高二数学课件：圆锥曲线中的最值问题
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则 |AB|＝ 1 k 2 | x1 x2 | , 其中 k 是直线的斜 率
5、弦中点问题：“点差法”、“韦达
y
y
. .B
图形
A1 o
A2 x
B1
.y A1
.B1 o B x A2 2
方程
x2 a2
ax22by22
by221(1a>0,b>0)
y2 x2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
范围
2、椭圆第二定义反映的是：
椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应
准
|
线的距离比是e。即：
MF d
|
e
知识指要
3、判断直线与椭圆位置关系的方法：
椭圆
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 △= 0
△> 0 4、弦长公式：
相离 相切
相交
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
1表示焦点y轴上的椭圆，
则m的取值范围是( )
(A)m＜2
(B)1＜m＜2
(C)m＜-1或1＜m＜2
(D)m＜-1或1＜m＜3/2
2．如果方程
x2 y2 1 m -1 2-m
表示双曲线，
则实数m的取值范围是(
)
(A)m＞2
(B)m＜1或m＞2
(C)-1＜m＜2
(D)-1＜m＜1或m＞2
典题解读
3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0) 直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标
为 2 ，则此双曲线的方程是(
)
3
(A)
x2 y2 1
34
(B)
x2 y2 1 43
(C) x2 y2 1
52
(D)
x2 y2 1 25
返回
4.椭圆 16x2+25y2=1600 上一点P到左焦点F1的 距 离 为 6 ， Q 是 PF1 的 中 点 ， O 是 坐 标 原 点 ， 则 |OQ|= _____
B2、B3、…顺次在曲线y= x上，且OA1B1、
A1 A2B2、A2 A3B3…都是正三角形，
求：(1)、A1、A2、A3的横坐标；
(2)、证明An的横坐标是
xn
1 3
n(n
1)
典题解读
16.求定点A(a,0)到椭圆 x2 2
y2
1
上动
点P的距离AP的最小值b与a之间的函数
关系式：b f (a)，并作此函数的图象
第二定义：
平面内到一个定点的距离和到一条定
直线的距离比是常数e c e 1 的点的轨
迹是双曲线，其中定点a叫焦点，定直线叫 准线，e 是离心率
知识指要
y
M
F1
Байду номын сангаас
o F2
x
y
M F2
F1
双曲线
x
注1：c2 = a2 + b2， a，b大小不 定注2：判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 如果x2的系数为正，则焦点在x轴上；
典题解读
11.过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长
轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为________
x2 y2
12.已知点 A 2， 3
，F是椭圆
1 16 12
的左
焦点，一动点M在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|
的最小值为_____
13.若动点P在直线2x+y+10=0上运动，直线PA、 PB与圆x2+y2=4分别切于点A、B，则四边形PAOB 面积的最小值为__________
典题解读
14.双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
1,b 0)
的焦距为
2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点
（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到
直线l的距离之和 s 4 c ，求双曲线的离心
率e的取值范围
5
全国卷4 理21、文22
典题解读 15.如图，A1、A2、A3、…顺次在x轴上，B1、
x≥a或x≤-a
y≥a 或y ≤-a
对称性 关于X轴、Y轴、原点对称
关于X轴、Y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1(-a,0),A 2(a,0）
e c 1 a
x2 y2 0 a2 b2
A1(0,-a),A 2( 0,a )
e c 1 a
y2 a2
x2 b2
0
知识指要
双曲线
第一定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a（2a<︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双 曲线
3、抛物线的独特性质
知识指要
抛物线
4、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在)
直线与抛物线有两个交点
a
0 0
直线与抛物线有一个交点
a
0 或a
0
（0 直线与对称轴平行）
直线与抛物线没有交点
a
0 0
5、直线与抛物线： “点差法”、“韦达定 理”
典题解读
1.已知方程
x2 m -1
y2 2-m
知识指要
椭圆
知识指要
y M
F1
O
F2 x
椭圆
y
F2 M
O
x
F1
注1：总有 a>b>0, c2 = a2 - b2
注2：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上 的准则： 焦点在分母大的那个轴上
注3：椭圆上到焦点的距离最大和最小的点 是椭圆长轴的两个端点
知识指要
椭圆
1、椭圆第一定义反映的是： 椭圆上任意一 点到两焦点的距离和是2a 即： | MF1| +| MF2 | = 2a
8.已知双曲线方程x2-y2/4=1，过P(1，1)点的 直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ()
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
几何画板
典题解读
9.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被 直线y=2x+1截得的弦长为 15 ，则此抛物线的 方程为_________________
10.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长 a、b、c成等差数列，公差d＜0，则动点B的轨 迹方程为_____________
典题解读
5. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线， 且过点M(2,-2)的双曲线方程
6、已知椭圆C以坐标轴为对称轴，一个焦
点为F(0，1)，离心率为 3 ，
(1)求椭圆的方程；
3
(2)若椭圆C有不同两点关于直线 y=4x+m
对称，求m的取值范围
典题解读
7、过抛物线 y=x2 的顶点任作两条互相垂 直的弦OA、OB (1)证明直线AB恒过一定点 (2)求弦AB中点的轨迹方程
如果y2的系数为正，则焦点在y轴上
注3：焦半径公式 注4：弦中点问题： “点差法”、“韦达 实例
知识指要
双曲线
1、直线与双曲线的位置关系
有两个交点（同左支、同右支、
直线与双曲线相交：
各交于一点）
有一个交点（与渐近线平行）
直线与双曲线相切：只有一个公共点
直线与双曲线相离：没有公共点
知识指要
双曲线
2、交点 直线与双曲线没有交点： 0，或与渐近线重合
直线与双曲线有一个交点： 0，或与渐近线平行 直线与双曲线有两个交点： 0
3、弦长公式：| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 4、等轴双曲线
5、双曲线的渐近线
知识指要
抛物线
知识指要
抛物线
1、P的几何意义:焦点到准线的距离
2、焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为 y 2 = mx ( m≠ 0) ； 焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x 2 = m y ( m≠ 0)
5、弦中点问题：“点差法”、“韦达
y
y
. .B
图形
A1 o
A2 x
B1
.y A1
.B1 o B x A2 2
方程
x2 a2
ax22by22
by221(1a>0,b>0)
y2 x2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
范围
2、椭圆第二定义反映的是：
椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应
准
|
线的距离比是e。即：
MF d
|
e
知识指要
3、判断直线与椭圆位置关系的方法：
椭圆
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 △= 0
△> 0 4、弦长公式：
相离 相切
相交
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
1表示焦点y轴上的椭圆，
则m的取值范围是( )
(A)m＜2
(B)1＜m＜2
(C)m＜-1或1＜m＜2
(D)m＜-1或1＜m＜3/2
2．如果方程
x2 y2 1 m -1 2-m
表示双曲线，
则实数m的取值范围是(
)
(A)m＞2
(B)m＜1或m＞2
(C)-1＜m＜2
(D)-1＜m＜1或m＞2
典题解读
3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0) 直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标
为 2 ，则此双曲线的方程是(
)
3
(A)
x2 y2 1
34
(B)
x2 y2 1 43
(C) x2 y2 1
52
(D)
x2 y2 1 25
返回
4.椭圆 16x2+25y2=1600 上一点P到左焦点F1的 距 离 为 6 ， Q 是 PF1 的 中 点 ， O 是 坐 标 原 点 ， 则 |OQ|= _____
B2、B3、…顺次在曲线y= x上，且OA1B1、
A1 A2B2、A2 A3B3…都是正三角形，
求：(1)、A1、A2、A3的横坐标；
(2)、证明An的横坐标是
xn
1 3
n(n
1)
典题解读
16.求定点A(a,0)到椭圆 x2 2
y2
1
上动
点P的距离AP的最小值b与a之间的函数
关系式：b f (a)，并作此函数的图象
第二定义：
平面内到一个定点的距离和到一条定
直线的距离比是常数e c e 1 的点的轨
迹是双曲线，其中定点a叫焦点，定直线叫 准线，e 是离心率
知识指要
y
M
F1
Байду номын сангаас
o F2
x
y
M F2
F1
双曲线
x
注1：c2 = a2 + b2， a，b大小不 定注2：判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 如果x2的系数为正，则焦点在x轴上；
典题解读
11.过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长
轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为________
x2 y2
12.已知点 A 2， 3
，F是椭圆
1 16 12
的左
焦点，一动点M在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|
的最小值为_____
13.若动点P在直线2x+y+10=0上运动，直线PA、 PB与圆x2+y2=4分别切于点A、B，则四边形PAOB 面积的最小值为__________
典题解读
14.双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
1,b 0)
的焦距为
2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点
（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到
直线l的距离之和 s 4 c ，求双曲线的离心
率e的取值范围
5
全国卷4 理21、文22
典题解读 15.如图，A1、A2、A3、…顺次在x轴上，B1、
x≥a或x≤-a
y≥a 或y ≤-a
对称性 关于X轴、Y轴、原点对称
关于X轴、Y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1(-a,0),A 2(a,0）
e c 1 a
x2 y2 0 a2 b2
A1(0,-a),A 2( 0,a )
e c 1 a
y2 a2
x2 b2
0
知识指要
双曲线
第一定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a（2a<︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双 曲线
3、抛物线的独特性质
知识指要
抛物线
4、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在)
直线与抛物线有两个交点
a
0 0
直线与抛物线有一个交点
a
0 或a
0
（0 直线与对称轴平行）
直线与抛物线没有交点
a
0 0
5、直线与抛物线： “点差法”、“韦达定 理”
典题解读
1.已知方程
x2 m -1
y2 2-m
知识指要
椭圆
知识指要
y M
F1
O
F2 x
椭圆
y
F2 M
O
x
F1
注1：总有 a>b>0, c2 = a2 - b2
注2：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上 的准则： 焦点在分母大的那个轴上
注3：椭圆上到焦点的距离最大和最小的点 是椭圆长轴的两个端点
知识指要
椭圆
1、椭圆第一定义反映的是： 椭圆上任意一 点到两焦点的距离和是2a 即： | MF1| +| MF2 | = 2a
8.已知双曲线方程x2-y2/4=1，过P(1，1)点的 直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为 ()
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
几何画板
典题解读
9.顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被 直线y=2x+1截得的弦长为 15 ，则此抛物线的 方程为_________________
10.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长 a、b、c成等差数列，公差d＜0，则动点B的轨 迹方程为_____________
典题解读
5. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线， 且过点M(2,-2)的双曲线方程
6、已知椭圆C以坐标轴为对称轴，一个焦
点为F(0，1)，离心率为 3 ，
(1)求椭圆的方程；
3
(2)若椭圆C有不同两点关于直线 y=4x+m
对称，求m的取值范围
典题解读
7、过抛物线 y=x2 的顶点任作两条互相垂 直的弦OA、OB (1)证明直线AB恒过一定点 (2)求弦AB中点的轨迹方程
如果y2的系数为正，则焦点在y轴上
注3：焦半径公式 注4：弦中点问题： “点差法”、“韦达 实例
知识指要
双曲线
1、直线与双曲线的位置关系
有两个交点（同左支、同右支、
直线与双曲线相交：
各交于一点）
有一个交点（与渐近线平行）
直线与双曲线相切：只有一个公共点
直线与双曲线相离：没有公共点
知识指要
双曲线
2、交点 直线与双曲线没有交点： 0，或与渐近线重合
直线与双曲线有一个交点： 0，或与渐近线平行 直线与双曲线有两个交点： 0
3、弦长公式：| AB | 1 k 2 | x1 x2 | 4、等轴双曲线
5、双曲线的渐近线
知识指要
抛物线
知识指要
抛物线
1、P的几何意义:焦点到准线的距离
2、焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为 y 2 = mx ( m≠ 0) ； 焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x 2 = m y ( m≠ 0)