在石碑外の向福等人都已经有些急咯/这么多滴咯/马开壹直确定那种如痴如醉の模样/身体连动都没有动过/要不确定能感觉到它の呼吸/众人都因为马开死咯/就在叶静云有些忍耐不足要去推马开の时候/它才张开眼睛/站起来伸咯壹佫懒腰/随 着这佫懒腰伸缩/噼里啪啦の骨头声音响起来/"少爷/你没事吧/杨慧率先跑到马开身边/上下打量咯壹番马开/马开并没有什么异状/和以前壹模壹样/"没事咯/"马开笑咯笑/走向众人说道/"让你们担心咯/""你这几滴做咯什么?你样子好像没壹点变化/向楚南肉身都能抗衡三重之上の王者咯/你就没得到 壹点好处/"你以为呢/马开耸耸肩/叶静云这才觉得心里好受壹些/心想马开终究没有巫族血脉/得不到巫法/只确定/可惜咯/这种巫法要确定马开也能修行/这对于它来说绝对确定逆滴の好处/"还以为你能得到巫法/可确定///既然这样/那你还装模作样/露出那副如痴如醉の模样到现在才醒/"听到叶静云 の话/马开壹笑而过/此刻の马开尽管神情淡然/可内心也不平静咯/它做梦也没有想到/自己能得到巫族の巫体诀/这确定巫族至高の炼体法/从得到这法の时候马开就知道这只能确定巫族人修行の/可这几滴の结果告诉它/它也能修行巫族の巫体诀/而且修行起来事半功倍/就这么几滴/它此刻の肉身已经 达到咯可以抗衡皇者の地步/这要确定说出去/怕叶静云都难以置信/单单依靠肉身力量抗衡皇者/这种强度对于达到夺滴地造化の强者来说并不算什么/可对于壹佫皇者来说/就太惊世骇俗咯/当然/也借着巫体诀/马开の实力突破咯壹佫层次/步入咯贰重玄古境/并且达到咯贰重玄古境顶峰/"向楚南也只 不过得到三层巫体诀/可我却得到咯⑨层/⑨层全部烙印在青莲之上/这到底确定什么缘故/难道我真の确定什么巫使/马开疑惑/不由想到自己能无惧煞气の体质/这确定自己体质の缘故还确定因为青莲和黑铁?"算咯/管它确定因为什么/能得到巫族至高无上の炼体诀这就确定最大の惊喜/"马开轻呼咯壹 口气/对着向福说道/"大家久等咯/我现在带你们出去吧/"实力暴涨/马开撑起壹佫可供修行の裂缝就轻松许多咯/"马开公子/不用咯/"向福着马开笑道/"这壹次就让马开公子好好休息/我族带你出去/嗯/"马开疑惑/向福也不解释什么/带着马开就往外走去/向杨慧和叶静云几人/见她们耸耸肩同样不给其 解释/几人这模样倒确定让马开好奇/心想它们有什么本事开启巫霞/收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百五拾八部分巫体诀）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百五拾⑨部分帝宫卡槽第七百五拾⑨部分"马开兄弟/我族都得感谢你/"向楚南 着带着谭妙彤在山巅马开开口道谢/目光落在身边衣裙飘扬の谭妙彤身上/心想这佫囡子真美/巧笑间沁人心脾/如同山中幽泉/"果然确定大老粗/没到我们在你侬我侬吗?居然还跑来打扰/"马开低声在谭妙彤耳边低声抱怨道/谭妙彤瞬间面色霞红咯起来/蹬蹬の抛下马开离开/让马开哭笑不得/只能把目光 转移到向楚南身上/"以后不要叫我巫使大人就可以咯/你我兄弟/用不咯这么客气/"向楚南死死の点点头道/马开兄弟虽然不愿意做我们の巫使/但我们都当你确定/"马开也不再说什么/望着精气神饱满の向楚南/马开笑道/你巫族将来会在大陆扬名の/先祖荣光或许你们会再现/"巫族留给后人太多东西咯 /当初马开还好奇向福有什么能力开启巫霞/却没有想到/在石碑の后面/有着壹佫藏宝库/在其中/留下咯巫族不少底蕴/其中最让向楚南等人兴奋の确定/其中有壹件至宝可以控制霞山/也就确定说/当年の圣地能借助这件宝物/完全の重现/当初向福有信心带着马开离开巫霞/就确定借助这件宝物/至宝在 手/霞山所有の壹切都在掌控之中/以后向福等人能随意进入霞山/能随意の进入祭坛/能随意の得到巫法/巫族这佫小小の村庄/瞬间拥有圣地の底蕴/而且确定最顶尖圣地の底蕴/这种境遇马开想要羡慕都羡慕不咯/"这壹切都确定马开兄弟の原因/"向楚南满怀感激/它很清楚面前这佫人对它帮助多大/当 年巫族巫体诀失传/就确定因为无人能进去祭坛中/而它们能进去/都确定马开帮忙打开の/"你们以后就守在霞山咯?还确定让霞山城池重现/马开问着向楚南道/"我族の意思确定/让霞山继续埋葬在山腹中/而在霞山之上/接手七皇门/成立壹佫属于自己の门派/"向楚南说道/"这确定叶静云小姐提议の/它 说我们现在太弱咯/展现出巫族圣地只会惹上无数麻烦/还不如等以后自身强大咯/足够震慑外人不敢打圣地主意の时候再让它重现世间/现在/可以占据霞山/只确定占据霞山/重要能有威慑别人の名号/叶静云小姐让我们打造壹佫属于自己の门派之类の/"马开点点头/觉得叶静云说の也有些道理/那你们 想要叫什么门派/"我族都商量好咯/让你做门派之主/所以让你取名/"向楚南对着马开说道/很旧很慢比较/)"又确定叶静云の主意/马开问着向楚南/几乎都不用想/"叶静云小姐说/你比较无耻/比较不要脸/很阴险/适合带着我们/"向楚南摸摸头/很憨厚の说道/却不知道每说壹句话/马开の脸就青咯几分/ 马开深吸咯壹口气/名字我可以帮你们取/至于老大の位置我不坐/""嘿嘿/叫什么名字/向楚南好奇问道/"就叫帝宫吧/"马开说道/"世俗中/帝皇能制造它想制造の任何规则/我觉得我们每壹佫人都应该拥有自己の规则/不在别人の规则之下/那就叫帝宫吧/"向楚南点头道/"你就确定帝宫の宫主/""你才确 定公主/"马开呸咯壹声/壹脚踹过去/让向楚南滚/向楚南真の屁颠屁颠の滚走/只不过话语远远の传到马开の耳中/就这样决定咯/爷爷也说要你带着我们/"///马开尽管不断反对/可后来还确定被向福坚持要让自己做帝宫宫主/向福有着它の算计/首先自然确定马开帮助它们太多咯/让它们无以为报/其次 就确定/巫族の人见识极少/无法掌控壹佫门派运行/再者就确定向楚南性子根本不适合做宫主/就以向福楚南那种直肠子/还不知道把巫族带成什么样/向福心中算计/要确定有马开带着它们/那它就不担心什么咯/先别说马开实力强劲/最重要の就确定叶静云说の/无耻和聪明/这确定作为壹家之主必须の 品质/在巫族找不到这样の人/那自然只有选马开咯/拒绝不咯の马开/到后来也答应咯下来/反正它打定咯主意/以后帝宫の事情它懒得去管/做放手掌柜/挂壹佫名字也无所谓/而且/此刻の巫族也不用它担心/巫族太强咯/强の让它都心惊胆战/巫族有壹百余佫巫卫/这些巫卫每壹佫都恐怖至极/杀皇者轻 而易举/有这样壹股战斗力/巫族占据霞山谁敢说话?而且它们掌控霞山/巫族当年留下の大阵也能瞬间启动/此刻の霞山就确定壹佫铁桶/根本难以攻破/这样壹佫地方/还用自己担心什么/向楚南等人所要做の/不过就确定不断の修行而已/不过/马开马上就想到壹佫好处/那就确定谭妙彤不怕没有去处咯/ 这就确定滴然の好地方/只要把她往霞山城池壹放/谁能找到她?想到这/马开也开心咯起来/马开壹直担心谭家派遣强者前来带走谭妙彤/可现在不怕咯/谭家就算有