高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末高效整合课件新人教A版选修1_2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末小结与测评创新应用课件 新人教A版选修1-2.pptx
D．－15
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数，
则实数 a 的值为( )
A．1 B．2 C．1 或 2 D．－1
4
解 析 ： (1) 选 B
1 －2＋i
＋
1 1－2i
＝
－2＋－i2－－i2－i ＋
1＋2i 1－2i1＋2i
＝ －25－i
＋1＋5 2i＝
－15＋15i，故虚部为15.
17
法二：原式＝(1－i)(1＋i)－12＋ 23i ＝(1－i2)－12＋ 23i ＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
18
(2)
2＋ 3－
3i＝ 2i
2＋ 3－
3i 2i
3＋ 3＋
2i 2i
＝
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i＝
6＋2i＋3i－ 5
6
＝55i＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
24
[对点训练]
6．若复数 z 满足 iz＝2＋4i，则在复平面
＝4－4i＋i2＝3－4i.
19
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点 Z(a，b)一一对 应，和向量 一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解 决此类题目的关键．
20
[典例 4] 若 i 为虚数单位，如图中复平面内
点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i的点是(
)
A．E B．F C．G D．H
∴当 m＝－1 或 m＝－2 时，z 是实数．
(3) 由
得 － 1<m<1 － 3 或 1 ＋ 3
<m<3. ∴当－1<m<1－ 3或 1＋ 3<m<3 时，复数 z 在复平面上
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数
是－5＋4i，所以O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5,4)，所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－
5,4)＝(0,0)，所以O→Z1＋O→Z2 对应的复数是 0.
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在复平面内，复数 z＝1－i 对应的点的坐标为( )
A．(1，i)
B．(1，－i)
C．(1,1)
D．(1，－1)
【解析】 复数 z＝1－i 的实部为 1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－
1)．
【答案】 D
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教材整理 3 复数的模 阅读教材 P105“左侧”，完成下列问题． 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为O→Z，则向量O→Z的模叫做复数 a＋bi 的模，记作_|_z_| _或__|a_＋__b_i|__.由模的定义可知|z|＝|a＋bi|＝r＝___a_2_＋__b_2___ (r≥0， r∈R)．
阅读教材 P104～P104“第 11 行”以上内容，完成下列问题． 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做_实__轴___，y 轴叫 做__虚__轴__，实轴上的点都表示实数，除了_原__点___外，虚轴上的点都表示纯虚数．
教材整理 2 复数的几何意义
阅读教材 P104“第 12 行”～P105“练习”以上内容，完成下列问题． 1．复数 z＝a＋bi 一一对应复平面内的点_Z_(_a_，__b_)___． 2．复数 z＝a＋bi 一一对应平面向量__O_→_Z__.
________. 【导学号：60030074】
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【精彩点拨】 (1)先写出向量O→Z1，O→Z2 的坐标，再求出O→Z1＋O→Z2 的坐标．
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》精品课件_23
a－1＝0， a＋1＝b，
解得ab＝ ＝12， ，
所以a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
教材整理 2 共轭复数 阅读教材 P59“例 3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题． 如果两个复数满足实部_相__等__，虚部__互__为__相__反__数___时，称这两个复数互为 共轭复数，z 的共轭复数用 z 表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a_－__b_i_.
若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 【解析】 由题意可得xy－ ＝21＝ ，3x，
∴xy＝ ＝1－. 1， 【答案】 －1 1
教材ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理 3 复数的除法法则
阅读教材 P59“探究”以下至 P60“例 4”以上内容，完成下列问题．
1.
1．设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i 【解析】 【答案】
D．1－i z＝12－i i＝12－ii1＋ 1＋i i＝－1＋i. A
2．复数 z＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
→ 计算 z 的值 z
【自主解答】 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得 x＋yi－x－yi＝－4i， x＋yix－yi＝13， 即2x2y＋i＝y2－＝41i，3，
解得xy＝ ＝－3，2 或xy＝＝－－32，.
因此 z＝3－2i 或 z＝－3－2i.
D．第四象限
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数 z 对应复平面上的点是(－1,1)，该
点位于第二象限． 【答案】 B
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》精品课件_30
－3 4i (i为虚数单位),OZ2对应复数为z2 2a i .
若OZ1与OZ
共线
2
，则
|
z2
|＝
________
.
例题3
已知复数z x yi( x, y R)在复平面内对应 的点为Z．并且 2x 3 2 yi x ( y 1)i ,求点Z 的轨迹
课堂练习
1、 在复平面内, O是原点 , 向量OA对应的复
数是2 i . (1) 如果点A关于原点的对称点为点B , 求向量
OB对应的复数 ; (2) 如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C , 求点
C对应的复数 .
课堂练习
2、 在复平面内指出与复数z1 1 2i ,
z2 2 3i , z3 3 2i , z4 2 i, 对应的 点Z1 , Z2 , Z3 , Z4 . 试判断这4个点是否在同一 个圆上, 并证明你的结论 .
选选亻 修1--2 复数的几何意义
温故知新
1、复数的代数形式是怎样的？
2、复数相等的充要条件是什么？ a=c且b=d
3、对于复数a+bi（a，b∈R）， 当a，b满足什么条件时，它是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实 数0； 当b≠0时，它是虚数； 当a=0且b ≠0时，它是纯虚数。
例题1 实数m取什么值时，复平面内表示复数z=(m28m+15)+(m2-5m-14)i的点 （1）位于第四象限； （2）位于第一、三象限； （3）位于直线y=x上。
例题2
（1）已知z 3 ai (i为虚数单位，a R), 若 | z | 4,则a的取值范围是________ .
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末高效整合 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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第三章复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i,则z1－z2在复平面内对应的点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z1－z2＝5－7i。
答案：D2．若复数(1＋b i）（2＋i)是纯虚数（i是虚数单位）,b是实数，则b等于（）A．2 B.错误!C．－错误!D．－2解析：∵(1＋b i)（2＋i)＝（2－b)＋(2b＋1）i是纯虚数,∴2－b＝0，且2b＋1≠0，∴b＝2.答案：A3．复数错误!（i为虚数单位）的模是( ）A. 5 B．2错误!C．5 D．8解析：错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i,所以错误!＝｜1＋2i|＝错误!.答案：A4．已知i为虚数单位，复数z＝错误!,则复数z的虚部是( ）A．－错误!i B．－错误!C。
错误!i D．错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i,所以复数z的虚部是－错误!.答案：B5．若a，b∈R,i为虚数单位，且(a＋i）i＝b＋i，则( ）A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1,b＝－1 D．a＝1，b＝－1解析: ∵（a＋i)i＝－1＋a i＝b＋i,∴b＝－1，a＝1。
高中数学选修1-2(人教版 课件)_第三章 数系的扩充与复数的引入
第三章
数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入 我们知道，在实数范围内，解方程 x2＋1＝0 是无能为力的，只有把实数集扩 充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是 件容易的事． 16 世纪意大利米兰学者卡当(1501～1576)在 1545 年发表的《重要的艺术》一 书中，公布了三次方程的一般解法(“卡当公式”)，他把 10 分成两部分，使它们 的乘积等于 40，即(5＋ －15)(5－ －15)＝40，尽管他认为(5＋ －15)和(5－ －15)这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的．
• 同学们，你想了解复数的初步知识吗？那 就让我们步入本章的学习吧！ • 随着科学和技术的进步，复数理论已越来 越显出它的重要性，它不但对于数学本身 的发展有着极其重要的意义，而且在系统 分析、信号分析、量子力学、电工学、应 用数学、流体力学、振动理论、机翼理论 等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗 水的问题中显示了它的威力，也为建立巨 大水电站提供了重要的理论依据.
•法国数学家笛卡儿(1596～1650)在《几何 学》中使用“虚的数”与“实的数”相对 应，从此，虚数才流传开来．但这引起了 数学界的一片困惑，很多大数学家都不承 认虚数．然而，真理性的东西一定可以经 得住时间的考验，并最终占有一席之地． 许多数学家经过长期不懈的努力，深刻探 讨并发展了复数理论，才使得在数学领域 游荡了200年的“幽灵”——虚数揭去了神 秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚 数不虚．虚数成为了数系大家庭中的一员
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念(2)课件新人教A版选修1_2
[解析] 数．
复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实
→ 4．(2016· 天津五区县高二检测)在复平面内，O 是原点，向量OA对应的复数是 → 2＋i， 点 A 关于虚轴的对称点为 B， 则向量OB对应的复数是 导学号 18674329 ( D ) A．1＋2i C．2－i
[解析]
B．2＋i D．－2＋i
→ 点 A 的坐标为(2,1)，∴点 B 的坐标为(－2,1)，故向量OB对应的复数
为－2＋i，故选 D．
2 5．复数 i＋i2 的模等于_________. 导学号 18674330
[解析] ∵i＋i2＝－1＋i，
∴复数 i＋i2 的模等于 －12＋12＝ 2.
1 6 ．求复数 z1 ＝ 3 ＋ 4i 及 z2 ＝－ 2 － 2i 的模，并比较它们的模的大小 . 导学号 18674331
1．已知 a、b∈R，那么在复平面内对应于复数 a－bi，－a－bi 的两个点的位 置关系是 导学号 18674326 ( B ) A．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 B．关于 y 轴对称 D．关于直线 y＝x 对称
[解析]
在复平面内对应于复数 a－bi，－a－bi 的两个点为(a，－b)和(－a，
[思路分析]
把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数 m
的值，即得复数 z.
[解析]
(1)若复数 z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则 m2＋2m－8＝0 且 m2
－3m＋2≠0， ∴m＝－4，此时 z＝30i. (2)若复数 z
2 m ＋2m－8<0， 对应的点在实轴负半轴上，则 2 m －3m＋2＝0，
布了虚数的图象表示法，即虚数能用平面内的点来表示．在直角坐标系中，横
2019-2020年人教A版高中数学选修1-2：第三章数系的扩充与复数的引入章末优化总结课件 (共19张PPT)(1)
4＋ (2) 3
31＋3i
或4－3
31＋3i
1．设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为(
)
A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
解析：12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii＝2－a＋52a＋1i由复数为纯虚数，所以 2－a＝0，
＋1≠0，因此 a＝2.
Hale Waihona Puke 答案：A专题二 复数的四则运算及几何意义 历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌 的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键． 复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法 意义进行求解．
(1)设 z＝1＋1 i＋i＋11－ ＋ii2，则|z|＝________. (2)在复平面内，复数 z＝12＋i i(i 为虚数单位)的共轭复数 z 对应点为 A，点 A 关 O 的对称点为 B，求： ①点 A 所在的象限； ②向量A→B对应的复数．
[解析] (1)∵1＋1 i＋i＝1－2 i＋i＝12＋2i .
11－ ＋ii2＝－22i2＝(－i)2＝－1. ∴z＝12＋2i －1＝－12＋2i .
因此|z|＝
－212＋122＝ 22.
(2)①z＝12＋i i＝1＋2ii1－1－i i＝1＋i，
2019/7/21
最新中小学教学课件
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2019/7/21
最新中小学教学课件
章末优化总结
网络 体系构建 专题 归纳整合
章末检测
专题一 复数的概念及分类 复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为 i，满足 i2＝－1，且 i 同实数间 行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)中，a， 件可把复数分为：
人教A版高中数学选修1-2课件高二第3章《数系的扩充与复数的引入》：3.1.1数系的扩充
“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.”
x2-10x+40=0 5 15,5 15
虚构的、想象的、“诡辩量”
虚数
虚数是“想”出来的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”（“想 象中(imaginary)的数 ”）.
笛卡尔 (R.Descartes,)
人们开始记数时，最初没有“零”的概念， 在生产实践需要记数的东西越来越多，逐 渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上 利用空格表示“零”。引入“0”是数的 概念的第二次扩展。
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
请你归纳一下： 数系是如何扩充的？
正分数 自然数
引入0
负数
无理数
有理数
实数
数学思想过程方法
服务与实用 统一性原则
构造法 结合法
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测 、水利工程等方面的需要，正分数运应而 生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷 中已有关于正分数问题的记述。引进正分 数是数的概念的第一次扩充。
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
欧拉 LeonhardEuler （1707-1783）
1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
高斯 JohannCarlFriedrichGauss
（1777—1855）
1801年高斯系统使用了i这个符号
使之通行于世
人教A版数学选修1-2课件第三章数系的扩充与复数的引入章末整合提升3
C．2
D．3
[解析] (1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件， 得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A.
3．(2017·全国Ⅱ文，2)(1＋Bi)(2＋i)＝( )
A．1－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3＋3i
[解析] (1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.
故选B.
四、运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． 1．z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； 2．z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 3.zz12＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋ad2di.
专题突破
题型一 ⇨复数的概念
熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类 数的条件是熟练解答复数题的前提．
A．2i
B．－1＋i
C．1＋i
D．2
[解析] (1)∵13＋＋2i3i＝13＋－2ii＝13＋－2ii33＋＋ii ＝3－120＋7i＝110＋170i. (2)∵(11＋ －ii)2＝－2i2i＝－1， (－12＋ 23i)3＝1， ∴(11＋ －ii)4＋(－12＋ 23i)18 ＝[(11－＋ii)2]2＋[(－12＋ 23i)3]6＝2.
第三章 数系的扩充与复数的引入
章末整合提升
1
知识网络
2
知识整合
3
专题突破
知识网络
知识整合
本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复 数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法 分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用 复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个 非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过 来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而 能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问 题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由 此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析
第三章数系的扩充与复数的引入章末归纳提升教案(人教A版选修1-2).docx
................................................. _复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i,满足i 2=-l, K i 同实数 间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z=a + h\{a, AER) 屮，a 、 b 的条件可把复数分为：复数(z=a + bi,「实数@ = 0),其中纯虚数中“bHO”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意.【答案】A归纳提升A. 2B. -2C. —2D. |【思路点拨】 先将已知复数化为“a+bi”的形式，再由纯虚数定义求久 【规范解答】1+m (l+m)(2 + i)法2-i — (2-i)(2 + i)—设i 是虚数单位, 复数为纯虚数，则实数。
为( )2-。
+严+审为纯虚数,所以2_°=0, °=2,故选人.b G R )1虚数@H0)纯虚数(a = 0, bHO), 非纯虚数(aHO, bHO).卜例1+m 2-i法二 1 +ai i (Q —i)2-i =2-i为纯虚数，所以a = 2,故选A.feJLM 练若复数(/—d—2) + (|Q—l|-l)i(dGR)不是纯虚数，则A. a= — \B. — 1 且C・ dH —1r [a2—a —2 = 0【解析】Q—2H0或I 1( 1 A ,1|Q—1| —1 =0aH —1 且aH2 或a = 2.综上可知，aH —1.【答案】C复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2=-l. 在进行复数的运算时，要灵活利用i,①的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i,少的计算问题，并注意以下结论的灵活应用:(1)设CO=—*±¥人则co2= CD , ~=(z;2, co3n = 1 , C93，j+1=(Z>(/?eN+)等.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：鹄=睫誥=号號¥日，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.卜例囚z2—2z —己知复数z—1—i,贝【J + z —()Z— 1A・ l—i B・—2iC・ 1+i D・一2【思路点拨】z2—2z —先计算zi—1 ,再计算Z]+z.Z— 1【规范解答】、十Z2~2Z (1—i)2—2(1—i) —2i—2+2i広z-1 _ (l-i)-l _ -i -2i=韦=一21,— 2z —••• ~~ + z =-2i+l+i=l-i.故选 A.Z2-2Z (Z -1)2-1 1Z —1 Z —1 2 1 Z —1... + z = —2i+l+i=l —i.故选 A.【答案】A»变H 训练n ~2V3 + i A /2 2O ()6_(_2羽+ i)i 彳恥 (2)l+2V3i +(l-i } _ (1+2萌i)i +(-2i)1003(一2羽+ i)i 1=i-2迈—严=i —i = 0计算：（1） (2+2i)4d"V3i)5(2) —2羽 + j 1+2知【解】2七+沉(—2)5(—*+爭)52彳⑵尸 25（-知寺）2法二共觇复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除 用共轨复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(l)|z|=lOz=丄; Z(2)zWRO z =z ；(3)ZT ^0, Z 为纯虚数O Z =_Z .【思路点拨】 利复数模的性质:|z|2进行化简. 【规范解答】・・・|习|=1,ki|2=zi- z\ — 1.Z]+Z2Z]+Z2 从而I 「I=I―—1+ Z[ Z2 Z1(Z1 +z2)2|»娈武训练已知 zGC,解方程 z 、z — 3i z = 1 +3i.【解】 Vz- z =|z|2,把方程变形为 丁=-l+q^i,① 两边取模得|7|2=|z|2=1+口丁). 整理得 |z|4-ll 讦+10 = 0.解得|z|2=l 或 |z|2=10.将其代入①得z — — 1或z = — 1 —3i./.z= — 1 或 z= — l+3i.1•复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何 意卜例设Zi 、z 2ec,且|zi| = l, |Z2|H1,21+Z2 1 + Z\ ・1 kil义及复数运算的几何意义•复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过儿何图形来研究代数问题.2.任何一个复数z=a+bi(a9 bGR)与复平而内一点Z(Q, b)对应，而任一点(a, b)又可以与以原点为起点，点Z(a, b)为终点的向量孫对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|、|z—Q|的几何意义——距离.3.复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则.由减法的几何意义知|z—zi|表示复平面上两点乙Z】间的距离.4.复数形式的基本轨迹(1)当|z—Z1I =尸时，表示复数Z对应的点的轨迹是以刁对应的点为圆心，半径为尸的圆;单位圆|z|=l.⑵当|z —Z】| = |Z —刼时，表示以复数习、22的对应点为端点的线段的垂直平分线.⑴求时(2)若|z| = l,求|z-zi|的最大值.【思路点拨】(1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合.【规范解答】(l)zi=i(l-i)3=i(-2i)(l-i)=2(l-i),A|ZI|=^22+(-2)2= 2©⑵法一|z| = 1,二设z=cos &+isin 0,|z—zi| = |cos 0+isin 0—2+2i|=^/(cos ^-2)2+(sin 0+2fTT当sin(&—g)=l 时,|z—zi|取得最大值从而得到\z~z\\的最大值2迈+ 1.法二|z| = l可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆，而zi对应坐标系中的点(2, 一2)・・・・|z—zi|的最大值可以看成点(2,—2)到圆上的点距离最大，则|2—习扁x = 2迈+1.»娈貳训练已知等腰梯形OABC的顶点力、B在复平面上对应的复数分别为1 +2i, -2 +6i, OA //BC.求顶点C所对应的复数z.【解】设顶点C对应的复数z=x+yi, x, yWR,9：0A//BC, \OC\ = \BA\,k(”=kBc, kc| = |z〃一zj,"2_y_6 即V T x+2"・.・|CU|H|BC|,：.X2=—3,力=4(舍去)，故z=—5................................................... _复数问题实数化的思想复数的代数形式z=x~yi(x9 pGR),从实部虚部来理解一个复数，把复数z 满足的条件转化为实数x, y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题.已知X,尹为共辘复数，且(x+y)2—3xyi=4—6i,求x, y.【思路点拨】由兀，y为共辄复数设出兀，尹代入条件等式，利用复数相等转化为实数方程组.【规范解答】设x=a + bi(a, bWR),贝']y=a—b\.又(x+j^)2—3xyi=4.•.4tz2-3(^2+/)2)i=4-6i.卜例冒^X2+/=^32+42,•娈It 训练设存在复数z 同时满足下列两个条件：①复数Z在复平面内的对应点位于第二象限;®Z' z +2iz=8+ai (QGR)・求a 的取值范围・【解】iSl z=x+yi(x, pWR),由①得 x<0, y>0. 由②得 x 2+y 2+2i(x+j4) = 8+m, 即”+尹2一2尹+2力=8—孔由复数相等的充要条件，得 fx 2+/-2y=8,艮［/ + (>—1)2 = 9, \J2x=a, 〔Q=2x.V X 2+O~1)2= 9表示以(0,1)为圆心，3为半径的圆，且兀<0,・・・一3Wx<0,/. —6W2x<0,即一6Wa<0,・・・a 的取值范围是［-6,0)・4/=4, a 2+b 2= 2,J 兀=l+i, 1=1 一 i或x= —1+i, y= —l_i。
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3．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0. 4．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0； (2)z 是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)； (3)z 是纯虚数⇔z2＜0.
•章末高效整合
知能整合提升
• 一、复数的概念 • 1．复数的相等 • 两 并 ＝个 且 b＝复 仅0数当时za，1＝＝ac＋a且＋bbib＝＝i(0ad.，时b，∈z1R＝)，z2.z特2＝别c＋地d，i(当c，且d∈仅R当)a， • 2．虚数单位i具有幂的周期性 • i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1
(2)5－44＋i51i－i＝5－54－i41i－i i ＝1－i i＝1－i1i＋1i＋ i＝i－2 1＝－12＋12i.
2．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)11＋ －ii6＋
2＋ 3－
3i 2i.
解析： (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.
热点考点例析
复数的概念
【点拨】 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z 是虚数⇔b≠0， (2)z 是纯虚数⇔ab＝ ≠00， ， (3)z 是实数⇔b＝0.
• 何实数时复，数(1z＝)z∈logR3；(x2(－2)z3为x－虚3数)＋；il(o3g)2z(为x－纯3虚)，数当．x为 • [思维点击] 本题主要考查复数的分类，由复数的概
解析：
(1)z＝
－2i· 3＋i
3－3－ii＝－
23i－12＝－12－
3 2 i.
∴虚部为－
3 2.
(2) 因 为 z1·z2 ＝ (a － 1) ＋ (a ＋ 1)i 为 纯 虚 数 ， 所 以
a－1＝0， a＋1≠0，
解得 a＝1.
答案： (1)B (2)B
复数的运算
• 【点拨】 复数的运算是复数中的重要内容，是高 考考查的热点，尤其是复数的乘除运算，其中融合 着复数的模、共轭复数等概念，要求熟悉复数的四 则运算法则及常用的运算技巧，高考一般以选择题 或填空题的形式考查．
23iiii＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
复数的几何意义及应用
• 【点拨】 复数的几何意义包括三个方面：复数的 表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加 减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形 结合这一重要的数学思想方法．
已知 z 是复数，z＋2i，2－z i均为实数(i 为虚数单位)， 且复数(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的 取值范围．
x－3＞0，
解得xx＞＝3－且1x或≠x4＝. 4， 无解． ∴复数 z 不可能是纯虚数．
1．(1)复数 z＝13－＋ii2的虚部是(
)
3 A. 2
B．－
3 2
3 C. 2 i
D．－
3 2i
• (则2)实已数知a复的数值z为1＝(1＋i，) z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数， • A．－1 B．1 • C．－2 D．2
x－3＞0，
解得x＞3＋2 21或x＜3－2 21， x＞3且x≠4，
即3＋2 21＜x＜4 或 x＞4， ∴当3＋2 21＜x＜4 或 x＞4 时，z 为虚数．
(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部 不为 0，
log3x2－3x－3＝0， ∴log2x－3≠0，
念易得解法．
(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为
0，
x2－3x
②
x－3＞0，
③
由②得 x＝4，经验证满足①③式．
∴当 x＝4 时，z∈R.
(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，
x2－3x－3＞0， ∴log2x－3≠0，
[思维点击] 可设 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用 z＋2i，2－z i 是实数求 z，再求 a 的取值范围．
设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z＋2i＝x＋(y＋2)i，
2分
2－z i＝x2＋－yii＝15(x＋yi)(2＋i)
＝15(2x－y)＋15(2y＋x)i.
4分
y＋2＝0， 由题意知152y＋x＝0，
特别提醒：记住以下结论可以提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i； ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i； ③1i ＝－i.
计算： (1)2＋1i－12－i i2；(2)5－44＋i51i－i.
[思维点击] 利用复数的运算法则计算． (1)2＋1i－12－i i2＝2＋1－i－2i 2i＝211－－22ii＝2.
∴yx＝＝－4，2， ∴z＝4－2i.
8分
∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
由已知得812a＋－42a－＞a02，＞0，
10 分
∴2＜a＜6.
∴实数 a 的取值范围是(2,6).
12 分
3.已知点集 D＝{z||z＋1＋ 3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小 值和最大值．
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
(3)方法一：原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3i 3＋ 32＋ 22
2i
＝i6＋
6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
二、复数的运算 1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法， 除法类比分式的分子分母有理化，注意 i2＝－1. 2．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性 质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 z∈C 时不总是成立 的： (1)(zm)n＝zmn(m，n 为分数)； (2)zm＝zn⇒m＝n(z≠1)； (3)z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0； (4)|z|2＝z2.