【全国百强校】河南省郑州市第一中学2020届高三12月联考数学(文)答案

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2019-2020年高三上学期12月第一次联考数学文试题含答案

在上递增，对任意，都有 --9 分综上，的最小值为 ----------------------------------------------------------------10 分
的家长中，持“支持” “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持
保留
不支持
30 岁以下
800
450
200
30 岁以上（含 30 岁） 100
150
300
在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取
5 个人看成一个总体，从这 5 个人中任
意选取 2 人，则至少有 1 人在 30 岁以下的概率为
2019-2020年高三上学期 12 月第一次联考数学文试题含答案
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。
2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一. 填空题 (本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，
则的单调增区间 2 k
4 ,2k 3
, k Z --------------------------6 分 3
（2）的解析式是 -----------------------------------9 分
-------------------------------------------------------------------------11 分零点为 --------------------------------------------------------14 分
B．非充分非必要条件 D．必要非充分条件
（）
三．解答题 (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .

2020届河南省百校联盟高三12月教育教学质量检测考试数学(文)试卷 PDF版

记等比数列（α，J的前n项和为S ，，，且向＝一 2,53 = 3. Cl）求数列｛a，，｝的通项公式； (2）求数列｛ 3η － 2＋α，J的前n项和．
18. （本小题满分12分）某公司统计了2010～ 2018年期间公司年收入的增加值y（万元）以及相应的年增长率z，所得数据如下所示：
年份
1. 旦7十二32i
A.518十5187.1
B. 5二18十5→ 187.l
C . 5i8
旦i 58
D.
_!_ 58
17 58
i
2.已知集合M二（工I8x2 9x十1ζ时，N= {.:riy = $=T｝，则M门（ C R N）二
A.[1, + =)
B.
（
二 1 8
广12一
）
C.
［
一 1 8
，一 12
题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
+ 13.已知函数 f(x) =(4x2 mx) • e，若曲线 y= f(x）在（0, 0）处的切线与直线 y = 4x 相互垂直，则m
rx+2》y 14.已知实数工，y 满足斗z十yζ3 ，则 z = 2工＋ y的最大值为
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河南郑州第一中学2020届高三12月份联考试题理科数学(含答案)

2020届（高三）12月份联考试题理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A. {1} B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5} 【答案】C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2.在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意可得：2z i =-，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：22122221i i i i z i i i ++-====--，则复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量(,1)m a =-u r ，(21,3)n b =-r (0,0)a b >>，若m n u r r P ，则21a b+的最小值为（）A. 12B. 843+C. 15D.1023+【答案】B 【解析】【分析】由m r ∥n r可得3a +2b ＝1，然后根据21a b +=（21a b+）（3a +2b ），利用基本不等式可得结果．【详解】解：∵m =r （a ，﹣1），n =r （2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m r ∥n r，∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，∴21a b +=（21a b +）（3a +2b ）＝843b a a b++ ≥8432b aa b+⋅＝83+当且仅当43b a a b =，即a 336=b 314=，时取等号， ∴21a b+的最小值为：843+ 故选：B ．【点睛】本题考查了向量平行的坐标运算和“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．4.已知,x y 满足208020,x x y y -≥+-≤⎧-≥⎨⎩时, ()0z ax by a b =+≥>的最大值为2,则直线10ax by +-=过定点（）A. ()3,1B. ()1,3-C. ()1,3D. ()3,1-【答案】A 【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a b ，的关系，再代入直线ax by 10+-=由直线系方程得答案．详解：由z ax by(a b 0)=+≥>，得a z a y x 1b b b ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭，画出可行域，如图所示，数形结合可知点()B 6,2处取得最大值，6a 2b 2+=，即： 3a b 1+=，直线ax by 10+-=过定点()3,1. 故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于6的面的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】由题可知其立体图形C-DEFG ：可得面积小于6的有,,CFG CFE CDG S S S V V V6.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先判断0ab =和函数()f x x x a b =++是奇函数成立的条件，然后判断充分性和必要性. 【详解】由0ab =,a b ⇒中至少有一个为零；由函数()f x x x a b =++是奇函数，()0()x x a b x x a b x x a b x x a b a b f x f x --++=-+-⇒--=++⇒⇒-⇒===-，显然由,a b 中至少有一个为零，不一定能推出0a b ==，但由0a b ==，一定能推出0ab =，故“0ab =”是“函数()f x x x a b =++是奇函数”的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，由函数()f x x x a b =++是奇函数，推出0a b ==是解题的关键.7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有 A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种【答案】B【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙两个展区，共222242A C C 12=种安排方案；（2）小王、小李一人去甲、乙展区，共1112222442C C C C C 96=种安排方案；（3）小王、小李均没有去甲、乙展区，共2424A A 48=种安排方案，故一共N 129648156=++=种安排方案，选B ．8.已知数列：()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项【答案】C 【解析】【分析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5L ，把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111kk k -L L ，可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=L ，所以前15组一共有120项；第16组的项为1278(,,,,)1615109L L ，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =E ，F ，G 分别是AB ，BC ，1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1BB P V 面积最小值为（）A.34B. 1C.32D.12【答案】A 【解析】【分析】找出平面EFG 与长方体的截面，然后再找出过D 1与平面EFG 平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD 上的位置．【详解】解：如图，补全截面EFG 为截面EFGHQR ，易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ，设BR ⊥AC 于点R ， ∵直线D 1P ∥平面EFG ，∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小，由等积法：12BR ×AC 12=BA ×BC 得BR 32=BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，故112BB P S =V ×BB 1×BP 3= 故选：A ．【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用，考查空间想象能力与转化能力．10.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象过点(0,1)B -，且在区间,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调.又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（） 3 2C. 1D. -1【答案】D 【解析】【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值．【详解】解：由函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）的图象过点B （0，﹣1）， ∴2sin φ＝﹣1，解得sin φ12=-，又|φ|2π＜，∴φ6π=-，∴f （x ）＝2sin （ωx 6π-）；又f （x ）的图象向左平移π个单位之后为g （x ）＝2sin[ω（x +π）6π-]＝2sin （ωx +ωπ6π-），由两函数图象完全重合知ωπ＝2k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ；又3182T πππω-≤=， ∴ω185≤，∴ω＝2；∴f （x ）＝2sin （2x 6π-），其图象的对称轴为x 23k ππ=+，k ∈Z ；当x 1，x 2∈（1712π-，23π-），其对称轴为x ＝﹣37236πππ⨯+=-，∴x 1+x 2＝2×（76π-）73π=-，∴f （x 1+x 2）＝f （73π-）＝2sin[2×（73π-）6π-]＝2sin （296π-）＝﹣2sin296π＝﹣2sin 56π=-1．应选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点(2,0)D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，记BCF ∆面积为1S ，ACF ∆面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为A. 22y x = B. 28y x =C. 24y x =D. 2y x =【答案】C 【解析】【分析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p 的值．【详解】因为直线斜率为2，经过定点()2,0D 所以直线方程为()22y x =- ，即240x y --=作BM y ⊥轴，AN y ⊥轴因为1214S S =，即14CB CA = ，所以14BM AN =联立方程22402x y y px--=⎧⎨=⎩ ，化简得()22880x p x -++= 根据一元二次方程的求根公式，得2816p p p x +±+=所以2212816816,,,p p p p p p A y B y ⎛⎫⎛⎫++++-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭因14BM AN =，所以2281614816p p p p p p +-+=+++ 化简得216360p p +-= ，即()()1820p p +-=因为0p > ，所以2p = 即，24y x =所以选C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题．12.已知函数31,0(){9,0x x f x x x x +>=+≤，若关于的方程2(2)()f x x a a R +=∈有六个不同的实根，则的取值范围是( ) A.B. (]8,9C. (]2,9D. (]2,8 【答案】B 【解析】【详解】令222(1)1t x x x =+=+-，则1t ≥-，则31,0(){9,10t tf tttt+>=+-≤≤，由题意可得，函数()f t的图象与直线y a=有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示，故a的取值范围是(]8,9。

【附加15套高考模拟试卷】百校联盟2020届高三TOP20十二月联考(全国Ⅰ卷)数学(文)试卷含答案

百校联盟2020届高三TOP20十二月联考（全国Ⅰ卷）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{}1,2,3,4,5S =，{3,5,7}T =，则()U S C T ⋂= ( ) A ．{1,2,4} B ．{1,2,3,4,5,7} C ．{}1,2D ．{1,2,4,5,6,8}2．设椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当22(3)3(ln ||ln ||)3a m n b mn mn-+++取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．15B ．2C ．45 D ．33．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（）A ．0B ．2C ．4D ．145．若直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，则 A ．a 内的所有直线与l 异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交6．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2()ln(1)1f x x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的范围是（）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 8．函数()221f x x ex m =-++-，函数()()20e g x x x x=+>，（其中e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，则实数m 取值范围为（）A ．221m e e <-++B ．221m e e >-+C ．221m e e >-++D ．221m e e <-+9．某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年河南省郑州市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合()(){}|310M x x x =+-≤，{}2|log 1N x x =≤，则M N ⋃=（） A ．3,2 B ．[)-3,2 C ．[]1,2 D ．(0,2]【答案】A【分析】先利用一元二次不等式和对数函数的单调性分别化简集合M ，N ，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为()(){}{}|310|31M x x x x x =+-≤=-≤≤，{}{}2|log 1|02N x x x x =≤=<≤，所以M N ⋃={}|32x x -≤≤，故选：A2．已知12132111,log ,log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D 【分析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.【详解】121213=031a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭<，1221log =log 313b =>，331log log 202c ==-<， ∴b a c >>，故选：D【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.3．函数()e e ln --=x xf x x的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】由于()()f x f x -=-，得出()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，再利用特殊值，即可得出正确选项．【详解】解：函数()||x xe ef x ln x --=，定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，且()()()||||x x x x e e e e f x f x ln x ln x -----==--=-， ()f x ∴是奇函数，其图象关于原点对称，排除C 、D ，因为函数的定义域为{|0x x ≠，1}x ≠±，令12x =，12()0e e f x --=<，排除A ，故选：B ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA B C '''，且直观图OA B C '''的面积为2，则该平面图形的面积为（）A ．2B ．42C ．4D ．2【答案】B 【分析】根据平面图形和直观图的度量关系和位置关系，找到线段和角度关系，则该平面图形的面积易求.【详解】解：设等腰梯形OA B C '''对应该平面图形OABC ，则,,2OA O A BC B C OC O C ''''''===，OC OA ⊥，()12222OA B C S O A B C ''''''''=+⋅=， ()()1124222OABC S OA BC OC O A B C OC '''''=+=+⋅= 故选：B.5．在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且,,PA PB PC 两两互相垂直,则三棱锥P ABC -的外接球的体积为A ．3πB ．3πC ．163πD ．3π 【答案】A【分析】将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥P ABC -的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.【详解】在三棱锥P ABC -中有,,PA PB PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥P ABC -的外接球，设该外接球的半径为r ， 22222223++=2233r r =⇒=故外接球的体积为34433V r ππ==. 故选：A【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.6．()()()14212x a x f x a xx ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(1)+∞， B ．[4)8， C ．(4)8， D ．(18)，【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 单调递增，可得11402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围为[4,8). 故选：B.7．函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（）A ．[3，+∞）B ．（﹣∞，2），（4，+∞）C ．（2，3），（4，+∞）D ．（﹣∞，2]，[3，4]【答案】C【分析】画出268y x x =-+的图象，将图象在x 轴下方的部分对称到x 轴上方，即可得到2()68f x x x =-+的图象，根据图象可写出函数的单调递增区间.【详解】画出2()68f x x x =-+的图象如图：由图象可知，函数的增区间为(2,3),(4,+∞），故选C.【点睛】本题主要考查了函数的调性，函数的图象，属于中档题.8．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为A ．4B ．8C ．12D ．24【答案】A 【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC -是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABC V -=⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 9．已知定义在R 上的函数()f x ，都有()()1f x f x =-，且函数()1f x +是奇函数，若1142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则20194f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．1-B ．1C ．12-D ．12 【答案】D【分析】利用函数()1f x +是奇函数和()()1f x f x =-可得函数()f x 的周期为2，然后可得20193315044444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后再结合条件可得出结果. 【详解】因为函数()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()()1f x f x =-，所以()()1f x f x +=-，所以()()()21 f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期为2，所以20193315044444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为1551114444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111442f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2201941f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：D10．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2点M ，N 分别是1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B 内运动，且1//PA AMN 则1PA 的长度范围为（）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣C ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围.【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ，AM MN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，11A E A F ====EF ，1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，12AO ==，当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，11A E A F ==．1PA ∴的长度范围为2⎡⎢⎣．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点，是中档题.11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()(123)2f x x x =-+--，若x R ∀∈，()()f x a f x -≤，则a 的取值范围是A ．3a ≥B ．33a -≤≤C ．6a ≥D ．66a -≤≤ 【答案】C【详解】由函数()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-恒成立，本题求解时可采用代入验证排除的方法求解，在选项A,B,D 中都有3a =，首先验证3a =时不等式()()f x a f x -≤是否恒成立，当2x =时，不等式右面为()()1210312f =+-=-，左边为()()()()123111312f f f -=-=-=--=，此时不等式()()3f x f x -≤不成立，即3a =时不能保证()()f x a f x -≤恒成立，所以选项A,B,D 同时排除，因此选C.二、多选题12．下列说法中，正确的是（）A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．平行于同一平面的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【答案】BCD【分析】分别根据线面平行、面面平行的性质进行判断.【详解】A:平行于同一直线的两个平面可能相交，也可能平行，故A 错；B ：平行于同一平面的两个平面平行，正确；C ：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，正确；D ：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，正确.故选：BCD.【点睛】本题考查线面、面面的位置关系，熟悉线面、面面的性质定理和基本的空间位置是解题的关键，本题属于基础题.三、填空题13．已知(21)f x +定义域为(3,5)，则(4-1)f x 定义域为_____________.【答案】()2,3【分析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】因为(21)f x +定义域为(3,5)，所以35x <<，则72111x <+<，即74111x <-<，解得23x <<，所以(4-1)f x 定义域为()2,3，故答案为：()2,314．函数()40a y x a x=+>在[]1,2上的最小值为8，则实数a =______. 【答案】3【分析】由已知结合对勾函数的性质，讨论已知函数在区间[]1,2上单调性，进而可求出结果.【详解】令4a x x=，解得x =±，当2≥时，即1a ≥，函数在[]1,2上单调递减，min 228y a =+=，则3a =，符合题意；当12<<时，即114a <<，函数在⎡⎣上单减，在2⎡⎤⎣⎦上单增，min 8y ==，解得4a =（舍）；当1≤时，即14a ≤，函数在[]1,2上单调递增，min 148y a =+=，解得74a =（舍），综上得3a =.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了对勾函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.15．已知球在底面半径为1､高为___________.【答案】3 【分析】由题意可得当球O 的轴截面是△ABC 的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．【详解】解：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M 为BC 边上的中点，由题设2BC =，AM =3AB AC ==，设内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r故122S =⨯⨯△ABC 则111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB r BC r AC r =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯△△△△ 1(332)2r =⨯++⨯=，解得：2r ，其体积：3433V r π==.故答案为：23π.【点睛】考查圆锥的内切球的半径的求法及球的体积公式，属于中档题．16．已知函数()2log 111a x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+（0a >且1a ≠），若定义域上的区间[],m n ，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]log 2,log 2a a n m ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】3220,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】根据对数函数定义域要求可求得()f x 定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定01a <<，从而确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，由此将问题转化为方程()222110ax a x +-+=在()1,+∞有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果.【详解】()1log 11a x f x x -=-+ ()f x ∴定义域为()(),11,-∞-+∞ m n <且log 2log 2a a n m < 01a ∴<< 211y x =-+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增 ()f x ∴在()(),1,1,-∞-+∞上单调递减 ()log 2a f m m ∴=，()log 2a f n n =1n m ∴>>且,m n 是方程()log 2a f x x =的两根 1log 2log 11a ax x x -∴=-+ 即()211log 2log log 111a a a x x x x x x +--==-+- ()211ax x x ∴+=-在()1,+∞上有两个不等实根即()222110ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不等实根 ()()22180211422110a a a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪∴->⎨⎪+-+>⎪⎩，解得：302a -<< a ∴的取值范围为30,2⎛- ⎝⎭故答案为：30,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定,m n 是方程()log 2a f x x =的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.四、解答题17．计算：（1）4160.25032162)4()8(1024)49-⨯+-⨯-+-，（2） 2.5221log 6.25lgln(log (log 16)100+++. 【答案】（1）210；（2）72 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.【详解】（1）原式=2(132×123)6+4334(2) −4×74−142×342+1 =2×22×33+2-7-2+1=210．（2）原式=2-2+32+log 24 =32+2 =72【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力. 18．已知集合13279x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()()2lg 54f x x x =--的定义域为B . （1）求,()R A B B A ⋂⋂；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}13,()21R A B x x B A x x ⋂=<≤⋂=-≤≤；（2）53m <-或7m >. 【分析】（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域求法化简集合A ，B ，再利用集合的补集、交集运算求解；（2）根据A C ⋂=∅，分C =∅，C ≠∅两种情况讨论求解.【详解】（1）因为集合{}1327239x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， {}{}2|540|14B x x x x x =-->=<<，{|1R B x x =≤或}4x ≥，所以{}{}13,()21R A B x x B A x x ⋂=<≤⋂=-≤≤；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，因为A C ⋂=∅，当C =∅时，433m m ->+，解得72m <-，成立；当C ≠∅时，则72332m m ⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩或7243m m ⎧≥-⎪⎨⎪->⎩，解得7523m -≤<-或7m >，综上：实数m 的取值范围是53m <-或7m >，. 19．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，2，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111632132C A DE V -=⨯= 【详解】试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为13•S △A1DE •CD ，运算求得结果试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩A B=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分由AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：==1． 12分【解析】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积20．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120【分析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数）， ∵()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩， ∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人．（2）由()63360360p t Q t -=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立， ∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．21．定义在R 上的函数()f x 满足()00f ≠，且当0x >时，()1f x >，对任意a b ，∈R ，均有()()()f a b f a f b +=⋅．（1）求证：()01f =；（2）求证：对任意x ∈R ，恒有()0f x >；（3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）(0,3) .【分析】（1）利用赋值法，令a ＝b ＝0，求解f (0)的值即可；（2）分类讨论x < 0和0x ≥两种情况证明题中的不等式即可；（3）由函数的性质可证得当12x x <时，f (x 2) > f (x 1)，则f (x )是R 上的增函数．（4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x 的取值范围是(0，3)．【详解】（1）证明：令a ＝b ＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1. （2）当x < 0时，－x >0，所以f (0) ＝f (x ) f (－x ) ＝1，即()()10f x f x =>-，又因为0x ≥时，()10f x ≥>，所以对任意x ∈R ，恒有f (x ) >0.（3）证明：设12x x <，则210x x ->，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1) f (x 1)．因为x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1，又f (x 1) > 0，则f (x 2－x 1) f (x 1) > f (x 1)，即f (x 2) > f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数．（4）由f (x )·f (2x －x 2) >1， f (0)＝1得f (3x －x 2) > f (0)，又由f (x ) 为增函数，所以3x －x 2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x 的取值范围是(0，3)．【点睛】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.22．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.【答案】（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩；（3）7m < 【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a ab =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -,即2t 时,函数h(x)在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h(x)在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩(3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.。

【100所名校】河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含解析

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知为虚数单位，且复数满足，若为实数，则实数的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（）A. B. C. D.4.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.5.已知焦点在轴上，渐近线方程为的双曲线的离心率和曲线的离心率之积为1，则的值为（）A. B. C. 3或4 D. 或6.运行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 0B.C. -1D.7.下列说法正确的个数为（）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；②命题“”的否定是“”；③“且为真”是“或为真”的充分不必要条件；④已知直线和平面，若，则.A. 1B. 2C. 3D. 48.直线与圆相切，则的最大值为（）A. 1B.C.D.9.已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A. 2B. 3C.D.10.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数，若，则方程有五个不同根的概率为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为__________．14.已知满足约束条件，且目标函数的最大值为4，则的最小值为__________．15.已知直线与抛物线交于两点，抛物线的焦点为，则的值为__________．16.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为__________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若函数，其中，函数的图象与直线相切，切点的横坐标依次组成公差为的等差数列，且为偶函数.（1）试确定函数的解析式与的值；（2）在中，三边的对角分别为，且满足，的面积为，试求的最小值.18.某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的为80人.（1）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？（2）为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家里访征求意见，用表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求的分布列与期望.附：.19.如图，在梯形中，，，.，且平面，，，点为上任意一点.Ⅰ.求证：；Ⅱ.点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置.20.已知动圆与圆外切，与圆内切．（1）试求动圆圆心的轨迹方程；（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意，，恒有成立，试求的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若对于任意的，都有，使得，试求的取值范围．河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题本试卷共23小题，满分150分。

2019-2020学年河南省郑州一中高三(上)12月月考数学试卷

【解答】
∵ ，
∴分别以边，所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
，，，，
∴ ，设，则，
∴由得，＝，
∴ ，
∴ ，设，则表示斜率为的一族平行直线，在轴上的截距为，当截距最大时最大，当截距最小时最小，
由图可看出，当直线经过点时截距最小为，当直线经过点时截距最大为，
如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，＝，
所以，，，．
，＝，，ຫໍສະໝຸດ 该几何体的各个面中，面积小于的个数是个．
6.已知，，则“ ＝ ”是“函数＝是奇函数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数＝是奇函数”的等价条件，再根据“ ＝ ” ＝或＝；由充分必要条件的定义即可得到结论．
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系；再代入直线＝由直线系方程得答案．
【解答】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由图可知，为目标函数取得最大值的最优解，
联立，解得，
【解答】
函数的定义域为，
若函数＝为奇函数，
则＝＝，
当＝时，＝，若为奇函数，

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期周测数学试题答案

8
g(x) ln x 1 ex ln x 1
ex

1

ex x

ln
x
1 ex
1

1 x

ln
x
1
ex
1由（1）可知，当
a

1
时，
f
(x)

1 x

ln
x
1．
此时
f
(x)
在区间 0,e
上的最小值为
ln1
0 ，即
1 x

ln
x
1
)
C

3
........
.............6
分
(Ⅱ)
SABC

1 2
ab
sin
C
3
3
b

6, C

3
， a

2,
..........9
分
由余弦定理 c2

a2
b2
2ab cos C

4

36

2

2

6

1 2

28 ，
c 2 7 ....................12 分
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 C
A
B
A
D
A
C
D
A

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)

2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，则A∩B=（）A．{1}B．（1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【答案】B【命题意图】该题考查集合列举法、描述法，集合的交集运算，属于基础题，较为简单．【解析】因为A={1，2，3，4}，B={x|﹣1<x<3}，所以A∩B={1，2}．故选B．【点评】进行交集的运算，取公共部分．2．复数z1ii+=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【命题意图】该题考查复数的乘除运算及复数与复平面内的点一一对应，属于基础题较为简单．【解析】z()i1i1ii i i-++===-⋅1﹣i，因此在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点评】利用复数的乘除运算以及复数与复平面内的点一一对应的关系即可得出．3．设a=213，b=（14）23，c=log212，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 【答案】A【命题意图】该题考查有理指数幂与对数的运算性质，属于基础题，较为简单．【解析】由于a=213>20=1，0<b=（14）231()14<=，c=log212<log21=0，因此a>b>c．故选A．【点评】通过指数幂与对数的运算性质借助中间量0,1，比较a，b，c,的大小得答案．4．设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则（）A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥βC．若m⊥α，则α⊥βD．若α⊥β，则l⊥m【答案】C【命题意图】该题考查空间线面关系的判定，需要一定空间想象能力，属于基础题．【解析】若α∥β，则直线l与m也可能异面，故A错误．若m∥α，则平面α与β也可能相交，故B错误．若m⊥α，m⊂β，平面β经过平面a的垂线m，由线面垂直的判定定理，得α⊥β，故C正确．若α⊥β，则l与m也可能平行或异面，或相交，故D错误．故选C．【点评】通过线面的位置关系，加以判断．5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．185C．10D．325【答案】B【命题意图】该题考查几何概型的应用，属于基础题，较为简单．【解析】设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P800220005==；而P9s=，则295s=，因此S185=；故选B．【点评】根据几何概型的定义即可求解，设阴影部分的面积为S，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P25=；，又由几何概型可得P9s=，联立解可得答案．6．若变量x，y满足约束条件340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则y﹣2x的最小值是（）A．﹣1B．﹣6C．﹣10D．﹣15【答案】B【命题意图】该题考查线性规划，需要一定的数形结合思想，属于基础题．【解析】令z=y﹣2x，则y=2x+z，作340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，根据z的几何意义可知，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由340x yx y+=⎧⎨+-=⎩，解得A（2，﹣2），将（2，﹣2）代入z=y﹣2x，得z=﹣2﹣2×2=﹣6，因此z=y﹣2x的最小值为﹣6．故选B．【点评】根据不等式组作出可行域，再令z=y﹣2x，平移变换即可．7．已知函数y=f（x）的图象由函数g（x）=cos x的图象经如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数y=f（x）的对称轴方程为（）A．xππ212k=+，k∈Z B．xππ26k=+，k∈ZC．x=kππ12+，k∈Z D．x=kππ6+，k∈Z【答案】A【命题意图】该题主要考查三角函数图象变换规律以及余弦函数的图象的对称性，属于基础题．【解析】先将g（x）的图象向右平移π6个单位长度，可得y=cos（xπ6-）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2xπ6-）的图象，令2xπ6-=kπ，则f（x）的图象的对称轴方程为xππ212k=+，k∈Z，故选A．【点评】根据三角函数左加右减的变换规律，结合余弦函数的图象的对称性，可得结论．8．直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则m=（）A．﹣5或15B．5或﹣15C．﹣21或1D．﹣1或21【答案】A【命题意图】考查直线与圆的位置关系，属于基础题，较为简单．【解析】圆标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=4，因为直线3x+4y+m=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0相切，则圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径得2385m-+=，|m﹣5|=10，因此m=﹣5，或15，故选A．【点评】将元的一般方程转化为标准方程再根据圆心（1，﹣2）到直线的距离等于半径，求出m即可．9．已知椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）A．2254x y+=1B．22259x y+=1C．22169x y+=1D．222516x y+=1【答案】D【命题意图】该题考查椭圆的标准方程以及性质属于基础题．【解析】因为椭圆2222x ya b+=1（a>b>0）的离心率为35，直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点，则35ca=，a=5，解得c=3，则b=4，因此椭圆的方程为：222516x y+=1．故选D．【点评】根据已知条件，求出a，c，再根据椭圆的基本性质求解b，即可得到结果．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在球面上，PB⊥平面ABC．PB，△ABC为直角三角形，AB⊥BC，且AB=1，BC=2．则球的表面积为（）A ．5πB ．10πC ．17πD 【答案】C【命题意图】考查几何体外接球的半径及外接球的表面积公式，需要一定空间想象能力属于基础题．【解析】根据题意作出如下图，设底面外接圆的圆心为O '，因三角形ABC 是直角三角形，所以O '为斜边的中点，因此底面外接圆的半径r 等于斜边的一半，即r 22==，过O '做垂直于底面的直线OO '交三棱锥的中截面与O 点，则O 为外接球的球心，且OO '2PB ==R 2=r 2+OO '254=+3174=，因此S =4πR 2=17π，故选C ．【点评】PB ⊥平面ABC ，侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，且底面为直角三角形，因此底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和三棱锥的高的一半构成直角三角形，根据勾股定理由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 11．关于函数f （x ）=sin|x |﹣|cos x |有下述四个结论：①f （x ）是偶函数;②f （x ）在区间（π2，π）单调递减;③f （x ④当x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立其中正确结论的编号是（） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②④【答案】D【命题意图】该题考查三角函数的图象和性质，以及函数的奇偶性单调性，属于中档题．【解析】①f （﹣x ）=sin|﹣x |﹣|cos （﹣x ）|=sin|x |﹣|cos x |=f （x ），满足偶函数定义，f （x ）是偶函数． ②x ∈（π2，π），sin|x |=sin x ，|cos x |=﹣cos x因此f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+），复合函数单调性（π2，π）上单调递减．③x ∈（0，π2]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），因此f （x ）最大值1，x ∈（π2，π]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值1，x ∈（π，3π2]，f （x ）=sin x +cos x =（x π4+），则f （x ）最大值﹣1，x ∈（3π2，2π]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-），则f （x ）最大值﹣1，因此f （x ）最大值为1．④x ∈（0，π4]，f （x ）=sin x ﹣cos x =（x π4-）<0，因f （x ）是偶函数，x ∈（π4-，0]，也有f （x ）<0，因此x ∈（π4-，π4）时，f （x ）<0恒成立，故正确的是①②④，故选D ．【点评】①根据定义可知，f （﹣x ）=f （x ），所以正确．②x ∈（π2，π），f （x ）=sin x ﹣（﹣cos x ）=sin x +cos x =（x π4+）根据复合函数单调性可知，在（π2，π）上单调递减．③将函数转化为分段函数在不同区间上求最值，分别在x ∈（0，π2]时，当x ∈（π2，π]时，当x ∈（π，3π2]时，当x ∈（3π2，2π]时，确定f （x ）最大值． ④x ∈（0，π4]，f （x ）<0，又因f （x ）是偶函数，当x ∈（π4-，0]时，f （x ）<0，由函数的对称性可知．12．已知关于x 的方程为22(3)xx e -=3e x ﹣22e+（x 2﹣3），则其实根的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【命题意图】该题考查函数与方程之间的关系，通过数形结合的方法，属于难题．【解析】因为x =22(3)xx e -=3e x ﹣22e +（x 2﹣3）的根，因此方程可变形为2222333x xe x e e x e--=⋅--，根的个数问题转化为两函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e -=⋅--的交点个数，构造h （x ）23xe x =-，则h ′（x ）()22223(3)x e x x x --=-，列表可得：x （﹣∞，）（﹣1）（﹣13）（3，+∞）h ′（x ） + + ﹣ ﹣ + h （x ）单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增因为函数y 231x e x=-在有意义的区间内单调递增，故g （x ）的单调性与函数h （x ）的单调性一致，并且g （x ）的极值g （﹣1）=g （3）3312e=-+2e ，则函数图像如图所示，通过观察分析可知，y 2e=-与函数g （x ）恒有3个交点，因此方程实数根的个数是3，故选B ．【点评】将方程变形为2222333x x e x e e x e --=⋅--，根的个数问题转化为函数y 2e=-与函数g （x ）222333x x e x e x e-=⋅--的交点个数，通过导数研究g （x ）单调性，极值，根据数形结合法，即可得到答案．二、填空题：该题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a >0，b >0，2a +b =4，则3ab的最小值为．【答案】32【命题意图】该题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．【解析】由题意可知a >0，b >0，2a +b =4，根据基本不等式得，4≥，因此ab ≤2，当b =2a 即b =2，a =1时取等号因此3ab 的最小值为32．故答案为：32．【点评】通过基本不等式求解ab 的范围，从而转化为函数求最值问题． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且63338S S =，则6542a a a =+ ．【答案】13【命题意图】该题考查等比数列通项公式，属于基础题，较为简单．【解析】63338S S =，显然q ≠1，因此()()613119118a q a q q -=--， 1+q 398=，解得12q =，又因()5261435411222123132a a q q a a q a q q ====+++．故答案为：13．【点评】根据等比数列求和以及已知条件化简求公比q ，然后代入等比数列的通项公式即可求解．15．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a >0，b >0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF =6，则双曲线C 的离心率为．【答案】54【命题意图】该题考查双曲线的方程和性质以及离心率与渐近线等内容，有一定综合性，属于基础题．【解析】根据题意可知a =4，设双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay =0，焦点为F （c ，0），则|MF|==b ，在t R ∆ OMF 中，可得|OM|===a ，则△OMF 的面积为12ab =2b =6，可得b =3，c ==5，则e 54c a ==．故答案为：54．【点评】通过定义设渐近线方程以及焦点坐标，通过点到直线的距离公式和双曲线的a ，b ，c 的关系，可得a ，再根据三角形的面积公式得c ，从而求解离心率．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos A =a-cos C ），c =2，D 为AC 上一点，AD ：DC =1：3，则△ABC 面积最大时，BD = ．【命题意图】该题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形面积公式的运用，需要一定的转化思想，转化为二次函数的最值求法，属于难题．【解析】2cos A =a-cos C ），c =2，则c cosA=-a cos C，根据正弦定理可知sin C cos A+sin A cosC=A，因此sin（A+C）=sinB=A，因此b=，根据p22a++=，p﹣a22a-+=，p﹣c22a+-=，p﹣b22a+-=，通过三角形面积的海伦公式可得S△ABC===，在a2=12，即ab，△ABC的面积取得最大值，因为D为AC上一点，AD：DC=1：3，因此AD=，则cosA2222642BDb c abc+-+-===，解得BD=．．【点评】根据题意结合三角形的正弦定理和三角函数和差公式，可得b=，再由三角形的海伦面积公式，转化为二次函数的最值求法，即可得到三角形的面积取得最大值时a的值，再通过余弦定理计算可得所求值．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}为递增数列，且满足a1=2，a32+a42=a52．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n ()()1111n n a a -=++（n ∈N *），S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n ．【命题意图】该题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，需要一定计算能力，属于基础题较为简单．【解析】（Ⅰ）因为数列递增所以d >0，根据a 1=2，a 32+a 42=a 52，可得（2+2d ）2+（2+3d ）2=（2+4d ）2，解得d =2（23-舍去），又因a n =2+2（n ﹣1）=2n ；（Ⅱ）b n ()()()()11111121212n n a a n n -===+++-（112121n n --+）， S n 12=（1111113352121n n -+-++--+L ）12=（（1121n -+）21n n =+．【点评】（Ⅰ）根据等差数列通项公式，可以求得公差且d >0，解方程可得公差，从而求得通项公式；（Ⅱ）数列的裂项相消求和，化简可得所求和-18．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．【命题意图】该题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，需要对线面垂直的判定以及几何体求体积的方法加以掌握，属于中档题．【解析】（Ⅰ）根据题意可知，在图（1）中，AC =BC，AD =BD =CD =2，因此在三棱锥A 1﹣BCD 中，A 1D =BD ，A 1C =BC ，且G 是A 1B 的中点，所以DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，又因DG ∩CG =G ，所以A 1B ⊥面DGC ，因为点M ，N ，分别为A 1C ，BC 的中点．所以MN ∥A 1B ，可证MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）由图（1）知CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，因此CD ⊥平面A 1DG ，又因为∠A 1DB =60°，所以△A 1DB 是等边三角形，故DG ⊥A 1B ，A 1B =2，A 1G 12=A 1B =1，DG =所以1111122A DG S AG DG =⨯⨯=⨯=V ，所以通过体积转化的方法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积：11111233G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==V ．【点评】（Ⅰ）通过题意得A 1D =BD ，A 1C =BC ，因此DG ⊥A 1B ，CG ⊥A 1B ，可得A 1B ⊥平面DGC ，从而得出MN ∥A 1B ，通过传递性可知MN ⊥平面DCG ．（Ⅱ）根据CD ⊥A 1D ，CD ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ，推导出CD ⊥平面A 1DG ，因此△A 1DB 是等边三角形，根据等体积法，三棱锥G ﹣A 1DC 的体积11113G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯V ，由此能求出结果． 19．2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？【命题意图】该题考查频率直方图由样本估计整体，属于基础题，较为简单．【解析】（Ⅰ）根据图标可知：高于60分的概率为（0.02+0.04+0.02）×10=0.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．由样本估计总体，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）样本中分数不小于50的频率为：（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，因此分数在区间[40，50）内的人数为100﹣100×0.9﹣5=5，总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为5005100⨯=25，（Ⅲ）将所有可能结果列出，则设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件A={抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）63 105 ==，因此抽取的2人中男女同学各1人的概率为3 5．【点评】（1）根据频率直方图求得分数高于60的频率，再根据样本总是，计算出分数高于60的概率，（2）首先计算分数不小于50的频率，再算出分数在区间[40，50）内的人数，从而估算出总体中分数在区间[40，50）内的人数．（3）计算从这5名同学中选取2人的事件，再计算抽取的2人中男女同学各1人的事件，再求抽取的2人中男女同学各1人的概率．20．设曲线C ：x 2=2py （p >0）上一点M （m ，2）到焦点的距离为3．（Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）设P ，Q 为曲线C 上不同于原点O 的任意两点，且满足以线段PQ 为直径的圆过原点O ，试问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．【命题意图】该题考查抛物线方程的求法，考查直线是过定点的判断与求法，需要直线与抛物线的位置关系等内容加以判断，属于中档题，有一定计算量．【解析】（1）根据题意结合抛物线定义得22p +=3，解得p =2，因此曲线C 方程为x 2=4y ．（2）根据以PQ 为直径的圆过原点O ，因此OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，解得x =0（舍）或x =4k ，因此P （4k ，4k 2），且OQ 的直线方程为y 1x k =-，同理可得Q （4k -，24k），又因为直线PQ 斜率存在，因此PQ 的直线方程为222444444y k x k k k k k--=---，得y =（k 1k-）x +4，可证直线PQ 恒过定点（0，4）．【点评】（1）根据抛物线定义可知，22p +=3，因此能求得C 方程．（2）由题意OP ⊥OQ ，设OP 的直线方程为y =kx ，（k ≠0），与曲线C 方程x 2=4y 联立，得x 2=4kx ，求出P （4k ，4k 2），设直线OQ 的方程为y 1x k =-，同理求得Q （4k -，24k），因此得到直线PQ 的方程为y =（k 1k-）x +4，因此PQ 恒过定点（0，4）． 21．已知函数f （x ）=ax 2﹣x ﹣ln1x ．（Ⅰ）若f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，求f （x ）在点（1，f （1））的切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【命题意图】该题考查导数几何意义以及导数的应用判断函数单调性以及极值最值，属于难题．【解析】（1）f ′（x ）=2ax 11x+-，根据题意可知，k =f ′（1）=2a ，因f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线y =2x +1平行，因此2a =2即a =1，则f （1）=0，因此切点（1，0），所以切线方程y =2x ﹣2，（2）f ′（x ）=2ax 2121ax x x x-+-+=，则2ax 2﹣x +1=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2，根据韦达定理以及两根判别公式可得方程组1212180102102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩V 解得108a <<，又因f （x 1）+f （x 2）2221ax ax =+-（x 1+x 2）+ln x 1+ln x 2，=a (()2121212[)2x x x x x x ⎤+--++⎦ln x 1x 2， 11124ln a a =-- 换元令t 12a=，则g （t ）=ln t 12t --1，t >4，对函数求导，()112'22t g t t t -=-=<0，因此g （t ）在（4，+∞）上单调递减，g （t ）<g （4）=ln4﹣3=2ln2﹣3，f （x 1）+f （x 2）<2ln2﹣3．【点评】（I ）根据导数的几何意义可求，（II ））f ′（x ）=0在（0，+∞）上有两个不等的实数根x 1，x 2，根据二次函数的实根分布可求a 的范围，代入f （x 1）+f （x 2），借助函数单调性可求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第题记分[选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P 312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其参数方程x acos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：2211||||OA OB +为定值，并求出这个定值．【命题意图】该题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程和极坐标方程的互相转化，以及三角函数关系式的恒等变换属于基础题，较为简单．【解析】（ I ）将点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线E方程，则132acos αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，，因此a 2=4，求得曲线E 的直角坐标方程为22143x y +=，因此极坐标方程为22211143cos sin ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设点A ，B 的极坐标分别为()1212π002A B ρθρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，，，，，，根据题意可得222211222222111431π1π(14232cos sin cos sin ρθρθρθρθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，即222122221114311143cos sin sin cos θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，．因此2212111174312ρρ+=+=，即22117||||12OA OB +=．【点评】（1）通过直角坐标方程参数方程，极坐标方程之间的关系进行转化（2）通过极径应用以及三角函数化简求得结果．[选修4–5不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|+m ．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥m 的解集；（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，求m 的取值范围．【命题意图】该题考查绝对值不等式解法，以及参数范围问题，需要注意可以通过平方去绝对值也可通过分段函数去掉绝对值号，属于基础题．【解析】（Ⅰ）根据题意，不等式两边同时平方，得（x ﹣1）2≥（2x +1）2，化简为3x （x +2）≤0，得﹣2≤x ≤0．因此不等式f （x ）≥m 的解集为{x |﹣2≤x ≤0}．（Ⅱ）令g （x ）=|x ﹣1|﹣|2x +1|，()122131221x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，，，， f （n ）≥0等价于g （n ）≥﹣m因g （﹣2）=g （0）=0，g （﹣3）=﹣1，g （﹣4）=﹣2，g （1）=﹣3，恰好存在4个不同的整数n ，使得f （n ）≥0，因此﹣2<﹣m ≤﹣1，故m 的取值范围为[1，2）．【点评】（Ⅰ）两边同时平方进行求解（Ⅱ）转化为分段函数根据分段函数图像即可得到参数范围．。

河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题文

20届（高三）12月份联考试题文科数学说明：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．2．将第I 卷的答案代表字母和第II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =，{1,2,4}Q =，则()U P Q =ð()A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}2．在复平面内，复数12ii z +=对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(,1),(21,3)a b =-=-m n (0,0a b >>)，若//m n ，则21a b +的最小值为()A ．12B．8+C ．15D．10+4．已知,x y 满足22080x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，()0z ax by a b =+>>的最大值为2，则直线10ax by +-=过定点()A ．(3，1)B ．(1,3)-C ．(1，3)D ．(3,1)-5．如右图一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．46．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是函数()||f x x x a b =++是奇函数的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7．若π1sin()63α-=，则2πcos(2)3α+=()A ．79-B ．13-C ．13D ．798．已知数列：12,,,()11kk k k *∈-N ，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：12123121321,,,,,,，则25首次出现时为数列{}n a 的()A ．第12项B ．第16项C ．第17项D ．第23项9．如图在长方体1111A B C D ABCD -中，11AD DD AB ==，，,,E F G 分别是,,AB BC 1CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若1//DP 平面EFG ，则1BBP ∆面积最小值为()A．4B ．1C．2D ．1210．已知函数()3cos f x x x =+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则12||x x +的最小值为()A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π311．如图，设抛物线22y px =的焦点为F ，过x 轴上一定点D (2，0)作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，记△BCF 面积为1S ，△ACF 面积为2S ，若1214S S =，则抛物线的标准方程为()A ．2y x =B ．22y x=C ．24y x =D ．28y x=12．已知函数3()21f x x x =++，若(e 1)1x f ax -+>在(0,)x ∈+∞上有解，则实数a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(1,e )第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且,2,sin 6AB AD AB C ===，则BCBD =_________．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()42f x f x +=-，当[]3,0x ∈-时，()2x f x -=，则()2019f =_________．15．过点(0,1)M 且斜率为1的直线与双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的两渐近线交于,A B ，且2BM AM =，双曲线的焦距为，则b 的值为_________．16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC 的欧拉三角形如图，△111ABC 是△ABC 的欧拉三角形（H 为△ABC 的垂心）．已知3AC =，2BC =，tan A C B ∠=，若在△ABC 内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()()()12123n n n a n S n *+-=+∈N ．（1）证明：数列21n Sn ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T 的表达式．18．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直，已知3AB =，1EF =．（1）求证：平面D AF ⊥平面CBF ；（2）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为1V 、2V ，求12:V V ．19．为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在精准落实上见实效．现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进行调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(满分100分)如图所示，已知图中的平均数与中位数相同．现将满意度分为“基本满意”(分数低于平均分)、“满意”(分数不低于平均分且低于95分)和“很满意”(分数不低于95分)三个级别．满意度798689967355972558a（1）求茎叶图中数据的平均数和a 的值；（2）从“满意”和“很满意”的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意”的概率．20．已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：，椭圆的右焦点为(1,0)F ，长轴的左右端点分别是12,A A ，且121FA FA ⋅=-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？21．已知函数()()(e ),0x f x x b a b =+->，在(1,(1))f --处的切线方程为(e 1)e e 10x y -++-=.（1）求,a b 的值；（2）若0m ≤，证明：2()f x m x x ≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：32sin ρθρ=+．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ，求||||AM AN +取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()||,f x x x a a =-∈R ．（1）若(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．。

河南省2020届高三数学12月联考试题文(含解析)

天一大联考2020学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以2. 已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为纯虚数，所以，所以，所以点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为.3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D。

4. 已知侧棱长为的正四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，且球心在底面正方形上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设球的半径为R,则由题意可得，解得R=1,故球的表面积.5. 已知函数（）的最小值为2，则实数（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B。

6. 若函数关于直线（）对称，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，即，，时，的最大值为 .7. 已知数列满足，，，则数列前项的和等于（）A. 162B. 182C. 234D. 346【答案】B【解析】由条件得，所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故。

选B。

点睛：..................8. 用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87．执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图可知程序框图中的n记录输入的数据中大于等于80分的学生的人数，在给出的10个数据中，大于等于80的数据的个数为7个，故输出的值为。

河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案

河南省郑州市第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题本试卷共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A N =，{}3,5B x R z xi z =∈=+=且，（i 为虚数单位），则A B =（）A.4B.4-C.{}4D.{}4-2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（） A.丁酉年 B.戊未年C.乙未年D.丁未年3.点)4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒4.定义函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则{}max sin ,cos x x 的最小值为（）A.C.2-D.25.已知数列{}n a 的通项()23n a n n N *=+∈，数列{}n b 的前n 项和为()2372n n nS n N *+=∈，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}n c ，则满足2012m c <的m 的最大整数值为（）A.335B.336C.337D.3386.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 、S ，则抛物线的焦点是（）A.PB.QC.RD.S8.点(),M x y 在圆()2221x y +-=上运动，则224xyx y +的取值范围是（） A.11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.{}11,,044⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.11,00,44⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9.已知B 、C 为单位圆上不重合的两定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（） A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆10.点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是（）A.(B.()0,2C.(D.()0,111.如图，将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使60BDC ∠=︒，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A.132πB.133π C.2 D.312.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（） ①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()0f x '<（()f x '是函数()f x 的导函数） A.②③B.①③C.②④D.①②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

百校联盟2020届高三12月联考试卷(全国Ⅰ卷)语文试题及答案(逐题解析) 人教版高三总复习

百校联盟2020届高三12月联考试卷（全国Ⅰ卷）语文试题及答案（逐题解析）人教版高三总复习2020届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷语文注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

2.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.本试卷满分150分，测试时间150分钟。

4.考试范围：高考全部内容。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成下面小题。

“民生”，这几年已经成了社会生活中分外响亮的“主题词”。

政府出台“民生政策”之密集，媒体推出“民生话题”之深入，百姓关注“民生热点”之强烈，可谓前所未有。

如何使每一级政府的惠民之举，托起每一个百姓的幸福生活？显然，我们还有许多的结待解。

走进基层，常常遇到一些令人忧虑的现象。

民生是个“筐”。

看一看各地在抵抗金融危机中接连推出的刺激内需的大手笔，看一看基层在跟进产业转移中争相展示的招商引资的新路数，其中究竞有多少是真正关乎民众切身利益的惠民工程，有多少是紧密呼应民众迫切需求的民生项目！一些地方向上汇报、对外宣传时，为了标榜自己的“高度重视”，竟然把高速公路、城市广场等基础设施投资都算作了民生工程。

民生是个“秀”。

“有粉搭在脸上”，这是许多官员的共通心态。

就谈新农村建设，不少地方忙于撤并村庄、洗脚上楼，简单地将城市样式照搬进来，靠近路边的建筑，还要涂脂抹粉，配上白墙红顶。

老百姓的谋生之道、生产方式还没有改变，就急着要在一个早上颠覆农民既有的居住文明和生活方式，于此，官员们有了迎接上级领导检查视察的“盆景”，有了自己表功炫耀的“面子”，甚至还有了其中房地产开发的“实惠”，老百姓却尝到了难言的苦果。

民生是个“痛”。

一些地方政府或盲目追求跨越发展，或急于拉动投资需求，或企图摆脱财政困境，提出加速城市化，让更多的百姓以承包土地换一纸户籍，尽快过上城市生活，享受公共服务，沐浴现代文明。

但是，他们并没有换位思考：农民到城里买不起房怎么办？找不到工作怎么办？子女就学遇到困难怎么办？民生是什么？不是口号，不是标榜，它是百姓的切身利益，是人民的幸福生活。

2020届市第一中学等八校联考高三12月联考数学(文)试题(解析版)

2020届市第一中学等八校联考高三12月联考数学（文）试题（解析版）2020届市第一中学等八校联考高三12月联考数学试题一、单选题1．A．B．C．D．D 上下同时乘以再化简即可.故选 D 本题主要考查复数的四则运算,属于基础题型. 2．已知全集为,集合，，则A．B．C．D．C 分别求得集合再求即可.或故,故故选：C 本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型. 3．在等差数列中,已知,则该数列前11项和= A．44 B．55 C．143 D．176 A 根据等差数列的性质计算即可. 由等差数列中,则,故故选：A 本题主要考查了等差数列的基本性质,包括等和性与当为奇数时,前项和. 属于基础题型. 4．函数的大致图象是A．B．C．D．A 先分析奇偶性,再分析当时函数值的正负即可. ,故为奇函数.排除C,D 又当时, ,此时,排除B 故选A 本题主要考查了函数图像的判断,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正负即可.属于基础题型. 5．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是A．B．C．D．B 设连线的中点为,再表示出动点的坐标,代入圆化简即可. 设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故,又在圆上,故, 即即故选：B 本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型. 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若且则B．若且则C．若D．若且则B 试题分析：对于A中，若且则与可能是平行的，所以不正确；对于C中，则可能，所以不正确；对于D 中，若且则与可能是相交的，所以不正确，故选B．直线与平面位置关系的判定．7．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是()A．2，－B．2，－C．4，－D．4，A 由函数f＝2sin 的部分图象，求得T、ω和φ的值．由函数f＝2sin的部分图象知，，∴Tπ，解得ω＝2；又由函数f的图象经过，∴2＝2sin，∴φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ，又由φ，则φ；综上所述，ω＝2、φ．故选A．本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8．与直线关于x轴对称的直线的方程是A．B．C．D． D 利用所求直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标在已知的直线上求解即可. 设所求直线上点的坐标，则关于轴的对称点的坐标在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：,故选D．本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路 D 甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾. 故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D 本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 10．如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则多面体的体积为A．B．C．D．C 由题易得为正六边形,故连接对角线取中心,再求得高与底面面积即可. 取为正六边形中心,则易得共线,再建立如图空间直角坐标系,则,,故, 故面,故体积故选：C 本题主要考查立体几何中的垂直平行关系,同时注意正六边形的面积可以用六个小正三角形进行计算,属于中等题型. 11．四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( ) A．B．C．D．A 先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积求解即可. 外接圆直径, 故球的直径平方,故外接球表面积故选：A 本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径,再利用锥体高,根据球直径求解即可.属于中等题型. 12．设,若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．B．C．D． C 画出函数图像,再根据直线与有四个交点分析即可. 画出图像,由过定点,故将直线绕着旋转进行分析,得出临界条件如图,直线过和与相切时为临界条件. 当过时,易得. 当与相切时,设切点,,故在处切线斜率,故,故,故,故故的取值范围是故选C 本题主要考查了数形结合解决分段函数零点的问题,重点是画出图像,分析满足条件时的情况,再求得临界条件,最后得出斜率的取值范围,属于难题.二、填空题13．若向量和向量垂直，则_______．利用垂直求得,再求出的向量坐标,进而求得模长即可. 因为向量和向量垂直,所以,故,故,故故故答案为5 本题主要考查向量的坐标运算,包括垂直的性质以及模长的运算等,属于基础题型. 14．函数的图象在处的切线方程为______________________. 先求导函数,再代入于内求得斜率, 代入于内求得切点坐标,再用点斜式求直线方程即可. 由题,又,故在处的斜率为,故在处的切线方程为故答案为：本题主要考查了导数几何意义,求在某点处切线的方程,属于基础题型. 15．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则______. 先根据等差中项的性质可知得2×=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．依题意可得2×=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+ ∴==3+2 故答案为：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．16．在直三棱柱中,若，则异面直线与所成的角等于_________ 建立空间直角坐标系分别求得，，再利用即可得到所求角大小．三棱柱为直三棱柱,且以点为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系设，则, ,, ，又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于．本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．三、解答题17．如图，在三棱柱中，⊥，⊥，，为的中点，且⊥.(1)求证：⊥平面；(2)求三棱锥的体积. 解：(1)见解析；(2)＝·CD ＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝. 本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力证明CD⊥BB1，通过BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB1⊥面ABC 所求的体积进行等价转化可以知道几何体的体积．解：(1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD ⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC (2)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，又BB1＝2，∴＝·CD ＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝请在此输入详解！18．已知半径长为的圆截轴所得弦长为，圆心在第一象限且到直线的距离为．求这个圆的方程；求经过与圆相切的直线方程．；和. (1)设圆心,半径=5,利用圆截轴所得弦长为算出.再利用到直线的距离为算得即可. (2)分情况当斜率不存在时判断是否满足条件,再考虑当斜率存在时,设过的点斜式方程,再利用与圆相切列出圆心到直线的距离等于半径的方程,求解即可. 由题圆心,半径=5 截轴弦长为6 , 由到直线的距离为, 所以圆的方程为分情况讨论：当直线存在斜率时,设切线方程为：由到直线的距离切线方程：当直线过点且斜率不存在时,方程也是所求的切线方程. 综上,切线方程为和本题主要考查了直线与圆的方程问题.重点在于根据题目条件找到圆心半径的关系,相交一般利用垂径定理,相切一般用圆心到直线的距离等于半径列式求解.同时注意求过定点的直线时,要分斜率存在与不存在的情况,属于中等题型. 19．如图，在中，边上的中线长为3，且，．求的值；求边的长．；4；由同角三角函数的关系、三角形内角的范围和两角差的正弦公式即可求出. 在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出. 解：因为，所以．又，所以，所以．在中，由得，解得．故，在中，由余弦定理得，得．本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题. 20．已知数列的前n项和为，且.求数列的通项. 设，求数列的前n项和. ；. (1)利用通项与前n项和的关系求得关于的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列的通项. (2) 为差比数列,故考虑用错位相减求和. 解两式相减得, 即数列{an}是等比数列． (2)①②①﹣②得本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线与圆O：相切．直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．或；见解析. 记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k，利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；设P，由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A，B，分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值．∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2相切，∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．记圆心到直线l的距离为d，∴d=．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k，即kx﹣y+=0．∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．综上，直线l 的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；点M、N的纵坐标之积为定值10．设P，∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A，B，∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．令x=0，得M，N，则．∵点P在圆C上，∴，即，代入式，得为定值．求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是. 求函数的解析式；若时，恒成立，求实数的取值范围. ；求出导函数，由导数确定单调性，得最值后可得，得解析式；恒成立，作为的函数可以看作是一次函数，只要区间两个端点处函数值满足不等式即可．解：令，解得或，因为，由知，在上单调递增，在上单调递减，在上的最大值为，最小值为，解得，. 由知，恒成立，令，则在上恒成立，等价于：，即. 解得，故实数的取值范围为. 本题考查用导数研究函数的最值，考查不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，不等式恒成立问题常常要进行转化．。

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期12月月考试卷数学(文)答案

文科数学试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号123456789101112答案C D B A C B A C A D C A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．815．116．764．三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(1)证明：因为112321n n n n n a S S S n +++=-=-，所以12(21)21n n n S S n ++=-，所以122121n n S S n n +=+-．又11a =，所以1101S =≠．∴数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………………6分(2)由(1)知，1221n n S n -=-，所以1(21)2n n S n -=-⋅．所以2113252(21)2n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，①故232123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②，得2112(222)(21)2n n n T n --=+⨯+++--⋅2212(21)2(32)2312nn n n n -=+⨯--⋅=-⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．………………………………12分18．解析：（1）如图，矩形ABCD 中，CB AB ⊥，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥．又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∵CB BF B =，CB 、BF ⊂平面CBF ，∴AF ⊥平面CBF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF ．…………………………6分（2）几何体F ABCD -是四棱锥、F BCE -是三棱锥，过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FH ⊥平面ABCD ．则113V AB BC FH =⨯⨯，21132V EF HF BC ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭∴1226V AB V EF==…………………………………………12分19．(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数相同，得平均数为88，所以9863567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =．………………………………………………4分(2)依题意，16人中，“基本满意”有8人，“满意”有4人，“很满意”有4人．“满意”和“很满意”的人共有4人．分别记“满意”的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意”的4人为1，2，3，4．从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,),(,)a b a c a d a a a a b c b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件A 由22个基本事件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有22个．故事件A 的概率为2211()2814P A ==．………………………………………12分20．解：(1)依题设12(,0),(,0)A a A a -，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-．由121FA FA ⋅=-，得：(1)(1)1a a ---=-，解得22a =，又因为1c =，所以222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．………………………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．依题意设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2212122242(1),2121k k x x x x k k -+==++，所以212022221x x k x k +==+，002(1)21k y k x k =-=-+，则直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +，若四边形ADBE 为菱形，则0022E D E D x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，所以2023221E D k x x x k =-=+，022221E D k y y y k =-=-+，若点E 在椭圆C 上，则22222132()()142121k k k k ⋅+-=++，即4222982(21)k k k +=+，整理得42k =，解得k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分21．解析：（1）由题意()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e eb f a -=-=-+'，解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,e 2e,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩由于0b >，而2e 0-<，故1a =，1b =．………………………………5分（2）由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()00,10f f =-=，由0m ≤，20x ≥，可得2x mx x ≥+，要证明()2f x mx x ≥+，只需证()f x x ≥．令()()()1e 1xg x x x =+--，则()()2e 2xg x x =+-'，令()()()(3xh x g x h x x e '==+）则，当3x <-时，()0h x '<，()g x '在(,3)-∞-上单调递减，且()0g x '<；当3x >-时，()0h x '>，()g x '在(3,)-+∞上单调递增；且(0)0g '=，所以()g x 在()0-∞，上当单调递减，在(0,)+∞上单调递增，且(0)0g =，故()()()()00,1e 1x g x g x x ≥=+-≥即，即()f x x ≥恒成立，所以2()f x mx x ≥+．………………………………………………………12分22．解：(1)由32sin ρθρ=+得22sin 3ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=．……………………………………4分(2)将l 的参数方程2cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sin cos )40t t αα+-+=．①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sin cos )160αα∆=-->，因为22sin cos 1αα+=，所以sin cos 0αα<，又0πα≤<，所以ππ2α<<，设方程①的两根为12,t t ，则12124(cos sin )0,40t t t t αα+=-<=>，所以120,0t t <<，所以1212π||||||||()4(sin cos ))4AM AN t t t t ααα+=+=-+=-=-，由ππ2α<<得，ππ3π444α<-<，所以2πsin(124α<-≤，从而π44α<-≤即||||AM AN +的取值范围是．………………………………10分23．解：（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，①若1a ≤-时，则111a a -++>，即21>，即1a ≤-时恒成立；②若11a -<<时，则1(1)1a a --+>，解得12a <-，所以112a -<<-；③若1a ≥时，则1(1)1a a -+-+>，即21->不成立，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-．………………………………………5分（2）由题意知，不等式对于,(,)x y a ∈-∞恒成立，等价于max min 5()(||||)4f x y y a ≤++-，当(,)x a ∈-∞时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，所以2max ()(24a a f x f ==，又因为555|||||(()|||444y y a y y a a ++-≥+--=+，当且仅当5()04y y a +-≤即54y a -≤≤时，等号成立，所以min 55(||||)44y y a a ++-=+，所以2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5]．………………………………10分。

河南省郑州市新郑第一中学2020年高三数学文联考试卷含解析

河南省郑州市新郑第一中学2020年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（） A． B．1C． D．参考答案：D略2. 函数的大致图像为参考答案：D因为函数为偶函数，所以图象关于轴对称，排除A,B.当时，，所以选D.3. 设函数的图象过点（，–3），则a的值A． 2 B．–2 C．– D．参考答案：A略4. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为－1，有以下命题：（1）f(x)的解析式为：f(x)=x3－4x，x∈[-2，2]（2）f(x)的极值点有且仅有一个（3）f(x)的最大值与最小值之和等于零其中假命题个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：答案：B6. 下列说法中，不正确的是( )A．已知，命题：“若，则”为真命题B．命题：“”的否定是：“”C．命题“或”为真命题，则命题和命题均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C试题分析：A．正确；B．正确；D，正确；C不正确，若命题“或”为真命题，则命题和命题由一个为真命题即可考点：命题的真假判定7. 设，则（）．．．．参考答案：A略8. 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为A. B. C.D.参考答案：B略9. 设函数对任意的，都有，若函数，则的值是A. 1 B． -5或3 C. -2 D．参考答案：C10. 已知实数满足不等式组，则的最大值为（）A.3B.4C.6D.9参考答案：C【知识点】简单的线性规划问题作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=-2x+z，平移直线y=-2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6【思路点拨】作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为______.参考答案：[0,+∞)【分析】由函数有意义，得到，即可求解函数的定义域，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12. 函数，则函数的零点个数是 .参考答案：.试题分析：根据已知函数画出函数的图像如下图所示，由图可知，的根的个数有3个，即，，，于是当时，有2个实数根；当时，有3个实数根；当时，有2个实数根；综上所示，方程有7个实数根，即函数的零点个数有7个，故应填.考点：1、分段函数的图像；2、函数与方程；13. 在锐角中，，垂足为，且，则的大小为 *** 。

【全国百强校】河南省郑州市第一中学2020届高三一轮复习检测1(周测)数学(文)试题(2019.5,12,pdf版)

f
(x)

1 2
ax2

x

a
(a

R)
在区间 [
2, 2] 的最大值记为 g(a) ，求 g(a) 的表达式．
19.二次函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) 2x 且 f (0) 1 。(1)求 f (x) 的解析式； (2)当 x [-1，1]时， f (x) 2x m 恒成立，试确定实数 m 的取值范围。
x1

0, x2

8k 4k 2 1

A(
8k 4k 2
1
,
8k 2 4k 2 1

1)
b 1
AB
(
8k 4k 2
) 1
2
( 4k82k21)2

8k 4k 2 1
k2 1

BC

8 k2 1 k2 4
由 AB
BC
得 k(k 2
4) 4k 2

c a

3 2
3
，
a c

2 3
椭圆的标准方程为： x2 y2 1.
41 （2）设 BA 的直线方程为设 y kx 1 ，（不妨设 k 0 ）
y kx 1
由

x
2
4

y2 1
得 (1 4k 2 )x2 1
8kx 0 ，
3
20.已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2 (x>0)． x
(1)若 g(x)＝m 有实根，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．

【100所名校】河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试(12月)数学(文)试卷 Word版含答案

河南省天一大联考2020届上学期阶段性测试（12月）高三数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|230,|03A x x x B x x =+-<=<<，则AB = A. ()0,1 B. ()0,3 C. ()1,1- D. ()1,3-2.定义()0ab dc ad bc bc =≠.已知复数1017100032i i i i -，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在长方形ABCD 中，E,F 分别是AB 边上靠近A,B 的四等分点，G 是CD 的中点，若4,AB AD ==，2AB =,则EG FG ⋅=A.-B. 2- D.24.已知()3sin 5f x ax b x =++，若()39f =，则()3f -= A. 0 B. 1 C. 9 D. -95.已知正六边形中，P,Q,R 分别是边AB,EF,CD 的中点，则向正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点落在PQR ∆内的概率为A. 13B. 38C.23D.46.已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3β=-，则tan 2β=2 D.7.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了直代曲，无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序图如图所示，则输出的S 的值为（参考数据：sin150.2588,sin 7.50.1305==）A.2.598B. 3.1063C. 3.132D.3.1428.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. ()196π+B.()296π+C. )296π+53 D. )196π+9. 已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕϕϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中13,4,,0312A C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A 是最高点，则下列说法错误的是 A.6πϕ=-B.若点B 的横坐标为23π，则其纵坐标为 2-C.函数()f x 在1023,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数4sin 2y x =的图象.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12,n n S S ++的等差中项，且143,3a S ==-，则8S 的值为A.129B.129-C.83D.83-11.已知函数()22x x f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-.现有如下命题：①()()(),,,m n R m n f m f n ∃∈≠=；②()()(),,,m n R m n f m g n ∃∈<->()()f n g n --.则上述两个命题：A. ①真②假B. ①假②真C. ①②都假D. ①②都真12.已知函数()()()323211169,1323af x x x xg x x x a +=-+=-->，若对任意的[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为 A.91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. [)9,+∞ C. [)91,9,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ D. [)39,9,24⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数,x y 满足250,0,26,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的取值范围为 .14.已知抛物线()220y px p =>上的第四象限的点()02,M y 到焦点F 的距离为0y ，则点M 到直线10x y --=的距离为 .15. 已知圆C （圆心C 在第一象限内）过点（1,0），（7,0），直线1y x =-截圆C的弦长为C 的标准方程为 .16. 如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===点O 是点P 在平面ABC上的投影，且tan 2APO ∠=P ABC -的外接球的体积为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且1342,1,1a a a -+成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22nn n b a n =++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图所示，在ADE ∆中，B,C 分别为AD,AE 上的点，若,4,16.3A AB AC π===，（1）求sin ABC ∠的值；（2）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若121633S S =，求BD CE ⋅的最大值.19.（本题满分12分）为了了解“喝茶”对“患癌症”是否有影响，现对300名不同地区的居民进行身体状况的调查，得到如图所示的列联表：（1）完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“喝茶”对“患癌症”有影响；（2）在上述患癌症的人群中按照喝茶情况进行分层抽样，抽取8名进行基本情况登记，再从中随机选取2人进行调查，求至少有1人每日喝茶超过60ml 的概率.20. （本题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 时直角三角形，四边形11ACC A 和四边形11ABB A 均为正方形，,,D E F 分别是111,,A B C C BC 的中点， 1.AB =（1）证明:DF ⊥平面ABE ；（2）求三棱锥1A ABE -的体积.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，以椭圆C 的长轴长、短轴长分别为邻边的矩形的面积为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,P Q 是椭圆上的两个动点，且14OP OQ k k ⋅=-，试问：OPQ S ∆是否是定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()2ln 2.f x x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的方程()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的实数根，求k 的取值范围.河南省天一大联考2020届上学期阶段性测试（12月）高三数学（文）试卷参考答案。

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第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号123456789101112答案CDBACBACADCA第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．815．116．764．三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(1)证明：因为112321n n n n n a S S S n +++=-=-，所以12(21)21n n n S S n ++=-，所以122121n n S S n n +=+-．又11a =，所以1101S=≠．∴数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．…………………………6分(2)由(1)知，1221n nS n -=-，所以1(21)2n n S n -=-⋅．所以2113252(21)2n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，①故232123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②，得2112(222)(21)2n nn T n --=+⨯+++--⋅2212(21)2(32)2312nn n n n -=+⨯--⋅=-⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．………………………………12分18．解析：（1）如图，矩形ABCD 中，CB AB ⊥，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥．又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，2020届（高三）12月联考文科数学试题及参考答案∵CB BF B =，CB 、BF ⊂平面CBF ，∴AF ⊥平面CBF ，∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF ．…………………………6分（2）几何体F ABCD -是四棱锥、F BCE -是三棱锥，过点F 作FH AB ⊥，交AB 于H ．∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，∴FH ⊥平面ABCD ．则113V AB BC FH =⨯⨯，21132V EF HF BC⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭∴1226V ABV EF==…………………………………………12分19．(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数相同，得平均数为88，所以9863567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =．………………………………………………4分(2)依题意，16人中，“基本满意”有8人，“满意”有4人，“很满意”有4人．“满意”和“很满意”的人共有4人．分别记“满意”的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意”的4人为1，2，3，4．从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件共28个：(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3),(,4),(,),(,)a b a c a d a a a a b c b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意”这一件事，则事件A 由22个基本事件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有22个．故事件A 的概率为2211()2814P A ==．………………………………………12分20．解：(1)依题设12(,0),(,0)A a A a -，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-．由121FA FA ⋅=-，得：(1)(1)1a a ---=-，解得22a =，又因为1c =，所以222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．………………………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．依题意设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，则2212122242(1),2121k k x x x x k k -+==++，所以212022221x x k x k +==+，002(1)21k y k x k =-=-+，则直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21kD k +，若四边形ADBE 为菱形，则022E D E D x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，所以2023221E D k x x x k =-=+，022221E D k y y y k =-=-+，若点E 在椭圆C 上，则22222132()()142121k kk k ⋅+-=++，即4222982(21)k k k +=+，整理得42k =，解得k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分21．解析：（1）由题意()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭，又()()1e xf x x b a +'=+-，所以()111e eb f a -=-=-+'，解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,e2e,a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩由于0b >，而2e 0-<，故1a =，1b =．………………………………5分（2）由（1）可知()()()1e 1xf x x =+-，()()00,10f f =-=，由0m ≤，20x ≥，可得2x mx x ≥+，要证明()2f x mx x ≥+，只需证()f x x ≥．令()()()1e 1xg x x x =+--，则()()2e 2xg x x =+-'，令()()()(3xh x g x h x x e '==+）则，当3x <-时，()0h x '<，()g x '在(,3)-∞-上单调递减，且()0g x '<；当3x >-时，()0h x '>，()g x '在(3,)-+∞上单调递增；且(0)0g '=，所以()g x 在()0-∞，上当单调递减，在(0,)+∞上单调递增，且(0)0g =，故()()()()00,1e 1xg x g x x ≥=+-≥即，即()f x x ≥恒成立，所以2()f x mx x ≥+．………………………………………………………12分22．解：(1)由32sin ρθρ=+得22sin 3ρρθ+=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式中，得曲线C 的普通方程为22230x y y ++-=．……………………………………4分(2)将l 的参数方程2cos ,1sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入曲线C 的普通方程，消去,x y 得得24(sin cos )40t t αα+-+=．①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以216(sin cos )160αα∆=-->，因为22sin cos 1αα+=，所以sin cos 0αα<，又0πα≤<，所以ππ2α<<，设方程①的两根为12,t t ，则12124(cos sin )0,40t t t t αα+=-<=>，所以120,0t t <<，所以1212π||||||||()4(sin cos ))4AM AN t t t t ααα+=+=-+=-=-，由ππ2α<<得，ππ3π444α<-<，所以2πsin(124α<-≤，从而π44α<-≤即||||AM AN +的取值范围是．………………………………10分23．解：（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，①若1a ≤-时，则111a a -++>，即21>，即1a ≤-时恒成立；②若11a -<<时，则1(1)1a a --+>，解得12a <-，所以112a -<<-；③若1a ≥时，则1(1)1a a -+-+>，即21->不成立，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-．………………………………………5分（2）由题意知，不等式对于,(,)x y a ∈-∞恒成立，等价于max min 5()(||||)4f x y y a ≤++-，当(,)x a ∈-∞时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，所以2max()(24a a f x f ==，又因为555|||||(()|||444y y a y y a a ++-≥+--=+，当且仅当5()04y y a +-≤即54y a -≤≤时，等号成立，所以min 55(||||)44y y a a ++-=+，所以2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5]．………………………………10分。