9.18周末立体几何练习测试—斜二测画法,异面直线所成角,直线和平面平行
第8章立体几何专题6 异面直线所成的角-新教材高中数学必修(第二册)常考题型专题练习
设 G 是 AC 中点，分别连接 EG、GF，由已知得 EG∥ 1AB，FG∥ 1CD，
2
2
∴∠EGF 是 AB 和 CD 所成角或是其补角．
∵AB＝CD，∴EG＝GF．
当∠EGF＝30°时，AB 和 EF 所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB 和 EF 所成角∠GEF＝15°．
9、过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l ，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等， 这样的直线 l 可以作（ ）
【知识总结】
异面直线所成的角
1、异面直线所成的角
①定义：设 a, b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a//a ， b//b ，把 a 与 b 所成
的锐角或直角叫做异面直线
a
,
b
所成的角(或夹角)②范围：
0,
2
2、求异面直线成角方法
(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
A. 30
B. 45
C. 60
【答案】C
【解析】取 SA的中点 F ，连接 EF ， BF ，则
D. 90
∵ E 为棱 SC 的中点，
EF / /AC , 则 BEF （或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角， AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF 3
是 PC 的中点,求 MO 与 AB 所成的角的大小.
【答案】 60 【解析】连接 AC 交 BD 于 O ，由于 M , O 分别是 PC, AC 的中点，故 OM / /PA ，故 PAB 即直线 MO 与直线 AB 所成的角，由于四棱锥底面边长和侧棱长相等，故三角形 PAB 是等 边三角形，所以 PAB 60 . 故填： 60 .
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
异面直线所成的角专项练习
异面直线所成的角专项练习异面直线是不在同一个平面上的两条直线。
它们所成的角度可以用三角函数来计算。
以下是关于异面直线所成角的专项训练。
1.异面直线的定义与取值范围异面直线是不在同一个平面上的两条直线。
它们所成的角度的取值范围是0到90度之间。
2.求两条异面直线所成角的步骤：1) 找到两条异面直线的公共点。
2) 找到两条直线在平面上的投影线，计算它们的夹角。
3) 用三角函数计算两条异面直线所成的角度。
类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与BC1所成的角为多少？解析：首先，找到两条异面直线的公共点，即点D。
然后，找到它们在平面上的投影线，即线段BC和线段A1D。
计算它们的夹角，可以得到cosθ=1/√3，因此θ=30度。
答案为A。
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C的中点，则直线EF与GH所成的角是多少？解析：同样地，找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段EF和线段GH。
计算它们的夹角，可以得到cosθ=√2/2，因此θ=45度。
答案为B。
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点C1.找到它们在平面上的投影线，即线段DC1和线段BE。
计算它们的夹角，可以得到cosθ=-1/√10，因此θ=104.48度。
答案为B。
4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为多少？解析：找到两条异面直线的公共点，即点A1.找到它们在平面上的投影线，即线段A1B和线段AD1.计算它们的夹角，可以得到cosθ=4/√73，因此θ=67.22度。
答案为D。
5.点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是多少？解析：根据题目描述，点P在正方形ABCD所在平面外，因此可以找到两条异面直线，即线段PB和线段AC。
新必修二 8.2 立体图形的直观图(斜二测画法) 教案+练习
8.2 立体图形的直观图（斜二测画法）【要点梳理】要点一、平行投影（选讲）1．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．2．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点三、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点四、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体。
考点练习(必修二)：斜二测画法与直观图(附答案)
斜二测画法与直观图一、直观图1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点2. 利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()3. 有一个长为 5 cm，宽为 4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.4. 画出如图水平放置的直角梯形的直观图．5. 画出水平放置的等腰梯形的直观图．6. 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图．7. 画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．二、确定原图1. 斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a，那么原图多边形面积是_______．2. 如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm24. 如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()5. 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．6. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( )A.12B.22 C. 2 D ．2 27. 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________．(填四边形的形状)三、空间几何体的三视图1. 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．2. 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)3. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b 的最大值为（ ） A ． 22 B ． 32 C ． 4D ． 52参考答案斜二测画法与直观图一、直观图1. 答案 B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．2. 答案 C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3. 答案5 2解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4. 解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)所示．(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示．5. 解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．6. 解 画法：(1)在图(1)中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图(2)中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图(2)中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD . (4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图(3))．7. 解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，如图(1)所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示．(2)如图(2)所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过点E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC .(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示， 四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图． 二、确定原图 1. 略2. 解析：选B 由题图知A ′C ′∥y ′轴，A ′B ′∥x ′轴，由斜二测画法知，在△ABC 中，AC ∥y 轴，AB ∥x 轴，∴AC ⊥AB .又因为A ′C ′＝A ′B ′，∴AC ＝2AB ≠AB ，∴△ABC 是直角三角形．3. 解析：选C 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2. 4. 答案 C解析 在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为C.5. 解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.6. 答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C. 7. 答案 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OA ＝O ′A ′＝6(cm)，OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝22＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．三、空间几何体的三视图1. 解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图1所示．(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′轴、y ′轴，z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°如图2所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O 的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图2.(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.2. 解画法：(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.(3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．3. 【解析】如图，设此棱正投影线段的高为h，侧投影的宽为d，则1d；a a，dhba67从而ab +=2()88a b +=++当h a b +4． 法二：D 1C 1B 1A1D CBA以1AC =1111ABCD A B C D -，以1AC 的正视图，俯视图，侧视图中的投影分别为1DC ，1BC ，AC ∴2222714a b ++=⨯=，解得：228a b +=设a θ=，b θ=，∴π4sin 4a b α⎛⎫+=+⎪⎝⎭，∴max ()4a b +=。
数学-异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1 如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解 取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟 求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解 如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解 如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟 求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解 如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案 A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案 B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案 D解析 如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案 A 解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案 A解析 延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案 60°解析 如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案 60°解析 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解 如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案 D解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案 D解析 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案 D解析 如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案 C解析 翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案 BCD解析 由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解 (1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。
暑假复习一 立体几何 异面直线角和线面平行
（1）A 1B 1与CC 1所成的角； （2）A 1B 与CC 1所成的角；（3）A 1C 1与BC 所成的角； （4）A 1C 1与D 1C 所成的角；变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ）（A ）45°（B ）60° （C ）90°（D ）120°例2、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AA 1 = AB = 2， AD = 1，求异面直线A 1C 1与BD 1所成角的余弦值。
变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1 = AB = 2，AD = 1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是__________。
（四）课后作业：1、空间四边形ABCD 中，P 、R 分别是AB 、CD 的中点，且PR =3，AC = BD = 2，求AC 与BD 所成的角。
2、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，N 为BB 1的中点，求A 1M 与C 1N 所成角的余弦值。
ACBDRPABA 1B 11C 1C DMN D E G FD 1D C 1B 1A 1CA前兴教育教研中心——高一数学复习暑假班PEDCBA二、有关平行的证明类型一：利用三角形中位线的性质1、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
2、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
求证： PA ∥平面BDE类型二 ：利用平行四边形的性质1．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;2、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；3．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ；（第1题图）ABC DEF G M。
异面直线所成的角专项练习题
异面直线所成的角专项训练1、异面直线的定义与取值范围2、求两条异面直线所成角的步骤：(1) ；(2) ；3) ；类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）A ．30° B．45° C．60° D．90°3．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11BC 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） AB．．510- D． 4．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A 、910B 、45C 、710D 、355．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是A ．︒60B ．︒90C ．︒45D ．︒306．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为 A ．23 B ．33C ．22D ．217．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）A.B.C.D .8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）A.0 B.45 C.60 D.909．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 则异面直线11AB 与1BD 的夹角大小A1等于 60°（作业）1、在正方体1AC 中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线CM 和1D N 所成的角？求异面直线1A M 和1D N 所成的角？7．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，求直线AM 与CN 所成角的余弦值6．如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。
立体几何专题解答题(含解析)
《立体几何》专题训练（解答题）空间向量在立体几何的运用：(1)异面直线所成的角：设a ，b 分别为异面直线a ，b 的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos θ＝|a ·b ||a ||b |. (2)线面角：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角满足sin θ＝|l ·n ||l ||n |.(3)二面角：①如图(1)，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．②如图(2)(3)，n 1，n 2分别是二面角a －l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝－cos 〈n 1，n 2〉或cos 〈n 1，n 2〉．一．利用空间向量证明平行与垂直(厦门模拟)如图，在直三棱柱ADE -BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，F (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，0，0，O ⎝⎛⎭⎫12，12，12.(1)OM →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，BA →＝(－1，0，0)，所以OM →·BA →＝0， 所以OM →⊥BA →.因为棱柱ADE -BCF 是直三棱柱，所以AB ⊥平面BCF ，所以BA →是平面BCF 的一个法向量，且OM ⊄平面BCF ，所以OM ∥平面BCF . (2)设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为DF →＝(1，－1，1)，DM →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0，DC →＝(1，0，0)， 由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝12x 1，z 1＝－12x 1.令x 1＝1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理可得n 2＝(0，1，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面MDF ⊥平面EFCD .二．利用空间向量求线线角、线面角、二面角命题 角度一 利用空间向量求线线角、线面角【典例1】 (新课标Ⅰ高考)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322， 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22.故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.[一题多变]若题(2)变为：求直线AE 与平面ACF 所成的角． 【解】 设平面ACF 的法向量为n 0＝(x 0，y 0，z 0)， 则AC →＝(0，23，0)，CF →＝(－1，－3，22)．由n 0·AC →＝0得，23y 0＝0，即y 0＝0. 由n 0·CF →＝0得，－x 0－3y 0＋22z 0＝0，所以x 0＝22z 0， 所以n 0＝(22z 0，0，z 0)． 令z 0＝2，则n 0＝(2，0，2)． 所以cos 〈AE →，n 0〉＝AE →·n 0|AE →|·|n 0|＝1×2＋3×0＋2×21＋32＋22·22＋02＋22＝22. 所以〈AE →，n 0〉＝45°.所以直线AE 与平面ACF 所成的角为45°. 命题角度二 利用空间向量求二面角【典例2】 山东高考)如图，在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．(1)证明：连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.(2)设AB＝2，则CF＝1.在三棱台DEF ABC中，G为AC的中点，由DF＝12AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG ∥FC ，又FC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC .连接GB ，在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点． 所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直． 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz . 所以G (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，1)． 可得H ⎝⎛⎭⎫22，22，0，F (0，2，1)． 故GH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·GH →＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2)． 因为GB →是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0，0)． 所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →·n |GB →|·|n|＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°. 三、转化与化归思想求解空间垂直与平行关系及空间角问题【典例】 (天津模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AP ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值；【解】 (1)证明：如图以A 为原点建立空间直角坐标系，设BC ＝1，A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，1，0)，D (0，2，0)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，1，N (1，0，1)，P (0，0，2)． PB →＝(2，0，－2)，DM →＝⎝⎛⎭⎫1，－32，1， 所以PB →·DM →＝0，所以PB ⊥DM .(2)CD →＝(－2，1，0)，设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， AD →＝(0，2，0)，AN →＝(1，0，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，0，－1)，设CD 与平面ADMN 所成的角为α， 则sin α＝|CD →·n ||CD →||n |＝25×2＝105.专题训练：1．(安徽高考)如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F .(1)证明：EF ∥B 1C ；(2)求二面角E -A 1D B 1的余弦值．【解】 (1)证明：由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面A 1DE ，B 1C ⊄面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE .又B 1C ⊂面B 1CD 1.面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C .(2)因为四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD 且AA 1＝AB ＝AD .以A 为原点，分别以AB →，AD →，AA 1→为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D 1(0，1，1)，而E 点为B 1D 1的中点，所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，1.设面A 1DE 的法向量n 1＝(r 1，s 1，t 1)，而该面上向量A 1E →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，A 1D →＝(0，1，－1)，由n 1⊥A 1E →， n 1⊥A 1D →得r 1，s 1，t 1应满足的方程组⎩⎪⎨⎪⎧12r 1＋12s 1＝0，s 1－t 1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n 1＝(－1，1，1)．设面A 1B 1CD 的法向量n 2＝(r 2，s 2，t 2)，而该面上向量A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1D →＝(0，1，－1)，由此同理可得n 2＝(0，1，1)．所以结合图形知二面角E -A 1D B 1的余弦值为|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝23×2＝63.2(天津高考)如图，在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1ACB 1的正弦值；【解】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点， 得M ⎝⎛⎭⎫1，12，1.N (1，－2，1)． (1)证明：依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量.MN →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，0.由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0. 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)． 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0.不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010，所以，二面角D 1ACB 1的正弦值为31010.3．(福建高考)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值． 【解】 (1)证明：如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， 又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点，所以DF＝12CD.由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如下图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B为原点，分别以BE→，BQ→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)．因为AB⊥平面BEC，所以BA→＝(0，0，2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．又AE→＝(2，0，－2)，AF→＝(2，2，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2，－1，2)．从而cos 〈n ，BA →〉＝n ·BA →|n |·|BA →|＝43×2＝23，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.4．(山东聊城二模)如图(1)所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(如图(2))(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)平行．在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，DA →＝(0，0，2)．平面CDF 的法向量为DA →＝(0，0，2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)， cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217，所以二面角E -DF -C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t ，0)，有AP →＝(s ，t ，－2)， 则AP →·DE →＝3t －2＝0，∴t ＝233，又BP →＝(s －2，t ，0)，PC →＝(－s ，23－t ，0)， ∵BP →∥PC →，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3.把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP →＝13·BC →，∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .此时，BP BC ＝13.5(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值．证明：设E为BC的中点，连结A1E，AE，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.(3分)由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形A1AED为平行四边形．故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(6分)(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A 1(0，0，14)，B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2，2，14)． 因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)， DB 1→＝(0，2，0)．(9分)设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0，可取m ＝(0，7，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0，可取n ＝(7，0，1)．(12分) 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝18. 6．(新课标Ⅱ高考)如图，长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (10，0，0)，H (10，10，0)，E (10，4，8)，F (0，4，8)，FE →＝(10，0，0)，HE →＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0，4，3)．又AF→＝(－10，4，8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.7．(河北衡水中学二模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)若P A ＝2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角Q －AP －D 的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 (1)证明：取PD 中点M ，连结MF ，MA ，则MF ∥CD 且MF ＝12CD ，又AE ∥CD 且AE ＝12AB＝12CD ，∴MF 綊CD ， 故四边形EFMA 为平行四边形，∴EF ∥AM . 又∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则P (0，0，2)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 由题易知平面P AD 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，假设存在Q 满足条件．设EQ →＝λEF →(0≤λ≤1)，因为EF →＝⎝⎛⎭⎫12，0，1，E ⎝⎛⎭⎫0，12，0，所以Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，12，λ.因为AP →＝(0，0，2)，AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，12，λ，设平面P AQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧λ2x ＋12y ＋λz ＝0，z ＝0，取x ＝1，则y ＝－λ，∴n ＝(1，－λ，0)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝－λ1＋λ2，由已知得λ1＋λ2＝55. 解得λ＝12，则存在满足条件的Q ，其是EF 的中点．8.(重庆高考)已知如图，三棱锥P ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角APDC 的余弦值．【解】 (1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC ⊥DE . 由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE . 由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1，又已知EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)， ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0. 设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED →，即n 2＝(1，－1，0)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36，故所求二面角APDC 的余弦值为36.9.(江苏高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．【解】 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．(1)因为AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)， 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.10(广东高考)如图所示，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG ；(2)求二面角P-AD-C 的正切值；(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．【解】 以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0，0，0)，P (0，0，7)，F (3，1，0)，G (2，3，0)，A (3，－3，0)，D (0，－3，0)．(1)证明：EP →＝(0，0，7)，FG →＝(－1，2，0)，EP →·FG →＝0，∴PE ⊥FG .(2)平面ADC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面P AD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n 2＝（0，3，7）·（x ，y ，z ）＝3y ＋7z ＝0，AP →·n 2＝（－3，3，7）·（x ，y ，z ）＝－3x ＋3y ＋7z ＝0，取y ＝1，则x ＝0，z ＝－37，∴n 2＝(0，1，－37)为平面P AD 的一个法向量．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－371×1＋97＝－34.记所求二面角的大小为θ，显然θ为锐角， ∴cos θ＝34，tan θ＝73.(3)∵AP →＝(－3，3，7)，FG →＝(－1，2，0)，∴cos 〈AP →，FG →〉＝AP →·FG →|AP →|·|FG →|＝3＋6＋09＋9＋7×5＝9525， ∴直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9525.。
立体几何测试题—异面直线
立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a , b 是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。
上述结论正确的有（A ）①④ （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④2．直线a , b 都垂直于直线l ，则直线a , b 的位置关系是（A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）三种可能都有3．两条异面直线的距离是（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的线段（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．若a , b 是异面直线，c 是a , b 的公垂线，d //c , 则d 和a , b 的公共点的个数是（A ）1 （B ）最多为1 （C ）2 （D ）1或25．若两条直线a , b 异面垂直，两条直线b , c 也异面垂直，则a , c 的位置关系是（A ）平行 （B ）相交、异面 （C ）平行、异面 （D ）相交、平行、异面6．若a , b , c 是两两互相垂直的异面直线(每两条成异面直线)，直线d 是a , b 的公垂线，那么c 与d 的位置关系是（A ）相交 （B ）平行 （C ）相交或垂直 （D ）垂直7．已知a , b 是一对异面直线，且a , b 成60°角，则在过P 点的直线中与a , b 所成的角均为60°的直线有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条8．空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长均为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在边CD 上移动，则点P 和点Q 的最短距离为（A ）21 （B ）22 （C ）43 （D ）23 9．在正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’的各个面上的对角线中，与面对角线AB ’成60°角的异面直线有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条10．在棱长a 为的正方体AC ’中，与其中一条棱所在的直线异面，并且距离为a 的棱共有（A ）4条 （B ）5条 （C ）6条 （D ）7条二．填空题：11．异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是 。
异面直线所成角、直线与平面平行练习
9.长方体 中，AB=AD=1, G是 上的动点。
判断 与平面ADG的位置关系，并给出证明.
10.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， 为 的中点， ， ， 为 的中点．
证明： .
A 1个 B 2个 C 3 D 4个
2.设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线；②如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交；③如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ）
（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个
异面直线所成角、直线与平面平行练习
1.下列命题中，正确的结论有 （ ）
（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等
（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
（4）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。
6.（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1D和B1D1的中心．
（1）求线段PQ的长；知：空间四边形 ，E、F分别为 、AD的中点，
求证：EF∥平面BDC
8.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4， ，AA1＝4，点D是AB的中点
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1平行的棱有条，异面的棱有条；
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
（1）异面直线A1D1与AB所成角的大小;
（2）异面直线AD1与DC1所成角的大小;
【高中数学】空间几何体与斜二测画法练习题-高一下
11.1.1空间几何体与斜二测画法 练习题一、单项选择题：1.右图的正方形D C B O ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一 个平面图形的斜二测直观图，则原图形的周长是（ ）。
A 、6cm B 、8cm C 、()232+cm D 、()322+cm2、已知正△ABC 的边长为a ，那么的平面直观图△A B C '''的面 积为（ ）。
A 、234aB 、238aC 、268aD 、2616a3、已知△ABC 的水平直观图△A B C '''是边长为a 的正三角形，那么原三角形△ABC 的面积是（ ）。
A 、232a B 、234a C 、262a D 、26a 4、一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45o，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）。
A 、2+2B 、1+2C 、222+ D 、122+ 5、在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）．Ａ．平行且相等； Ｂ．平行不相等；Ｃ．相等不平行；Ｄ．既不平行也不相等 6、如图所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（ ）。
7、一个平面图形的直观图如图示，是一边在轴上且边长为2，另 一边为1的矩形，则该平面图形的面积是( ). A 、42 B 、22 C 、 2 D 、18.若一个三角形采用斜二测画法，则得到的直观图的面积是原三角形面积的（ ）倍。
A 、2 B 、2 C 、2D 、2 9.如图，A B C '''∆是按斜二测画法作出的水平放置的△ABC 的直观图，其中1B O C O ''''==，32A O ''=，那么原图形△ABC 中∠ABC 的大小是（ ）。
二、多项选择题：1.用斜二测画法作出水平放置的平面图形的直观图时，下列说法争取的是（ ）。
异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高
空间角专题复习●知识梳理一、异面直线所成的角及求法1定义：在空间任意取一点,过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．2取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角,则其取值范围是θ∈0,错误!,当θ＝错误!时,称异面直线a 和b 垂直,记为a ⊥b .3求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后,构造三角形,通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法1定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l α,则称直线l 和平面α所成的角为0；②若l ⊥α,则称l 与α所成的角为2π；③若l 与α相交,则l 与l 在α内的射影所成的锐角为直线l 与平面α所成的角．2取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角,则θ的取值范围是[0,]2π．3求法：定义法：探寻直线l 在平面α内的射影,通常由垂直法找射影构造直线l 与平面α所成角对应的直角三角形,通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．三、二面角及求法1定义：在二面角的棱上任取一点,分别在二面角的两个面内作棱的垂线,则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角,且定义平面角的大小为该二面角的大小． 2取值范围：规定二面角的取值范围为0,π．3求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线,则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角●练习提升1．如图,E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点,PC ＝10,AB ＝6,EF ＝7,则异面直线AB 与PC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：C2. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝4,CC 1＝2,则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为答案：C3.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC＝60°,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD＝1,则二面角B－AC－D的余弦值为答案：A4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是A．15°B．30°C．45° D．60°答案：B5．如图,ABCD－A1B1C1D1是长方体,AA1＝a,∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°,则AB与A1C1所成的角为________,AA1与B1C所成的角为________．答案：04530,06. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,1直线A1B与平面ABCD所成的角是________；2直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；3直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．答案145°230°390°7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合R,则P、Q、R的关系为A．R＝PQ B．RPQC．PRQ D．RP＝Q答案：B8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝a,∠CBA＝∠CBD＝120°,则AD与平面BCD所成角的大小为A．30° B．45°C．60° D．75°解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O,连接OD,则OD即为AD在平面BCD 内的射影,∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵AO＝OD＝错误!a,∴∠ADO＝45°.答案：B9. 如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点不同于A、B且PA＝AC,则二面角P—BC—A的大小为A．60°B．30°C．45°D．15°答案C10．如图,已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA＝AD,则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵AB∥CD,∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥CD,又CD⊥AD,∴DC⊥平面PAD,∴DC⊥PD,∴PA⊥l,PD⊥l,即∠APD为所求二面角的平面角,∠APD＝45°.答案：C11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,对于下列结论：①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：取BD的中点O,则BD⊥OC,BD⊥OA,得BD⊥平面AOC,∴BD⊥AC,①正确；cos ADC＝cos45°·cos45°＝错误!,∠ADC＝60°,AD＝DC,△ADC是正三角形,②正确；AB与CD成60°角,③正确；AB与平面BCD成角∠ABO＝45°,④错误．答案：C12．如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中,过顶点B、D、C1作截面,则二面角B －DC1－C的平面角的余弦值是________．解析：取C1D的中点O,连接BO、CO,则BO⊥C1D,CO⊥C1D,∴∠BOC是二面角B－DC1－C的平面角．设正方体的棱长为1,则CO＝错误!,∵△BDC1为正三角形,∴OB＝错误!,且BC＝1,∴cos∠BOC＝错误!＝错误!.答案：错误!13．如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝BC＝AA1,∠ABC＝90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点．则直线EF和BC1所成的角是A．45°B．60°C．90° D．120°解析：取B1C1的中点G,A1B1的中点H,连结FG、BG、HG、EH,则FG∥BC1,且∠EFG或其补角就是所求的角,利用余弦定理可求得cos∠EFG＝－错误!,故所求角为60°.答案：B14．如图,将Rt△ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角C－AD－C′,若直角边AB＝4错误!,AC＝4错误!,则二面角A－BC′－D的正切值为D．1解析：∠CDC′＝120°,过D作DE⊥BC′于E,连结AE,则∠AED即为所求．又知AD⊥平面BC′D,AD＝4错误!,在△BC′D中,由余弦定理求得BC′＝4错误!,再由面积公式S△BC′D＝错误!BC′·DE＝错误!·BD·C′D·sin60°知DE＝4,∴tan∠AED＝错误!＝错误!.答案：A点评：考查二面角的知识,余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．15．在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4,PA⊥平面ABCD,PA＝错误!,那么二面角A—BD—P的度数是A．30° B．45°C．60° D．75°解析：如右图所示,过A作AE⊥BD,垂足为E,连结PE,则PE⊥BD三垂线定理,故∠PEA为二面角P—BD—A的平面角．在Rt△BAD中,AE＝错误!＝错误!.在Rt△PAE中,tan∠PEA＝错误!＝错误!,∴∠PEA＝30°.答案：A16．正四棱锥P—ABCD的两个侧面PAB与PCD互相垂直,则相邻两个侧面所成二面角的平面角为A．60° B．90°C．120° D．150°解析：如图,作BE⊥PC,连结DE.∵△PDC≌△PBC,∴DE⊥PC∴∠DEB就是二面角D—PC—B的平面角,∵O为DB的中点,∴∠OEB＝错误!∠DEB,又∵面PAB⊥面PCD,∴PO＝错误!AB,在Rt△POC中,OC＝错误!AB,所以PC＝错误!AB.∴OE＝错误!＝错误!AB.∴tan∠OEB＝错误!＝错误!,∴∠OEB＝错误!,∴∠DEB＝错误!.答案：C17. 如图,在四棱锥V—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为错误!的等腰三角形,则二面角V—AB—C的度数是________．答案60°18．如图①,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB＝错误!,点M、N分别在AB,CD 上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC＝2,MB＝4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直如图②．1求证：AB∥平面DNC；2当DN＝错误!时,求二面角D－BC－N的大小．解：1证明：MB∥NC,MB平面DNC,NC平面DNC,∴MB∥平面DNC.同理MA∥平面DNC,又MA∩MB＝M,且MA、MB平面MAB.错误!AB∥平面DNC.2过N作NH⊥BC交BC延长线于H,∵平面AMND⊥平面MNCB,DN⊥MN,∴DN⊥平面MBCN,从而DH⊥BC,∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角．由MB＝4,BC＝2,∠MCB＝90°知∠MBC＝60°,CN＝4－2cos60°＝3,∴NH＝3sin60°＝错误!.由条件知：tan NHD＝错误!＝错误!,∴∠NHD＝30°.19.如图,已知在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA＝AD＝1,AB＝2,E、F分别是AB、PD的中点．1求证：AF∥平面PEC；2求PC与平面ABCD所成的角的正切值；3求二面角P－EC－D的正切值．解：1证明：如图,取PC的中点O,连接OF、OE,则FO∥DC,且FO＝错误!DC,∴FO∥AE,又E是AB的中点,且AB＝DC,∴FO＝AE.∴四边形AEOF是平行四边形,∴AF∥OE.又OE平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC.2如图,连接AC,∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中,tan∠PCA＝错误!＝错误!＝错误!,即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为错误!.3如图,作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理得PM⊥CE,∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角．由△AME∽△CBE可得AM＝错误!,∴tan∠PMA＝错误!＝错误!.∴二面角P－EC－D的正切值为错误!.20. 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD＝60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA＝错误!.1证明：平面PBE⊥平面PAB；2求二面角A—BE—P的大小．1证明如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知,△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.2解由1知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中,tan∠PBA＝错误!＝错误!,则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.21．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间距离为错误!,求直线AB和平面α所成的角．解1如图1,当A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1、B1,则AA1＝1,BB1＝2,B1A1＝错误!.过点A作AH⊥BB1于H,则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝错误!＝错误!.∴∠BAH＝30°.2如图2,当A、B位于平面α异侧时,经A、B分别作AA1⊥α于A1,BB1⊥α于B1,AB∩α＝C,则A1B1为AB在平面α上的射影,∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成角．∵△BCB1∽△ACA1,∴错误!＝错误!＝2,∴B1C＝2CA1,而B1C＋CA1＝错误!,∴B1C＝错误!.∴tan∠BCB1＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BCB1＝60°,∴AB与α所成角为60°.综合1、2可知：AB与平面α所成角为30°或60°.22. 如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,∠BCA＝90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.1求证：BC⊥ 平面PAC.2是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由1证明∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°,∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A,∴BC⊥平面PAC.2解∵DE∥BC,又由1知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°,故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角．。
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立体几何讲义（直观图、异面角，直线和平面平行）
1、如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰
为2的等腰三角形，那么原平面图形的面积是___________
2、用斜二侧法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示等腰直角△A′B′C′．已
知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′=1，则△ABC的BC边上的高为________
3、如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△ABO的
面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为____________
4、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，
B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于______
5、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1
所成角的余弦值为________
6、长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．求异面直线AC与B1D所成的为_________
7、如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为________．
7、如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为_________
8、如图，三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，M，N分别是PE，PF上的点．
（1）M，N分别是PE，PF的中点时，求证：MN∥平面ABC．
（2）当MN∥平面ABC时，求证：MN∥AC．
9、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，点分E，F，G，H别是棱AB，CD，PC，PB上共面的四点，且BC∥EF．证明：GH∥EF．
10、已知：平面α∩平面β=b，直线a∥α，a∥β，求证：a∥b．
13、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，底面BCD是正三角
形，AC=BD=2，AB=AD= ．求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
14、如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E是AB的中点．证明：BD′∥平面A′DE；
15、如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E、
E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点．证明：直线EE1∥平面FCC1；
16、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知AB∥CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，点
M是PB的中点．证明：CM∥平面PAD；
17、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：直线A1F∥平面ADE；
．
18、如图5所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形BDFE是平行四边形，点M，N分别是BE，CF的中点．求证：MN∥平面ABCD；
19、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，
使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．。