闭包运算

复习
2.4 设X={0,1,2,3}, R 1 {(i , j ) | j i 1或 j i 2} {(0,1), (1, 2), (2, 3), (2,1), (0, 0)} R 2 {(i , j ) | i j 2} {(2, 0), (3,1)} 解：(1) R 1 R 2 {(1, 0), (2,1)} (2) R 2 R 1 {(2,1), (2, 0), (3, 2)} (3) R 1 R 2 R 1 {(1,1), (1, 0), (2, 2)}
第五节 关系的闭包
三、传递闭包（必须具备条件1,2）
定义 2.19 设 R 是非空集合 A 上的关系, R 的传递闭包 t(R) 是 A 上的关系,t(R)满足以下条件： （1）t(R)是传递的； （2）R t(R) （3）对 A 上任何包含 R 的传递关系 R ，有 t(R)R.
说明：R 的传递闭包 t(R)，就是所有包含 R 且具备传递 性的关系中最小的那个.
2.9 设有X上的关系R， E 是X上的恒等关系，试证 (1) R是自反的当且仅当 E R 证明： R是自反的 x X , ( x , x ) R E R x X , ( x, x ) E 且 ( x, x ) R R是自反的当且仅当 E R (2) R是反自反的当且仅当 E R = 证明： R是反自反的 x X , ( x , x ) R E R = x X , ( x, x ) E 且( x, x ) R x X , ( x, x ) R R是反自反的当且仅当 E R =
例题 3 设 A＝{1,2,3}, R 是 A 上的关系, 其中
R＝{(1,1), (1,2),(3,1), (2,3)}， 则，t(R)= {(1,1), (1,2),(3,1), (2,3)， （1，3）（3，2） ， ， （2，1）,(3,3),(2,2)}
第四节 关系的性质 N是不是元素的个数？？？
则 R 的自反闭包 r(R)=R∪E
第五节 关系的闭包
二、对称闭包
(即给的关系中所有元素组的对称)
定义 2.19 设 R 是非空集合 A 上的关系, R 的对称闭包 s(R) 是 A 上的关系,且 s(R)满足以下条件： （1）s(R)是对称的； （2）R s(R) （3）对 A 上任何包含 R 的对称关系 R ，有 s(R)R.
练习3
设 A＝{1,2,3}, R 是 A 上的关系, R＝{(1,1), (1,2),(3,1), (2,2)}， 则，t(R)= {(1,1), (1,2),(3,1), (2,2),(3,2)}
定理2.5 若R是A上的关系，则R的传递闭包 t( R) = R R 2 R 3 R 4
复习
2.4 设X={0,1,2,3}, R 1 {(i , j ) | j i 1或 j i 2} {(0,1), (1, 2), (2, 3), (2,1), (0, 0)} R 2 {(i , j ) | i j 2} {(2, 0), (3,1)} 解：(1) R 1 R 2 {(1, 0), (2,1)} (2) R 2 R 1 {(2,1), (2, 0), (3, 2)} (3) R 1 R 2 R 1 {(1,1), (1, 0), (2, 2)}
第五节 关系的闭包
说明： 本节主要学习 R 的自反闭包 r(R), 对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)的定义和性质，并会求上述闭包.
第五节 关系的闭包
一、自反闭包（自反----点的自环）
定义 2.19 设 R 是非空集合A 上的关系 R 的自反闭包r(R) , 是 A 上的关系 r(R) ,且 满足以下条件： （1）r(R) 是自反的； （2）R r(R) （3）对 A 上任何包含R 的自反关系 R ，有 r(R) R.
2.9 设有X上的关系R， E 是X上的恒等关系，试证 (3) R是对称的当且仅当ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR R 证明： R是对称的 x、 y X , 若 ( x , y ) R , 则( y , x ) R ( x, y ) R ( y , x ) R R是对称的当且仅当 R R (4) R是反对称的当且仅当 R =R 证明： R是反对称的 x、 y X , 若 ( x , y ) R且 x y，则( y , x ) R R = R x、 y X , 若 ( x , y ) R且 x y，则( y , x ) R R是反对称的当且仅当 R = R R是反自反的当且仅当 E R =
说明：R 的自反闭包 r(R)，就是所有包含 R 且具备自反 性的关系中最小的那个.
例题 1 设 A＝{1,2,3}, 是 A 上的关系, 其中 R
R1＝{(1,1), (1,2),(3,1), (2,2)}， 则，r(R)= {(1,1), (1,2),(3,1), (2,2),(3,3)}
第五节 关系的闭包 （自反闭包=题中关系R + 每个点的自环）
说明：R 的对称闭包 s(R)，就是所有包含 R 且具备对称 性的关系中最小的那个.
例题 2 设 A＝{1,2,3}, R 是 A 上的关系, 其中
R＝{(1,1), (1,2),(3,1), (2,2)}， 则，s(R)= {(1,1), (1,2),(2,1),(3,1),(1,3) ,(2,2)}
第五节 关系的闭包
练习2 求下列关系的对称闭包
设 A＝{1,2,a,b}, R 是 A 上的关系, R＝{(1,a), (2,2),(b,1), (b,b)}， 则，s(R)= {(1,a), (2,2),(b,1), (b,b),(a,1),(1,b)}
定理2.4 若R是A上的关系，R是R的逆关系， 则R的对称闭包s( R) = R R
练习1 求下列关系的自反闭包
设 A＝{1,2,a,b}, R 是 A 上的关系, R＝{(1,a), (2,2),(b,1), (b,b)}， 则，r(R)= {(1,a), (2,2),(b,1), (b,b),(1,1),(a,a)}
定理 2.3 若 R 是 A 上的关系, E 是 A 上的恒等关系，