2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学(理)试卷(word版含答案)

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cossin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合，若2{|2}A x y x x ==-，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞ C ．(1,2] D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤ 5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ）A ．3个B ．4个 C.5个 D ．6个 6.在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ） 0S =1i = DOS S i =+ 1i i =+LOOP UNTIL i a > PRINT S ENDA ．12 B ．32 C.12- D ．32- 7.定义运算*a b ，*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2x y =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ） A ．3 B ．22C.233 D ．43310.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）A ．1B ． 2 C.2 D ．2211.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值等于（ ） A ．1 B ．52C.3 D ．0 12.设211()22()x x f x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C.1(,)(1,)3-∞+∞ D ．1(,1)313.已知函数2()sin 20191xf x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-+-=（ ）A.2B.2019C.2018D.014.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为103，60A =︒，则a =( )A.7B.8C.5D.615.在ABC ∆中，已知9AB AC =，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP xyCA CB=+，则11x y +的最小值为（ ） A.76 B.712 C.73123+ D.7363+ 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处). ①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件17.对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为 ．18.已知平面向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b -=，则a 在b 方向上的投影是 ．19.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．20.已知集合{,,}{2,3,4}a b c =，且下列三个关系：3a ≠，3b ≠，4c ≠中有且只有一个正确，则函数22,()(),xx bf x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是 ． 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为2515515x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.22.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求角A 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长.23.已知函数()x f x e tx =+（e 为自然对数的底数）. （1）当t e =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围.24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,301002x f x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.25.已知函数2()1axf x a x =++，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当0a >时，对任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()g x f x <成立.试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC二、填空题16.○1 17.41 18.1219.942+ 20.[3,)+∞ 三、解答题21.(1)∵曲线C 的极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）直线l 的参数方程为2515515x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程24y x =，可得21214155t t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得265150t t --=，∵12150t t ⋅=-<，∴点P 在AB 之间，∴2121212||||||()4415PA PB t t t t t t +=+=+-=. 22.（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=，∴3A π=. （2）在ABC ∆中，由余弦定理得24161cos 42AC A AC +-==，解得113AC =+或113AC =-（舍） ∵BD 是ABC ∠的角平分线， ∴12AD AB CD BC ==， ∴111333AD AC +==23.（1）当t e =-时，()x f x e ex =-，'()x f x e e =-由'()0x f x e e =->，解得1x >；由'()0x f x e e =-<解得，1x <. ∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞. （2）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即0xe tx +>恒成立，即xe t e>-在(0,2]x ∈上恒成立，令()xe g x x =-，所以2(1)'()xx e g x x -=.当01x <<时，'()0g x >；当12x <<时，'()0g x <. ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减.所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)g e =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值. ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞.所以对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立的实数t 的取值范围是(,)e -+∞. 24.（1）由题意知，当30100x <<时，1800()29040f x x x=+->，即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，∴(45,100)x ∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当030x <≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，2180013()(290)%40(1%)585010x g x x x x x x =+-⋅+-=-+；∴240(030)10()1358(30100)5010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.25.（1）函数()f x 的定义域为R ，2222(1)(1)(1)'()(1)(1)a x a x x f x x x --+==++. 当0a >时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (,1)-∞--1 (1,1)-1 (1,)+∞'()f x - 0 + 0 - ()f x↘↗↘当0a <时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：x (,1)-∞--1 (1,1)-1 (1,)+∞'()f x + 0 - 0 + ()f x↗↘↗综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-. （2）由（1）可知，当当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在(1,]e 上单调递减， 又(0)f a =，2()1aef e a a e =+>+， 所以min ()f x a =，同样地，当0a >时，若a e <，()g x 在(0,)a 上单调递增，()g x 在(,]a e 上单调递减，所以min ()()ln g x g a a a a ==-，因为(ln )(2ln )(2ln )0a a a a a a a e a --=->-=>， 同理，当a e >或a e =时，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有max min ()()()g x g a a e a f x ==-<=.综上所述，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()f x f x <成立.。