精选-高考数学总复习第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系(第一课时)教案新人教A版必修1
高考数学必考知识点整理
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必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。
3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合:Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R .4、集合的表示方法:列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆,但存在元素B x ∈,且A x ∉,则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:∅.并规定:空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A .2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A .3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大(小)值1、 注意函数单调性证明的一般格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则:()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数(Ⅰ)§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地,如果a x n=,那么x 叫做a 的n 次方根。
必修1第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系教案

1.1.2 集合间的基本关系教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.教学重难点:1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别;2、空集的概念以及与一般集合间的关系.教学过程:一、复习(结合提问):1.集合的概念、集合三要素2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法3.关于“属于”的概念二、新课讲授(一)子集的概念1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B (或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”).2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B 已(或B⊄A)(二)空集的概念不含任何元素的集合叫做空集,记作φ,并规定: 空集是任何集合的子集.(三)“相等”关系1、实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论:对于两个集合A 与B,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B,记作A=B(即如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B).2、 ① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A② 真子集:如果A ⊆B ,且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B ③ 空集是任何非空集合的真子集.④ 如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C.证明:设x 是A 的任一元素,则 x ∈AA ⊆B,∴x ∈B 又 B ⊆C ∴x ∈C 从而 A ⊆C同样;如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C(三)例题与练习例1 设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}A ⊇B,求a 的值练习1 写出集合A={a,b,c}的所有子集,并指出哪些是真子集?有多少个?例2 求满足{x|x 2+2=0} M ⊆{x|x2-1=0}的集合M. 例3 若集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|ax+1=0}且B A,求a 的值. 练习 集合M={x|x=1+a 2,a ∈N*}, P={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}下列关系中正确的是( )⊂ ≠⊂ ≠⊂ ≠A M PB P MC M=PD M P 且 P M 三、小结子集、真子集、空集的有关概念.四、作业⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠。
高考数学总复习 第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系(第一课时)教案 新人教A版必修1

1.1.2 集合间的基本关系(第一课时)本节内容是选自新人教 A 版高中数学必修 1 第 1 章第 1 节第 2 部分的内容. 在此之前,学生已经接触过集合的一些基本概念,本小节内容是在学习了集合的概念以及集合的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上,进一步学习集合与集合之间的关系,同时也是下一节学习集合之间的运算的基础,因此本小节起着承上启下的重要作用.1.教学重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念.2.教学难点:属于关系与包含关系的区别.一、课堂探究:1、情境引入——类比引入思考:实数有相等关系、大小关系,如,等等,类比实数之间的关系,可否拓展到集合之间的关系?任给两个集合,你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系?注意:这里可关系两个数学思想,分别是特殊到一般的思想,类比思想探究一、观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗?(1);(2)设为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合;(3)设。
可以发现,在(1)中,集合中的任何一个元素都是集合的元素。
这时,我们就说集合与集合有包含关系。
(2)中集合,也有类似关系。
3、关于Venn图:在数学中,我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A与B的包含关系可以用右图表示自然语言:集合A是集合B的子集集合语言(符号语言):图像语言:上图所示Venn图注意:强调自然语言、符号语言、图形语言三者之间的转化;探究二、对于第(3)个例子,我们已经知道集合C是集合D的子集,那么集合D是集合C 的子集吗?思考:与实数中的结论“”相类比,你有什么体会?类比:实数:且集合:且4、集合相等:如果集合A是集合B的子集(),且集合B是集合A的子集(),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作:。
注意:两个集合相等即两个集合的元素完全相同思考:已知集合:A={x|x=2m+1,m Z},B={x|x=2n-1,n Z},请问A与B相等吗?相等探究三、比较前面3个例子,能得到什么结论?6、空集的概念:我们把不含任何元素的集合称为空集,记作,并规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
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高中数学章节目录一、集合与函数概念1.1 集合的基本概念1.1.1 集合的定义1.1.2 集合的表示方法1.1.3 集合之间的关系与运算1.2 函数的概念1.2.1 函数的定义1.2.2 函数的表示方法1.2.3 函数的性质1.3 函数的图象与变换1.3.1 函数图象的绘制1.3.2 函数的变换二、基本初等函数2.1 一次函数与二次函数2.1.1 一次函数的性质2.1.2 二次函数的性质2.2 幂函数与指数函数2.2.1 幂函数的性质2.2.2 指数函数的性质2.3 对数函数2.3.1 对数函数的定义2.3.2 对数函数的性质三、方程和不等式3.1 方程的解法3.1.1 一元一次方程的解法3.1.2 一元二次方程的解法3.1.3 分式方程与无理方程的解法3.2 不等式的解法3.2.1 一元一次不等式的解法3.2.2 一元二次不等式的解法3.2.3 绝对值不等式的解法四、三角函数4.1 三角函数的基本概念4.1.1 角的度量与弧度制4.1.2 三角函数的定义4.2 三角函数的性质4.2.1 三角函数的周期性4.2.2 三角函数的奇偶性4.2.3 三角函数的单调性4.3 三角函数的图象与变换4.3.1 三角函数的图象绘制4.3.2 三角函数的变换五、数列和数学归纳法5.1 数列的基本概念5.1.1 数列的定义5.1.2 数列的性质5.2 等差数列与等比数列5.2.1 等差数列的性质5.2.2 等比数列的性质5.3 数学归纳法5.3.1 数学归纳法的原理5.3.2 数学归纳法的应用六、立体几何初步6.1 空间几何的基本概念6.1.1 空间点、线、面的关系6.1.2 空间几何的基本术语6.2 空间中的平行与垂直6.2.1 平行线与平行平面6.2.2 垂直线与垂直平面6.3 空间几何的基本性质6.3.1 空间几何的公理与定理6.3.2 空间几何的应用七、平面解析几何7.1 平面直角坐标系7.1.1 平面直角坐标系的建立7.1.2 点的坐标表示7.2 直线与圆7.2.1 直线的方程7.2.2 圆的方程7.3 圆锥曲线7.3.1 椭圆的性质与方程7.3.2 双曲线的性质与方程7.3.3 抛物线的性质与方程八、概率与统计初步8.1 概率的基本概念8.1.1 随机事件与概率8.1.2 概率的性质与计算8.2 概率的分布与期望8.2.1 离散型随机变量的分布8.2.2 连续型随机变量的分布8.2.3 随机变量的期望与方差8.3 统计初步8.3.1 数据的收集与整理8.3.2 数据的描述与分析8.3.3 统计推断与预测以上即为高中数学的主要章节目录,涵盖了集合与函数、基本初等函数、方程和不等式、三角函数、数列和数学归纳法、立体几何初步、平面解析几何以及概率与统计初步等多个方面,旨在为学生提供全面而系统的数学知识体系。
最新高考数学必考知识点总结
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高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A = (2)A ∅=∅ (3)AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)A A A = (2)A A ∅= (3)A B A ⊇ AB B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体,化成||x a<,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()ug x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M=.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M=.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数..(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称) ②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算(1)根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a=;当n为奇数时,a=;当n为偶数时,(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算(1)对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a xN =,其中a 叫做底数,N 叫做真数.②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.(2)几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(3)常用对数与自然对数常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()aa a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-=③数乘:log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N=⑤loglog (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质(5)对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()xy ϕ=表示x 是y 的函数,函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.(7)反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第y 函数时,图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴.④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q py x=是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q py x=是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则qpy x=是非奇非偶函数.⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.〖补充知识〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--.②当0a>时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减,在[,)2ba-+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a-=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递增,在[,)2ba-+∞上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=. (4)一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a>时(开口向上)①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2bm f a=- ③若2b q a ->,则()m f q =xxx①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2bM f a=- ③若2b q a ->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =.第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y∈=的零点。
高中数学第一章集合与函数概念1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修
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空集
不含任何 元素 的集合叫做空集,记为⌀ 规定:空集是任何集合的 子集
如果A=B,且B=C,那么A=C
(1)如果A⫋B,且B⫋C,那么A ⫋C;(2)如果A⊆B,且A≠B, 那么A⫋B
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
⊆{1,2,3}. ( ✕ ) 2.空集可以用{⌀}表示. ( ✕ ) 3.{0,1}={1,0}={(0,1)}. ( ✕ ) 4.任何集合都有子集和真子集. ( ✕ ) 空集只有子集,没有真子集. a∈A,则{a}⫋A. ( ✕ ) 当A中仅含一个元素a时,A={a},此时{a}不是A的真子集. B⊆A,若元素a∉A,则a∉B. ( √ )
},注意到两个集合的共同元素构成的集合为{4,7},故非空集合C是{4,7}的子集,即C={
4,7}或C={4}或C={7},故满足条件的集合C有3个.
答案 (1)A (2)3
空集是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{0},故④错误;对于⑤,{0,1}是含有两个元素0
与1的集合,而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等,故
⑤错误;对于⑥,应是0∈{0},故⑥错误.故②③是正确的,应选B.
答案 (1)C (2)B
已知集合间的关系求参数问题 问题 A={2,-1},B={m2-m,-1},若A=B,如何求实数m的值? 提示:由A=B得m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1},若A⫋B,如何求a的取值范围? 提示:若A⫋B,画出数轴: 由数轴可知a>2. 3.在问题2中,将条件改为“B⊆A”,又如何求a的取值范围? 提示:若B⊆A,画出数轴: 由数轴可知1≤a≤2.
高中数学必修一第一章集合与函数概念
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第一章集合与函数概念目录§1.1.1集合的含义与表示(新授课)§1.1.2集合间的基本关系(新授课)§1.1.3 集合的基本运算(新授课)1.1集合(习题课)必修1第一章集合基础训练(一)必修1第一章集合基础训练(一)答案必修1第一章集合基础训练(二)必修1第一章集合基础训练(二)答案必修1第一章集合基础训练(三)必修1第一章集合基础训练(三)答案§1.2.1函数的概念(新授课)§1.2.2函数的表示法(第一课时)(新授课)§1.2.2 函数的表示法(第二课时:映射)(新授课)函数的定义域(专题课)函数的值域(专题课)函数的解析式(专题课)1.2函数及其表示(习题课)必修1第一章函数及其表示基础训练(一)必修1第一章函数及其表示基础训练(一)答案必修1第一章函数及其表示基础训练(二)必修1第一章函数及其表示基础训练(二)答案必修1第一章函数及其表示基础训练(三)必修1第一章函数及其表示基础训练(三)答案§1.3.1函数的最大(小)值(一)函数的单调性(新授课)§1.3.1函数的最大(小)值(二)(新授课)§1.3.2函数的奇偶性函数的基本性质(习题课)必修1第一章函数的基本性质基础训练(一)必修1第一章函数的基本性质基础训练(一)答案必修1第一章函数的基本性质基础训练(二)必修1第一章函数的基本性质基础训练(二)答案必修1第一章函数的基本性质基础训练(三)必修1第一章函数的基本性质基础训练(三)答案第一章集合与函数概念一、课程目标集合语言是现代数学的基本语言,本章将集合作为一种语言来学习。
通过本模块的学习,使学生学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,发展学生运用数学语言进行交流的能力。
函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,通过本模块的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教版必修1
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⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面 的内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
A.1
B.2
C.3 D.4
(2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,ba,b,
则 b-a 等于( )
A.1
B.-1 C.2 D.-2
解析 (1)对于①,集合{0}中含有 1 个元素 0,所以 0∈{0}正 确;对于②,由于空集是任何非空集合的真子集,所以∅ {0} 正确;对于③,{0,1}是数集,{(0,1)}是点集,所以③错误; 对于④,{(a,b)}与{(b,a)}是不同的点集,所以④错误. (2)因为 a≠0,所以 a+b=0,所以ba=-1,所以 b=1, a=-1.故 b-a=2.故选 C. 答案 (1)B (2)C
答案 B
3.设集合 M={x|x>-1},则下列选项正确的是( )
A.{0}⊆M
B.{0}∈M
C.∅∈M
D.0⊆M
解析 选项B、C中均是集合之间的关系,符号错误;
选项D中是元素与集合之间的关系,符号错误.
答案 A
4.已知集合 A={2,9},集合 B={1-m,9}, 且 A=B,则实数 m=________. 解析 因为 A=B,所以 1-m=2,所以 m=-1. 答案 -1
类型一 有限集合的子集问题 【例1】 已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第一课时并集、交集课件新人教A版必修1
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(B){x|x<3}
(C){x|0<x<3} (D){x|x<0或x>3}
C)
5.(集合间的关系及运算)若A⊆B则A∩B= 答案:A B
,A∪B=
.
课堂探究·素养提升
题型一 集合的并集、交集的简单运算 【例1】 (1)(202X·全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B 等于( ) (A){1,3} (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}
又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
故选C.
【备用例1】 满足M∪N={a,b}的集合M,N共有( ) (A)7组 (B)8组 (C)9组 (D)10组
解析:满足M∪N={a,b}的集合M,N有:
M= ,N={a,b};
M={a},N={b}; M={a},N={a,b}; M={b},N={a}; M={b},N={a,b};
(1)因为 A∩B=B,所以 B⊆ A,B= ,{0},{2},{0,2}. 当 B= 时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,所以 a<0;
当
B={0}或{2}时,则
4a 0,
a
2
a
0
⇒
a=0,或
4a 0
4
4a
a
2
a
0
无解,所以
a=0;
B={0,2},则
a2 a 4 4a
变式探究2:若本例题中将A∪B=A,改为A∩B=A,其他条件不变,求实数a的值.
解:因为 A={1,2},A∩B=A,所以 A⊆ B. 又 B={x|x2-ax+a-1=0}. 所以 B 中含元素 1,2,即 1,2 是方程 x2-ax+a-1=0 的两根,
高一数学集合知识点及练习题
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第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法(2)一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =,则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn )图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=,得{1,0}N =-,则N M ⊂,选B.2.设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>,则U AB =ð( )A .{|01}x x ≤<B .{|01}x x <≤C .{|0}x x <D .{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤,因此U A B =ð{|01}x x <≤3.(北京文)设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤,则A B = ( ) A .{12}x x -≤< B .1{|1}2x x -<≤ C .{|2}x x < D .{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤, ∴{12}AB x x =-≤<,故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.(全国卷Ⅱ文)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则C u ( M N )=( ) A.{5,7} B.{2,4} C. {2.4.8} D. {1,3,5,6,7} 答案 C6.已知全集U R =,集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩(Venn )图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ,则{}3,1=⋂N M ,有2个,选B. 7.设,a b R ∈,集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=,则b a -= ( ) A .1 B .1- C .2 D .2-答案 C8.已知集合M ={x |x <3},N ={x |log 2x >1},则M ∩N =( )A .∅B .{x |0<x <3}C .{x |1<x <3}D .{x |2<x <3}答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
高中数学必修一最全知识点汇总
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高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体,其中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。
子集表示为A⊆B,真子集表示为A⊂B,集合相等表示为A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2个子集,2^(n-1)个真子集,2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集表示为A∩B,并集表示为A∪B,补集表示为A的补集。
补集的性质为A∪A的补集=全集,A∩A的补集=空集。
2.补充知识:含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似,可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。
1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体,化成$|x|c(c>0)$,$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。
2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$,确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像,分类讨论$\Delta>\Delta'$,$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$(其中$x_10$和$y<0$的解集。
3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集,如果按照某种对应法则$f$,对于集合$A$中任何一个数$x$,在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应,那么这样的对应(包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$)叫做集合$A$到$B$的一个函数,记作$f:A\to B$。
高中数学 第1章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系课件 a必修1a高一必修1数学课件
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2.若集合 A={x|1<x<b},试结合 b 的取值,指出 A 集合中的元素.
提示:当 b≤1 时,A=∅;当 b>1 时,A 中的元素是由满足不等式 1<x<b 的实 数组成的.
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例 3 已知集合 A=|x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B A,求实数 m 的取值范围. 思路探究: B={x|m+1≤x≤2m-1} ―分―B结=―合∅―数和―轴B―≠→∅
A.13
B.14
C.15
D.16
【解答(jiědá)】解:{2,0,1,9}的真子集个数为:24−1=15.
故选:C.
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3.(2019•辽宁一模)若集合A={x|1≤x<2}是集合B={x|x>b}的子集(zǐ jí),则实数b 的范围是( ) A.b≥2 B.1<b≤2 C.b≤2 D.b<1
A.N⊆M
B.M⊆N
C.M∩N=∅ D.M∪N=R
【解答】解:已知集合M={x|(x-1)(x-2)≤0}={x|1≤x≤2},N={x|x>0}, 则由集合的运算和集合的关系(guān xì)可得:M⊆N,B正确;
故选:B.
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2.(2019•浙江模拟(mónǐ))集合{2,0,1,9}的真子集的个数是( )
(3)对于集合 M,其组成元素是n2,分子部分表示所有的整数;
而对于集合 N,其组成元素是12+n=2n+ 2 1,分子部分表示所有的奇数.
由真子集的概念知,N M.
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高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修15
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(1)求集合子集、真子集个数的 3 个步骤
(2)与子集、真子集个数有关的 4 个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素,则有 ①A 的子集的个数有 2n 个; ②A 的非空子集的个数有 2n-1 个; ③A 的真子集的个数有 2n-1 个; ④A 的非空真子集的个数有 2n-2 个.
1.已知集合 M={x∈Z|1≤x≤m},若集合 M 有 4 个子集,则
2.已知集合 A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则 A
与 B 之间的最适合的关系是( )
A.A⊆B
B.A⊇B
C.A B
D.A B
解析:选 D.集合 A 是能被 3 整除的整数组成的集合,集合 B 是 能被 6 整除的整数组成的集合,所以 B A.
3.满足{a}⊆M {a,b,c,d}的集合 M 共有( )
子集、真子集的个数问题
(1)(2019·安庆高一检测)已知集合 A={x∈R|x2-3x+2
=0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件 A C B 的集合 C 的个数
为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)已知集合 A={x∈R|x2=a},使集合 A 的子集个数为 2 的 a
的值为( )
A.-2
由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立 方程求解,此时应注意分类讨论; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应 注意端点处是实点还是虚点.
[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形. (2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
A.6 个
B.7 个
C.8 个
D.15 个
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高考数学总复习第一章集合与函数概念1-1-2集合间的基本关系(第一课时)教案新人教A版必修1
本节内容是选自新人教 A 版高中数学必修 1 第 1 章第 1 节第 2 部分的内容. 在此之前,学生已经接触过集合的一些基本概念,本小节内容是在学习了集合的概念以及集合的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上,进一步学习集合与集合之间的关系,同时也是下一节学习集合之间的运算的基础,因此本小节起着承上启下的重要作用.
1.教学重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念.
2.教学难点:属于关系与包含关系的区别.
一、课堂探究:
1、情境引入——类比引入
思考:实数有相等关系、大小关系,如,等等,类比实数之间的关系,可否拓展到集合之间的关系?任给两个集合,你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系?
注意:这里可关系两个数学思想,分别是特殊到一般的思想,类比思想
探究一、观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗?
(1);
(2)设为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合;
(3)设。
可以发现,在(1)中,集合中的任何一个元素都是集合的元素。
这时,我们就说集合与集合有包含关系。
(2)中集合,也有类似关系。
3、关于Venn图:在数学中,我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A与B的包含关系可以用右图表示
自然语言:集合A是集合B的子集
集合语言(符号语言):
图像语言:上图所示Venn图
注意:强调自然语言、符号语言、图形语言三者之间的转化;
探究二、对于第(3)个例子,我们已经知道集合C是集合D的子集,那么集合D是集合C的子集吗?
思考:与实数中的结论“”相类比,你有什么体会?
类比:实数:且
集合:且
4、集合相等:如果集合A是集合B的子集(),且集合B是集合A的子集(),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B相等,记作:。