高考数学总复习(讲+练+测)：专题2.6 指数与指数函数(讲)

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第5节指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c 425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a 0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

高考理科数学总复习课件指数与指数函数

指数函数定义
指数函数性质
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数在其定义域内是单调的，当 a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减。
指数函数图像
指数函数的图像是一条过定点（0,1）的曲线，当a>1时，图像在x轴上方且向右上方延伸；当0<a<1时，图像在 x轴上方且向右下方延伸。
A. $c > b > a$ B. $b > c > a$ C. $a > c > b$ D. $a > b > c$
2. 函数$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$的值域为( )
模拟试题训练
A. $(2, +infty)$ B. $[2, +infty)$ C. $(3, +infty)$ D. $[3, +infty)$
口增长率。
细菌繁殖模型
在适宜的条件下，细菌的数量会呈指数增长。指数函数可以描述细菌数量随时间的变化情况，有助于预测细菌繁殖的速度和数量
。
化学反应速率
某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比，符合指数函数的规律。通过测量反应速率和反应物浓度的关系，可以研究化学反应
的动力学特性。
05
高考真题回顾与模拟训练
。
02
指数函数性质与图像分析
指数函数单调性
当底数a>1时，指数函数y=a^x在全体实数范围内单调递增；
指数函数的单调性与其底数大小密切相关，底数决定了函数的增减性。
当底数0<a<1时，指数函数y=a^x在全体实数范围内单调递减；

高考数学(理)一轮复习讲练测：专题2.6指数与指数函数(讲)答案解析

第二章高考数学讲练测【新课标版理】【讲】函数与基本初等函数Ⅰ第 06 节指数与指数函数【课前小测摸底细】【必修一P56 例6 改编】若函数f ( x) a x(a 0 且 a1) 的图象经过点(2, 1) ，则2f ( 1) =_______.【答案】 2【分析】依题意可知1a 2，解得 a2 ，因此 f ( x) ( 2) x ，因此 f (x)( 2 ) 12 .222242 12. 【 2016 高考新课标 3 理数】已知 a 23 ， b 45 ， c 253 ，则（）（ A ） b a c （ B ） a b c（ C ） bc a（ D ） c a b【答案】 A422122【分析】由于 a 234 3 45 b ， c253 5343 a ，因此 b ac ，应选 A ．3. 【 2016 安徽淮北一中模拟】已知f x2x1 ax ，若 f ln 32 ，则 f ln1等于2x3（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】 B4.【基础经典试题】指数函数 f ( x)(a 1)x 在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是（）A ． a 1B ． a 2C ． 0 a 1D ． 1 a 2【答案】 Byx1 时，函数在 R 上是增函数，当 0 a 1时，函数【分析】关于指数函数a ，当 a在 R 上为减函数 .由题意可知： a 11 即， a2 ，选 B .5【.改编自 2011 年高考山东卷】若点 ( a,81) 在函数 y 3x的图象上，则 tana的值为（）6A ．33 C ．D ．B ．3【答案】 A【分析】将 (a,81) 代入 y 3x 中，得 3a 81 ，解得 a 4 ．∴ tanatan4tan3 ，应选 A ．663【考点深度分析】与指数函数相关的试题，多数以其性质及图像为依靠，联合推理、运算来解决，常常指数函数与其余函数进行复合，此外底数多含参数、观察分类议论．【经典例题精析】考点 1根式、指数幂的化简与求值【 1-1】化简 [ 3 ( 5)2 3]4 的结果为（）A ． 5B ．C ．﹣D ．﹣ 5【答案】 B3【分析】 [ 3 ( 5)2]4，应选 B3 1712 233【 1-2】42×6＋84× 2－3＝________.【答案】 22 1312 133【分析】原式＝×1＋ 24 ×24－2 .33【课本回眸】1. a n叫做 a 的 n 次幂， a 叫做幂的底数，n叫做幂的指数，规定：a 1 a ；2.( na )na( n 1,nN ) , nan为奇数a, n；为偶数| a |,nn1nm（）3.an ( a0, m, n N ,且a =a.m 为既约分数 ) ，am【方法例律技巧】指数幂的化简与求值(1) 化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后次序．提示：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，不然不可以用性质来运算．(2) 结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不可以同时含有根式和分数指数幂，也不可以既有分母又有负分数指数幂．【新题变式研究】【变式一】【2014-2015 江西省新余市期末测试】131 21lg 4 lg1810.25(3)3.825【答案】 2【分析】试题分析：31 121lg 4 lg13 13= 81 0.25(3) 38252依题原式112lg 2 5 1 1 2.2【变式二】 1.5－ 1×70＋ 80.25×42＋(3 2× 3)6－2 3363【答案】 1102 1 312133【分析】原式＝23－ 2 108110.3＋24 24＋23 3考点 2 根式、指数幂的条件求值11【 2-1】已知 a 2a 2 3 ，求以下各式的值 .（ 1） a 1 a 1 ；（ 2） a 2a 2 ；（ 3） a 2a 2 1a a 1 1【答案】 (1)7;(2)47;(3)6.11【分析】（1）将 a 2a23 两边平方得 a 1a 1 2 9 ，因此 a 1a 1 7 .（ 2）将 a 1 a 17 两边平方得 a 2a 22 49 ，因此 a 2a 2 47 .（ 3）由（ 1）（ 2）可得a2a 214716.a a 1171【 2-2】已知a, b是方程x26x40 的两根，且 a b0, 求a b的值 .a b 【答案】55【课本回眸】1.a0时， a b0;2.a0时，a01；3.若 a r a s , 则 r s；11114.a2a2 b2b(a2b2 ) 2 (a0,b0) ；11115.(a 2 b 2 )(a 2b2 ) a b(a0,b0) .【方法例律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常有题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上掌握已知条件和所求代数式的形式和特色；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（ 3）求值：常常经过整体代入，简化解题过程.【新题变式研究】11【变式一】已知 x y 12, xy9, 且 x y ，求x 2y 2的值 .11x 2y 2【答案】3311111 【分析】由于x 2 y 2( x 2 y 2 )2x y 2(xy)2111111x y，x2y2(x2y 2)( x2y 2 )又 x y 12, xy 9, 且 x y ，因此 ( xy)2( x y) 2 4xy 12 24 9 108, x y6 3 ，11x 2 y 212 2 33 . 116 33x2y2考点 3 指数函数的观点、图象、性质及其应用【 3-1】 (2016 苏·州模拟 )若函数 f x ＝a x (a 0，a 1)在 [－1,2] 上的最大值为4，最小值为 m ，且函数 g x ＝(1－4m) x 在 [0，＋ ) 上是增函数，则 a ＝__________ 。

高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数

第六节
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号－ a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1，上递增，在， 2上递减．根据“同 2 2 1 的单调递增区间是， 2. 2

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a 1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。

(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)

指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a 1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

高考数学大一轮总复习第二章第6讲指数与指数函数课件理

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2
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3
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．
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23 )3－6
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＋4
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＝7
1
33－6
1
33
－2
3
3
2 3
1
＋33
1
1
＝2 33－2 33＝0；
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【跟踪训练 1】下列命题中，正确的是( )
n A.
an＝a
B．若 a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
4
C. x4＋y3＝ x 3 y
3 D.
－5＝6
－52
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18
解析：：对于 A，因为 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶
数时，n an＝|a|，故 A 错；对于 B，因为 a2－a＋1≠0，所以
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1
第6讲指数与指数函数
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3
1.下列各函数中，是指数函数的是(D )
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝(13)x
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4
2.函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是(D )
A．(－∞，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)

高三数学复习专题指数与指数函数

指数与指数函数一、知识梳理1.指数⑴ n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.⑵ n 次方根的性质①当n 为奇数时，=n n a ； ②当n 为偶数时，a a n n ==⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a⑶ 分数指数幂的意义 ①a nm=nma； ②anm -=nm a 1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2. 指数幂的运算性质=⋅nma a ；=÷nma a ；()=nm a；()=nab ；=⎪⎭⎫⎝⎛nb a ；3. 指数函数⑴ 指数函数的定义：一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. ⑵ 指数函数的图象及性质a>1 0<a<1图象性质定义域 R 值域(0，+∞)过定点过定点 (0,1) ，即x=0时，y=1 函数值的变化当x>0时， y>1 ；当x<0时， 0<y<1 ；当x>0时， 0<y<1 ；当x<0时， y>1 ；单调性在R 上是增函数在R 上是减函数二、点击双基1.63aa-⋅等于( )A.-a- B.-a C.-a- D.a2.函数y=32x的图象与直线y=x的位置关系是( )[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.3. 函数y=－e x的图象A.与y=e x的图象关于y轴对称B.与y=e x的图象关于坐标原点对称C.与xey-=的图象关于y轴对称 D.与xey-=的图象关于坐标原点对称4、已知函数f(x)＝a x＋a－x(a>0，a≠1)，若f(－1)＝3，则f(0)＋f(2)的值为________．解：由f(－1)＝3得a＋1a＝3，于是f(2)＝a2＋1a2＝(a＋1a)2－2＝32－2＝7.又∵f(0)＝1＋1＝2，∴f(0)＋f(2)＝9.5．函数y＝a x－2009＋2010(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．(2009,2011)6、化简：()()43111--aa＝________；3xy2·xy－1·xy＝________；25.0315.062527125.0-⎪⎭⎫⎝⎛+--＝_______.(1)－4a－1(2)xy(3)0三、典例精析题型一：指数式的运算1、化简:⑴()549132510----+⑵21313125.031027.0)833(330256.027174---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛34-2、化简:⑴3327-aa÷31638aa-÷313--aa;⑵.11111333233++-++----aaaaaaaa⑶3421413223)(ab b a ab b a ⋅（a ＞0，b ＞0） ⑷333323211)()(bba ab b b a a ---+÷+3、已知32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值；题型二：解指数方程4、解方程 ⑴ 4x+2x-2=0 ⑵ 4x +|1－2x |=11.5.（2011北京）若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.解：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.（1）由01|()|301133x f x x x <⎧⎪≥⇒⇒-≤<⎨≥⎪⎩.（2）由001|()|01111133333x xx x f x x ≥⎧≥⎧⎪⎪≥⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩.∴不等式1|()|3f x ≥的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-.题型三：指数函数的图像与应用6、比较332⎪⎭⎫ ⎝⎛与2343⎪⎭⎫⎝⎛的大小．解：在同一直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫49x 与y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象，考察x ＝32时y 值大小， ∵49<34， ∴⎝⎛⎭⎫49 32 <⎝⎛⎭⎫34 32 ， ∴⎝⎛⎭⎫233<⎝⎛⎭⎫34 32 .7、函数f (x )＝a x－b的图象如下图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知0＜a ＜1，又a 0－b ＝a －b ＜1 ∴－b ＞0 ∴b ＜0，故选D. 8、函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )B9、右图是指数函数①y=a x ,②y=b x ,③y=c x ,④y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 10.（2012四川）函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（）解：当1a >时单调递增，10a -<，故A 不正确；1x y a a =-恒不过点(1,1)，所以B 不正确；当01a <<时单调递减，10a-<，故C 不正确；D 正确.11. 若函数y=a x +b-1(a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有( ) A.0<a<1且b>0 B.a>1且b>0 C.0<a<1且b<0 D.a>1且b<0 函数y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，大致图象如图．所以函数必为减函数．故0<a <1.又当x ＝0时，y <0，即a 0＋b －1<0，∴b <0. 12、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤113、函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是下列图形中的________．(填序号)解：函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，函数在(－∞，0)上是增函数，故填④.14、函数y ＝e x ＋e －xe x －e －x 的图象大致为________(填序号)．解：y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1 且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故①正确． 15．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 由f (1)＝19得a 2＝19， ∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.16、若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)解：若a >1，如图(1)为y ＝|a x －1|的图象，与y ＝2a 显然无交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.17、方程2x =2－x 的解的个数为______________.18、k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．题型四：指数函数单调性的运用19、设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.20.（2012上海）已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。

高考数学一轮复习专题2.6 指数与指数函数(讲)

第06节指数与指数函数【考纲解读】【知识清单】1.根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .对点练习化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【答案】 (1) ab －1.(2)－1679.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数对点练习【2017广西桂林模拟】当x<0时，函数f(x)＝(2a －1)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)【答案】A【解析】由题意可得0<2a －1<1，解得12<a<1，故选A.【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查.【重点难点突破】考点1 根式、指数幂的化简与求值【1-1】化简3234[(5)]-的结果为（） A ．5 B ． C ．﹣ D ．﹣5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【1-2】1332-⎛⎫⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148×42－2323⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________.【答案】2【领悟技法】指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【触类旁通】【变式一】11320.25331181()lg 4lg 825--⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦ . 【答案】2【变式二】1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.2542＋32362323⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】110【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－. 考点2 根式、指数幂的条件求值【2-1】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a-+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=.（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 【2-2】已知,ab 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>a ba b+的值.5【解析】由已知，64a b ab +=⎧⎨=⎩，所以226241(.52624a b a b ab a b a b ab -+--===++++因为0,,a b a b >>>所以5.a b a b-=+ 【领悟技法】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程. 【触类旁通】【变式一】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【答案】33-考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用【3-1】【2017山东德州一模】已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a ，∴b c <.又∵25y x =在(0)∞，＋上为增函数，3255>， .a c b c a ∴>∴<<，【3-2】【2017河南安阳模拟】已知函数()x f x a ＝ (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A.1B.aC.2D.a 2【答案】A【解析】∵以()()1122()()P x f x Q x f x ，，，为端点的线段的中点在y 轴上， ∴120x x ＋＝.又∵()xf x a ＝，∴()()0121212··1x x x x f x f x a a a a ＋＝＝＝＝.【3-3】函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222x x －的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 【答案】A【3-4】指数函数y ＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 【答案】 (1，2)【解析】由题意知0<2－a<1，解得1<a<2. 【领悟技法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y aa a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【触类旁通】【变式一】已知()()22,3xxf x f m -=+=,且0m >,若()()()2,2,2a f m b f m c f m ===+,则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <-m m ,因此743141712>=->c ,所以b a c >>,应选D ．【变式二】【2017河北衡水中学模拟】若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是( ) A.c <a . ,||,nn a n a a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，不注意n nn a 个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) n n a 中实数a 的取值由n 的奇偶性确定，只要 )nn a 有意义，其值恒等于a ，即(n n a a =；n n a n 的奇偶性限制，a R ∈，n n a n 的奇偶性影响.易错典例2：已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于3311332222()()a aa a ---=-，所以331111122222211112222()()a a a a a a a a a aa a--------++⋅=--=1118.a a -++=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.易错典例3：函数221y=2x x -++⎛⎪⎝⎭的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[12]－，，所以22t x x ＝－＋＋在1[1,]2-上递增，在1[2]2，递减．根据“同增异减”的原则，函数221y=2x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是1[2]2，.温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：2.6指数与指数函数

§2.6指数与指数函数本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.指数幕的概念与性质指数函数形如丿=/@>0,且°工1）的函数叫指数函数，定义域为_R_・ a>l 0<«<1思考探究定义指数函数图象(当兀=0时，y=i当兀>0时，y>l ；当兀v0时,Ovyvl在（一8, +8）上是当兀>0时,0<^<1；当兀vO 时，丿>1 在（一8, +8）上是1.分数指数幕表示相同因式的乘积吗?提示：分数指数幕不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幕与根式可以相互转化.2.底数不同的指数函数图象在第一象限有怎样的位置关系?提示：在第一象限内，底数越大，其图象越位于其它图象的上方.课前热身1. （2011•高考山东卷）若点@,9）在函数j=3x的图象上, 则tan年的值为（）A.0B.亨C. 1D.V3解析：选"・・点@,9）在函数j=3x的图象上，・・・9=3",・・・a=2,2.函数/⑴=3-*—1的（）A.定义域是R,值域是RB. 定义域是R,值域是(0, +oo)C. 定义域是R，值域是（一1, +oo）D.以上都不对答案：C3.函^/•(x)=3x(0<x<2)的反函数的定义域为()A.(0, +oo)B.(1,9]C.(0,1)D.[9, 4-CO)答案：B4.函数y=/（“>0,且舜1）在［0,1］上的最大值与最小值的和是3, 则“的值是________ 答案：2姣室15. （2012・高考山东卷）若函数/仗）=心">0，舜1）在［—1,2］上的最大值为4,最小值为加，且函数g（x）=（l—4加）在［0,+oo）上是增函数，贝！）。

= •解析：函数g（x）在［0, +8）上为增函数，则1—4加>0, 即囲.若a>l,则函数/⑵在［一1,2］上的最小值为+=值为/=4,解得a=2t£=加当Ovzvl时，函数/（兀）在［—1,2］上的最小值为a2=m t，与加v£矛盾;1 1最大值为«~1 =4,解得亍m=\^所以考点1指数式的化简与求值在进行幕和根式的化简时，一般是先将根式化成幕的形式，并化小数指数幕为分数指数幕，并尽可能地统一成分数指数幕形式，再利用幕姣室1的运算性质进行化简、求值、计算.化简：⑴（龈）＜•浪涼2 1 1 1（ayb x）—Ta—2•方3（2）------------------ ;⑶（琦严+0・1一?+（2黠）二—3兀°+器・【思路分析】（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幕，先化为分数指数暮以便用法则运算；（2）、（3）题目中给出的是分数指数幕，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求.3 (1)原式= «fx(—*)・申 x(—知3434」4 3 3• 05 •口5 丁&5 = Q5 5 • &5 5b°=l.x x _丄丄厂 c\ H 上 _ a 3a 2 h3 _1 1(2)原式=j 5= a 3 2 6a 6 ?>6m 、玄上 ,25、丄 | 1| /64、一2 【解】 _A =a 5=o° • 1 u 1 5 I 方 2 36 =—37 3 +48（3）原式=（百）2+齐十（厉）35 9 27+ 100 + i6-3+483【领悟归纳】指数需的化简与求值的常用方法(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幕;(3)化小数为分数.考点2指数函数的图象及应用画指数函数丿=/的图象，应抓住三个关键点（1,。

高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数(讲)

专题2.6 指数与指数函数【考纲解读】【直击教材】 1．若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝________.【答案】 32．已知0.2m<0.2n，则m ______n (填“>”或“<”)．【答案】>3． (1)23×31.5×612＝________. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 23b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 16b 56＝________. 【答案】(1)6 (2)4a【知识清单】1 根式与指数幂的运算1．(*)((0)((0)n a n N a n a a a n a a ⎧=∈⎪⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪⎪-<⎩⎩⎩为奇数）为偶数）2. 有理数指数幂的运算性质: ①rsr sa a a+=(0,,)a r s Q >∈;②()r s rsa a =(0,,)a r s Q >∈;③()r r rab a b =(0,0,)a b r Q >>∈.2指数函数的图象与性质【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．【重点难点突破】考点1 根式与指数幂的运算【1-1】给出下列命题:①n 都等于a (n ∈N *);②222a b ab ⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指数函数；④若m n a a <（01a a >≠且），则m n <．其中正确的是 .【答案】③【1-2】化简：160.2502164()8( 2.015)49-----【答案】98 【解析】原式＝1111663233244723422123721984⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．【1-3】331122221122m m m m4.m m----+=-，求【答案】15．【解析】∵112122(m m )m 2m16--+=++=∴114m m -+=，∴33111222211112222m m (m m )(m m 1)m mm m-------++=--1m m 114115-=++=+=．【思想方法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二指数函数的图象及应用1．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 【解析】①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23. 2．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1)作出该函数的图象；(2)由图象指出函数的单调区间．[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时应用]1．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．【答案】[－1,1]【解析】作出曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．2．若函数y ＝|3x－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．考点三指数函数的性质及应用角度一：比较指数式的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c >a >b角度二：解简单指数方程或不等式 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－3,1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．角度三：探究指数型函数的性质3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 【解析】因为x ∈[－3,2]，所以令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57. 4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．【答案】(－∞，1][通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略[提醒[演练冲关]已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，【易错试题常警惕】利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．如：若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则a = ．【分析】函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即14m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为1m a =，最大值为24a =，解得2a =，12m =，与14m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为14a-=，解得14a =，116m =．所以14a =．【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，1] (3，＋∞)【解析】由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1，3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，a 的取值范围是(3，＋∞).。

专题2.6 指数与指数函数(讲)-2020年高考数学(理)一轮复习讲练测(原卷版)

专题2.6指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。

知识点一根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |，a ≥0，a ，a <0.知识点二分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.知识点三指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)12.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.考点一指数幂的运算【典例1】（2019·＋2－212－(0.01)0.5【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟）化简[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；考点二指数函数的图像及其应用【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是()【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式2】（2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有()A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2考点三比较指数式的大小【典例3】（2019·上海延安中学模拟）设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f (x )＝2x －2－x，a14，bc ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (b )＜f (a )＜f (c )B ．f (c )＜f (b )＜f (a )C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )考点四解简单的指数方程或不等式【典例4】（2019·河北唐山一中模拟）已知实数a ≠1，函数f (x)x ，x ≥0，a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式4】（2019·安徽马鞍山二中模拟）设函数f (x )－7，x ＜0，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．考点五指数函数性质的综合应用【典例5】（2019·江西鹰潭一中模拟）已知函数f (x )243－＋ax x .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数(测)(2021年整理)

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专题2.6 指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________（满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分,共计60分)．1．化简4a错误!·b－错误!÷错误!的结果为________．【答案】－错误!【解析】原式＝4÷错误!a错误!－错误!b－错误!－错误!＝－6ab－1＝－错误!。

2．函数y＝a x＋2－1(a>0且a≠1）的图象恒过的点是________．【答案】（－2,0)3．已知实数a，b满足等式2 016a＝2 017b，下列五个关系式：①0<b〈a；②a<b〈0；③0<a 〈b；④b<a〈0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．【答案】2【解析】设2 016a＝2 017b＝t,如图所示,由函数图象,可得若t>1，则有a>b〉0；若t＝1，则有a＝b＝0;若0〈t〈1,则有a〈b<0。

故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．4．若函数f(x）＝错误!是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】错误!【解析】依题意，a应满足错误!解得错误!<a≤错误!.5．函数y＝8－23－x(x≥0）的值域是________．【答案】[0,8）【解析】因为x≥0,所以3－x≤3，所以0＜23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8,所以函数y＝8－23－x的值域为［0,8）．6．指数函数y＝f（x）的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f（－m）＝________.【答案】错误!【解析】设f(x)＝a x(a>0且a≠1）,所以f(0)＝a0＝1。

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