最新人教版高中数学选修4-5《综合法与分析法》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、作差比较法证明不等式1.应用范围:当欲证不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常用此法.2.方法：欲证A>B,只需A-B>0.3 .步骤:作差——变形——判断符号.4.使用此法作差后主要是变形形式的处理：（1）将差变形为常数或变形为一个平方或几个平方和的形式,常用配方法或实数特征a 2≥0判断差的符号;（2）将差变形为几个因式的积的形式,先判断各因式的符号，进而判断差的符号，常用因式分解法.学法一得变形的主要目的是有利于判断式子的符号,而变形方法不限定,也就是说,关键是变形的目标,如将差变形为(a-b)(a 3-b 3)也能判断它是非负的,尽管它不是平方和的形式,也不是因式分解的结果.若变形后得到二次三项式,常用判别式判定符号.记忆要诀作差——变形——判断符号.二、作商比较法证明不等式1.应用范围:当要证的式子其两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法.2.方法：要证A>B,常分以下三种情况:若B>0,只需证明BA >1; 若B=0,只需证明A>0; 若B<0,只需证明B A <1. 记忆要诀作商——变形——判断商与1的大小.误区警示一定要注意A ，B 的符号，最后与1进行比较.三、综合法证明不等式1.从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质或已经证明过的不等式和不等式的性质，经过一系列的推理、论证，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法通常叫做综合法，综合法又叫顺推法或由因导果法.2.用综合法证明不等式，就是用因果关系书写“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程，其特点可描述为“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.综合法属逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据上.3.用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：4.综合法证明不等式时常用的不等式：a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号）；2b a +≥ab (a,b ∈R +,当且仅当a=b 时取“=”号)； （2b a +）2≥ab(a,b ∈R +，当且仅当a=b 时取“=”号）； a 2≥0,|a|≥0,(a -b)2≥0；a b +b a ≥2(a,b 同号），a b +ba ≤-2(a,b 异号). 联想发散利用基本不等式a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)两边同加a 2+b 2，或者2ab 又能得到怎样的不等式呢？类似地，还有三次的基本不等式吗？四、分析法证明不等式1.分析法是指从需证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.其特点可描述为“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.2.用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：3.分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁.因而证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表述证题过程，分析法一般用于：证明不等式且综合法难以实施的时候. 学法一得有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤法”，分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.误区警示分析法属逻辑方法的范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆，注意这一点！典题·热题知识点一：作差比较法例 1 船在流水中，在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？思路分析：船在有水速的情况下的平均速度与在静水中的速度关系需要比较才可以知道，通过作差可以发现结论.解：设甲、乙两地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v(u>v>0)，则船在流水中，在甲、乙两地来回行驶一次的时间为 t=222v u us v u s v u s -=-++,而uv u t s u 222-==. ∵u -u=uv u u v u u u v u 222222-=--=--<0, ∴u <u.∴船在流水中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.误区警示很多人感觉来回行驶，既有顺流也有逆流，平均速度应和静水中的速度一样，通过比较，不能想当然，注意一些生活经验与科学的区别，养成依靠理性分析问题的习惯.例2 求证：1+2x 4≥2x 3+x 2.思路分析：根据所证不等式的两边均为多项式的特点，作差之后转化为完全平方式的形式，便于判断符号.故宜选用作差比较法.证明：［方法一］∵（1+2x 4)-(2x 3+x 2)=2x 3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x 3-x-1)=(x-1)(2x 3-2x+x-1)=(x-1)2(2x 2+2x+1)=(x-1)2［2(x+21)2+21］≥0, ∴1+2x 4≥2x 3+x 2.［方法二］∵（1+2x 4)-(2x 3+x 2)=x 4-2x 3+x 2+x 4-2x 2+1=(x 2-x)2+(x 2-1)2≥0,∴1+2x 4≥2x 3+x 2.方法归纳证法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2x 3-x-1的因式，判断2x 2+2x+1的符号.除用配方法外，还可用判别式法；证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项.通过本例可以了解作差比较法的全貌，以及关键的第二步变形.知识点二：作商比较法例3 设a ＞b ＞0.求证：ba b a b a b a +->+-2222. 思路分析：不等式两边有公因式，又通过作差可以判断符号，用两种比较法均可. 证明：［方法一］用求差法证：∵左边-右边=))(()(2))(()]())[((2222222b a b a b a ab b a b a b a b a b a ++-=+++-+->0, ∴原不等式成立.［方法二］用求商法证：右边左边=2222221)(ba ab b a b a ++=++>1,∴原不等式成立. 方法归纳比较法是证明不等式的最基本方法，其关键是差式或商式的变形，结果往往是完全平方数、常数或完全平方数与常数的和.有时是几个因式的积，在具体题目中可以选择适当的方法去做.例4 已知a>0且a≠1，P=log a (1+a 3)，Q=log a (1+a 2)，试比较P 、Q 的大小.思路分析：设y=f(x)=log a x ，所以P=f(a 3+1)，Q=f(a 2+1).于是我们可以先比较真数a 3+1、a 2+1的大小，并利用函数y=f(x)=log a x 的单调性比较P 、Q 的大小.解：a 3+1-(a 2+1)=a 2(a-1).（1）a>1时,a 2(a-1)>0,a 3+1>a 2+1>0,f(x)单调递增，∴P>Q.（2）a=1时,a 3+1=a 2+1,∴P=Q.（3）0<a<1时,a 2(a-1)<0,0<a 3+1<a 2+1,f(x)单调递减，∴P>Q.综上P≥Q （当且仅当a=1时取等号）.巧解提示这里比较P 、Q 的大小我们分成两个层次进行，先比真数，后比对数.本题若直接求差P-Q=log a 2311aa ++，这样去解较繁，也就是说，解题时不要那么呆板，对于复杂的问题，我们有时可以把它分解成几个简单的问题来解决.知识点三：综合法证明不等式例 5 已知△ABC 的外接圆半径R=1,S △ABC =41，a 、b 、c 是三角形的三边长.令S=c b a ++,t=cb a 111++，求证：t>S. 思路分析：三角形问题涉及公式较多,注意挖掘每一个条件,综合应用.本题涉及到综合法在应用题中的应用.证明：∵S △ABC =21absinC=21ab·Rabc R c 42=, 又∵R=1,S △ABC =41,∴abc=1. ∴S=abca bc c b a 111++=++ ≤cb a b ac a c b 111211211211=+=+++++=t. ∴S≤t,且t=S 的条件是：a=b=c=1,此时S △ABC =43,与已知矛盾，∴t>S. 巧解提示利用综合法由因索果证明不等式，就要找出条件与结论之间的内在联系，分析已知与求证，不等式两端的差异与联系，去异存同，找到证明的突破口.知识点四：分析法证明不等式例6 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.思路分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L ，则周长为L 的圆的半径为π2L ，截面积为π(π2L )2；周长为L 的正方形边长为4L ，截面积为(4L )2.所以本题只需证明π(π2L )2>(4L )2，即只需证明4>π，显然成立.所以原结论成立. 证明：设截面的周长为L ，则截面是圆的水管的截面面积为π(π2L )2，截面是正方形的水管的截面面积为(4L )2.只需证明π(π2L )2>(4L )2.为了证明上式成立，只需证明164222L L >ππ.两边同乘以正数24L ，得π1>41.因此，只需证明4>π.上式显然成立，所以π(π2L )2>(4L )2.这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大.学法一得（1）分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.综合法是“由因导果”.(2)分析法论证“若A 则B”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真，这只需要证明命题B 1为真，从而有……这只需要证明命题B 2为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真.而已知A 为真，故B 必真.问题·探究思维发散探究问题 在数学中，不等式千变万化，选择哪一种证明方法好呢？一方面根据学识水平，另一方面还应多做练习打好基础.那么下面这个题目用哪种证明方法好呢？已知a ＞0，b ＞0，且a+b=1.求证：(a+a 1)(b+b 1)≥425. 探究过程:首先分析题目条件，发现不同证法.证法一：（比较法不很明显，采取分析综合法达到证明目的）欲证原式，即证4(ab)2+4(a 2+b 2)-25ab+4≥0，即证4(ab)2-33(ab)+8≥0，即证ab≤41或ab≥8.∵a ＞0，b ＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立.∵1=a+b≥ab 2，∴ab≤41，从而得证. 证法二:(均值代换法)设a=21+t 1，b=21+t 2. ∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21. ∴(a+a 1)(b+b 1)= 22212122211)21(211)21(11t t t t b b a a +++⨯+++=+⨯+22222211212222114)141)(141()2)(2()141)(141(t t t t t t t t t t t -++++++=++++++++= 4254116254123162541)45(2242222222222=≥-++=--+=t t t t t t显然当且仅当t=0，即a=b=21时，等号成立. 证法三:(比较法）∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴a+b≥ab 2，∴ab ≤41. (a+a 1)(b+b 1)-4251142522-+∙+=b b a a =abab ab ab ab b a 4)8)(41(4833422--=+-≥0. ∴(a+a 1)(b+b 1)≥425. 证法四:(综合法) ∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴a+b≥ab 2，∴ab≤41. ∴(a+a 1)(b+b 1)≥425. 证法五：(三角代换法）∵a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin 2α,b=cos 2α,α∈(0,2π). ∴(a+a 1)(b+b 1)=(sin 2α+α2sin 1)(cos 2α+α2cos 1) =ααααααα2sin 416)2sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin 22222244+-=+- ∵sin 22α≤1,∴4-sin 22α≥4-1=3.4252sin 42sin 4412sin 412516)2sin 4(222222≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-αααα）（ 即得(a+a 1)(b+b 1)≥425. 探究结论:比较法、综合法和分析法是最基本的证明方法，除此之外还可根据具体题意设计其他证明方法，但是掌握比较法、综合法、分析法是必需的.误区陷阱探究问题 某位同学用分析法证明下题：已知：0<a<b ，求证：b a <11++b a .请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？证明：因为b>0，所以b+1>0，去分母，化为a(b+1)<b(a+1)，就是a<b.由已知a<b 成立，所以求证的不等式成立.探究过程:证明过程错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆寻结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.事实上：（1）用分析法证明不等式的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2…⇐B r⇐A（步步寻找不等式成立的充分条件）,分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.（2）用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：要证命题B为真，只需证明B1为真，从而有……这只需证明B2为真，从而又有……这只需证明A为真.而已知A为真，故命题B必为真.探究结论:分析法在书写上有一定的格式，上面做法格式错误，要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.。