【名师讲义】2019届高考物理一轮复习：第四章 第4讲 万有引力与航天

第4讲 万有引力与航天板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。

开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T2＝k 。

2．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。

【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。

2．公式：F ＝G m 1m 2r2，其中G 为万有引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。

公式中的r 是两个物体之间的距离。

3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。

【知识点3】 环绕速度 Ⅱ1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s 。

2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法。

(1)由G Mm R 2＝m v 2R ，解得：v ＝GM R；(2)由mg ＝m v 2R解得：v ＝gR 。

【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s 。

【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m ＝m 01－v 2c 2；(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

板块二 考点细研·悟法培优考点1开普勒第三定律[深化理解]1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a 、b ，取足够短的时间Δt ，则行星在Δt 时间内可看作匀速直线运动，由S a ＝S b 知12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，可得v a ＝v b b a 。

行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

2．开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动。

3．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆。

为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。

则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如v ＝ωr ，F ＝ma ＝mv 2r＝mr ω2等。

例1 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( )A ．v b ＝bav aB ．v b ＝ab v a C ．v b ＝abv aD ．v b ＝b av a提示：开普勒第二定律。

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

尝试解答 选C 。

若行星从轨道的A 点经足够短的时间t 运动到A ′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积S A ＝a ·v a t2；若行星从轨道的B 点也经时间t 运动到B ′点，则与太阳的连线扫过的面积S B ＝b ·v b t2；根据开普勒第二定律得a ·v a t 2＝b ·v b t2，即v b ＝abv a ，C 正确。

总结升华绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。

[跟踪训练] 木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为( ) A ．2天文单位 B ．4天文单位 C ．5.2天文单位 D ．12天文单位答案 C解析 木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律r 3木T 2木＝r 3地T 2地得r 木＝3T 2木T 2地·r地≈5.2天文单位。

考点2天体质量和密度的估算[拓展延伸]1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G。

(2)天体密度ρ＝M V ＝M43πR 3＝3g4πGR。

2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。

(1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2。

(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R3。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

例2 [2017·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 。

则太阳的质量为( ) A.4π2r 3T 2R 2gB.T 2R 2g4π2mr 3 C.4π2mgr 2r 3T2D.4π2mr 3T 2R 2g(1)知道地球绕太阳公转的周期T 和太阳与地球中心间距r ，能求太阳质量吗？提示：能。

利用GMm r 2＝m4π2T 2r 。

(2)太阳质量的四个选项中没有引力常量G ，可以考虑用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g ＝Gm R 2。

尝试解答 选D 。

地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GMm r 2＝m4π2T 2r ，所以M ＝4π2r 3GT2，地球表面物体m 0的重力来源于万有引力，有Gmm 0R 2＝m 0g ，所以G ＝gR 2m，把G 代入M ＝4π2r 3GT 2，得M ＝4π2r 3gR2mT 2＝4π2r 3mgR 2T2，D 正确。

总结升华估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径。

[递进题组]1.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r ，它绕地球运动的周期为T ，引力常量是G ，由此可以知道( )A ．月球的质量m ＝π2r 3GT2B ．地球的质量M ＝4π2r 3GT2C ．月球的平均密度ρ＝3πGT 2D ．地球的平均密度ρ′＝3πGT 2答案 B 解析 对月球有GMm r 2＝m ·4π2T 2r ，可得地球质量M ＝4π2r 3GT2，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故B 正确，A 、C 错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D 错误。

2．[2017·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。

荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。

若已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )A ．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB ．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期TC ．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H 和运行周期TD ．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D 和运行周期T 答案 B 解析 由GMm R 2＝mg ，ρ＝M43πR 3得：ρ＝3g4πGR ，由H ＝12gt 2得出g ，却不知火星半径，A错误。

由GMm r 2＝m4π2T 2r ，ρ＝M43πR 3得：ρ＝3πr 3GT 2R 3。

当r ＝R 时ρ＝3πGT 2，B 正确，不知火星半径，C 错误。

D 选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D 错误。

考点3人造卫星的运动规律[深化理解]1．人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。

(2)两条思路①万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma 。

②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R 2＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。

(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.23×104 km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为恒量)。

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

例3 [2017·广东深圳一模]人造卫星a 的圆形轨道离地面高度为h ，地球同步卫星b 离地面高度为H ，h <H ，两卫星共面且运行方向相同。

某时刻卫星a 恰好出现在赤道上某建筑物c 的正上方，设地球赤道半径为R ，地面重力加速度为g ，则( ) A ．a 、b 线速度大小之比为R ＋hR ＋HB ．a 、c 角速度之比为R 3R ＋h3C ．b 、c 向心加速度大小之比为R ＋HRD ．a 下一次通过c 正上方所需时间等于t ＝2πR ＋h 3gR 2(1)怎样比较人造卫星a 和同步卫星b 的线速度、角速度、向心加速度？提示：万有引力提供向心力G mM r 2＝m v 2r＝m ω2r ＝ma 。