广东省江门市高考数学一轮复习专项检测试题计数原理(1)

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高考数学一轮复习分类加法计数原理专题检测(带答案)

高考数学一轮复习分类加法计数原理专题检测（带答案）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n类办法中有mn种不同的方法，以下是分类加法计数原理专题检测，请考生及时练习。

一、选择题1.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B 有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4321=24种涂法;二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有432=24种，D只要不与C同色即可，故D 有2种涂法.故不同的涂法共有24+242=72种.答案 A2.如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有().A.400种B.460种C.480种D.496种解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，不同涂法有654(1+3)=480(种)，故选C.答案 C3.某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加春晖文学社、舞者轮滑俱乐部、篮球之家、围棋苑四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团.且同学甲不参加围棋苑，则不同的参加方法的种数为().A.72B.108C.180D.216解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加围棋苑，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加围棋苑，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法，故共有CCA种参加方法;(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加围棋苑，有C 种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法;综合(1)(2)，共有CCA+CA=180种参加方法.答案 C.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A.8种B.9种C.10种D.11种解析分四步完成，共有3311=9种.答案 B.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有().A.300种B.240种C.144种D.96种解析甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有CA-CA=240.答案 B.4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有().A.12种B.24种C.30种D.36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲.共有C种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法.第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法.故共有C22=24(种).答案 B二、填空题.将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA=60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA=4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案 240.数字1,2,3，，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种.解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法.对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有223=12种填法.答案 12.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做好数，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，好数共有________个.解析当相同的数字不是1时，有C个;当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有好数C+CC=12个.答案 12给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种.(结果用数值表示)三、解答题.如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形?(2)共有多少个平行四边形?解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形. (2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CC+CC+CC个平行四边形..设集合M={-3，-2，-1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，bM.(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限内的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?解 (1)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N=66=36(个).(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，第二步确定纵坐标有2种，根据分步乘法计数原理得N=32=6个.(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，第二步确定纵坐标有5种，根据分步乘法计数原理得N=65=30个..现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法?可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人.星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法;星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法;星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法;同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有54444=1 280种不同的排法..已知集合A={a1，a2，a3，a4}，B={0,1,2,3}，f是从A到B的映射.(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个?(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个?(3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4，这样的f又有多少个?(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4321=24(个).(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法.所以不同的f共有34=81(个). (3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法;第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有CC=12种方法;第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有CC=6种方法;第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有CC=12种方法.所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).分类加法计数原理专题检测及答案的全部内容就是这些，预祝广大考生可以考上理想的大学。

高考数学第一轮复习：-计数原理

高考数学第一轮复习：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有( )A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个【答案】B2．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1、3的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【答案】B3．有5名毕业生站成一排照相,若甲乙两人之间至多有2人,且甲乙不相邻,则不同的站法有( )A ．36种B ．12种C ．60种D ． 48种【答案】C4．设5n x -（的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．-150B ．150C ．-500D ．500 【答案】B5．若2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．10－B ．10C ．－45D ．45 【答案】D6．若三个连续的两位数满足下列条件：①它们的和仍为两位数；②它们的和的个位数字比原来的三个数的每一个数的个位数字都大；则称这样的三个数为“三顶数”，则这样的“三顶数”的组数有（）组。

A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C7．从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数( )A ．2448C C ⋅B ．3438C C ⋅ C ．612CD ．2448A A ⋅ 【答案】A8．将4名志愿者分配到3所不同的学校进行学生课外活动内容调查,每个学校至少分配一名志愿者的方案种数为( )A ．24B ． 36C ． 72D ． 144【答案】B 9．用直线y=m 和直线y=x 将区域x 2+y 26≤分成若干块。

高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理(含答案)

内蒙古大学附中2018版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A ． 472B ． 252C ． 232D ． 484【答案】A2．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务．．．．．．．的方法种数为( ) A ．48 B ．30 C ．36 D ．32【答案】D3．现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化A ．男生4人，女生3人B ．男生3人，女生4人C ．男生2人，女生5人D ．男生5人，女生2人. 【答案】B4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．40【答案】D5．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有( )A. 24种B. 30种C. 20种D. 36种【答案】A6．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是( )A ．−14B ．14C ．−28D ．28【答案】B7．有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一的书2本,则不同的选法有( )种A ．21B ．315C ． 143D ．153【答案】C8．9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有( )A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种【答案】C9．某种实验中，先后要实施个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种【答案】C10．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】A11．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种【答案】B12．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在5(23)x -的展开式中，各项系数的和为． [:数理化]【答案】1-14．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．【答案】26[:15．在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是【答案】-30[:16．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．【答案】108 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： (1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】 (1)先排个位，再排首位，共有A 13·A 14·A 24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 35个，以2或4结尾的四位偶数有A 12·A 14·A 24个，则共有A 35+A 12·A 14·A 24=156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 24个，3作千位，1作百位时有2A 13个，所以共有2A 35+3A 24+2A 13=162（个）.18．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为61312=⋅C C 种；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为121314=⋅C C 种；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为81214=⋅C C 种；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为1224=A 种；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。

高考数学一轮复习单元练习--计数原理

高考数学一轮复习单元练习--计数原理I 卷一、选择题1．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3 【答案】D2．由1，2，3，4，5，组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A ．36B ． 32C ．28D ．24【答案】A3．为虚数单位的二项展开式中第七项为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C4．某建筑工地搭建的脚手架局部类似于的长方体,一建筑工人从沿脚手架到,则行走的最近线路有( )A ．种B ．种C ．种D ．种【答案】B 5．⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D6．某班准备从含甲、乙的名男生中选取人参加接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5 【答案】B8． 4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有（）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种【答案】A9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )10(1)i -(i )120 i -210210-120 i 222⨯⨯A B 8090120180744100⨯720520600360BAA ．18B ．24C ．30D ．36 【答案】C10．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A ．3n ＋12B ．3n －12C ．3n －2D ．3n【答案】B11．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．－20D ．－160【答案】D12． (4x －2－x )6(x ∈R)展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20 【答案】CII卷二、填空题13．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】63014．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．【答案】－215．三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为________．【答案】2416．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种．(用数字作答)【答案】72三、解答题17．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【答案】(1) C 24＝60；(2)男、女同学分别至少有1名，共有3种情况：C 15C 34＋C 25C 24＋C 35C 14＝120；(3)120－(C 24＋C 14C 13＋C 23)＝99. 18．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）(1）甲、乙两人必须跑中间两棒；(2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； (3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.【答案】（1）(2） (3） 19．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】(1)先排个位，再排首位，共有A ·A ·A =144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 个，以2或4结尾的四位偶数有A ·A ·A 个，则共有A + A ·A ·A =156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 个，3作千位，1作百位时有2A 个，所以共有2A +3A +2A =162（个）.20．如果⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值．【答案】∵T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r·⎝⎛⎭⎫－2x 3r＝(－1)r ·C r n ·3n －r·2r ·x2n －5r，∴若T r ＋1为常数项，必有2n －5r ＝0.∴n ＝5r 2，∵n 、r ∈N *，∴n 的最小值为5.21．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56． (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．【答案】根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，25C 222660A A =113226480C C A =223263180A C A =1314243512142435121424352413352413即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72rx r2，r ≤7且r ∈N.于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3. 22．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的1,2,3,4,5,6,7所处的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，求不同的摆放方法．【答案】用间接法.7盆花在7个位置的全排列为A 77；3盆兰花在同一条直线上的排列方法有以下几类：在1,2,3，或1,4,7，或3,4,5，或5,6,7，或2,4,6，每一类的排列方法数都是A 33，4盆玫瑰花的排列方法有A 44种．故所求排列方法数共有A 77－5A 33A 44＝4320.。

广东省江门市普通高中高考数学一轮复习模拟试题01

一轮复习数学模拟试题01满分150分.用时120分钟．第一部分（选择题满分40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若A ∩B {1,3}=，则b a +的值是( )．A.10B.9C.4D.7 2．如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数12z z 的值是( )． A ．i 21+- B ．i 22-- C ．i 21+ D ．i 21- 3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为( )．A.100B.1000C.90D.9004．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅b a B.||||a = C ．⊥-)( D ．b a // 5．如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为 5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．A.17cmB.cm 5119+C.16cmD.14cm6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝2π对称，则下列的判断正确的是（）A 、p 为真B 、⌝q 为假C 、p ∧q 为假D 、p q ∨为真7、若（9，a ）在函数2log y x =的图象上，则有关函数()x xf x a a -=+性质的描述，正确提（）A 、它是定义域为R 的奇函数B 、它在定义域R 上有4个单调区间C 、它的值域为（0，＋∞）D 、函数y ＝f （x －2）的图象关于直线x ＝2对称8、计算机中常用的十六进制是逢16进1的数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则A ×B ＝（） A 、6E B 、72 C 、5F D 、5F D 、B0第二部分（非选择题满分110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：． 9、已知数列{n a }的前几项为：1925,2,,8,,18222---⋅⋅⋅用观察法写出满足数列的一个通项公式n a ＝＿＿＿10、72()x x-的展开式中，x 3的系数是＿＿＿＿（用数字作答）11、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，c = A ＋B ＝2C ，则sinB ＝＿＿＿＿ 12、已知x ＞0，y ＞0，且19x y+＝1，则2x ＋3y 的最小值为＿＿＿＿ 13、设f （x ）是R 是的奇函数，且对x R ∀∈都有f （x ＋2）＝f （x ），又当x ∈［0,1］时，f（x ）＝x 2，那么x ∈［2011,2013］时，f （x ）的解析式为＿＿＿＿＿（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14. （坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩（t 为参数）截圆22cos ρρθ+－3＝0的弦长为＿＿＿＿15. （几何证明选讲）已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为，AB ＝3，则切线AD 的长为＿＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数1()tan()36f x x π=-(I)求f （x ）的最小正周期； (II)求3()2f π的值； (皿)设71(3)22f απ+=-，求sin()cos())4πααππα-+-+的值.17.（本小题满分12分）汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品，塑料厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出3件进行检验.求恰有1件是合格品的概率；(H)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定，该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收，求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E ξ，并指出该商家拒收这批产品的概率。

高考数学一轮复习专题十计数原理1计数原理与排列组合综合集训含解析新人教A版

专题十计数原理备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.1.从近几年的高考命题情况看,考题难度以中低档为主,题型以选择题,填空题的形式出现.2.考查内容主要体现以下方面:(1)利用排列、组合解决实际问题或利用排列、组合解决概率有关问题;(2)利用二项式展开式的通项求指定项系数或求二项式系数问题;(3)利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题,常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论1.在处理排列、组合的应用问题时,常采用直接法,间接法,在处理二项式问题时常采用公式法.2.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.3.求解二项式展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项,有理项,字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=C n r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.4.关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象的数学本质,强化在知识的形式过程,知识的迁移中渗透学科素养.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.思想在处理排列、组合问题中的应用.【真题探秘】命题立意(1)必备知识:计数原理与排列、组合.(2)考查能力:逻辑推理能力与运算求解能力.(3)核心素养:数学运算.解题过程第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C.易错警示对于排列、组合问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题,还是组合问题.知能拓展(1)原理解读:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.这两个计数原理是最基本也是最重要的计数原理,是解答排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.(2)方法拓展:解排列问题的主要方法有直接法、优先法、捆绑法、插空法、间接法.分配问题有平均分配问题与非平均分配问题.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉题型难度考点考向解题方法核心素养分2020新高考Ⅰ,3 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020新高考Ⅱ,6 5单项选择题易排列、组合分配问题直接法数学运算2020课标Ⅰ理,8 5选择题中二项式定理求展开式中指定项的系数分类讨论法数学运算逻辑推理2020北京,3 4选择题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2020天津,11 5填空题易二项式定理求展开式中指定项的系数公式法数学运算逻辑推理2.命题规律与探究1.从2020年高考情况来看,考题难度以中低档为主,主要以选择题、填空题的形式出现,分值为5分.2.本专题内容在高考试题中以排列组合的综合应用,利用二项式定理求二项式系数或求指定项系数为主,考查了学生处理问题的思维严密性和分类讨论的数学思想方法.3.在处理排列组合的应用问题时,常采用直接法、间接法;在处理二项式问题时常采用公式法.4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.3.命题变化与趋势1.从2020年高考情况来看,考查方式及题目难度与往年变化不大,延续此前的考试风格.2.考查内容主要体现在以下方面:①利用排列、组合解决实际问题,或利用排列、组合解决概率有关问题.②利用二项展开式的通项公式求指定项系数或求二项式系数问题.③利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题.常以这些内容为考查重点,同时关注分类讨论思想在处理排列、组合问题中的应用.3.加强关注排列、组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用,能够在不同背景下抽象出数学本质.强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.4.真题典例核心考点(1)排列、组合;(2)分组、分配问题.知识储备(1)解排列问题的主要方法:直接法,特殊位置或元素优先考虑法、相邻捆绑法、不相邻插空法;间接法.(2)分组分配:先分组后分配原则,必须注意是均匀分配还是非均匀分配问题;(3)排列、组合问题中注意适当分类后可避免重复计数问题.思路分析(1)这是一个定向的完全不均匀分配问题;(2)先把6名学生按人数分为1、2、3三个小组,再分别去三个场馆.易错警示本题是一个完全不均匀分组后再定向分配问题,容易出现分组再分配的错误.命题规律分组、分配问题是排列、组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;②部分均匀分组,应注意不要重复;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.§10.1计数原理与排列、组合基础篇【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为 ()A.16B.13C.12D.10答案 C2.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案 B3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有()A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则比40000大的偶数共有 ()A.114个B.120个C.96个D.72个答案 B6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12[教师专用题组]【基础集训】1.(2020山西大同开学学情调研,4)从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有()A.15种B.180种C.360种D.90种答案B先从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人中选2人,故有A62C42=180种,故选B.解题关键解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有关系.2.(2019陕西汉中二模,10)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办,组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责接待工作,每个接待处至少2人,则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有()A.12种B.22种C.28种D.30种答案C将6名工作人员分成A,B两组,对应两个不同的接待处,由题可分两种情况讨论:①甲在A组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法;②甲在B组,组内分到其他四人中的1人,2人或3人,则有C41+C42+C43=14种分法.一共有14+14=28种分法.故选C.解题关键本题考查分类加法计数原理,解题的关键是分类列出所有可能情况,属于一般题.3.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96答案D根据题意,从5名学生中选出4名分别参加竞赛,分2种情况讨论:①选出的4人中没有甲,即选出其他4人参赛,有A44=24种情况;②选出的4人中有甲,由于甲不能参加生物竞赛,则甲有3种选法,在剩余4人中任选3人参加剩下的三科竞赛,有A43=24种选法,则此时共有3×24=72种选法,故共有24+72=96种不同的参赛方案.故选D.4.(2018广东中山一中第五次统测,7)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为 ()A.85B.49C.56D.28答案B∵丙没有入选,∴只需把丙去掉,总的元素个数变为9.∵甲、乙至少有1人入选,∴由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只选一人,选法有C21·C72=42种;另一类是甲、乙都选,选法有C22·C71=7种,根据分类计数原理知共有42+7=49种,故选B.5.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路有 ()A.6种B.8种C.12种D.48种答案D从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有C61种选法;参观完第一个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有C41种选法;参观完第二个景点,参观第三个景点时,有2个路口可以选择,从中任选一个,有C21种选法,则共有C61C41C21=48(种),故选D.综合篇【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有()A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(多选题)(2021届山东师大附中模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“——”和“——”,其中“——”在二进制中记作“1”,“——”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,则可以组成的不同的十进制数为 ()A.0B.1C.2D.3答案ABCD3.(2020山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为()A.216B.480C.504D.624答案 C4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020广东广州执信中学月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2021届辽宁上学期测试,7)我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为()A.30B.60C.90D.120答案 D7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有 ()A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2019福建厦门一中月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中到厦门“两日游”,若他们不同一天出现在厦门,则他们出游的不同方案共有()A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C9.(2021届浙江高考选考科目9月联考,15)某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班,要求每班至少含一名民警和一名医务人员,且至少有一名女性,每人值一班.现有民警4人(4男),医务人员6人(5女1男),其中民警甲不排上午,男医生不排上午、下午,则不同的安排方法有种.答案8640[教师专用题组]【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数,这样的四位数有 ( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C 先考虑四位数的首位,当排数字4,3时,其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列,得到的四位数都满足题设条件,因此依据分类加法计数原理可得满足题设条件的四位数共有2A 43=2×4×3×2=48个,故选C .2.(2017河南百校联考质检,7)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为 ( )A.60B.96C.48D.72答案 C 第一步:先把乙和丙,丁和戊看作两个整体,和己进行全排列,共有A 33A 22A 22种站法;第二步:安排甲,因为甲不站在两侧,所以从乙和丙,丁和戊,己之间的两个空中任取一个,共有2种站法,所以共有2A 33A 22A 22=48种不同的站法,选C .3.(2020吉林延边二中9月月考,8)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出顺序共有 ( )A.24种B.144种C.48种D.96种答案 D 把乙、丙看作一个元素,此时有5个元素,若甲排第一个,有A 44A 22=48种情况,若甲排最后一个,有A 44A 22=48种情况,共有48+48=96种情况,故选D.解题关键本题主要考查排列的应用,结合特殊元素优先法以及相邻问题捆绑法是解决本题的关键.4.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B 根据题意,分3步进行分析:①在6位志愿者中任选1位,安排到甲展区,有C 61=6种情况;②在剩下的5位志愿者中任选1位,安排到乙展区,有C 51=5种情况;③将剩下的4位志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有C 42C 22A 22×A 22=6种情况,则一共有6×5×6=180种不同的安排方案,故选B.5.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,某校高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名.8名同学分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B由题意,有两类:第一类,(1)班的2名同学在甲车上,甲车上剩下2名同学要来自不同的班级,从3个班级中选2个班级,有C32=3种情况,然后分别从选择的班级中再选择1名同学,有C21C21=4种情况,故有3×4=12种情况.第二类,(1)班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择1个班级的2名同学坐在甲车上,有C31=3种情况,然后再从剩下的2个班级中分别选择1名同学,有C21C21=4种情况,这时共有3×4=12种情况.根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.6.(2017江西八所重点中学联合模拟,13)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整,要求其中恰有2人座位不调整,则不同的调整方案的种数为.(用数字作答)答案20解析从5人中任选3人有C53种,将3人位置全部进行调整,有C21·C11·C11种,故有C53·C21·C11·C11=20种调整方案.思路分析先考虑从5人中任选3人的方法数,再考虑3人位置全调的方法数,进而利用分步乘法计数原理得结果.7.(2019北京昌平二模,12)2019年3月2日,昌平“回天”地区开展了7种不同类型的“三月雷锋月,回天有我”社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展,3种活动只在上午开展,2种活动只在下午开展.小王参加了两种不同的活动,且分别安排在上、下午,那么不同安排方案的种数是.答案18解析不同安排方案的种数为C51C21+C21C31+C21C11=18.8.(2018北京西城一模,13)安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)答案30解析不同的安排方案的种数为C31×C21×(C21+C31)=30.11 考法二分组、分配问题的解题方法1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 ( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C 根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C 52=10种分法;②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A 44=24种情况,则不同的放法有10×24=240种.故选C.思路分析根据题意,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,②将分好的4组全排列,放入4个盒子,由分步乘法计数原理计算可得答案.方法总结本题中涉及分组分配问题:先分组再分配.若涉及均匀分组问题,在均匀分成n 组时,注意除以A C C .2.(2019辽宁大连模拟,7)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有 ( )A.18种B.9种C.6种D.3种答案 A 由于1号球不放入1号盒子,则1号盒子有2、3、4号球三种选择,剩余的三个球可以任意放入2、3、4号盒子中,则2号盒子有三种选择,3号盒子还剩两种选择,4号盒子只有一种选择,故1号球不放入1号盒子的方法有C 31·C 31·C 21·1=18种.故选A.3.(2019山西高考考前适应性模拟(三),15)将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一人,则不同的分配方案有种.(填写数字)答案 150解析当一个社区3人,其他社区各1人时,方案有C 53A 33=60种;当一个社区1人,其他社区各2人时,方案有C 51C 42C 22A 22·A 33=90种.故不同的分配方案共有150种.。

高考数学压轴专题江门备战高考《计数原理与概率统计》分类汇编含答案解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习资料一、选择题1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（） A ．54万元 B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D 【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.3．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确；回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据，故D 正确；C 错误. 故选：C ．【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.4．已知59290129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（）A ．9B ．36C ．84D ．243【答案】B 【解析】【分析】()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式定理将其拆开，求出含有7(1)x -的项，便可得到7a ．【详解】解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7(1)x -；()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()729C 136-=所以，7a 36=，故选B 【点睛】本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（） A ．78B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，则相当于565.56.5x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即求y x ≥的概率，如图所示：约束条件对应的可行域面积为：1，则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228-⨯⨯=，所以对应的概率为：77818=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78. 故选：A.【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（）A ．92524ππ+B ．162524π+C ．252425ππ+D ．484825π+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.【详解】由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422S πππ=++-=，整个图形所对应的面积9252482422S πππ=++=+，所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P π=+.故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.7．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（）A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】B 【解析】【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+，故选：B ．【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．2020(1)(1)i i +--的值为（） A ．0 B ．1024C ．1024-D ．10241-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】由题得原式=11223319192011223319192020202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =1133551919202020202()C i C i C i C i ++++L=1133555331132020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =113355553312020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（） A ．150B ．240C ．360D ．540【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．考点：排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．10．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（） A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B 【解析】【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值．【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„，求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =，故选：B ．【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于11．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（） A ．252 B ．288C ．360D ．216【答案】A 【解析】【分析】3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121342C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有13C ，然后再确定完成的工作，其方法有24C ，然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有12C ，故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342C C C ••种；因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，故有三种方法选择教师，第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有13C 种，第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有23C 种，第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.【点睛】本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A 【解析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为（） A ．100 B ．120C ．140D ．160【答案】D 【解析】【分析】利用二项式定理展开式通项公式求指定项的系数. 【详解】()()5112x x ++的展开式中4x 的系数为334455C 2C 2160⋅+⋅=.故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，是基础题.14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.16．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η．【详解】由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η．故选：C ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．17．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为A ．55B ．90C ．425D ．512 【答案】D【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==. 故选D.18．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A ．280B ．320C ．400D ．1000【答案】C【解析】【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题， Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++ Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

20172018年广东江门市第二中学数学一轮复习专项检测试题：计数原理.doc

计数原理02一、选择题（每小题5分，共50分）1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）Ａ．()2142610C A 个Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C 个Ｄ．242610A 个 5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种6.由1、2、3、4、5这5个数字组成无重复数字的五位数中，小于50000的偶数有 ( )A ．60个B ．48个C ．36个D ．24个7.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（）.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种8.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种9.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都不能取0.这样设计处理的密码共有（）.A 90个 .B 99个 .C 100个 .D 112个10.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）11. 从1到200的自然数中,各个位数上都不含数字8的自然数共有个.12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有种不同的走法.13.集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有个.B 到A的映射g共有个.14．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有个.三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?16．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同。

高考数学一轮复习计数原理与概率小题必刷题

对于A，事件M与N是可能同时发生的，故M与N不互斥，故A不正确；对于 B，P(M)＝36＝12，故 B 正确；对于C，事件M发生与否对事件N发生的概率没有影响，M与N相互独立，故C正确；对于 D，事件 M 发生的概率为 P(M)＝21，事件 N 发生的概率为 P(N)＝12， P(M∪N)＝1－P( M )P( N )＝1－12×12＝34，故 D 不正确.
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根据题意，6种不同食物中，有1种适合放入中间格，则中间格有1种放法，十字格有四个位置，有3种适合放入十字格，所以有一种放两个位置，共有3种放法，四角格有 4个位置，有2种适合放入四角格，可分为一种放三个位置，一种放一个位置，有两种放法，或每种均放两个位置，有一种放法，则四角格有3种放法，则有1×3×3＝9(种)不同放法.
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∵患者通过飞沫传播被感染的概率为23， ∴患者不是通过飞沫传播被感染的概率为13， ∴甲、乙两患者都不是通过飞沫传播被感染的概率为13×13＝19，故甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为 1－19＝89.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
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现有6种不同食物(足够量)，其中1种适合放入中间
格，3种适合放格全部放入食物，且每格只放一种，若同
时可以吃到这六种食物(不考虑位置)，则不同的放
法种数为
A.108
B.36
√C.9
D.6
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广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷含答案解析

江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.158652.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或153.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.355.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4B.32.8C.31.4D.31.88.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是33，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827 B.0.34135C.0.3173D.0.15865【答案】D 【解析】【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】由题意，175,5μσ==，且()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈，所以()()10.68271700.158652P X P X μσ-≤=≤-≈=.故选：D2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin 22sin302sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】在{}n a 是等比数列，2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得sin α的值，再利用诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||1OP ==，故4sin 5α=，则4cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A5.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.【答案】C 【解析】【分析】先求出点M ，N 的坐标，再利用余弦定理求出,a c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意得圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a=．设点M 的坐标为()00,x y ，则点N 的坐标为()00,x y --，由222b y xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222c a b =+，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),M a b ，(),N a b --．又(),0A a -，∴AM =AN ==在MAN △中，2π3MAN∠=，由余弦定理得2222π||||2cos3MN AM AN AM AN =+-即22222π4()cos 3c a a b b b =+++-，化简得2273a c =，∴3e =．故选：C ．6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法，分别令=1x -和3x =-，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令=1x -，则012110a a a a =++++ ，即012110a a a a ++++= 令3x =-，则()()()4110123115222a a a a a -+-++-=-+-+- ，即48012311(2)[1(2)]13601(2)a a a a a ----+-+-==--- ，两式相加可得0241013606802a a a a ++++=-=- ，故选：B7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4 B.32.8C.31.4D.31.8【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.【详解】令9名女生的身高为(N ,9)i a i i *∈≤，依题意，919162i ii a===⨯∑，921(162)926i i i a ==-=⨯∑，因此增加一名女生后身高的平均值为9111(172)(9162172)1631010i i i a ==+=⨯+=∑，所以这10名女生身高的方差为992221111[(163)(172163)]{[(162)1]81}1010i i i i i i a a ====-+-=--+∑∑92111{[(162)2(162)9]81}(926981)32.41010i i i i a a ===---++=⨯++=∑.故选：A8.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =【答案】ACD 【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A ；根据虚数单位的性质可判断B ；设i,(,R)z x y x y =+∈，根据复数的模的计算公式，可得221x y +=，以及2z -=，结合x 的范围可判断C ；将43i -+代入方程，结合复数的相等，求出p ，即可判断D.【详解】对于A ，z C ∈，设复数i,(,R)z a b a b =+∈，则i,(R)z a b a,b =-∈，||z =，故222i)(i ()z a b a b a b z z +-+⋅===，A 正确；对于B ，由于24i 1,i 1=-=，故20244506i (i )1==，B 错误；对于C ，z C ∈，设i,(,R)z x y x y =+∈，由于1z =，则2211,x y =∴+=，故2z -===由221x y +=，得11x -≤≤，则451x -+≥，故当1x =时，2z -的最小值为1，C 正确；对于D ，43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，故2)43i 43()(),R (0i p q p q +-++=∈-+，即04(3i 724)p p q -+-+=，故7408,324025p q p p q -+==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，D 正确，故选：ACD10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为()2ππsin 2sin 233f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin 23333x x x x x ωωωωω=++-sin 22x x ωω=+1π2sin 2cos 22sin 2223x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ：若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，即π22T =，所以πT =，则2ππ2T ω==，解得1ω=，故A 错误；对于B ：当1ω=时()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 正确；对于C ：将()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 2633266y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故C 正确；对于D ：由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ2,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，所以ππ2π3π33ω≤+<，解得58ω≤<，故D 正确.故选：BCD 11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4【答案】AD【解析】【分析】首先对x 、y 分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A 、B ，由双曲线的渐近线与 1.4y x =-的关系判断C 00y +，即点()00,M x y 到直线0y +=0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时c 的值，再00y +的最大值，即可判断D.【详解】因为曲线:148x x y y E +=，当0x ≥，0y ≥时22148x y +=，则曲线E 为椭圆22148x y +=的一部分；当0x >，0y <时22148x y -=，则曲线E 为双曲线22148x y-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；当0x <，0y >时22184y x -=，则曲线E 为双曲线22184y x-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为 1.4->E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第四象限，故C 错误；00y +=，即点()00,Mxy 0y+=倍，0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时，由221480x y y c ⎧+=⎪++=，消去y 整理得22480x c ++-=，则()()221680c ∆=--=，解得4c =（舍去）或4c=-，y +=40y +-=的距离d ==，00max4y +==，00y +的取值范围为(]0,4，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E 的图形，D 选项的关键是转化为点到直线的距离.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先求出a b λ+的坐标，再依题意可得()0a b b λ+⋅= ，即可得到方程，解得即可.【详解】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+，又a b λ+ 与b 垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.故答案为：12-13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.【答案】①.14②.1080036003+【解析】【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是60cm ，那么石凳的表面积是(()21822sin 60623021080036003cm2S =⨯⨯︒+⨯⨯+.故答案为：14，1080036003+14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令()sin f x x =，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.【详解】依题意不妨令()sin f x x =，则()()sin sin cos cos sin f x y x y x y x y +=+=+，又ππππ()()sin sin sin sin 2222f x f y f x f y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin x y x y =+，所以ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin f x x =符合题意.同理可证明()sin 5f x x =，()sin 9f x x =，L ，也符合题意.故答案为：()sin f x x =（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）38【解析】【分析】（1）取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，即可证明//EO PB ，从而得证；（2）设()0AB t t =>，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出t ，再根据锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，所以//EO PB ，又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ，【小问2详解】设()0AB t t =>，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()C t ，()D ，310,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()AC t =，()0AD = ，310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =r，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则031022m AC tx m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取)m t =- ，因为二面角D AE C --为60︒，所以1cos 602m n m n ⋅︒==⋅，解得32t =（负值舍去），所以32AB CD ==，所以113332224ACD S AD CD =⋅==，又点E 到平面ACD 的距离1122d PA ==，所以11331333428E ACD ACD V S d -==⨯⨯=.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.【答案】（1）221（2）102β<<【解析】【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【小问1详解】设A ：发送的信号为1，B ：接收到的信号为1，则A ：发送的信号为0，B ：接收到的信号为0，则()()()()1,|0.95,|0.12P A P A P B A P B A ====，故()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+ ()()()()||P A P B A P A P B A =+0.50.950.50.10.525=⨯=⨯+，故()()()()()()|0.50.12|0.52521P ABP A P B A P A B P B P B ⨯====；【小问2详解】采用三次传输方案译码为1的概率为()()()()2323113C 11311P ββββββ=-+-=-+-，采用单次传输方案译码为1的概率为21P β=-，由题意得()()()232123111(1)(2)(1)(12)0P P ββββββββββ-=-+---=--+=-->而01β<<，故1120,2ββ->∴<，故102β<<.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为433.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=（2）存在定点()3,0N ，使得NA MA NBMB=恒成立【解析】【分析】（1）由离心率及过点232,3⎛ ⎝⎭列方程组求解,a b .（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出()3,0N ，设点B 关于x 轴的对称点B '，证得,,N A B '三点共线得到NA MA NBMB=成立.【小问1详解】依题意可得点2,3⎛ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以2222244133a b c e a a b c⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222642a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为22164x y +=.【小问2详解】当l 垂直于x 轴时，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，如果存在点N 满足条件，则有||||1||||NA MA NB MB ==，即NA NB =，所以点N 在x 轴上，设()0,0N x ，当l 与x 轴重合时，设直线l 与椭圆相交于A ，B两点，不妨设()A，)B，则由||||1||||NA MA NB MB ==，即=，解得02x =或03x =，所以若存在不同于点M 的定点N 满足条件，则点N 的坐标为()3,0；下面证明：对任意的直线l ，均有||||1||||NA MA NB MB ==，当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222164y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222321212120k x k x k +-+-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()2,0M ，故0∆>恒成立，所以21221232k x x k +=+，2122123212x k x k -=+，所以()()()12121212121266112333339x x x x x x x x x x x x +-+-+===------++，易知点B 关于x 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又()111112333NA k x y k k k x x x -===+---，()21222232333NB k x y k k x k x x k x k '--=+-==--=----，所以NANB k k '=，则,,N A B '三点共线，所以12NA NA y MANB NB y MB ='==；综上：存在与点M 不同的定点()3,0N ，使NA MA NBMB=恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，从而求出m 的取值范围；（2）由（1）可知12310x x x <-<<<，且()00,1x ∃∈，使得()01ef x =，则()300,x x ∈，再由()3113e e x x x x m -=⋅=，得到1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，从而得到3ln 1tx t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，再令()ln 1th t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性即可.【小问1详解】令()e ,0e 0,0e ,0x xx x x f x x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时()()1e 0xf x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x <时()()e 01xf x x '=->+，所以10x -<<时()0f x '<，1x <-时()0f x ¢>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，又()11ef -=，当0x <时()0f x >，且x →-∞时()0f x →，当x →+∞时()f x →+∞，则()f x的图象如下所示：因为关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，即()y f x =与y m =有三个交点，由图可知10e m <<，即实数m 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知12310x x x <-<<<，又()00f =，()11e ef =>，且()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()00,1x ∃∈，使得()01e f x =，所以()300,x x ∈，由()3113e e x x x x m -=⋅=，所以3113e x x x x -=-，即1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()ln 1t h t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()()21ln 1t t th t t t +-'=+，令()1ln g t t t t =+-，011t x >>，所以()ln 0g t t '=-<，即()g t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00000001ln 11111ln x x g t g x x x x x ⎛⎫++<=+-= ⎪⎝⎭，又001e e x x =，即00ln 1x x +=-，所以00001ln 10x x g x x ⎛⎫++== ⎪⎝⎭，即()0g t <，所以()0h t '<，所以()h t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即3x 随着t 的增大而减小.【点睛】关键点点睛：第一问关键是由导数说明函数的单调性，从而得到函数的图象，第二问关键是得到3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）5（3）存在，最小值为819316.【解析】【分析】（1）若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，则{}i x 构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到320245x =，推出矛盾即可得解；（2）依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，则{}max 405i x =，{}min 404j x =，即可求出1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，从而得解；（3）由方差公式得到2255S x σ=+（2σ为方差），从而得到当方差2σ取最小值时S 取最小值，从而推出()12345,,,,x x x x x 是1-密集，即可求出S 的最小值.【小问1详解】若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，根据等差数列的定义可得{}i x 构成等差数列，所以41532352024x x x x x x ++==++，解得320245x =，与3N *x ∈矛盾，所以不存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数；【小问2详解】因为()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，所以{}max 405i x =，{}min 404j x =，设有y 个405，则有5y -个404，由()40540452024y y +-=，解得4y =，所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.【小问3详解】因为平均数()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，又方差()522115i i x x σ==-∑，即()5522221155i i i i x x x x σ===-=-∑∑，所以2255S x σ=+，因为x 为常数，所以当方差2σ取最小值时S 取最小值，又当0=t 时12345x x x x x ====，即152024x =，方程无正整数解，故舍去；当1t =时，即()12345,,,,x x x x x 是1-密集时，S 取得最小值，且22min 4405404819316S =⨯+=.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.。

广东省江门市高考数学一轮复习专项检测试题推理与证明(1)

推理与证明一、选择题（每小题5分，共50分） 1、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是（）. A.“若,则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若” 类推出“（c ≠0）”D.“” 类推出“”3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（） A.29 B. 254 C. 602 D. 20046．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n2 ，则（）A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13 ＋147．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x2－y ，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤28．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（）A ．2006B ．4C ．14 D ．－49．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （cos α）＞f （sin β）C ．f （cos α）＜f （cos β）D ．f （sin α）＜f （sin β）10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

计数原理课件-2024届高三数学一轮复习

由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4 ×3×3×3＝540(种)，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(种).
两个计数原理的综合应用
有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若
从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是
A.14
B.23
C.48
D.120
√
分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是 8×6＝48.
对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确.
1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种
数为
A.16
B.13
√C.12
D.10
将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种).
2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要
设 I ＝ {1,2,3,4} ， A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B ＝ {1,2} ，则称 (A ， B) 为一个 “理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有__9___个.

广东省江门市高考数学一轮复习专项检测试题统计案例(1)

统计案例一、选择题（每小题5分，共50分） 1．下列属于相关现象的是（）Ａ．利息与利率Ｂ．居民收入与储蓄存款Ｃ．电视机产量与苹果产量Ｄ．某种商品的销售额与销售价格2.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( )A.310 B.29 C.78 D.793．如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（）Ａ．EＢ．CＣ．DＤ．A4．为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）根据表中数据，你认为吸烟与患肺癌有关的把握有（）Ａ．90%Ｂ．95%Ｃ．99%Ｄ．100%5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（）Ａ．80%Ｂ．90%Ｃ．95%Ｄ．99%6．已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为y a bx =+，方程中的回归系数b （）Ａ．可以小于0 Ｂ．只能大于0 Ｃ．可以为0Ｄ．只能小于07．每一吨铸铁成本c y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程568c y x =+，下列说法正确的是（）Ａ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨增加8% Ｃ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元8．下列说法中正确的有：①若0r >，则x 增大时，y 也相应增大；②若0r <，则x 增大时，y 也相应增大；③若1r =，或1r =-，则x 与y 的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上（）Ａ．①②Ｂ．②③Ｃ．①③Ｄ．①②③9．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：如果某天气温是2℃，则这天卖出的热饮杯数约为（）Ａ．100Ｂ．143Ｃ．200Ｄ．24310．甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：利用独立性检验估计，你认为推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于（）Ａ．0.3～0.4 Ｂ．0.4～0.5 Ｃ．0.5～0.6 Ｄ．0.6～0.7二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 11．某矿山采煤的单位成本Y 与采煤量x 有关，其数据如下：则Y 对x 的回归系数．12．对于回归直线方程 4.75257y x =+，当28x =时，y 的估计值为．13．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不=是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则2χ ．14．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，求这段时间内至少有1人去北京旅游的概率16．某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历（包括大学专科）和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论．17．1907年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间位于192吨到3246吨，船员的人数从5人到32人，船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数=9．1+0．006×吨位．（1）假定两艘轮船吨位相差1000吨，船员平均人数相差多少？（2）对于最小的船估计的船员数为多少？对于最大的船估计的船员数是多少？18．假设一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：（1）作出这些数据的散点图；（2）求出这些数据的回归方程；（3）对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？（4）用下一年的身高减去当年的身高，计算他每年身高的增长数，并计算他从3~16岁身高的年均增长数．（5）解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．答案一、选择题1-5 BDACB 6-10 ACCBB 二、填空题11.0.1229- 12. 390 13. 16.373 14.35解答题 15.解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 16.解：22392(3916715729) 1.7819619668324K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．因为1.78 2.706<，所以我们没有理由说人具有大学专科以上学历（包括大学专科）和对待教育改革态度有关．17. 解：由题意知：（1）船员平均人数之差=0.006×吨位之差=0.006×1000=6， ∴船员平均相差6人；（2）最小的船估计的船员数为：9.1+0.006×192=9.1+1.152=10.252≈10（人）．最大的船估计的船员数为：9.1+0.006×3246=9.1+19.476=28.576≈28（人）． 18.解：（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为y=6．317x+71．984；（3）在该例中，回归系数6．317表示该人在一年中增加的高度；（4）每年身高的增长数略．3~16岁身高的年均增长数约为6．323cm ；（5）回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．。

广东省江门市第二中学2018届高三数学一轮复习专项检测试题：计数原理01 Word版含答案

计数原理01一、选择题（每小题5分，共50分）1.某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（）. .A 10 .B 11 .C 12 .D 132.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（）种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案.3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（）..A 7 .B 64 .C 12 .D 814.用1、2、3、4、5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有 ( ) A ．12个 B ．24个 C ．36个 D ．48个5.用0、1、2、3、4这5个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有 ( ) A ．36个 B ．72个 C ．48个 D ．60个6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.527.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数.A.6B.9C.10D.88.AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( )A.2121m n n m C C C C + B. 21121m n n m C C C C -+ C. 21211m n n m C C C C +- D.2111211---+m n n m C C C C9.设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为( )A.0B.-1C.1D.10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )A.64B.72C.60D.56二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）11. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.12. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．13. 若(2x 3+x1)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .14. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。

高考数学大一轮总复习计数原理、概率、统计阶段性综合检测理新人教A版

计数原理、概率、统计时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·琼海一模)为了应对金融危机，一公司决定从某办公室10名工作人员中裁去4人，要求A 、B 二人不能全部裁掉，则不同的裁员方案的种数为( )A ．70B ．126C ．182D ．210解析：C 48＋C 12C 38＝182. 答案：C2．(2014·山东实验中学)若(x 2－1x)n 的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：依题意，2n＝512＝29，∴n ＝9，通项T r ＋1＝C r9·(x 2)9－r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 9·x18－3r，令18－3r ＝0，得r ＝6，∴展开式中的常数项为T 7＝(－1)6C 69＝84. 答案：B3．(2014·西安一模)某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a 、b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e ＞32的概率是( ) A.118B.536C.16D.13解析：当a ＞b 时，e ＝1－b 2a 2＞32⇒b a ＜12⇒a ＞2b ，符合a ＞2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况；当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况，则概率为636＝16.同理当a ＜b 时，e ＞32的概率也为16.综上可知e ＞32的概率为13.答案：D4．(2014·石家庄一模)设(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋…＋a 50x 50，则a 3的值是( )A ．C 450 B ．2C 350 C ．C 351D ．C 451解析：方法一：可知a 3为展开式中x 3的系数， ∴a 3＝C 33＋C 34＋…＋C 350 ＝(C 44＋C 34)＋C 35＋…＋C 350＝(C 45＋C 35)＋C 36＋…＋C 350＝…＝C 450＋C 350＝C 451. 方法二：(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝1＋x 3[1－1＋x 48]1－1＋x ＝1＋x 51－1＋x3x.∴a 3＝C 451. 答案：D5．(2014·银川一中月考)若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B.73 C ．3D.113解析：利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，x 1－432·23＋x 2－432·13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4，①2x 1－432＋x 2－432＝23，②由①得x 2＝4－2x 1，代入②得6(x 1－43)2＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，又x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.答案：C6．(2014·青岛一模)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.12 B.13 C.14D.16解析：由定积分得叶形图的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.由几何概型得所投的点落在叶形图内部的概率即为其面积与正方形面积之比，即为131×1＝13.答案：B7．(2014·吉林仿真)已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2,1C ．4,3D ．4，－1解析：由题意知，15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝2，15[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＋(x 5－2)2]＝13，所以另一组数据的平均数为15[3(x 1＋x 2＋…＋x 5)－2×5]＝4，方差为15[(3x 1－6)2＋(3x 2－6)2＋…＋(3x 5－6)2]＝9×15[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 5－2)2]＝3.8．(2014·淄博期末)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：甲乙丙丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：根据线性相关的知识，检查模拟情况的差别，要尽量保证相关系数|r |接近1，同时保证残差平方和尽可能小，根据实验结果，显然丁要好一些．答案：D9．(2014·镇江模拟)统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析：由频率分布直方图可知，及格率为10×(0.025＋0.035＋0.02)＝0.8＝80%. 答案：D10．(2014·长春月考)为了考查两个变量x 与y 之间的线性关系，甲、乙两同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1、l 2，已知两人得到的试验数据中变量x 和y 的数据的平均值相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是( )A ．直线l 1，l 2一定有公共点(s ，t )B ．直线l 1，l 2相交，但交点不一定是(s ，t )C ．必有l 1∥l 2D ．l 1，l 2必定重合解析：依据线性回归方程与系数的关系求解．线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，a ^＝y －b ^x ，a ^＝t －b ^s ，t ＝b ^s ＋a ^，(s ，t )在回归直线上，直线l 1，l 2一定有公共点(s ，t )．11．(2014·桦甸一模)有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168) A．0.001 B．0.025C．0.05 D．0.01解析：可计算K2≈11.377＞10.828，故认为多看电视与人变冷漠有关系犯错误的概率最小不超过0.001.答案：A12．(2014·延吉二模)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为( )A．2 160 B．2 880C．4 320 D．8 640解析：设醉酒驾车的人数为x人，则(0.01＋0.005)×10＝x28 800，解得x＝4 320.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

【学科精品】高考数学一轮复习计数原理 (1).doc

2020届一轮复习人教A 版计数原理 (1) 课时作业一、选择题（本题共9道小题）1.设,a b ∈R ，关于x 的方程()()22110x ax x bx -+-+=的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若1,23q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ab 的取值范围是（ ▲ ） A.]4,91[ B.]9112,4[ C.[4,6] D.]4,25( 2. 已x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥331x y y x x ，若对于满足条件的x ，y ，不等式024≤++a y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A ．38-≤aB ．38≤a C ．1-≤a D ．3838≤≤-a 3.设R b a ∈,定义:2||),(b a b a b a M -++=2||),(b a b a b a m --+=．下列式子错误．．的是( ▲ )A ．b a b a m b a M +=+),(),(B ．|||||)||,(|b a b a b a M +=-+C ．|||||)||,(|b a b a b a m -=-+D ．),()),(),,((b a m b a m b a M m =4. 一条线段长为25，其侧视图长为5，俯视图长为34，则其正视图长为（ ▲ ）A ．41B ．34C ．6D ．55.已知0321>>>a a a ，则使得)3,2,1(1)1(2=<-i x a i 都成立的x 的取值范围是( ▲ ) A. 11(0,)a B.12(0,)a C. 31(0,)a D. 32(0,)a 6. 函数22)(x x f x -=的零点个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是（ ▲ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定8.在数列{a n }中，411-=a ，111--=n n a a )1(>n ，则2018a 的值为（ ▲ ） A ．41- B. 54 C.5 D.以上都不对 9.两直线03=-+a y x 与013=-+y x 的位置关系是( )A.相交B. 平行C. 重合D. 平行或重合二、填空题（本题共6道小题）10. 已知向量||2||,1||-=+=，则||的取值范围是_________。

2019-2020年高考数学一轮复习第一讲计数原理讲练理新人教A版

2019-2020年高考数学一轮复习第一讲计数原理讲练理新人教A版一、两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．二、排列组合1、排列与排列数（1）．排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（2）．排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2、组合与组合数（1）．组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．（2）．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3、排列数、组合数的公式及性质(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.解排列、组合应用题的常见策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略．三、二项式定理 1、二项式定理（1）．(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．（2）．第r ＋1项，T r ＋1＝C r n an －r b r. （3）．第r ＋1项的二项式系数为C r n . 2、二项式系数的性质（1）．0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n .（2）．二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n .（3）．各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 基础自测1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( ) A ．50个 B ．45个 C ．36个 D ．35个【解析】根据题意，十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．【答案】 C2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【解析】分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C.【答案】C3．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种【解析】可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．【答案】B4．(xx·大纲全国卷)(x＋2)8的展开式中x6的系数是()A．28 B．56 C．112 D．224【解析】该二项展开式的通项为T r＋1＝C r8x8－r2r＝2r C r8x8－r，令r＝2，得T3＝22C28x6＝112x6，所以x6的系数是112.【答案】C考点一两个计数原理例6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？(1)甲不站排头，乙不能站排尾；(2)甲、乙都不站排头和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；(4)甲、乙都不与丙相邻．【思路点拨】(1)按甲站的位置分类求解；(2)先排甲、乙的位置，再排其他学生；(3)不相邻问题用插空法求解；(4)按丙站的位置分类求解．【尝试解答】(1)分两类：甲站排尾，有A55种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有A14A14A44种．由分类计数原理，共有A55＋A14A14A44＝504(种)．(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A24种；再站其余4人，有A44种．由分步计数原理，共有A24·A44＝288(种)．(3)分两步：先站其余3人，有A33种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A34种．由分步计数原理，共有A33·A34＝144(种)．(4)分三类：丙站首位，有A24A33种；丙站末位，有A24A33种；丙站中间四个位置中的一个，有A14A23A33种．由分类计数原理，共有2A24A33＋A14A23A33＝288(种)．方法与技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．跟踪练习（xx山东）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243B．252C．261 D．279解析：本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：B考点二排列与组合例1、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．【思路点拨】第(1)问可以用直接法或间接法求解．第(2)问根据有无女队长分类求解．【尝试解答】(1)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种)．(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．方法与技巧组合问题常有以下两类题型变化1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.2、（xx山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．答案：C跟踪练习 1、（xx 山东）（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A ）36种（B ）42种(C)48种（D ）54种【答案】B2、(xx·宁夏、海南)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法， ∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．答案：140考点三二项式定理例 1、（X -）12展开式中的常数项为（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220 解析：本题考查二项式定理及其应用41212123311212123((1)(1),r r r r r r r r r rr T C xC x x C x x----+==-⋅=-993101212121110(1)220.321T C C ⨯⨯==-=-=-=-⨯⨯2、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A ．7B ．－7C ．21D ．－215．C跟踪练习 1、[xx·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案：2[解析] T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.2、（xx 江西）.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－40解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40. 答案：C。

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计数原理01
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（）. .A 10 .B 11 .C 12 .D 13
2.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（）种.
.A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案.
3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（）.
.A 7 .B 64 .C 12 .D 81
4.用1、2、3、4、5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有 ( ) A ．12个 B ．24个 C ．36个 D ．48个
5.用0、1、2、3、4这5个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有 ( ) A ．36个 B ．72个 C ．48个 D ．60个
6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52
7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数.
A.6
B.9
C.10
D.8
8.AB 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( )
A.2121m n n m C C C C +
B. 21121m n n m C C C C -+
C. 21211m n n m C C C C +-
D.2
111211---+m n n m C C C C
9.设
(
)
1010221010
2x a x a x a a x
+⋅⋅⋅+++=-,则
()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.
10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )
A.64
B.72
C.60
D.56
二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
11. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.
12. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）．
13. 若(2x 3
+
x
1)n
的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 .
14. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。

（用数字作答）
三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，分析因电阻断路的可能性共有
多少种情况。

16．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
（1） 43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和.
17.求证：能被25整除。

18. （本小题满分14分）已知n a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33的展开式的各项系数之和等于5
3514⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-b b 展
开式中的常数项，求n
a a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-33展开式中含的项的二项式系数.
参考答案
一、选择题：（每题5分，共60分） 1C 2B 3 C 4 C5 D 6、B
7、C 8、D 9、C 10、A
二、填空题(每小题4分，共16分）
11、1260 12、24 13、7 14、36种三、解答题（共六个小题，满分74分）
15.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、
c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有22
―1=3种；
支线c 中至少有一个电阻断路的情况有22
―1=7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况. 16.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类
第一类：以5打头的有：4
4A =24 第二类：以45打头的有：33A =6 第三类：以435打头的有：22A =2 故不大于43251的五位数有：()
882
2334455
=++-A A A A （个）即43251是第88项.
⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，
所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分
⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A 个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A ·10000
同理它们在千位、十位、个位上也都有A 个五位数，所以这个数列各项和为：（1+2+3+4+5）·A ·（1+10+100+1000+10000） =15×24×11111=3999960
17.证明:因 45322-+⋅+n n n 4564-+⋅=n n ()45154-++⋅=n n
()
45155555.41
222211-++++⋅⋅⋅+++=----n C C C C n n n n n n n n n
(
)
n C C C n n n n n n n 255555.4222211++⋅⋅⋅+++=---
显然()
2222115555---+⋅⋅⋅+++n n n n n n
n C C C 能被25整除,25n 能被25整除, 所以45322-+⋅+n n n 能被25整除.
18. 设5
3514⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b 的展开式的通项为()
r
r r r b b C T ⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=-+51453
51 ()5,4,3,2,1,0,4516
51055=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=--r b C r
r
r r
.
若它为常数项,则2,06510=∴=-r r ,代入上式732=∴T .即常数项是27
，从而可得n
a a ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-33中n=7，…10分
同理7
33⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-a a 由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，
其二项式系数是35.。