高中数学 阶段质量评估4 北师大版选修22

第四章 定积分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题不正确的是( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a a
f (x )d x ＝0
B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2∫a 0f (x )d x
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则∫b
a f (x )d x ＞0
D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且∫b
a f (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，
b ]上恒正 解析： 根据定积分的性质与几何意义可知，A 、B 、C 均正确，D 不正确． 答案： D
2. ⎠⎜⎜⎛-π
2
π
2
(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.
π4
C ．2
D ．4
解析： ⎠⎜⎜
⎛-π
2
π
2
(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ⎪
⎪⎪⎪
π2-
π2
＝2.
答案： C
3．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所经过的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2
0 C.12
gt 2
0 D.14
gt 2
0 解析： ⎠⎛0
t 0
gt d t ＝12gt 2| t 00＝12gt 20. 答案： C
4．如图所示，阴影部分面积为( )
A.⎠⎛a b
[f (x )－g (x )]d x
B.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b
[f (x )－g (x )]d x C.⎠⎛a c
[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b
[g (x )－f (x )]d x
D.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x
解析： S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b
[f (x )－g (x )]d x .
答案： B
5．设f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02
f (x )d x 等于( ) A.3
4 B.4
5 C.56
D ．不存在
解析： ⎠⎛02
f (x )d x ＝⎠⎛01
x 2d x ＋⎠⎛12
(2－x )d x
＝
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋12＝5
6
. 答案： C
6．m ＝⎠⎛01
e x d x 与n ＝⎠⎛1e
1x
d x 的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n
D ．无法确定
解析： m ＝⎠⎛01
e x d x ＝e x | 1
0＝e －1，
n ＝⎠⎛1e
1x d x ＝ln x | e 1＝1，则m ＞n .
答案： A
7．若⎠⎛0k
(2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析： 若⎠⎛0k
(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3
＝0，解得k ＝0或k ＝1，因为积分上限
大于下限，所以k ＝1.
答案： A
8．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋－1≤x ＜cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为
( )
A.32
B ．1
C ．2 D.12
解析： 如图，
S ＝12
×1×1＋⎠⎜⎛0
π
2cos x d x
＝1
2
＋sin x ⎪⎪⎪⎪
π
2
＝12＋sin π2
＝32. 答案： A
9．曲线y 2
＝6ax ，x ＝2a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是( ) A ．2πa 2
B ．4πa 2
C ．12πa 3
D ．14πa 3
解析： 不妨设a >0，由旋转体积公式可得：
V ＝π⎠⎛02a
y 2d x ＝π⎠⎛02a
6ax d x ＝6πa
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2 2a 0＝12πa 3.
答案： C
10．若y ＝⎠⎛0x
(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( ) A ．1
B ．2
C.72
D ．0
解析： y ＝⎠⎛0x
(sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x
(sin t ＋12sin 2t )d t ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos t －14cos 2t x 0
＝－cos x －14cos 2x ＋5
4
＝－12cos 2x －cos x ＋3
2
＝－12[(cos x ＋1)2
－1]＋32
＝－12(cos x ＋1)2
＋2，
故y max ＝2. 答案： B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
11．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12
f (x )d x ＝________________. 解析： ∵⎠⎛02
f (x )d x ＝⎠⎛01
f (x )d x ＋⎠⎛12
f (x )d x ， ∴1＋⎠⎛12
f (x )d x ＝－1.∴⎠⎛12
f (x )d x ＝－2.
答案： －2
12．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝_____________.
解析： ⎠⎛0
1(2x ＋k )d x ＝(x 2
＋kx )| 10＝1＋k ， 即1＋k ＝2，k ＝1. 答案： 1
13．如图所示的阴影部分的面积用定积分可表示为__________．(不用计算
)
解析： ∵在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2内cos x ＜0，故两部分面积分别为⎠⎜⎛0
π2
cos x d x 和－⎠⎜⎜⎛
π
2
3π
2cos x d x .
答案： ⎠⎜⎛0
π2cos x d x －⎠⎜⎜⎛π
2
3π
2
cos x d x . 14．若如图算法框图输出的结果为a ，则⎠⎛1a
⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 2e x d x ＝
________.
解析： 由于算法框图，a ＝－1，1
2，2，周期性的出现，
当i ＝2 011时，输出a ＝2，
则⎠⎛1a
⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2e x d x ＝⎠⎛12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ln2d x ＝log 2x |2
1＝1. 答案： 1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(1)设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
， x ，cos x －1， x ＞
，
求⎠⎛－11
f (x )d x ；
(2)求⎠⎛－a a
x 2
d x (a ＞0)．
解析： (1) ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛01
(cos x －1)d x
＝13x 3| 0－1＋(sin x －x )| 10 ＝sin 1－2
3
.
(2)由x
2
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x x ，
－x x ＜
，
得⎠⎛－a a x 2d x ＝⎠⎛0a x d x ＋⎠⎛－a 0
(－x )d x
＝
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪12x 2a 0－12x 20
－a ＝a 2. 16．(本小题满分12分)若⎠⎛0k ＋2a
(x 2＋2ax )d x ＝18a 3
(a 为常数)，求常数k 的值．
解析： 由于⎠⎛0k ＋2a (x 2＋2ax )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋ax 2⎪⎪
⎪
k ＋2a 0
＝13
(k ＋2a )3＋a (k ＋2a )2
＝13(k 3＋9ak 2＋24a 2k ＋20a 3)＝18a 3
， 所以k 3
＋9ak 2
＋24a 2
k －34a 3
＝0， 即(k －a )(k 2
＋10ak ＋34a 2
)＝0， 故k ＝a .
17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 2
(x ≥0)上某点A 处的切线与曲线以及x 轴所围图形的面积为1
12
，则过切点A 的切线方程是．
解析： 如图，设切点A (x 0，x 2
0)．
由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －x 2
0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 2
令y ＝0，得x ＝x 0
2，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 0
2，0.
于是所围图形的面积S ＝S 曲边AOB －S △ABC ＝⎠⎛0
x 0x 2
d x －12
|BC |·|AB | ＝13x 3| x 00
－12·⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20
＝112x 30＝1
12
. 所以x 0＝1，从而切线方程为y ＝2x －1.
18．(本小题满分14分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且
f ′(x )＝2x ＋2.
(1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．
(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t 的值．
解析： (1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，
∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2
＋2x ＋1.
(2)依题意所求面积S ＝⎠⎛－10
(x 2＋2x ＋1)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 0－1
＝13
. (3)依题意，有⎠⎛－1－t
(x 2
＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t 0
(x 2＋2x ＋1)d x ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪
－t －1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪
0－t
∴－13t 3＋t 2
－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，
即2t 3
－6t 2
＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3
＝－1，解得t ＝1－
132
.。