高考数学串讲(五) 解三角形

B C a b c A 高考数学串讲（五） 解三角形
一，基础知识
1，三角形中的常用公式
如图，ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，外接圆
半径为R ，内切圆半径为r ，半周长为2a b c p ++=。

（1）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===。

变形：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

（2）余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-。

（3）面积：11sin 224a abc S ah ab C rR R
====
2,等差数列与等比数列
(1),等差数列:
①,定义:12()n n n n a a d a a ++-==+n+1常量或2a .
②,通项公式:1(1)n a a n d =+-.
③,前n 项和公式:11()(1)22
n n a a n n n S na d +-==+. ④,任意两项,n m a a 有()n m a a n m d =+-.
⑤,对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则m n k l a a a a +=+.反之不行. ⑥,若{},{}n n a b 均是等差数列,则{}n n ca db +也是等差数列.(,c d R ∈)
(2),等比数列:
①,定义:11()n n n n
a a q a a ++==n+2n+1a 常量或a . ②,通项公式:11n n a a q -=.
③,前n 项和公式:11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩
.④,任意两项,n m a a 有n m n m a a q -=.
⑤,对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则n m k l a a a a =.
⑥,无穷递缩等比数列所有项和公式:1lim (01)1n n a S S q q
→∞==<<-.
二，跟踪训练
1，（05湖南）已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=， 求角A ，B ，C 的大小。

2，（05湖北）在ABC ∆中，已知AB =，cos B =，AC 边上的中线
BD =
sin A 的值。

3，（05天津）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为,,a b c 。

设,,a b c 满足
222b c bc a +-=和
12
c b =A ∠和tan B 的值。

4，（05全国III ）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，
且3cos 4
B =。

（I ）求cot cot A C +的值；
（II ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值。

5，（04广东）已知,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），且sin ,sin ,sin αβγ 也成等比数列。

求,,αβγ的值。

6，（04浙江）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 3A =。

（I ）求2sin cos 22
B C A ++的值；
（II ）若a =bc 的最大值。

7，（04北京）在ABC ∆中，sin cos 2
A A +=，AC=2，AB=3，求tan A 的值和 ABC ∆的面积。

8，（04全国II ）已知锐角ABC ∆中，3sin()5A B +=，1sin()5
A B -=。

（I ）求证：tan 2tan A B =；
（II ）设AB=3，求AB 边上的高。

三，简明提示
1，由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得sin (sin cos )sin()0A B B A B +-+=，有 sin (sin cos )0B A A -=，得3,44
A B C π
π=+=，由sin cos 20B C +=得 3sin cos 2()04B B π+-=，有sin sin 20B B -=，得5,,4312A B C πππ===。

2，设E 为BC 的中点，连结DE ，则DE//AB
，且12DE AB ==，设BE x =，有 2222cos BD BE DE BE DE BED =+-⋅∠，得1x =或73
x =-（舍去），有BC=2。

从而2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅=283
，得AC =。

又sin B =
2sin A =
sin A = 3，由题设条件，应用两角差的正弦公式得
)cos (sin 2
2)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得 )sin (cos 5
7)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故5
1sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，5
cos =α 因此，4
3tan -=α，由两角和的正切公式 1132548334334433143
3tan 313tan )3tan(-=+-=+-
=-+=+ααπα 4，（I ）由3
cos 4B =得sin 4
B =，由2b ac =得2sin sin sin B A
C =于是
22cos cos sin()sin 1cot cot sin sin sin sin sin A C A C B A C A C B B B ++=+====。

（II ）由32BA BC ⋅= ，得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4
B =，得2ca =，即22b =。

又2222cos b a c ac B =+-⋅。

得22
5a c +=，222()29a c a c ac +=++=，得3a c +=。

5，解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sin α,sin β,sin γ成等比数列 2
1
cos ,1cos 0
1cos cos 21cos 2cos 2sin 4sin sin 2sin sin sin sin sin 22-===---=⇒=⇔=∴ααααααα
αααβγαβ或解得即 当cos α=1时，sin α=0,与等比数列的首项不为零，故cos α=1应舍去，
3
16,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos πγπβπαπγπβπαπαπαπαα========∈-=或所以或时当 6，解：（I ）2
21sin cos 2[1cos()](2cos 1)22
B C A B C A ++=-++- = 21(1cos )(2cos 1)2A A ++-= 1121(1)(1)2339++-=-。

（II ）由2221cos 23
b c a A bc +-==，得2222223bc b c a bc a =+-≥-，有234bc a ≤。

又a =94bc ≤，当且仅当32b c ==时，bc 的最大值是94。

7
，解：sin cos 45)A A A +=-=
1cos(45)2A ∴-= 。

又0180 <<A ，4560,105A A ∴-==
tan tan(4560)2A ∴=+==- sin sin sin()sin cos cos sin A ==+=+=+105456045604560264
S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+12122326434
26sin () 8，（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=
+B A B A
.2tan tan 5
1sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A = （Ⅱ）解：ππ
<+<B A 2 ，,4
3)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD. 则AB=AD+DB=.6
23tan tan +=+CD B CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.。