正弦定理 a 2
正弦余弦互化公式
正弦余弦互化公式
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。
余弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则称关系式，a^2=b^2+c^2-2bc*cosa。
正弦定理：设三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，外接圆半径为r，则称关系式a/sina=b/sinb=c/sinc为正弦定理。
余弦定理：设立三角形的三边为a b c，他们的对角分别为a b c，则表示关系式
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
c^2=a^2+b^2-2ab*cosc。
证明：
任意三角形abc，作abc的外接圆o。
并作直径bd交⊙o于d，相连接da.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠dab=90度，
因为同弧所对的圆周角成正比，所以∠d等同于∠c。
所以c/sinc=c/sind=bd=2r。
相似可以证其余两个等式。
正弦定理二
a b c 正弦定理: (1)正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
(2)正弦定理解两种类型的三角问题: 正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角, 已知两边和其中一边的对角 他的边和角. 他的边和角.
角 化 为 边
因此三角形为等腰直角三角形. 因此三角形为等腰直角三角形.
变形: 变形:sinA b = sinB a
cos A a = cos B b
cos A b = cos B a
已知 ABC 中,满足
(a 2 + b 2 ) sin( A B) = (a 2 b 2 ) sin( A + B ) ,试判断 ABC
b sin A 2 sin 30o sin B = = =1 a 1 π
C b A a=bsinA B
又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 所以 2 即三角形ABC有一解 有一解. 即三角形 有一解
(1)已知ABC 中,A= 30°,a=1,b=2,则 ( A ) ) ° , , A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (2)已知ABC中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , (B) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , 1 (3)已知ABC 中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , ( ) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (4)已知 ABC 中,A=30°,a=m ,c=10,有两解, ) ° ,有两解, 则m范围是 范围是 . 由正弦定理得: 解:(2)由正弦定理得 2 由正弦定理得 又 B ∈ (0, π )且a<b π 3π 所以 B = 或
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<a< b a为a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。
正弦定理和余弦定理
返回
[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
返回
[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
返回
2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
余弦定理和正弦定理(二)-高考数学复习
（1）若 D 是 BC 的中点，求 AD 的长度；
解：∵ AB ＝2， AC ＝4，△ ABC 的面积为2 3 ，
1
∴ S △ ABC ＝ AB ·AC ·sin
2
∴ sin ∠ BAC ＝
1
∠ BAC ＝ ×2×4×
2
3
，又∠ BAC 为钝角，
2
sin ∠ BAC ＝2 3 ，
目录
高中总复习·数学
A ＞ sin B ；③ a － b ＜ c ＜ a ＋ b 及三角函数的性质、三角恒等变
换公式等推导证明.
目录
高中总复习·数学
△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 cos
A ）＋
2（ π ＋
2
5
cos A ＝ .
4
（1）求 A ；
解：由已知得 sin
即 cos
2A－
2A＋
5
cos A ＝ ，
4
1
cos A ＋ ＝0.所以（
4
1
cos A － ）2＝0，
2
1
cos A ＝ .
2
π
由于0＜ A ＜π，故 A ＝ .
3
目录
高中总复习·数学
（2）若 b － c ＝
3
a ，证明：△ ABC 是直角三角形.
3
解：证明：由正弦定理及已知条件可得 sin B － sin C ＝
又 sin
2A＋
cos
2 A ＝1，∴
3 10
sin A ＝
.
10
目录
高中总复习·数学
（2）设 AB ＝5，求 AB 边上的高.
22正弦定理和余弦定理
3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指 南方向线与目标方向线所北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方
位角. 4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般
可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或
“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.
[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点) 走私船,则CD= 10 3 t海里,BD=10t海里,在
3 1 )·2·cos120°=6,
△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
3 1 ∴BC=
(
)2+22-2(
6 海里.
又∵
BC AC , sinA sinABC
考点陪练
1.已知 ABC中, a 2, b 3, B 60, 那么角A等于( A.135 B.90 C.45 D.30
a b 2 解析 :由正弦定理 ,得 sinA sinB sinA
)
3 2 , 可得sinA . 2 3 2 又a 2 b 3, 所以A B, 所以A 45.
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关
系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可
以综合起来运用. 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式 的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=
正弦定理(2)
(4) sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
＝a C sin
＝b A sin
＝c B sin
. C
正弦定理的用途：
1、已知两角和任一边,求其他两边和一角;
1已知A、B、a. 求C、b、c.
2已知A、B、c.求a、b、C.
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 及其他的边和角
3
2
（1）求 b 的值；（2）求 ABC 的面积.
2
【解析】（1）∵ 0 A ，∴ sin A
1 cos2 A
1
6 3
3， 3
又∵
B
A
2
，∴ sin
B
sin
A
2
cos
A
6， 3
由正弦定 理
a
b
，得 b a sin B 3
6 3
3
2；
sin A sin B
sin A
3
3
（2）
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； 解 (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
(2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴本题有两解．
2
当 B C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ；
2
2
当 C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ．
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
正弦定理的公式是什么
正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。
弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。
把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
正弦定理
C
20 60° B
(3) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a 20 2√3 ∵ > 1, 3 ∴ 无解. A 60° C
思考: 当b=20,A=60°,a=?时,
有1解,2解,无解.
练习
ABC中, (1)已知c=√3,A=45°,B=75°, 则a=____, √2 (2)已知c=2,A=120°,a=2√3, 30° 则B=____, (3)已知c=2,A=45°,a= 2√6 ,则 3 B=_____________. 75°或15°
正弦定理
பைடு நூலகம்
正弦定理; 正弦定理;
在直角三角形ABC中的边角关系有:
a 形是否也有这个c b c= , c = 关系? = ,c 关系? sin C sin A sin B
a b c sin A = , sin B = , sin C = 1 = 对于一般的三角 c c c
c
B a
a b c A = = sin A sin B sinC
B1
注:这是一类已知两边的其中一边的对角解三角形的问题 这是一类已知两边的其中一边的对角解三角形的问题
在例 2 中,将已知条件改为以下几种 情况,结果如何? (1) b=20,A=60°,a=20√3 ; (2) b=20,A=60°,a=10√3 ; (3) b=20,A=60°,a=15. b 60° B C
a ≤ b 无解 a > b 一解(锐角)
C a b
C b a
A
A
作业: 作业
ABC c = 10, A = 450 , C = 300 , 求a, b和B 中, 1,已知在 ,
中, = 3, B = 60 , c = 1, 求a和A, C b 2,在 ABC ,
第一节 正弦定理和余弦定理(知识梳理)
第一节 正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin c C=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin Absin A<a<ba ≥ba>b解的个数 一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B, c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222bc a bc+-,cos B=2222ac b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222b c a bc+-(设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0, 所以sin(A+C)=12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b, 所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解 (C)无解(D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得sin b B =sin cC,所以sin B=sin b Cc=40220>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.在△ABC 中,A=60°则△ABC 的面积等于 .解析:=4sin B, 所以sin B=1, 所以B=90°, 所以AB=2,所以S △ABC =12×2×23=23.答案:234.(2019·临海高三检测)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a, 所以a=53b,c=73b,所以cos C=2222a b c ab +-=22257()()33523b b b b b +-⨯⨯=-12. 因为C ∈(0,π), 所以C=2π3. 答案:2π3考点一 利用正弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC 中32°,求角A,C 和边c;(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若3求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin bB , 得sin A=sin a B b3,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A⋅=2·sin 75°62+②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°62-解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得3=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图,易知sin C=45, cos C=35.在△BDC 中,由正弦定理可得sin BD C=sin BC BDC∠, 所以BD=sin sin BC C BDC⋅∠4352⨯122.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos ∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin ∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)] =sin(∠C+∠BDC)=sin C ·cos ∠BDC+cos C ·sin ∠BDC=45×2+35×2=72.答案122722.在△ABC 中,B=60°3则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 3所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin A 7ϕ),其中,tan ϕ3,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为7答案7考点二 利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)433(C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4, 由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab+-=12, 即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A 等于( C )(A)3π4 (B)π3 (C)π4 (D)π6解析:在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 因为b=c,所以a 2=2b 2(1-cos A), 又因为a 2=2b 2(1-sin A), 所以cos A=sin A,所以tan A=1, 因为A ∈(0,π),所以A=π4,故选C. 考点三 正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B; (2)若6,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222a c b ac+-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.解:(2)由cos A=63可得sin A=33,由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =3326+,所以△ABC 的面积S=12absin C=3322+.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A ,故sin Bsin C=23.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=- 12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=23sinaA,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.类型一利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( A )(A)725 (B)-725(C)±725(D)2425解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=45,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=725.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,-∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于( A )(A)30°(B)60°(C)120° (D)150°解析:因为p∥q,cos B=sin B,所以即得所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,,又由sin A≠0,得sin A=12所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=1.5b,又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-125整理得5b2-12b-65=0,解得b=-135(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =64+25-2×40×12 =49,故a=7,即BC=7. 答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用 5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC的平分线则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD .由题意知0°<∠ADB<60°, 所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°, 所以于是由余弦定理,得AC=222cos120AB BC AB BC ︒+-⨯=()()221222222⎛⎫+-⨯⨯- ⎪⎝⎭=6.故选D.。
第三章 第七节 正弦定理和余弦定理
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时， 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主 要有如下两种方法： 要有如下两种方法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过 ．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系， 因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角 因式分解、配方等得出边的相应关系， 形的形状； 形的形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 ．利用正、 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ＋ ＋ ＝ 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝ π这个结论． 这个结论． 这个结论
解析： 解析：由 sinC＝2 3sinB 可得 c＝2 3b， ＝ ＝ ， 由余弦定理得 b2＋c2－a2 － 3bc＋c2 ＋ 3 cosA＝ ＝ ＝ ＝ ， 2bc 2bc 2 于是 A＝30°. ＝
答案： 答案：A
AC 3． 在锐角 △ ABC 中 ， BC＝ 1，∠ B＝ 2∠ A， 则 ． 在锐角△ ＝ ， ＝ ∠ ， cosA ＝ ________.
a c sinA 3cosC 解：(1)因为 因为 ＝ ， a ＝ c ，所以 sinC＝ ＝ sinA sinC 3cosC. 所以 tanC＝ 3. ＝ π 因为 C∈(0，π)，所以 C＝ . ∈ ， ， ＝ 3
uur uuu r uur uuu r 1 (2)因为CA · CB ＝| CA || CB |cosC＝ ab， 因为 ＝ ， 2 uur uuu r ， 又因为 CA · CB ＝4，所以 ab＝8.
解三角形时， 二、在△ABC中，已知 ，b和A解三角形时，解的情况如下： 中 已知a， 和 解三角形时 解的情况如下： A为钝角或直 为钝角或直 角
正弦定理知识点
1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R其中R 为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形： ①π=++C B A②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+ ③C ab S abc sin 21=∆题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1. 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.变式练习1：1.已知ΔABC ，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.2 2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-8 3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x 的性质决定） 例2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆变式练习1：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆变式练习2：0135,ABC a A b B ∆===中，求变式练习3： 在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15变式练习4：在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。
题型三：外接圆问题 例3. 试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径变式练习1：在△ABC 中，kCcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A 2R B RC 4RD R 2(R 为△ABC 外接圆半径)变式练习2：在ABC ∆中，5,40,20===c B A oo ，则R 2为 （ ）A 、3310 B 、10 C 、25 D 、210变式练习3：在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （ ） A 、B A sin sin + B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -变式练习4：设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．题型四：比例问题 例4.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．变式练习1：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
双正弦定理
双正弦定理一、什么是双正弦定理呢？嘿呀，小伙伴们，这双正弦定理啊，就像是数学世界里的一个小宝藏呢。
它其实是和三角形的正弦相关的一个超有趣的定理。
在一个三角形中啊，它有着独特的关系表达式。
比如说啊，对于三角形ABC，有这么个关系存在哦。
这双正弦定理呢，就像是三角形各个边和角之间的一种神秘的默契约定，就好像它们之间在悄悄地说：“嘿，按照这个规则来，我们就能完美地相处啦。
”二、双正弦定理的推导咱们来聊聊这个双正弦定理是怎么来的吧。
想象一下，我们从最基本的三角形的正弦定理开始，那就是a/sinA = b/sinB = c/sinC。
然后呢，经过一些巧妙的数学变换，这里面可是有好多数学小魔术的哦。
比如说，通过对三角形的一些特殊性质的运用，像面积关系啊，或者是相似三角形的一些原理之类的。
经过这么一通捣鼓，就得出了双正弦定理啦。
这个过程就像是在玩一个超级有趣的数学拼图游戏，一块一块地把这个定理的全貌给拼出来了呢。
三、双正弦定理的应用这双正弦定理在解决三角形的各种问题的时候，那可是相当厉害的哦。
比如说，当我们知道三角形的某些角和边的关系，想要去求另外一些未知的边或者角的时候，双正弦定理就像一把神奇的钥匙，一下子就能打开那扇求解的大门。
举个例子哈，如果我们知道三角形ABC中，角A、角B的大小，以及边a的长度，我们就可以利用双正弦定理轻松地求出边b的长度呢。
而且啊，在一些几何证明题中，双正弦定理也能派上大用场。
它就像一个隐藏的线索，一旦被发现并使用，就能让整个证明过程变得清晰明了，就好像是在一团迷雾中突然亮起了一盏明灯一样呢。
四、双正弦定理的记忆小窍门这个定理看起来有点复杂，但是我们可以想一些小办法来轻松记住它。
我们可以把它和三角形的形状联系起来，想象一下三角形的每个角和边就像一个小团队里的成员，它们按照双正弦定理的规则在互相配合。
或者呢，我们可以自己编一个小口诀，就像“双弦定理不简单，角边关系仔细参”之类的。
这样，每次一想到这个口诀，就能很容易地想起双正弦定理的大概内容啦。
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方法：头固定，眼球尽量左转25下，然后右转25下，一般后颈部就会有发胀的感觉，用手按摩揉一揉，马上就缓解了，这个时候你注意眼睛，是否要明亮些。
这个方法的诀窍是后颈一定要发胀，什么穴位就不说了，只要是近视眼后颈就会发胀，如果25次不够就做50次，发胀后马上揉揉两分钟。
每天有空就做双目向左转3圈后，平视前方片刻(默数5下)，双目再向左转3圈，平视前方片刻。
每日早晚转两次，不要间断，日久坚持，即见功效正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]【英语】seriously disturb social order促进经济和社会发展to promote economic对健康有好处make for good health对健康有危害a hazard to health破坏环境、污染环境poisoning the environment环境保护protect the environment浪费时间、浪费金钱、浪费精力a waste of money,time and energy促进学习facilitating learning影响学习influnce one's study提高自身水平upgrade oneself反对disapproval赞成in favor of高考英语8分作文段首句1. 关于……人们有不同的观点。
一些人认为……There are different opinions among people as to ____ .Somepeople suggest that ____.2. 俗话说（常言道）……，它是我们前辈的经历，但是，即使在今天，它在许多场合仍然适用。
There is an old saying______. Its the experience of ourforefathers，however，it is correct in many cases eventoday.3. 现在，……，它们给我们的日常生活带来了许多危害。
首先，……；其次，……。
更为糟糕的是……。
Today, ____, which have brought a lot of harms in our dailylife. First, ____ Second,____. What makes things worse isthat______.4. 现在，……很普遍，许多人喜欢……，因为……，另外（而且）……。
Nowadays，it is common to ______. Many people like ______because ______. Besides，______.5. 任何事物都是有两面性，……也不例外。
它既有有利的一面，也有不利的一面。
Everything has two sides and ______ is not an exception，ithas both advantages and disadvantages.6. 关于……人们的观点各不相同，一些人认为（说）……，在他们看来，……People’s opinions about ______ vary from person to person.Some people say that ______.To them,_____.任何事物都是有两面性，…也不例外。
它既有有利的一面，也有不利的一面。
Everything has two sides and()is not an exception，it has both advantagesand disadvantages.…已成为人的关注的热门话题，特别是在年青人当中，将引发激烈的辩论。
() has become a hot topicamong people，especially among the young andheated debates are right on their way.…在我们的日常生活中起着越来越重要的作用它给我们带来了许多好处，但同时也引发一些严重的问题。
() has been playing anincreasingly important role in our day-to-daylife.it has brought us a lot of benefits buthas created some serious problems as well人类正面临着一个严重的问题…，这个问题变得越来越严重。
Man is now facing a big problem () which is becomingmore and more serious.根据图表/数字/统计数字/表格中的百分比/图表/条形图/成形图可以看出…。
很显然…，但是为什么呢？According to the figure/number/statistics/percentagesin the /chart/bar graph/line/graph，it can be seen that() while. Obviously，()，but why?Recently, the problem of … has aroused people’s concern. 最近,……问题已引起人们的关注.The Internet has been playing an increasingly important role in our day-to-day life. It has brought a lot of benefits but has created some serious problems as well.互联网已在我们的生活中扮演着越来越重要的角色.它给我们带来了许多好处,但也产生了一些严重的问题.Nowadays, (overpopulation) has become a problem we have to face.如今，（人口过剩）已成为我们不得不面对的问题了.It is commonly believed that … / It is a common belief that … 人们一般认为……Many people insist that … 很多人坚持认为……With the development of science and technology, more and more people believe that…随着科技的发展,越来越多的人认为……A lot of people seem to think that … 很多人似乎认为……引出不同观点:People’s views on … vary from person to person. Some hold that …. Howeve r, others believe that….人们对……的观点因人而异.有些人认为……，然而其他人却认为……People may have different opinions on …人们对……可能会有不同的见解.Attitudes towards (drugs) vary from person to person.人们对待吸毒的态度因人而异.There are different opinions among people as to …关于……，人们的观点大不相同.Different people hold different attitudes toward (failure). 对(失败)人们的态度各不相同。
结尾Taking all these factors into consideration, we naturally come to the conclusion that…把所有这些因素加以考虑,我们自然会得出结论……Taking into account all these factors, we may reasonably come to the c onclusion that …考虑所有这些因素,我们可能会得出合理的结论……Hence/Therefore, we’d better come to the conclusion that …因此,我们最好得出这样的结论……There is no doubt that (job-hopping) has its drawbacks as well as merits.毫无疑问,跳槽有优点也有缺点.All in all, we cannot live without … But at the same time we must try to find out new ways to cope with the problems that would arise.总之,我们没有…是无法生活的.但同时,我们必须寻求新的解决办法来对付可能出现的新问题.提出建议:It is high time that we put an end to the (trend).该是我们停止这一趋势的时候了.It is time to take the advice of … and to put special emphasis on the improvement of …该是采纳……的建议，并对……的进展给予特殊重视的时候了。