高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质1导学案新人教版

1.4.2 正余弦函数的性质（1）
【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.
2.会求一些简单三角函数的周期.
【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期
【基础知识】
函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636
π
ππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？
（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）
2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||
T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）
③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）
从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）
3.求周期的方法：
（1）公式法：
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||
T πω=
（2）定义法：f (x+T)=f (x)
（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .
（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？
①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数） ②)
()(x f k x f ±=+α（其中k 为非零常数） ③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )
(1)(1)(x f x f x f -+=+α ④)2()1()(---=x f x f x f
⑤)(x f 关于a x =和b x =对称
⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称
⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称
【例题讲解】
例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-
，x R ∈．
例2 求下列三角函数的周期：
①y=sin(-x+3π
)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π
).
例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.
【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（ ）
A 、a π
B 、||a π
C 、a π2
D 、||2a π
2、函数1)34cos(2)(-+=π
kx
x f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（
）
A 、13
B 、12
C 、11
D 、10
3、求下列函数的最小正周期：
（1）=-=T x
y ),23sin(ππ .
（2）=+=T x y ),62cos(π
π .
4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π
，则=ω .
5、求函数的周期：
（1）x y cos 2
1=
周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： .
（4）x y 2sin 4
3=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？
7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.
【问题与收获】 参考答案：
例1： ① π2 ② π ③ π4
例2： ① π2 ② π ③ π4
例3： ① π ② π
达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±
5、 π2， 8π， π， π 6f (x+)=|sin(x+7、)4,2[π。