解析几何大题精选题,共四套

解析几何大题训练（一）
1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）
已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．
2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2
=4y 相切于点A 。

（1） 求实数b 的值；
（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;
|MN|=5
8
|AB|,求椭圆的方程.
4.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
解析几何大题训练（二）
1.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I)求椭圆C的离心率；
(II)如果|AB|=，求椭圆C的方程.
2.（2010北京）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。

3.（2010福建）（本小题满分12分）
已知抛物线C：过点A （1 , -2）。

（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，
且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。

4.（2010湖北）（本小题满分13分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，
解析几何大题训练（三）
1、在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r ，求k 的值。

（变式：若AOB ∠为锐角（钝角），则k 的取值范围。

）
2、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点. （1）若椭圆的离心率为3
3，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。

3、 已知动圆过定点，且与定直线相切.
（I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若是轨迹C 的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:.
4．(2010·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂
直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．
解析几何大题训练（四）
1．(2011·山东日照质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12
，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (18
，0)，求实数k 的取值范围．
2．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
(3)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
3．(2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12
. (1)求椭圆E 的方程； (2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
4、（2009辽宁卷文）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为
定值，并求出这个定值。

解析几何大题训练（一）
1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）
已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．
（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．
（1）直线AB 的方程是,05x 4px 2y ),2
(22222=+-=-=p px p x y 联立，从而有与 所以：4
521p x x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82=
（2）由p=4，化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A:(1,22-),B(4,24) 设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-2
1222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或.
2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（2） 求实数b 的值；
（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
【解析】（I ）由y x b
=+⎧⎨得2
440x x b --= (*)
因为直线l 与抛物线C 相切,所以2
(4)4(4)0b ∆=--⨯-=,解得1b =-.
（II ）由（I ）可知1b =-,故方程(*)即为2440x x -+=,解得2x =,将其代入24x y =,得y=1,故点A(2,1).
因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆心A 到抛物线C 的准线y=-1的距离等于圆A 的半径r, 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A 的方程为22
(2)(1)4x y -+-=.
3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分） 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;
(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF
与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58
|AB|,求椭圆的方程. 【解析】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >），因为212||||PF F F =
2c =，整理得 22()10c c a a +-=，即2210e e +-=，解得12
e =. (Ⅱ)
由（Ⅰ）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直线2PF
的方程为)y x c =-,
A,B
两点坐标满足方程组2223412)
x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消y 整理得2580x cx -=,解得0x =或85c ,所以 A,B
两点坐标为8()5c
,(0,),所以由两点间距离公式得|AB|=165
c , 于是|MN|=58
|AB|=2c ,
圆心(-到直线2PF
的距离d =, 因为2
22||()42MN d +=,所以223(2)164c c ++=,解得2c =,所以椭圆方程为2211612x y +=. 4.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为. （Ⅰ）求椭圆的焦距；（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
联立
解得因为
即得
故椭圆的方程为
解析几何大题训练（二）
1.（2010辽宁）（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.⑴求椭圆C 的离心率；⑵如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为，其中.
联立得
解得，因为，所以.
即，得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为. ……12分
2.（2010北京）（本小题共14分）
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。

解：（Ⅰ）因为，且，所以，所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知，由得
所以圆P的半径为，解得所以点P的坐标是（0，）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。

因为点在圆P上。

所以
设，则
3.（2010福建）（本小题满分12分） 已知抛物线C ：过点A （1 , -2）。

（I ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（II ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点， 且直线OA 与L 的距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由。

4.（2010湖北）（本小题满分13分）
已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1。

（Ⅰ）求曲线C 的方程
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，
都有＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

解析几何大题训练（三）
1、在直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r
，求k 的值。

（变式：若AOB ∠为锐角（钝角），则k 的取值范围。

）
解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0-，
为焦点，长半轴为2的椭
圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
，，消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故12122223
44
k x x x x k k +=-=-++，．若OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=． 而2
121212()1y y k x x k x x =+++，于是22
12122
2233210444
k k x x y y k k k +=---+=+++，
化简得2
410k -+=，所以12
k =±
． 2、已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点.
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。

解：（1）3
3
,22,33===
a c c e 即Θ2,322=-==∴c a
b a 则 （3分）
∴椭圆的方程为12
32
2=+y x （4分）
联立0365:112
322
2=--⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+
x x y x y y x 得消去 （5分）
2
12212221221212122114)(])1(1[)()(||5
3,56)
,(),,(x x x x y y x x AB x x x x y x B y x A -+-+=-+-=∴-==
+则设 （8分）
5
3
8512)56(22=+=
（10分）
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F 1（-1，0），直线AB 的方程为x+y-1=0, 所以点F 1到直线AB 的距离
=（12分）
又
∴△ABF 1的面积S=1
||2
AB d •
=12= （14分）
3、 已知动圆过定点，且与定直线相切.
（I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若是轨迹C 的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:. 解：（I ）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是………………….5分 （II ） …………….6分 ， ， ………8分
抛物线方程为 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 ， ， 所以，
4．(2010·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →
＝4，求y 0的值．
解析：(1)由e ＝c a ＝
32
，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2
，得a ＝2b . 由题意，可知1
2×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2
b ，ab ＝2，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.故椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)由(1)可知A (－2,0)，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．
于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋2，x 2
4
＋y 2
＝1.由方程组消去y 并整理，得
(1＋4k 2
)x 2
＋16k 2
x ＋(16k 2
－4)＝0.
由根与系数的关系，得－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，于是x 1＝2－8k 2
1＋4k 2，从而y 1＝4k
1＋4k 2.
设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2
1＋4k 2，2k 1＋4k 2.
以下分两种情况讨论：
①当k ＝0时，点B 的坐标是(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →
＝(2，－y 0)．由OA →·QB →
＝4，得y 0＝±2 2.
②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为
y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 2
1＋4k 2.令x ＝0，解得y 0＝－6k
1＋4k 2. 由OA →＝(－2，－y 0)，QB →
＝(x 1，y 1－y 0)， QA →
·QB →
＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 2
1＋4k 2
＋6k 1＋4k 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝416k 4＋15k 2
－1
1＋4k
22
＝4. 整理，得7k 2
＝2，故k ＝±
147.从而y 0＝±2145.综上，y 0＝±22，或y 0＝±2145
. 解析几何大题训练（四）
1．(2011·山东日照质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2
，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，
以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点
G (18
，0)，求实数k 的取值范围．
解析：(1)根据题意e ＝12，即c a ＝12，∴b a ＝a 2
－c 2
a ＝1－e 2
＝32，
又∵r ＝
|6|1＋1
＝b ，∴b ＝3，a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3
＝1，
y ＝kx ＋m
消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0，
∴Δ＝(8km )2
－4(3＋4k 2
)(4m 2
－12)＞0，即m 2
＜4k 2
＋3.① 由根与系数关系得x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m
3＋4k 2，
∴线段MN 的中点P 的坐标为(－4km 3＋4k 2，3m
3＋4k 2)．
又线段MN 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －18，
由点P 在直线l ′上，得3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
4km 3＋4k 2－18， 即4k 2
＋8km ＋3＝0.∴m ＝－18k (4k 2
＋3)，由①得4k 2
＋32
64k
2
＜4k 2
＋3，
∴k 2
＞120，即k ＞510或k ＜－510.∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫510，＋∞.
2．(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
(3)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，
ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
解析：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2
＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上， 所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2
＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
(3)方法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.
将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2
－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2
k
.
由ME ＝2DM 和1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2
＝4m
.
因此DE 2
＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2
＝(1＋1k 2)
4
1＋2mk
2
k
2
＝94
(m 2
＋4m )． 所以f (m )＝32
m 2
＋4m (m ＞0)．
方法二：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 22，s ，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 22，t .由点M (m,0)及ME →＝2DM →得t 2
－m ＝2(m －s 2
2)，t －0＝2(0－s )．
因此t ＝－2s ，m ＝s 2
.所以f (m )＝DE ＝
2s 2
－
s 2
2
2
＋－2s －s
2
＝
32
m 2
＋4m (m ＞0)． 3．(2010·安徽)如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆E 的方程； (2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1.
由e ＝12，即c a ＝12
，得a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2
.
于是椭圆的方程化为x 24c 2＋y 2
3c
2＝1.
将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3
c
2＝1，解得c ＝2(负值舍去)．
故椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)方法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，于是直线AF 1的方程为y ＝3
4(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直
线AF 2的方程为x ＝2.
由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则
|3x －4y ＋6|
5
＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，故舍去)． 于是由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0. 故直线l 的方程为2x －y －1＝0.
方法二：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→
＝(0，－3)． ∴
AF 1
→
AF 1→＋AF 2
→
|AF 2→|
＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－4
5(1,2)．
从而k 1＝2，l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.
(Ⅲ)方法一：假设存在这样的两个不同的点B (x 1，y 1)和C (x 2，y 2)， ∵BC ⊥l ，∴k BC ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝－1
2
. 设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝
x 1＋x 2
2
，y 0＝
y 1＋y 2
2
.
由于M 在l 上，故2x 0－y 0－1＝0.① 又点B 、C 在椭圆上，于是有x 1216＋y 12
12
＝1与x 2216＋y 22
12
＝1.
两式相减，得x 22－x 1216
＋
y 22－y 12
12＝0.
即
x 1＋x 2
x 2－x 116
＋
y 1＋y 2
y 2－y 1
12
＝0.
将该式整理为18·x 1＋x 22＋y 2－y 1x 2－x 1·16·y 1＋y 2
2＝0，并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该
表达式中，得18x 0－1
12
y 0＝0，即3x 0－2y 0＝0.②
①×2－②，得x 0＝2，y 0＝3. 即BC 的中点为点A ，这是不可能的． 故不存在满足题设条件的相异两点．
方法二：假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，则l ⊥BC ，从而k BC ＝－1
2
.
设直线BC 的方程为y ＝－12x ＋m ，将其代入椭圆方程x 216＋y 212＝1，得一元二次方程3x 2
＋4⎝ ⎛⎭⎪
⎫－12x ＋m 2＝48.
即x 2
－mx ＋m 2
－12＝0，且x 1与x 2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m . 于是y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝3m
2
.
从而线段BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，3m 4.
又线段BC 在直线y ＝2x －1上，于是3m
4＝m －1，得m ＝4.
即线段BC 的中点坐标为(2,3)，与点A 重合，矛盾． 故不存在满足题设条件的相异两点．
4、（2009辽宁卷文）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（3） 求椭圆C 的方程；
（4） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为
定值，并求出这个定值。

解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A 的坐标代入方
程： ，解得 ， （舍去）
所以椭圆方程为 。

（Ⅱ）设直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=得 2223
(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3
(1,)2
A 在椭圆上，所以
22
3
4()12
2x 34F k k --=+ 3
2E E
y kx k =+- ………8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
22
3
4()12
2x 34F k k
+-=+，3
2E E y kx k =-++ 所以直线EF 的斜率()21
2
F E F E EF F E F E y y k x x k K x x x x --++=
==--
即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2。

……12分
221914(1)
a a +=-2
4
a =22114
a c =<=22
143x y
+=。