数学人教B版选修2-3课堂探究 2.2.1条件概率 含解析 精

课堂探究
探究一 条件概率的计算
对于条件概率的计算问题，首先要判断是否是条件概率，若确定为条件概率，则可采用下面两种方法进行计算：
(1)从古典概型角度看，事件有限定的前提条件，则各事件包含的基本事件个数发生了变化，故首先要准确计算各事件包含的基本事件个数，然后得出条件概率，即
P (B |A )＝n (AB )n (A )
，n (AB )表示AB 同时发生包含的基本事件的个数，同理n (A )表示事件A 发生所包含的基本事件的个数．当然这个公式只是对于古典概型而言，即组成事件A 的各基本事件发生的概率相等(等可能事件)．
(2)利用条件概率的定义，先分别求出P (A )和P (A ∩B )，再用P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )
求解． 【典型例题1】 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
思路分析：根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解．
解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的基本事件数为A 25＝20.根据分步乘法计数
原理，事件A 包含的基本事件数为A 13×A 14＝12.故P (A )＝1220＝35
. (2)因为事件A ∩B 包含的基本事件数为A 23＝6，
所以P (A ∩B )＝620＝310
. (3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为
P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035
＝12
. 方法2：因为事件A ∩B 包含的基本事件数为6，事件A 包含的基本事件数为12，所以P (B |A )＝612＝12
. 探究二 条件概率的应用
复杂的条件概率问题可以先分解为两个(或多个)较简单的互斥事件的并，再求这些简单
事件的概率，最后利用概率加法公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求得复杂事件的概率，但在拆分时要保证拆分的事件之间互斥．
【典型例题2】已知袋中有6个黑球，4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中依次取出3个球，不放回．若第一次取出的是白球，求第三次取出黑球的概率．思路分析：第三次取出黑球是在第一次取出白球的条件下发生的，属于条件概率．
解：设A＝{第一次取出的是白球}，B＝{第三次取出的是黑球}，则P(B|A)＝P(AB) P(A)＝
4 10×3
9×6
8＋4
10×
6
9×
5
8
4 10＝
4
15
4
10
＝
2
3.
探究三易错辨析
易错点：误认为P(B|A)与P(B)相同
【典型例题3】设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.7，活到20岁的概率为0.3，现有一个10岁的这种动物，则它能活到20岁的概率是多少？
错解：它能活到20岁的概率为0.3.
错因分析：出现错误的原因是不明白题意，误认为动物活到20岁的概率与10岁的动物活到20岁的概率相同．
正解：设该动物活到10岁的事件为A，活到20岁的事件为B，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.3.
由于A∩B＝B，所以P(A∩B)＝P(B)．
所以这个动物能活到20岁的概率为P(B|A)＝P(B)
P(A)＝
0.3
0.7＝
3
7.。