广东省中山纪念中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

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广东省中山市中山纪念中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题

中山纪念中学高一数学期末综合测试题一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分)1.（）（A）21（B）23（C）－21（D）－232.向量，，则（）（A）∥（B）⊥（C）与的夹角为60°（D）与的夹角为30°3.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影（）（A）（B）2 （C）（D）104.下面四个函数中，既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数的是 ( ) （A）（B）（C）（D）5.函数的最小正周期是（）（A）（B）（C）（D）6.计算： ( )（A）（B）（C）（D）7.函数的一个单调递增区间是 ( ) （A）（B）（C）（D）8.下列程序的功能是 ( )（A）求1×2×3×4×…×10 000的值（B）求2×4×6×8×…×10 000的值（C）求3×5×7×9×…×10 000的值（D）求满足1×3×5×…×n>10 000的最小正整数n9.用秦九韶算法计算的值时，当时，的值为 ( ) （A）0 （B）80 （C）-80 （D）-3210.已知集合，从中任取两个元素分别作为点的横坐标与纵坐标，则点恰好落入圆内的概率是（）（A）（B）（C）（D）11.如图是函数一个周期的图象，则的值等于 ( )（A）（B）22（C）2＋（D）212.已知点，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是 ( ) （A）(2,0) （B）(4,0) （C），010（D）(3,0)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.整数459与357的最大公约数是________．14.为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：分组151.5～158．5 158.5～165．5 165.5～172．5 172.5～179．5 频数 6 21频率 a 0.1则表中的a＝________.15.在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是16.若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”，依此规定，能说明向量“线性相关”的实数依次可以取 .（只写出一组数值即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00—12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如下所示的统计图，（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？（2）甲交通站的车流量在间的频率是多少？（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．18.（本小题满分12分）已知向量，.（1）求和；（2）当为何值时，．19.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的周期和振幅；（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出在一个周期内的图象;（Ⅲ）写出函数的单调递减区间。

2014-2015学年广东省广州七区高一下学期期末联考数学试卷

2014-2015学年广东省广州七区高一下学期期末联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释） 1．sin 600 的值等于（）．A ．12 B ．12- C．-2．已知角α的终边经过点(1,2)P -，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）． A ．3 B ．3- C ．13 D ．13- 3．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为c b a 、、，已知,1,3,3===b a A π则B ＝（）A ．3π B ．6π C ．65π D ．6π或65π4．已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是（）A ．ab a <2B ．b a <C ．b a 11>D ．ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21215．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（）A ．3 B．2 D ．1 6．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（）． A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 7．在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（） A ．2 B ． 3 C ．4 D ．98．如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（）A ．1B ．53C ．2D ．3 9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则函数)(x f 的解析式是（）A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．已知1OA = ，OB =0OA OB ⋅= ，点C 在AB 上，且30AOC ∠= ，设OC = (,)mOA nOB m n R +∈ ，则mn等于（）A ．13 B ．3 C ．3D二、填空题（题型注释）11．已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为． 12．已知关于x 的一元二次不等式220ax bx ++>的解集为}21|{<<-x x ，则=+b a ____．13．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为_______．14．定义等积数列}{n a ：若p a a n n =-1（p 为非零常数，2n ≥），则称}{n a 为等积数列，p 称为公积．若}{n a 为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为n S ，则2015a =______，2015S =_______．三、解答题（题型注释）15．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)==-a b ．（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值．16．（本小题满分12分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x -+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=uu u r uu u r．（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．18．（本小题满分14分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）围建一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示．已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元．设利用旧墙的长度为x （单位：m ），修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）．（1）将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ *()n N ∈．（1）求23,a a 的值；（2）求证：数列{}2n S +是等比数列；（3）设8142n n n b S -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值．参考答案1．C 【解析】试题分析：sin 600sin(120)sin120︒=-︒=-︒=C ．考点：特殊角的三角函数 2．D 【解析】试题分析：因为角α的终边经过点(1,2P -，所以t a n 2α=-，tan 1211tan 41tan 1(2)3πααα+-+⎛⎫+===- ⎪---⎝⎭，故选D ．考点：两角和的正切公式3．B 【解析】试题分析：由正弦定理得11sin sin sin sin 2sin 3a b B A B B ==⇒=，根据大边对大角，所以6B π=考点：正弦定理 4．C 【解析】试题分析：若2,1a b =-=-，A 选项中，224,2,a ab a ab ==∴>，故A 不正确；2,1,a b a b ==>，故B 不正确；C 选项中，11111,1,2a b a b=-=->，故C 正确；D 选项中，11114,2,2222abab⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确；所以选C ．考点：不等式的性质5．B 【解析】试题分析：()22212cos 1211132a ba ab b θ⎛⎫-=-+=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭r rr r r r，a b ∴-=r r 故选B ．考点：向量的模 6．C 【解析】试题分析：因为{}n a 为等差数列，()1101011010100,202a a S aa +⨯∴==∴+=；2911020a a a a +=+=，故选C ．考点：等差数列的性质 7．B 【解析】试题分析：因为{}n a 为等比数列，所以364524529,27=3a a a a a a a a ===Q 又，，故选B ．考点：等比数列的性质 8．D 【解析】试题分析：满足条件的可行域如图所示，所以当过点()1,1A 时2x y +取得最大值为3,，故选D ．考点：线性规划 9．C 【解析】试题分析：由图可得()102sin 1sin ,,226f ππϕϕϕϕ==∴=<∴=又，()2sin 6f x x πω⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，3211180,41211ππωω<⨯<∴>，又()112,2126k k Z ππωπω⨯+=∈∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，故选C ．考点：由()sin y A x ωϕ=+的部分图像确定其解析式 10．B 【解析】试题分析：1OA =，OB =，0OA OB ⋅= ，OA OB ⊥ ，12OC OB OC OC ⋅=⨯︒= ，1cos301OC OA OC ⋅=⨯⨯︒=⨯ ，OC∴在x轴上的12OC ，OC在y 轴上的，1,2mOA nOB m j OC m+=+∴==，两式相比可得3mn=，故选B．考点：（1）平面向量数量积的运算（2）线段的定比分点11．-4【解析】试题分析：因为向量(1,2),(,2)x==a b，且⊥a b，所以12204x x⨯+⨯=⇒=-考点：平面向量数量积证明垂直12．0【解析】试题分析：因为关于x的一元二次不等式220ax bx++>的解集为}21|{<<-xx，所以220ax bx++=的两个根分别是-1或2，根据根与系数的关系，21,2,1,1,0ba b a ba a-==-∴=-=∴+=考点：一元二次不等式和一元二次方程的关系13．700m【解析】试题分析：由题意可知，如图，在ABC中300,500,120AC m BC m ACB==∠=︒，利用余弦定理可得：2223005002300500cos120700ABAB m=+-⨯⨯⨯︒=考点：解三角形的实际应用14．a，10071008aa+【解析】试题分析：由题意得：()11n na a n N++=∈，且1a a=，23456111,,,,a a a a a a aa a a∴=====，,1na nana∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩奇数，偶数，2015a a∴=，当n是奇数时，数列的奇数项数是1008，偶数项数是1007，则数列的前2015项和201510071008S a a=+．考点：数列的前n 和15．（12）12λ=-【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a 与b 的数量积，然后通过模长公式分别求出a 与b 的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得a 与b 的夹角的余弦值．（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值．试题解析（1）(4,3),(1,2)Q ==-a b()41322,5,a b a b ∴⋅=⨯-+⨯=====r r r r∴cos ,⋅<>===a b a b a b （2） ∵(4,3),(1,2).==-a b ∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，∴43278λλ+-= 解得：12λ=-考点：（1）向量数量积（2）平面向量的坐标表示 16．（1）π（2）]3,2[-，()f x 的递增区间为,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）本题考察的三角函数的最小正周期，需要通过二倍角公式和辅助角公式可以把已知函数整理成()sin y A x ωϕ=+的形式，然后通过周期公式2T πω=，即可求出所求函数的最小正周期．（2）本题考察的是正弦函数的值域和单调区间问题，由（1）知函数()f x 的解析式，然后根据所给定义域求出23x π-的取值范围，进而判断函数的最小值和最大值是多少，就可以求出函数的值域；然后把23x π-代入到正弦函数的递增区间内，解出x 的取值范围，就是所求函数的单调递增区间．试题解析：（1）∵22()sin )+2sin cos f x x x x x =-2sin 2=2sin(2)3x x x π=+-)(x f ∴的最小正周期为π．（2）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤-≤，∴1sin(2)3x π-≤-≤． )(x f ∴的值域为]3,2[-．当sin(2)3y x π=-递增时，()f x 递增．由2233x πππ-≤-≤，得123x ππ-≤≤．故()f x 的递增区间为,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：正弦函数的周期性和单调性17．（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角形的面积．根据题目所给条件可以求出sin A 的值，然后根据3AB AC ⋅=uu u r uu u r，可以求出bc 值，再由面积公式1sin 2S bc A =V ，即可求出三角形的面积．（2）本题考察的是解三角形，由（1）可知bc 的值，和6b c +=，即可求出,b c 的值，再根据余弦定理代入相应数值，即可求出a 的值．试题解析：（1）∵cos 2A =∴234cos 2cos1,sin 255A A A =-== ∵3AB AC ⋅=uu u r uu u r∴cos 3bc A = ∴5bc =∴ABC ∆的面积1sin 22ABC S bc A ∆== （2）∵5bc =，6b c += ∴5,1b c ==或1,5b c == 由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=∴a =考点：余弦定理18．（1）163n a n =-（2）13(133)n nT n =-【解析】试题分析：（1）本题考察的等差数列的通项公式，只需求出数列的首项和公式即可求出通项公式．由题已知首项，通过2a 为整数，且5n S S ≤，可以求出公差d 的值，然后即可求出求出163n a n =-．（2）本题考察的是数列的求前n 项和，（1）和11n n n b a a +=可以写出n b 的通项公式，然后通过裂项相消求和法，通过化简后即可求出前n 项和13(133)n nT n =-．试题解析：（1）在等差数列{}n a 中，由5n S S ≤ 得50a ≥，60a ≤，又113a =， ∴13401350d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得131345d -≤≤-， ∵2a 为整数，∴3d =-，∴{}n a 的通项公式为163n a n =-．（2）∵111111()(163)(133)3133163n n n b a a n n n n+===-----， ∴12n n T b b b =+++111111111[()()()()]3101371047133163n n=-+-+-++--- 111()31331313(133)n n n =-=-- 考点：（1）等差数列通项公式（2）裂项相消求和19．（1）2360225360y x x=+-（2）24x m =，10440 【解析】试题分析：（1）本题考察的是函数的实际应用．设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为2360m ，易求得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元．即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数解析式．（2）本题考察的是函数的最值，由（1）所求的函数的解析式，再由基本不等式研究其单调性，即可判断x 取何值时，函数取得最小值．试题解析：（1）设矩形场地的宽为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-∵360ax = ∴360a x= ∴2360225360y x x=+- (2)x ≥ （2） ∵0x ＞∴236022536036010440y x x=+-≥= 当且仅当2360225x x=，即24x =时，等号成立．当24x =时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．∵1080<1566∴当24x m =时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：（1）函数的实际应用（2）基本不等式20．（1）234,8a a ==（2）略（3）5n =【解析】试题分析：（1）本题考察的是求数列的某项的值，利用12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，对n 进行分别赋值，即可求出23,a a 的值．（2）本题考察的等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，仿写出123123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n -++++-=-+- ，然后两式相减，通过一系列的化简即可得到所要证明的数列是等比数列．（3）本题考察的求数列的前n 项和，根据8142n n n b S -=+和（1），（2），求出n b 的通项公式，然后通过错位相减法，求得前n 项和n T ，再由不等式0n T >，即有412n n +<，可得当1,2,3,4n =不成立，5n ≥是成立，所以n 的最小值为5．试题解析：（1）∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ *()n N ∈∴ 12,a = 12122()4a a a a +=++123123232()6a a a a a a ++=+++∴ 234,8a a ==（2）证明：∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ *()n N ∈ ①∴当2n ≥时，123123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n -++++-=-+- ②由①-②得 1[(1)2][(2)2(1)]n n n na n S n n S n -=-+--+-11()22n n n n n S S S S --=--++122n n n na S S -=-++∴1220n n S S --++=，即122n n S S -=+∴122(2)n n S S -+=+∵1240S +=≠∴120n S -+≠ ∴1222n n S S -+=+∴数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得122n n S ++= ∴8144722n n n n n b S --==+ ∴ 23315472222n n n T -=-++++2341131541147222222n n n n n T +--=-+++++ 以上两式相减得2313111474()222222n n nn T -=-+++++ 即2412n n nn T --= 当1,2,3,4n =时，0n T <，当5n ≥时，0n T > 所以满足0n T >的最小自然数n 的值为5．考点：（1）错位相减法求和（2）等比数列的证明。

2014-2015年广东省中山市高一上学期期末数学试卷与答案Word版

2014-2015学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5.00分）设集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，则∁U M=（）A．U B．{1，7}C．{3，7}D．{5，7}2．（5.00分）直线x+2y+1=0在y轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．3．（5.00分）下列说法中错误的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．（5.00分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=ln（x+1） D．5．（5.00分）直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣16．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．y=log 2x B．2﹣x C．x2D．7．（5.00分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心8．（5.00分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣19．（5.00分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．610．（5.00分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11．（5.00分）在直角坐标系中，直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α=．12．（5.00分）若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是．13．（5.00分）如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线AB 与CD所成的角的大小是．14．（5.00分）某同学利用图形计算器对分段函数f（x）=作了如下探究：根据该同学的探究分析可得：当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（填第5行的a、b）；若函数f（x）在R上为增函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13.00分）设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={1，4}．（1）若2∈A，求实数a的值；（2）若A=B，求实数a的值．16．（13.00分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．17．（13.00分）如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．18．（13.00分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．19．（14.00分）定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．20．（14.00分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[﹣2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=及f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f （x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．2014-2015学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5.00分）设集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，则∁U M=（）A．U B．{1，7}C．{3，7}D．{5，7}【解答】解：∵集合U={1，3，5，7}，M={1，5}，∴∁U M={3，7}，故选：C．2．（5.00分）直线x+2y+1=0在y轴上的截距是（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：直线x+2y+1=0 即y=﹣x﹣，故直线在y轴上的截距为﹣，故选：D．3．（5.00分）下列说法中错误的是（）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解答】解：根据公理2的推论3，可得经过两条平行直线，有且只有一个平面，故A正确；根据公理2，不共线的三点确定一个平面，可得两两相交且不共点的三条直线的三个交点必不共线，故两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；平面α与平面β相交，有且只有一条交线，但交点有无数个，故C错误；根据公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确；故选：C．4．（5.00分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=ln（x+1） D．【解答】解：y=在（0，+∞）上为减函数，故排除A；在区间（0，+∞）上为减函数，故排除B；y=x+在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，故排除D；y=ln（x+1）在（0，+∞）上为增函数，故选：C．5．（5.00分）直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：根据直线3x+ay﹣1=0和x﹣y﹣3=0平行，可得=≠，求得a=﹣3，故选：B．6．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．y=log 2x B．2﹣x C．x2D．【解答】解：依题意，点（，a）在函数y=a x的反函数的图象上，则点（a，）在函数y=a x的图象上将x=a，y=，代入y=a x中，解得a=，故f（x）=故选：D．7．（5.00分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，PO⊥面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【解答】解：由题意点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则它们在底面上的射影也相等，由此知点O到△ABC的三个顶点的距离是相等的，由外心的定义知，点O是三角形的外心．故选：B．8．（5.00分）已知函数，则f（﹣2）=（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵函数，∴当x=﹣2时，f（﹣2）=f（﹣2+2）=f（0）=0+1=1；故选：B．9．（5.00分）已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）A．4+B．2+C．3+D．6【解答】解：由三视图可知此几何体为一底面为等腰直角三角形的直三棱柱．底面直角边为1，高为1的直三棱柱，所以：S表=S侧+2S底=（1+1+）×1+2××1×1=3+．故选：C．10．（5.00分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11．（5.00分）在直角坐标系中，直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α=30°．【解答】解：直线x﹣3y﹣3=0的倾斜角α，可得tanα=，∵α∈[0°，180°），∴α=30°．故答案为：30°．12．（5.00分）若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，把点代入函数的解析式可得，3α=，解得α=，∴这个函数的解析式是y==，故答案为．13．（5.00分）如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线AB与CD所成的角的大小是60°．【解答】解：把展开图恢复到原正方体．连接DE，EC．由正方体可得，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED．∴∠CDE或其补角是异面直线AB与CD所成的角．由正方体可得：CD=DE=EC，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°．∴异面直线AB与CD所成的角是60°．故答案为60°．14．（5.00分）某同学利用图形计算器对分段函数f（x）=作了如下探究：根据该同学的探究分析可得：当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（3.69，3.75）（填第5行的a、b）；若函数f（x）在R上为增函数，则实数k的取值范围是k≥e3．【解答】解：根据图象及函数的零点存在性定理，可得f（3.69）＜0，f（3.75）＞0，f（3.63）＜0，故当k=﹣1时，函数f（x）的零点所在区间为（3.69，3.75）；要使函数f（x）在R上为增函数，如图所示，则ln（x+k）﹣1≥f（0）=20+1=2，所以x+k≥e3，故k≥e3﹣x，又x＞0，所k≥e3，故答案为：（3.69，3.75），k≥e3．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13.00分）设集合A={x|x2+4a=（a+4）x，a∈R}，B={1，4}．（1）若2∈A，求实数a的值；（2）若A=B，求实数a的值．【解答】解：（1）由2∈A得，a=2…（6分）（2）由B={1，4}因为A=B，所以1∈A，代入得a=1…（9分）这时A={1，4}，故A=B成立，a=1…（13分）16．（13.00分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．【解答】解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…（4分）把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（6分）（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…（8分）则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…（10分）∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…（12分）17．（13.00分）如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．【解答】解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，，所以BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．（3分）（1）当点F在BG上时，即x∈（0，2]时，；（6分）（2）当点F在GH上时，即x∈（2，5]时，y=2+（x﹣2）•2=2x﹣2；（9分）（3）当点F在HC上时，即x∈（5，7]时，y=S=S梯形ABCD﹣S Rt△五边形ABFED=．（12分）CEF所以，函数解析式为（14分）18．（13.00分）如图，正方形ABCD的边长为1，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE；（3）求三棱锥A﹣BCG的体积．【解答】（1）证明：∵G、H分别是DF、FC的中点，∴△FCD中，GH∥CD，∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE；（2）证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∴ED⊥AD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．又BC⊥CD，CD、DE相交于D点，∴BC⊥平面CDE；（3）解：依题意：点G到平面ABCD的距离h等于点F到平面ABCD的一半，即：h=．∴．19．（14.00分）定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）令x1=x2=0，得f（0）=0；…（2分）令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x），…（4分）即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数…（6分）（2）∵f（4）=1，∴f（8）=f（4）+f（4）=2，…（7分）∴原不等式化为f（x﹣1）＜f（8）…（9分）又f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（0）=0且f（x）是奇函数，…（10分）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．因此x﹣1＜8，…（12分）∴x＜9．∴实数x的取值范围是（﹣∞，9）…（14分）20．（14.00分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[﹣2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）试判断f1（x）=及f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f （x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．【解答】解：（1）∵当x=49时f1（49）=5∉[﹣2，4）∴f1（x）不在集合A中（3分）又∵f2（x）的值域[﹣2，4），∴f2（x）∈[﹣2，4）当x≥0时f2（x）为增函数，因为y=⋅（）x是减函数，所以f2（x）=4﹣6⋅（）x（x≥0）是增函数，∴f2（x）在集合A中（3分）（2）∵f2（x）+f2（x+2）﹣2f2（x+1）==赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．yxo（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴f 2（x ）对任意x ≥0，不等式f 2（x ）+f 2（x +2）＜2f 2（x +1）总成立（6分）。

2014-2015学年广东省佛山南海一中高一下学期期末数学复习试卷 Word版含解析

2014-2015学年高一（下）期末数学复习试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．等差数列{an}中，a5+a8+a11+a14=20，则a2+a17的值为（） A． 21 B． 19 C． 10 D． 20 2．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（） A． 80 B． 30 C． 26 D． 16 3．设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c是（） A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．非等差数列，又非等比数列 4．已知等比数列a2=2，a3=4，则a7=（） A． 64 B． 81 C． 243 D． 128 5．由a1=1，an+1=给出的数列{an}的第34项（） A．B． 100 C． D． 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有 S12＜0，S13＞0，那么Sn中最小的是（） A． S4 B． S5 C． S6 D． S7 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，3a8=5a13，则Sn中最大的是（） A． S10 B． S11 C． S20 D． S21 8．数列{an}中，a1=3且an+1=an+2，则数列{}前n项和是（） A． n（n+1）B． C． D． 9．若数列{an}满足a1=1，，则此数列是（） A．等差数列B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列 10．对于每个自然数．抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，|AnBn|表示这两点间的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|的值（） A．B． C． D． 11．等比数列x，2x+2，3x+3，…的第四项为（） A．B． C．﹣27 D． 27 12．等差数列{an}中，a1=8，a100=107，则a107=（） A． 117 B． 110 C． 97 D． 114 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 13．数列Sn=1++++…+，则S100=． 14．等差数列{an}中，前4项的和为40，后4项的和为80，所有项的和为210，则项数n=． 15．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=． 16．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=．三、解答题（共6小题，满分0分） 17．求等差数列8，5，2的第10项；（2）﹣401是不是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的项？如果是，是第几项？ 1012春?诸暨市校级期末）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且这四个数的首末两项之和为37，中间两项和为 36，求这四个数． 1012春?诸暨市校级期末）数列{an}中，已知a1=2，an﹣1与an满足lgan=lgan﹣1+lgt 关系式（其中t为大于零的常数）求：（1）数列{an}的通项公式（2）数列{an}的前n项和Sn． 2012春?诸暨市校级期末）设{an}是等差数列，其前n项和是Sn，a3=6，S3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求++…+的值． 2012春?诸暨市校级期末）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 2012春?诸暨市校级期末）小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后二个月第一次付款，再过二个月第二次付款…，购买后12个月第六次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%每月利息按复利计算．求小华每期付款的金额是多少？一、附加题： 23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足﹣=1，则数列{an}的公差是（） A．B． 1 C． 2 D． 3 24．已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N*），则连乘积a1a2a3…a2009a2010的值为（） A．﹣6 B． 3 C． 2 D． 1 25．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的个数是． 26．已知数列{an}满足a1==2n，当n=时，取得最小值． 27．在数列{an}中，已知a1=，an+1=（n∈N*），则数列{an}的前2012项的和为． 28．已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（）求{an}的通项公式；（）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn． 201-2015学年高一（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．等差数列{an}中，a5+a8+a11+a14=20，则a2+a17的值为（） A． 21 B． 19 C． 10 D． 20 考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，进行转化即可．解答：解：在等差数列中，a2+a17=a5+a14=a8+a11， a5+a8+a11+a14=20， 2（a5+a14）=20，则a5+a14=10，即a2+a17=a5+a14=10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的性质的考查，比较基础． 2．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（） A． 80 B． 30 C． 26 D． 16 考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的求和公式，整体思维，即可求得结论．解答：解：设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q， Sn=2，S3n=14，q≠1 ∴=2，=14，解得 qn=2，=﹣2． S4n=（1﹣q4n）=﹣2（1﹣16）=30，故选B．点评：本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 3．设2a=3，2b=6，2c=12，则数列a，b，c是（） A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．非等差数列，又非等比数列考点：等差关系的确定；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据对数的定义求出a=log23，b=log26，c=log212；b﹣a=c﹣b，得到a、b、c 是等差数列．而≠，所以a、b、c不是等比数列．解答：解：因为2a=3，2b=6，2c=12，根据对数定义得：a=log23，b=log26，c=log212；而b﹣a=log26﹣log23=log2=log22=1； c﹣b=log212﹣log26=log22=1，所以b﹣a=c﹣b，数列a、b、c为等差数列．而≠，所以数列a、b、c不为等比数列．故选：A．点评：考查学生会确定等差、等比数列的关系，以及会根据对数定义化简求值． 4．已知等比数列a2=2，a3=4，则a7=（） A． 64 B． 81 C． 243 D． 128 考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式，先求出公比，建立方程关系即可得到结论．解答：解：在等比数列中a3=a2q，即2q=4，解得q=2，则a7=a3q4=4×24=64，故选：A 点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键． 5．由a1=1，an+1=给出的数列{an}的第34项（） A．B． 100 C． D．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对数列递推式，取倒数，可得数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，求出数列{an}通项，即可得到结论．解答：解：an+1=，=∴ ∵a1=1，数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列=1+3（n﹣1）=3n﹣2 ∴数列{an}的第34项为=故选C．点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有 S12＜0，S13＞0，那么Sn中最小的是（） A． S4 B． S5 C． S6 D． S7 考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得等差数列{an}的前6项为负数，从第7项开始为正数，可得结论．解答：解：由题意可得S12==6（a1+a12）=6（a6+a7）＜0， S13===13a7＞0， a6+a7＜0，a7＞0， a6＜0，a7＞0，等差数列{an}的前6项为负数，从第7项开始为正数， Sn中最小的是S6 故选：C 点评：本题考查等差数列的通项公式和等差数列的性质，得出数列项的正负规律是解决问题的关键，属基础题． 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，3a8=5a13，则Sn中最大的是（） A． S10 B． S11 C． S20 D． S21 考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得：等差数列的公差d＜0，结合题意可得a1=﹣19.5d，可得Sn=0.5dn2﹣20dn，进而结合二次不等式的性质求出答案．解答：解：由题意可得：等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，所以等差数列的公差d＜0．因为a13=a8+5d，所以a1=﹣19.5d 由Sn=n×a1+d可得Sn=0.5dn2﹣20dn，当n=20时．Sn取得最大值．故选C．点评：本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题． 8．数列{an}中，a1=3且an+1=an+2，则数列{}前n项和是（） A． n（n+1）B． C． D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解答：解：数列{an}中，a1=3且an+1=an+2，即an+1﹣an=2．数列{an}是等差数列，首项为3，公差为2． an=3+2（n﹣1）=2n+1．数列{an}的前n项和==n（n+2），则数列==n+2．数列{}是等差数列，首项为3，公差为1．数列{}前n项和==．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．若数列{an}满足a1=1，，则此数列是（） A．等差数列B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列D．既非等差数列又非等比数列考点：等差关系的确定．专题：转化思想．分析：根据题意可得：an==n，再利用等差数列的定义进行证明即可．解答：解：因为，所以，，…，所以an==n，所以an=n，an﹣1=n﹣1，所以an﹣an﹣1=1，所以数列{an}是等差数列．故选A．点评：本题主要考查了数列的递推式．解题的关键是从递推式中找到规律，进而求得数列的通项公式． 10．对于每个自然数．抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，|AnBn|表示这两点间的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|的值（） A．B． C． D．考点：数列的应用；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过整理可知方程y=0的两根分别为：、，进而并项相加即得结论．解答：解：y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1=n（n+1）x2﹣[n+（n+1）]x+1=（nx﹣1）[（n+1）x﹣1]，方程y=0的两根分别为：、， |AnBn|=﹣， |A1B1|+|A2B2|+…+|A2008B2008|=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选：B．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 11．等比数列x，2x+2，3x+3，…的第四项为（） A．B． C．﹣27 D． 27 考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：按照等比数列定义，列出关于x的方程．求出x的值，确定出公比，再利用等比数列定义求第四项解答：解：等比数列定义，（2x+2）2=x（3x+3），化简整理得x2+5x+4=0，解得x=﹣1，（此时2x+2=0，舍去）或x=﹣4，此时数列为﹣4，﹣6，﹣9，…，公比为，第四项为﹣9×=故选A．点评：本题考查等比数列定义，以及应用，注意等比数列中不会有数0，遇到项中含有字母时，要注意字母取值范围． 12．等差数列{an}中，a1=8，a100=107，则a107=（） A． 117 B． 110 C． 97 D． 114 考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据可得等差数列的公差，进而又通项公式可得答案．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，则d===1， a107=a1+106d=8+106=114 故选：D．点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 13．数列Sn=1++++…+，则S100=2﹣（）99　．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的前n项和公式进行求解即可．解答：解：Sn=1++++…+==2﹣（）n﹣1，则S100=2﹣（）99，故答案为：2﹣（）99 点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，比较基础． 14．等差数列{an}中，前4项的和为40，后4项的和为80，所有项的和为210，则项数n=14　．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a1+a2+a3+a4=40．an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80．两式相加可得a1+an=30，而Sn===210，代入求解．解答：解：由题意可得a1+a2+a3+a4=40． an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=80．两式相加可得a1+an+a2+an﹣1+a3+an﹣1+a4+an﹣3=120 由等差数列的性质可得4（a1+an）=120， a1+an=30．则Sn===210，解得n=14．故答案为：14．点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题． 15．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=5　．考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据S7=35求得a1+a7的值，进而根据等差中项的性质可求得a4．解答：解：S7==35， a1+a7=10 ∴2a4=a1+a7=10，a4=5 故答案为5．点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．属基础题． 16．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=﹣9　．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得（a1+6）2=a1（a1+9），即a1=﹣12，即可得出结论．解答：解：等差数列{an}的公差为3，a1、a3、a4成等比数列，（a1+6）2=a1（a1+9）． a1=﹣12， a2=﹣9，故答案为：﹣9．点评：本题考查等差数列的通项，涉及等比中项的应用，属中档题．三、解答题（共6小题，满分0分） 17．求等差数列8，5，2的第10项；（2）﹣401是不是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的项？如果是，是第几项？考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：（1）等差数列8，5，2的首项a1=8，公差d=﹣3， a10=8+9×（﹣3）=﹣19．（2）等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…中， a1=﹣5，d=﹣4， an=﹣5+（n﹣1）×（﹣4）=﹣4n﹣1，令﹣4n﹣1=﹣401，得n=100． ﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13，…的第100项．点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 1012春?诸暨市校级期末）有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且这四个数的首末两项之和为37，中间两项和为 36，求这四个数．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题知，首末两数之和为37，中间两数之和为36，设四个数为﹣a，18﹣b，18+b，，由此能求出四个数．解答：解：由题知，首末两数之和为37，中间两数之和为36，所以设四个数为﹣a，18﹣b，18+b，，前三个数成等差数列得到2（18﹣b）=（18+b）+（﹣a）即a=3b+，后三个数成等比数列得到（18+b）2=（18﹣b）（+a），将a=3b+代入得（18+b）2=（18﹣b）（19+3b）即182+36b+b2=18*19+35b﹣3b2 即4b2+b﹣18=0 解得b=2，或b=﹣ 对应的a=6.5，或a=﹣ 所以，四个数为 12，16，20，25，或，，，．点评：本题考查四个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 1012春?诸暨市校级期末）数列{an}中，已知a1=2，an﹣1与an满足lgan=lgan﹣1+lgt 关系式（其中t为大于零的常数）求：（1）数列{an}的通项公式（2）数列{an}的前n项和Sn．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用对数的性质可知数列{an}为等比数列，进而可得结论；（2）利用等比数列的求和公式计算即得结论．解答：解：（1）lgan=lgan﹣1+lgt=lg（t?an﹣1）， an=t?an﹣1，又a1=2，数列{an}的通项an=2?tn﹣1；（2）由（1）可知数列{an}是以2为首项、t为公比的等比数列，数列{an}的前n项和Sn=．点评：本题考查数列的通项及前n项和，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于基础题． 2012春?诸暨市校级期末）设{an}是等差数列，其前n项和是Sn，a3=6，S3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求++…+的值．考点：数列的求和；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件得，由此能求出an=2n．（2）由（1）求出Sn=n2+n，从而得到==，由此利用裂项求和法能求出++…+的值．解答：解：（1）{an}是等差数列，其前n项和是Sn，a3=6，S3=12，，解得a1=2，d=2， an=2+（n﹣1）×2=2n．（2）a1=2，d=2，=n2+n，==， ++…+=1﹣=1﹣=．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用． 2012春?诸暨市校级期末）观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由已知可得第20行最左边的数比第19行最右边的数大1，分别求出前19行和前20行所有数的和，相减可得答案．解答：解：第n行最右边的数是n2，第19行最右边的数是192=361，故第20行最左边的数是362；第20行最右边的数是202=400，故第20行共有39个数，故第20行所有数的和是（362+400）×39÷2=14859．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 2012春?诸暨市校级期末）小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后二个月第一次付款，再过二个月第二次付款…，购买后12个月第六次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%每月利息按复利计算．求小华每期付款的金额是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：通过从小华每次还款后还欠商场的金额这个角度出发，利用最后一次还款为0，计算即得结论．解答：解：设小华每期还款x元、第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则：A2=5000?（1+0.008）2﹣x， A4=A2?（1+0.008）2﹣x=5000?（1+0.008）4﹣（1+0.008）2x﹣x， … A12=A10?（1+0.008）12﹣x=5000?（1+0.008）12﹣（1+0.008）10x﹣…﹣（1+0.008）4x﹣（1+0.008）2x﹣x，由题意年底还清，即A12=0，解得：x=≈880.8（元），答：小华每期还款的金额为880.8元．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．注：本题还可以从“各期所付的款额连同最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和”这个角度来解题．一、附加题： 23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足﹣=1，则数列{an}的公差是（） A．B． 1 C． 2 D． 3 考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据﹣=，求得d．解答：解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d， ﹣==1 d=2 故选C 点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题． 24．已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N*），则连乘积a1a2a3…a2009a2010的值为（） A．﹣6 B． 3 C． 2 D． 1 考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算出前几项可知该数列周期为4，进而计算可得结论．解答：解：a1=2，an+1=， a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4=1， a1a2a3a4…a2009a2010=a1a2=2×（﹣3）=﹣6，答案：A．点评：本题考查数列的递推式，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 25．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的个数是　7　．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和公式进行化简即可．解答：解：===，=====5+．要使∈Z，只要∈Z即可， n+1为24的正约数，即2，3，4，6，8，12，24，共有7个．故答案为：7．点评：本题主要考查等差数列通项公式以及前n项和公式的应用，利用等差数列的性质进行转化是解决本题的关键． 26．已知数列{an}满足a1==2n，当n=3　时，取得最小值．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先由数列的递推关系式求得an=+n2﹣n，再代入利用基本不等式求得其最小值即可．（注意n为正整数）．解答：解：因为，所以an=an﹣1+2（n﹣1）=an﹣2+2（n﹣2）+2（n﹣1）=an﹣3+2（n﹣3）+2（n﹣2）+2（n ﹣1）=…=a1+2×1+2×2+…+2（n﹣1）=+2×=+n2﹣n．=+n﹣1≥2﹣1，当=n时取最小值，此时?n2=，又因为n∈N，故取n=3．故答案为：3．点评：解决本题的关键在于由数列的递推关系式求得an=+n2﹣n，对与本题求数列的通项公式也可以用叠加法． 27．在数列{an}中，已知a1=，an+1=（n∈N*），则数列{an}的前2012项的和为．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：由已知可得，=即，，可得数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求，进而可求an，然后利用裂项求和即可求解解答：解： ∴=∴ ∵ ∴ ∴数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列=n+1 ∴=∴=1﹣=故答案为：点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是构造等差数列求出数列的通项公式，及裂项求和方法的应用． 28．已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（）求{an}的通项公式；（）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解解答：解：（1）设正等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意得：an=2n﹣1（6分）（2） bn的前n项和Tn=（12分）点评：（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质。

广东省中山市2014-2015学年高二上学期期末统考数学理试题Word版含答案

中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式24410x x -+>的解集是A ．1{|}2x x > B ．1{|}2x x ≠ C ．R D ．∅2．函数()1xf x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为A ．1y e x =-⋅+B ．1y x =-+C ．y x =-D ．y e x =-⋅3．双曲线2216436y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成的三角形的周长等于A ．42B ．36C ．32D ．26 4．等差数列的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 A ．A B C += B ．2A C B += C ．23A C B += D ．33A C B +=5．下列说法正确的是A ．x R ∀∈，20x >B ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．ABC ∆为等边三角形的充要条件是222a b c ab bc ac ++=++6．在ABC ∆中，若sin cos 2sin CA B =，则ABC ∆一定是（）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为(5,0)-、(5,0)，直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为49-．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为49-”拓展为“斜率之积为常数(0)k k≠”之后，进行了如下图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论错误的是A．0k>时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）B．10k-<<时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）C．1k<-时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）D．0k<时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，正方形11BCC B所在平面内的动点P到直线11,D C DC的距离之和为160CPC∠=︒，则点P到直线1CC的距离为ABCD二、填空题（本大题共6小题，考每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9．实数x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+的最小值为．10．一个质量为4 kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为2()s t t t=+，且物体的动能212kE mv=（其中m为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5 s时的动能为J．（说明：21=1(/)J kg m s）11．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则9∏、10∏、11∏、12∏中值为正数的是．12．已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的度数是_________．13．如果点(,)M x y10=，则点M 的轨迹是，其标准方程为． 14．如图，在三棱锥P ABC -中， PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =，且118ax y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15．（13分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A 和B 两个建筑物的距离，在河一侧取C 、D 两点，如图所示，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得BCA α∠=，ACD β∠=，CDB γ∠=，BDA δ∠=．（1）试求A 、C 之间的距离及B 、C 之间的距离．（2）若50a =米，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒，求河对岸建筑物A 、B 之间的距离？ 16．（13分）迎新春，某公司要设计如右图所示的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定每个矩形栏目高与宽的尺寸（单位：MCAPcm ），能使整个矩形广告面积最小．17．（13分）设正项等比数列{}n a ，已知22a =，93452a a a =．（1）求首项1a 和公比q 的值；（2）若数列{}n b满足()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦，问是否存在正数k ，使{}n b成等差数列？若存在，求k 的值．若不存在，说明理由．18．（13分）利用向量方法解决下列问题：已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．19．（14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆上任意一点到右焦点F 的1+．（1）求椭圆的方程；（2）已知点(,0)C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得||||AC BC =，并说明理由．20．（14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（1）若)(x f 在1[,1)2x ∈-上的最大值为83，求实数b 的值；（2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题： BCAD DCDA 二、填空题：9．–3； 10．242； 11．9∏、12∏； 12．120°；13．椭圆；22+12516y x =（前空2分，后空3分）； 14．4三、解答题：15．解：（1）在ADC ∆中，ADC δγ∠=+，180()DAC βδγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin()sin()sin[180()]sin()a a AC δγδγβδγβδγ++==︒-++++． ……（3分）在DBC ∆中，BDC γ∠=，180()DBC αβγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin sin sin[180()]sin()a a BC γγαβγαβγ==︒-++++． ……（6分）（2）50a =，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒时，50sin(7545)50sin120=sin(307545)sin150AC ⨯︒+︒⨯︒=︒+︒+︒︒， ……（8分）50sin 4550sin 45=sin(75+3045)sin150BC ⨯︒⨯︒=︒︒+︒︒ ……（9分）在ABC ∆中，由余弦定理得AB = ……（10分）25==．所以，河对岸建筑物A 、B的距离为25+米． ……（13分）16．解：设矩形栏目的高为cm a ，宽为cm b ，则20000ab =，20000b a ∴=．……（2分）广告的高为20a +，宽为330b +（其中0,0a b >>）广告的面积(20)(330)S a b =++ ……（5分）30(2)606004000030()606003060600120006060072600a b a a=++=++≥⨯+=+= ……（7分）……（10分）当且仅当40000a a =，即200a =时，取等号，此时100b =． ……（12分）故当每个栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使广告的面积最小．……（13分） 17．解：（1）39334544()228a a a a a ==⇒==， ……（3分）∴24242a q q a ==⇒=±，该数列是一个正项等比数列，∴取2q =， ……（5分）由此，解得11a =． ……（6分）（2）假设存在正数k ，使{}n b成等差数列．由()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦=()121lg n ka a a n=(1)211lg 2n n n ka n -⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=()1lg 1a n +- ……（9分）∴1n n b b +-=1lg lg a n ++()1[lg 1a n -+-+=lg +- ……（11分）则{}n b成等差数列的充要条件为lg 0-=对任何整数n都成立，即=，得1k =∴ 若{}n b成等差数列，则1k =． ……（13分）18．（1）证明：过P 作P O ⊥AD 于O ，∵ABCD PAD 平面平面⊥，且平面PAD平面ABCD AD =，于是PO ⊥平面ABCD ，连OG ，以OG ，OD ，OP 为x 、y 、z 轴建立空间坐标系， ……（2分） ∵PA ＝PD 4==AD ，∴2,32===OA OD OP ，得)32,0,0(),0,2,0(),0,2,4(),0,2,4(),0,2,0(P D C B A --，)0,0,4(),3,1,2(),3,1,0(G F E --， ……（4分）故(2,0,0)EF =，(0,4,0)AD =，(0,2,PD =-， ∵0,0=⋅=⋅PD EF AD EF ，EF AD ∴⊥，即EF AD ⊥，同理EF PD ⊥，而ADPD D =∴EF ⊥平面PAD ； ……（6分）（2）解：(2,0,0)EF =，(4,1,EG =，设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03402,00z y x x EG EF ，即n n ， )1,3,0(,1==n 得取z ， ……（10分）平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n ……（11分）平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：1111cos ,|||2>==⋅n n <n n |n n ，∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是60︒．……（13分）19．解：（1）依题意得：1c ea a c ⎧==⎪⎨⎪+=+⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ……（4分）1b ∴=，所求椭圆方程为：2212x y +=； ……（6分）（2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，则直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，0k ≠，则l 的方程为(1)y k x =-，代入2212x y +=，得2222(21)4220k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， ……（10分） 121222(2)21ky y k x x k -∴+=+-=+设AB 的中点为M ，则2222(,)2121k k M k k -++， ||||AC BC =，CM AB ∴⊥，即1CM AB k k ∙=-， 22224220(12)2121k km k m k m k k -∴-+=⇔-=++ ∴当102m ≤<时，k =l 满足条件；当112m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l 满足条件． ……（14分）20．解：（1）由()32f x x x b=-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， ……（1分）令()0f x '=，得0x =或23x =． ……（2分）列表如下：由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即函数()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． ……（5分）（2）由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,x e ∈，ln 1x x ∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，ln 0x x ->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2()ln x xa x x -≤-． ……（6分）令()22ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈，求导得，()2(1)[2(1ln )](ln )x x x t x x x -+-'=-， ……（7分）当[]1,x e ∈时，10x -≥，ln 1x ≤，2(1ln )0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． ……（9分）（3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t F t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；②若1t >时，()*方程为()232ln 0ta t t t-+⋅+=，即()11ln t t a =+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线()y F x=上总存在两点,P Q，使得POQ∆是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．……（14分）1．《数学5》P78例1 改编2．《选修1-1》P86 B组第1题改编3．《选修1-1》P54 A组第1题改编4．《数学5》P68 B组第1（2）小题改编5．《选修1-1》第一章中习题组合改编7．《选修1-1》P35 例3 改编9．《数学5》P91 练习第1（1）小题改编10．《选修1-1》P80 习题A组第3题改编13．《选修1-1》P42 习题A组第1题改编15．《数学5》P12 例2 改编。

广东省中山一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试题 Word版含答案

中山一中2014年下学期高一级第一次段考数学试卷满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．cos()6π-的值是（）AB． C ．12 D ．12- 2．sin 27cos 63cos 27sin 63︒︒+︒︒=（）A ．1B ．1-C ．22 D ．22- 3．已知向量(2,4)a =与向量(4,)b y =- 垂直，则y =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知向量(3,4)a = ，(sin ,cos )b αα=，且 a //b ，则tan α=（）A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 5．直线345x y +=与圆22(1)(2)5x y -++=的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 6．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将3sin 2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位7．已知||a，||b =3a b =-，则a 与b的夹角是（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 8．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值是（）A ．13-B ．13CD．9．已知函数),0,0)(sin(πϕπωϕω≤≤->>+=A x A y 一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（A ．32sin()22y x π=+ B ．2sin(3)6y x π=+C ．2sin(3)6y x π=-D ．2sin(3)2y x π=-10．在ABC ∆中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC =（） A ．1665或5665 B ．16566565-或- C ．1665- D ．1665二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．圆22(1)(1)8x y ++-=关于原点对称的圆的方程是 ____ ．12．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(5,(3))OC m m =--+，若A B C 、、三点共线，则实数m 的值为 ____ ． 13．若34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--= __________ ． 14．观察以下各式：222222223sin 30cos 60sin 30cos 60,43sin 20cos 50sin 20cos50,43sin 15cos 45sin15cos 45,43sin 5cos 35sin 5cos35.4︒+︒+︒︒=︒+︒+︒︒=︒+︒+︒︒=︒+︒+︒︒= 分析以上各式的共同特点，则具有一般规律的等式为 ________________ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15．（本小题满分12分）用五点作图法画出函数1)42sin(++=πx y 在一个周期内的图像．xyO16．（本小题满分12分）求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为的方程．17．（本小题满分14分）已知函数11sin,22y x x x =+∈R ．（1）求函数的最大值及取最大值时x 的取值集合；（2）求函数的单调递减区间．18．（本小题满分14分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．19．（本小题满分14分）已知12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且()(,)2παβπ∈－，3()(,2)2παβπ+∈，求角β的值．20．（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x xa x xb ==- ，且[0,]2x π∈，求：（1）a b 及||a b + ；（2）若()2||f x a b a b λ=-+ 的最小值为32-，求实数λ的值．中山一中2014年下学期高一级第一次段考数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共50分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 11．22(1)(1)8x y -++=； 12．12m =； 13．2； 14．223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=．三、解答题：15．（本小题满分12分）描点、连线如图所示．·······（12分）16．（本小题满分12分）解：设所求圆的圆心为,a b （），半径为r ，依题意得：3b a =且||b r =，·······（2分）圆心到直线20x y -=的距离d =·······（4分）由“r ，d ，半弦长”构成直角三角形，得227r d -=，·······（6分）解得：1a =±， ······（7分）当1a =时，圆心为(1,3)，半径为3r =，所求圆的方程为221(3)9x y -+-=（）；当1a =-时，圆心为(1,3)--，半径为3r =，所求圆的方程为221(3)9x y +++=（）； ·······（11分）综上所述，所求圆的方程为221(3)9x y -+-=（）或221(3)9x y +++=（）．···（12分）17．（本小题满分14分）解：（1）111111sin2(sin )2sin()2222223y x x x x x π===+ ， ··········（4分）∴当1sin()123x π+=时，y 取最大值，max 2y =，·······（5分）此时 12,232x k k πππ+=+∈Z · ······（6分）即4,3x k k ππ=+∈Z ·······（7分）故y 取最大值2时x 的集合为{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ·······（8分）（2）由1322,()2232k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得 ········（10分）744,33k x k k ππππ+≤≤+∈Z ···········（12分）所以函数的单调递减区间为：7[4,4]()33k k k ππππ++∈Z ·········（14分）18．（本小题满分14分）解：在Rt OBC ∆中，cos OB α=，sin BC α=，······（2分）在Rt OAD ∆中，tan 60DAOA=︒=3，所以3OA DA=3BC=sin 3α=．········（4分）所以cos 3AB OB OA αα=-=-． ·······（5分）设矩形ABCD 的面积为S ，则2(cos )sin sin cos S AB BC αααααα=⋅== (7)）11sin 2cos 2(2cos 2)2663226αααα=+-=+-sin(2)366πα=+-． ······（11分） 03πα<<，52666πππα∴<+<， ······（12分）所以当26πα+2π=，即6πα=时，max 366S =-=．······（13分）因此，当6πα=时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为63．······（14分）19．（本小题满分14分）解：由2παβπ∈(-)(,)，且12cos()13αβ-=-，得：5sin()13αβ-=，······（2分）由32παβπ∈(+)(,2)，且12cos()13αβ+=，得：5sin()13αβ+=-，······（4分）cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()121255()()113131313βαβαβαβαβαβαβ∴=+--=+-++-=⨯-+-⨯=- ······（8分）又32παβπ∈(+)(,2)，2παβπ∈(-)(,)，32(,)22ππβ∴∈， ······（11分）于是2βπ=， ······（13分）所以2πβ=． ······（14分）20．（本小题满分14分）解：（1）33cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x ⋅=-= ······（2分）||a b +=2|cos |x ===······（5分）又0cos ]2,0[≥∴∈x x π从而||2cos a b x += ······（6分）（2）2()cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--12)(cos 222---=λλx ······（7分）由于[0,]2x π∈ 故0cos 1x ≤≤······（8分）①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾 ·······（9分）②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值221λ--，由23122-=--λ及01λ≤≤得12λ= ······（11分） ③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3142λ-=-，得58λ=与1λ>矛盾 ·······（13分）综上所述，12λ=即为所求． ·······（14分）。

2014-2015学年广东省中山市高一(下)期末数学模拟试卷 Word版含解析

2014-2015学年广东省中山市高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，满分50分）1．sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A．2 B．3 C．5 D．133．方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0表示的圆形是（）A．以（1，﹣2）为圆心，为半径的圆B．以（1，2）为圆心，为半径的圆C．以（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆D．以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆4．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1 D．sin215°+cos215°5．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴之间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x万元） 2 3 4 5销售额y（万元）26 39 49 54根据上表可得回归方程中的b为9.4，据此模型推测广告费用为7万元时销售额为（）A．74.2万元B．74.9万元C．75.3万元D．76.1万元7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，8．在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，点D在BC边上，且=3，=r+s，则的值是（）A．1 B．C．D．310．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A．B．C．D．0二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）11．已知=（4，2），=（x，﹣3），且∥，则x的值为．12．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为．13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是．14．下列说法正确的是①若事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；②函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）的最小正周期为π；③频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数；④把二进制数10101（2）化为十进制数为20；⑤P是△ABC所在平面内一点，若•=•=•，则P是△ABC的垂心．三、解答题：（本大题6小题，满分80分）15．已知cosα=﹣，α为第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．16．已知向量=3﹣2，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（1）求•的值；（2）求与夹角θ的余弦值．（3）求在方向上的投影．17．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．18．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象；（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的，并求f（x）在x∈[，]的值域．19．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．20．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年广东省中山市高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，满分50分）1．sin（﹣225°）的值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先根据正弦函数为奇函数化简原式，把225°变为180°+45°，利用诱导公式sin（180°+α）=﹣sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：sin（﹣225°）=﹣sin225°=﹣sin（180°+45°）=﹣（﹣sin45°）=sin45°=．故选A点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．同时注意角度的灵活变换．2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（）A．2 B．3 C．5 D．13考点：分层抽样方法．分析：先计算大型商店、中型商店、小型商店的层次比，再计算中型商店需抽取的数量即可．解答：解：各层次之比为：30：75：195=2：5：13，所抽取的中型商店数是，故选C点评：本题考查分层抽样，属基本题．3．方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0表示的圆形是（）A．以（1，﹣2）为圆心，为半径的圆B．以（1，2）为圆心，为半径的圆C．以（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆D．以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：利用一般式方程化为标准形式，然后得到结果．解答：解：方程x2+y2+2x﹣4y﹣6=0化为：（x+1）2+（y﹣2）2=11，表示以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆．故选：D．点评：本题考查圆的一般式方程与标准方程的互化，基本知识的考查．4．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1 D．sin215°+cos215°考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系．解答：解：∵故选B点评：能将要求的值化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力．5．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的两相邻对称轴之间的距离为，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由=可求得ω，利用三角函数的图象变化即可求得答案．解答：解：∵=，∴T==π，∴ω=2，∴y=sin2x y=sin2（x+）=sin（2x+）．∴要得到y=f（x）=sin（2x+）的图象，只须把y=sin2x的图象向左平移个单位．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω是关键，属于中档题．6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x万元） 2 3 4 5销售额y（万元）26 39 49 54根据上表可得回归方程中的b为9.4，据此模型推测广告费用为7万元时销售额为（）A．74.2万元B．74.9万元C．75.3万元D．76.1万元考点：回归分析的初步应用．专题：图表型．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为7代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的b为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴a=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为7万元时销售额为9.4×7+9.1=74.9，故选B点评：本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，2）确定φ，推出选项．解答：解：由图象可知：T==，∴T=π，∴ω==2；∵（，2）在图象上，所以2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．∵﹣＜φ＜，∴k=0，∴φ=．故选：A．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．8．在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，构成一个正方形区域，满足的x、y 构成以原点为圆心，以为半径的圆面，用圆的面积除以正方形的面积即为所求．解答：解：在区间[﹣1，1]上任取两个数x、y，构成一个以原点为中心且4条边分别与坐标轴平行的正方形构成的区域，满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面．故所求事件的概率等于=，故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，几何概型，判断满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面，是解题的关键．9．在△ABC中，点D在BC边上，且=3，=r+s，则的值是（）A．1 B．C．D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理结合三角形的向量法则进行化简求出r，s即可．解答：解：∵=3，∴=+=+=+（﹣），即=﹣（﹣）=+，∵=r+s，∴r=，s=，则==3，故选：D．点评：本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量三角形法则进行分解是解决本题的关键．10．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A．B．C．D．0考点：向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．解答：解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin =sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故选A．点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）11．已知=（4，2），=（x，﹣3），且∥，则x的值为﹣6．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标运算即可求出．解答：解：∵=（4，2），=（x，﹣3），∥，∴4×（﹣3）=2x，解得x=﹣6．点评：本题主要考查向量的坐标运算、向量的共线定理，属基础题．12．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为3．考点：循环结构．专题：操作型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，此时不满足退出循环的条件，经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，此时不满足退出循环的条件，经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，此时不满足退出循环的条件，经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3 故答案为：3点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次的循环结果找规律．13．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：根据题意，首先由组合数公式计算从5只球中一次摸出两只球的情况数目，再由分步计数原理计算摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：从5只球中一次摸出两只球，有C52=10种取法，摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况有3×2=6种，故其概率为=；故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率计算，是简单题；解题注意正确计算即可．14．下列说法正确的是①②⑤①若事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；②函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）的最小正周期为π；③频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数；④把二进制数10101（2）化为十进制数为20；⑤P是△ABC所在平面内一点，若•=•=•，则P是△ABC的垂心．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据对立和互斥事件判断①，利用三角函数的化简和周期的求法判断②，利用频率分布直方图的知识判断③，根据二进制的转化判断④，根据向量的运算判断⑤．解答：解：对于①，事件A、B互为对立事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；故正确，对于②，函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）=sin2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣）+1，T==π，最小正周期为π，故正确；对于③，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，而不是频数，故不正确，对于④，把二进制数10101（2）化为十进制数，10101（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，故C不正确，对于⑤，=•，∴（﹣）=•=0，∴PB⊥CA；同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心．故正确，故答案为：①②⑤点评：本题考查了命题的判断和证明，解题时应对每一个选项进行分析，以便作出正确的选择．三、解答题：（本大题6小题，满分80分）15．已知cosα=﹣，α为第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．考点：二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．解答：解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．已知向量=3﹣2，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（1）求•的值；（2）求与夹角θ的余弦值．（3）求在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用数量积的坐标运算即可得出；（2）利用向量夹角公式即可得出；（3）利用向量的投影计算公式即可得出．解答：解：（1）∵=（1，0），=（0，1），向量=3﹣2，=4+，∴=（3，﹣2），=（4，1），∴=3×4﹣2×1=10．（2）=，．∴cosθ===．（3）在方向上的投影===．点评：本题考查了数量积的坐标运算、向量夹角公式、向量的投影计算公式，考查了计算能力，属于基础题．17．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．解答：解：（1）由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．（2）∵某甲班7位学生成绩分别为78，79，80，85，85，92，96．甲班7位学生成绩的平均数是=85，∴7位学生成绩的方差是（49+36+25+0+0+49+121）=40，（3）甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；根茎叶图可得，甲有2次高于90分，乙有3次高于90分，从甲、乙两个班级成绩中各随机抽取2次成绩，有5×4种情况，而没有一次是甲班的有3×2次；则P（A）=1﹣=．点评：本题考查数据的平均数公式、极差、方差与标准差与茎叶图，考查计算能力，基础题．18．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）画出函数y=f（x）在区间[0，π]内的图象；（3）说明f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的，并求f（x）在x∈[，]的值域．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用五点法进行列表作图．（Ⅲ）根据三角函数图象之间的关系以及三角函数的性质进行求解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin（2x﹣），∴由周期公式可得：T=，∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）列表，图象如图示（列表及画图9分）x 0 ﹣π2x﹣﹣0 ﹣πf（x）﹣1 0 0 ﹣﹣1（3）把y=sinx图象上所有点向右平移个单位得到y=sin（x﹣）的图象；再把y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到y=sin（2x﹣）的图象；最后把y=sin（2x﹣）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）即得y=sin（2x﹣）的图象…（11分）∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴≤sin（2x﹣）≤1，即≤sin（2x﹣）≤，即f（x）的值域为[，]…（14分）点评：本题主要考查利用五点法进行作图，以及三角函数的性质，综合考查三角函数的性质．19．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用频数等于频率乘以样本容量求出n的值，据总的轿车数量求出z的值．（2）先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．（3）利用平均数公式求出数据的平均数，通过列举得到该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数据，利用古典概型的概率公式求出概率．解答：解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，∴n=2000，…（2分）∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．…（3分）（2）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．…（4分）用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，…（6分）事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，…（8分）故P（E）=，即所求概率为．…（9分）（3）样本平均数=×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．…（10分）设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，…（11分）事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，…（13分）∴P（D）==，即所求概率为．…（14分）点评：本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．20．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．。

中山市2014–2015学年度下学期期末水平测试试卷

中山市2014–2015学年度下学期期末水平测试试卷一、选择题1．关于重力，下列说法中正确的是( )A地面上的物体所受重力G的大小和它的质量m成正比B一根据m=G/g，物体的质量m和它所受重力G的大小成正比C根据g=G/m，g值大小和物体所受重力G的大小成正比D根据G=mg，物体受到的重力G是由物体质量m产生的2．关于物体运动和力的关系，下列说法中正确的是( )A物体不受任何力作用时，一定处于静止状态B在高速路上匀速运动的汽车，其运动状态没有改变，所以没有受到任何力的作用C运动员踢出去的足球，会落在地面上并最终会停下来，是因为重力和阻力的作用D只有受到外力的作用，物体才能保持已有的运动状态3．如图(a)所示的杠杆是平衡的，在此杠杆支点两侧的物体下方分别加挂一个相同的小球，如图(b)所示，以下说法中正确的是( )A杠杆仍然平衡B杠杆一定不能平衡C杠杆是否平衡与加挂物体的质量多少有关D.无法确定4．忽略空气阻力，抛出后的小球在空中运动轨迹如图虚线所示，则抛出后的小球( )A受到惯性力的作用，继续向前运动B不受力，机械能不变C到达最高点后的下落过程中，机械能增大D上升过程中，动能转化为重力势能5．下列有关惯性的说法正确的是( )A跳远运动员要助跑后起跳，是为了增大惯性B小明用力推静止的汽车而没有推动，是因为汽车没有惯性C抖动衣服，可使衣服上的灰尘掉落，是利用了灰尘的惯性D高速飞行的子弹穿入木头后静止，它的惯性就消失了6．如图，练太极拳是很好的强身健体运动，由图甲的姿势抉成图乙的姿势时，人对水平地面的( )A压力变大，压强不变B压力不变．压强变大C压力变大，压强变大D压力不变，压强变小7．将一支密度计分别放入两种不同的液体中，如图示。

若两种液体的密度分别ρ甲、ρ乙，静止时密度计所受浮力分别为F甲、F乙，则( )A ρ甲>ρ乙F甲=F乙B ρ甲<ρ乙F甲>F乙C ρ乙>ρ甲F甲<F乙D ρ乙>ρ甲F甲=F乙8．利用如图所示的装置可探究机翼升力产生的原因，压强计的两个探测端分别置于机翼模型的上、下表面附近，用鼓风机向模型左端吹气，可观察到压强计两侧液面出现高度差．则( )A模型上方空气流速大，压强小B模型下方空气流速大，压强大C模型上方空气流速小，压强大D模型下方空气流速小，压强小二、填空题9图甲表示小铁球受磁铁吸引的情况，说明力可以改变物体的___________；图乙是坐在船中的人用手推另一只船时，自己坐的船同时后退，说明物体间力的作用是___________；图丙是建筑工人在砌砖时常常利用悬挂重物的细线来检查所砌的墙壁是否竖直，所依据的物理知识是____________。

广东实验中学2014-2015学年下学期高一年级期中考试数学试卷 Word版含答案

广东实验中学2014—2015学年（下）高一级模块考试数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式x x x 2522>-- 的解集是A. }15{-≤≥x x x 或B. }15{-<>x x x 或C. }51{≤≤-x xD. }51{<<-x x 2．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6πA =，12πB =，3a =，则c 的值为A ．6B ．32C ．D ．3．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是 A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．{}n a 是等差数列，1a 与2a 的等差中项为1，2a 与3a 的等差中项为2，则公差=d A ．21 B ．23C ．1D ． 2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =A ．B C D6．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是A ．11a b< B ．11a b-<- C ．2ab a -<- D ．2ab b < 7．已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若函数y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为 A. 3B. 2C.12D. 1-8．已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若30a >，则20150a <；B ．若40a >，则20140a <；C ．若30a >，则20150S >；D ．若40a >，则20140S >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9．已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项和n S =_____． 10．不等式213x x ++-≤的解集是11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 3A =，则b =______ 三、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本题满分14分）2009年推出一款新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?BA14．（本题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且B b aC A c a sin )()sin )(sin (-=+-．（1）求角C 的大小；（2）若5=a ，7=c ，求ABC ∆的面积．15．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T .第二部分能力检测(共50分)四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，若nn a n 212+=，则=n S .17．设正数c b a ,,满足,36941c b a c b a ++≤++则=+++cb ac b 32 .18．（本题满分14分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲，乙两游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m . 在甲出发min 2后，乙从A 乘车到B ，在B 处停留min 1后，再匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260，经测量,1312cos =A 53cos =C . (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（本题满分12分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（1）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项的和S ；（2）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .20．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =， 2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ).(1) 求23,a a ；(2) 求数列{}n a 的通项； (3)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).广东实验中学2014—2015学年高一级模块考试数学期中考参考解答1~8 BDCDABCC; 9.23522n n - ; 10. ［－2,1］; 11. 174;12. 13、解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为2)]1(2.00[-+n n ＝0.1n 2－0.1n (万元) …………3分所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n ) ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元) …………6分 (2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为 nn f )(＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n …………8分≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)．…………12分当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12. …………13分答这种汽车使用12年报废最合算．…………14分14 、（1）由已知和正弦定理得：（a +c ）（a -c ）=b （a -b ）…………2分故a 2-c 2=ab -b 2，故a 2+b 2-c 2=ab ，故cos C ＝2222a b c ab+-＝4分故C=60°…………5分9分12分15、解: （1）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，…………1分又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，于是11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈.…………3分当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭…………4分当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，…………6分又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈. …………7分（2）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.…………9分所以1121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)等式两边同乘以13得 012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………(2) …………10分(1)-(2)得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-…………12分所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.…………14分16 、 )2)(1(23243+++-=n n n S n ; 17、 136 18、解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C .…………1分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π…………2分根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== …………4分 (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d …………5分M∴)507037(20022+-=t t d …………7分∵13010400≤≤t 即80≤≤t …………8分 ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. …………10分(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) …………11分乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v …………12分 ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v …………13分 ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内…………14分19、（1）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=.…………2分则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.…………4分则()12121212121()22 (12112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分（2）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；…………8分当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .…………11分综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..12分20、 (1)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ………1分当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………2分 (2)当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n n S n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- …………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. …………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ………………………7分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. …………………………8分(3) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭……11分当1=n 时,13522T =<成立； ………………………12分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦综上所述,命题得证. ………………………………………………………14分。

广东省中山市高三2014–2015学年度第一学期期末统一考试数学(文)试卷

俯视图广东省中山市高三2014–2015学年度第一学期期末统一考试数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

参考公式：锥体体积公式1V Sh 3=体锥；第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集{12345,6}U =，，，，，{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B =A. {3,6}B. {4,5}C. {3,4,5,6}D. {1245,6}，，， 2. 给出下列函数①3cos y x x =,②2sin ,y x =③2y x x =-,④x xy e e -=-，其中是奇函数的是A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④3. 设0.13log 2,ln 2,0.5-===a b c ，则 A ．c b a <<B. <<b a c C . b a c <<D. a b c <<4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是ABCD5. 已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =， 13a b +=，则b = A ．5B ．4C ．3D ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是A ．2πB ．1πC ．12πD ．127. 已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．48. 下列说法中，①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意 2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知数据12,,,n x x x L 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据1221,21,,21n x x x +++L 的平均数和方差分别为11和16④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25. ⑤()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b=0或a+b= -7 正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．49. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35 CD ．0 10．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．()3,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)11. 复数()212i i-的模为12. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区200名年龄为17.5岁到18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图：根据上图可得这200名学生中体重在[)5.64,5.56 的学生人数是 13.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若568a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=14.给出下列四个命题：①函数()f x =2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”； ③命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题；④函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）已知40,sin 25παα<<=（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求5tan()4πα-的值 16.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．17. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，a CB DC AD ===，60=∠ABC 平面⊥ACFE 平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，a AE =，点M 在线段EF （1）求证：⊥BC 平面ACFE ；（2）当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ?证明你的结论； 18．（本小题满分14分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ．（1）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？五[20，25)1（2）在（1）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又,11b a +3322,b a b a ++成等比数列，求n T ．19．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N 在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。

2024届广东省中山市纪念中学数学高一下期末监测模拟试题含解析

2024届广东省中山市纪念中学数学高一下期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝02．若向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π3．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比2q ，则2019a =（）A ．20172B ．20182C ．20192D ．202024．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（）.A ．3B ．-3C ．32D ．32-5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin sin CA＝2，且S △ABC ＝4，则b 的值为( ) A ．4B ．3C ．2D ．16．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC ．若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D ．若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b7．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则6a 等于是（） A ．4± B ．4 C ．14± D ．148．已知集合，，则中元素的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．49．函数sin()2y x πϕ=+（2πϕ<）的部分图象如图所示，其中P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（）A ．14B ．13C ．25D ．1210．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（） A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

广东省中山纪念中学高一数学下学期期末试卷(含解析)

广东省中山纪念中学2014-20 15学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°3．（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．104．（5分）下面四个函数中，既是区间（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=cos2x B．y=sin2x C．y=|cosx| D．y=|sinx|5．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．πB．C．D．2π6．（5分）=（）A．B．C．﹣D．﹣7．（5分）函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．8．（5分）下列程序的功能是（）A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 000的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n9．（5分）用秦九韶算法计算f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+64的值时，当x=2时，v4的值为（）A．0 B．80 C．﹣80 D．﹣3210．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，从中任取两个元素分别作为点P（x，y）的横坐标与纵坐标，则点P恰好落入圆x2+y2=16内的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）下图是函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）一个周期的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）的值等于（）A．B．C．2+D．212．（5分）已知点A（2，﹣1），B（4，2），点P在x轴上，当•取最小值时，P点的坐标是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（，0）D．（3，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）459和357的最大公约数是．14．（4分）为了解某地2014-2015学年高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本（60名男生的身高，单位：cm），分组情况如下：分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数 6 21频率 a 0.1则表中的a=．15．（4分）在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是．16．（4分）对于n个向量，，…，，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…k n，使得k11+k22+…+k n n=0成立，则称向量，…，，是线性相关的．按此规定，能使向量=（1，0），=（1，﹣1），=（2，2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为．（只需写出一组值即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（12分）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00﹣12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如下所示的统计图，（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？（2）甲交通站的车流量在间的频率是多少？（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．18．（12分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求|+|和|﹣|；（2）当k为何值时，（k+）∥（﹣3）．19．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象（Ⅲ）写出函数f（x）的单调递减区间．20．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝黑色，2枝蓝色，1枝红色，从中任取3枝．（1）该实验的基本事件共有多少个？若将3枝黑色圆珠笔编号为A、B、C，2枝蓝色圆珠笔编号为d，e，1枝红色圆珠笔编号为x，用{a，b，c}表示基本事件，试列举出该实验的所有基本事件；（2）求恰有一枝黑色的概率；（3）求至少1枝蓝色的概率．21．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．22．（14分）已知平面向量=，=，（1）证明：⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和g，使=+（g2﹣3），=﹣k+g，且⊥，试求函数关系式k=f（g）；（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）﹣k=0的解的情况．广东省中山纪念中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．解答：解：sin（﹣600°）=﹣sin600°=﹣sin（360°+240°）=﹣sin240°=﹣sin（180°+60°）=sin60°=，故选：B．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）向量=（1，﹣2），=（2，1），则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°考点：平面向量的坐标运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的坐标表示，求出两向量的数量积，再由夹角公式，判断两向量的位置关系．解答：解：∵向量=（1，﹣2），=（2，1），∴=1×2+（﹣2）×1=0，∴夹角的余弦为0，∴⊥．故选B．点评：本题主要考查运用两向量数量积求夹角，考查数量积的坐标表示，注意区别两向量共线与垂直的坐标表示．3．（5分）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．4．（5分）下面四个函数中，既是区间（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=cos2x B．y=sin2x C．y=|cosx| D．y=|sinx|考点：正弦函数的图象；余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：逐一判断各个选项中函数的单调性和奇偶性，从而得出结论．解答：解：由于y=cos2x在区间（0，）上为减函数，故排除A；由于y=sin2x为奇函数，故排除B；由于y=|cosx|在区间（0，）上为减函数，故排除C；由于y=|sinx|是区间（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数，故满足条件，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．πB．C．D．2π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的余弦公式求得y=cos2x，再根据y=Acos（ωx+φ）的周期等于 T=，可得结论．解答：解：∵函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数的周期为T==π，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=，属于基础题．6．（5分）=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把tan45°=1巧妙代入已知式子可得原式=，由两角和与差的正切公式可得．解答：解：==tan（45°+75°）=tan120°=故选D点评：本题考查两角和与差的正切公式，把tan45°=1巧妙代入已知是解决问题的关键，属中档题．7．（5分）函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，根据正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．解答：解：=sin2x﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）函数y=sin（2x+）的一个单调递减区间为y=﹣sin（2x+）的增区间令2kπ+≤2x+≤+2kπ （k∈Z）解得：kπ+≤x≤+kπ，（k∈Z）取k=0，得≤x≤故选：D．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，考查计算能力，基本知识掌握的好坏，是解题的关键．8．（5分）下列程序的功能是（）A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 000的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：while﹣条件s≤10000﹣循环体s=s×i，i=i+2﹣wend，print﹣i即输出i，然后进行计算即可得到答案．解答：解：while﹣条件s≤10000﹣循环体s=s×i，i=i+2﹣wend，print﹣i即输出i，①由于1≤10000，s=1×3，i=3+2=5，②由于3≤10000，s=1×3×5，i=5+2=7…最后只要s ＞10000，输出i，即求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n（n为奇数）故选：D．点评：本题考查了算法语言，属于中档题．9．（5分）用秦九韶算法计算f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+64的值时，当x=2时，v4的值为（）A．0 B．80 C．﹣80 D．﹣32考点：秦九韶算法．专题：算法和程序框图．分析：由于f（x）=（（（（（x﹣12）x+60）x﹣160）x+240）x﹣192）x+64，可得：v0=1，v1=﹣10，v2=40，v3=﹣80，v4=80，即可得出．解答：解：f（x）=（（（（（x﹣12）x+60）x﹣160）x+240）x﹣192）x+64，∴当x=2时，v0=1，v1=2﹣12=﹣10，v2=﹣10×2+60=40，v3=40×2﹣160=﹣80，v4=﹣80×2+240=80．故选：80．点评：本题考查了秦九韶算法，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，从中任取两个元素分别作为点P（x，y）的横坐标与纵坐标，则点P恰好落入圆x2+y2=16内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件总数为12，满足条件的事件可以通过列举得到事件数，根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，并且试验包含的所有事件总数为12，满足条件的事件有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）共有8种结果，记点（x，y）在圆x2+y2=16的内部记为事件A，∴P（A）==故选B．点评：本题是一个古典概型问题，通过列举法列举出所有事件和发生事件的个数，再通过古典概率模型的公式求出答案．是一个基础题．11．（5分）下图是函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）一个周期的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）的值等于（）A．B．C．2+D．2考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：根据f（x）=Asinωx的周期性求出ω的值，可得f（x）的解析式，分别求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）、f（6）的值，可得要求式子的值．解答：解：根据函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）一个周期的图象，可得A=2，周期等于=8，∴ω=，f（x）=2sin（x），故f（1）=，f（2）=2，f（3）=，f（4）=0，f（5）=﹣，f（6）=﹣2，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，求函数的值，属于基础题．12．（5分）已知点A（2，﹣1），B（4，2），点P在x轴上，当•取最小值时，P点的坐标是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（，0）D．（3，0）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设P点的坐标是（x，0），分别表示出，，再求出其乘积，配方得到答案．解答：解：点P在x轴上，设P点的坐标是（x，0），∴=（2﹣x，﹣1），=（4﹣x，2），∴•=（2﹣x）（4﹣x）﹣2=x2﹣6x+6=（x﹣3）2﹣1，∴当x=3时，•取最小值．∴P点的坐标是（3，0）．故选：D．点评：本题考查了向量的运算，以及用配方法求最小值的问题，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）459和357的最大公约数是51．考点：辗转相除法．专题：计算题．分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，有得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数．解答：解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故答案为：51点评：本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．14．（4分）为了解某地2014-2015学年高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本（60名男生的身高，单位：cm），分组情况如下：分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数 6 21 27 6频率0.1 0.35 a 0.1则表中的a=0.45．考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：根据频率=频数÷样本容量，计算出第二列、第三列的频率，第五列的频数，然后根据样本容量为60，可知第四列的频数为27，进而算出a的值．解答：解：151.5～158.5范围内的频率为：6÷60=0.1，158.5～165.5范围内的频率为：21÷60=0.35，172.5～179.5范围内的频数为：0.1×60=6，所以165.5～172.5范围内的频数为：60﹣6﹣21﹣6=27，故其频率a=27÷60=0.45故答案为：0.45点评：本题考查了频率=频数÷样本容量的公式，属于基础题．15．（4分）在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．分析：由题意知本题是一个古典概型，．试验发生包含的基本事件有C52种结果，其中至少有一个红球的事件包括有两个红球或有一个红球和一白球两种结果，根据古典概型公式得到概率．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件有C52=10种结果，其中至少有一个红球的事件包括C22+C21C31=7个基本事件，根据古典概型公式得到P=，故答案为：．点评：本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率P（A），然后利用P=1﹣P（A）求解．16．（4分）对于n个向量，，…，，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…k n，使得k11+k22+…+k n n=0成立，则称向量，…，，是线性相关的．按此规定，能使向量=（1，0），=（1，﹣1），=（2，2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为﹣4，2，1（答案不唯一）．（只需写出一组值即可）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设存在不全为零的实数k1，k2，k3使得，则，取出一组值即可．解答：解：设存在不全为零的实数k1，k2，k3使得，则，不妨令k2=2，则k3=1，k1=﹣4．∴能使向量=（1，0），=（1，﹣1），=（2，2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次可以为﹣4，2，1．故答案为﹣4，2，1．点评：正确理解线性相关是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（12分）为了调查甲、乙两个交通站的车流量，随机选取了14天，统计每天上午8：00﹣12：00间各自的车流量（单位：百辆），得如下所示的统计图，（1）甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？（2）甲交通站的车流量在间的频率是多少？（3）甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（1）分别找到甲乙交通站的车流量的最大值和最小值，作差即可；（2）甲交通站的车流量在间的频数为4，所以频率为=；（3）根据茎叶图提供的信息，即可看出．解答：解：（1）甲交通站的车流量的极差为：73﹣8=65，乙交通站的车流量的极差为：71﹣5=66．…（4分）（2）甲交通站的车流量在间的频率为=．…（8分）（3）甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方，而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲交通站更繁忙．…（12分）点评：本题考查了极差的定义，频率=频数÷样本容量，同时考查了学生从茎叶图中提取信息的能力，属于中档题．18．（12分）已知向量=（1，2），=（﹣3，2）．（1）求|+|和|﹣|；（2）当k为何值时，（k+）∥（﹣3）．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）根据向量坐标形式的加减法则，先求和的坐标，再由向量模的公式求出它们的模；（2）根据向量坐标形式的加减法和数乘法则，先求和的坐标，由向量共线的坐标条件列出方程求值．解答：解：（1）由题意得，，∴，，∴，．（2），，若，则﹣4（k﹣3）﹣10（2k+2）=0，解得．点评：本题考查了向量坐标形式的加减法和数乘法则的综合运算，以及向量模的公式、向量共线的坐标条件，直接代入公式求解．19．（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx（Ⅰ）求f（x）的周期和振幅；（Ⅱ）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象（Ⅲ）写出函数f（x）的单调递减区间．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用辅助角公式即可求f（x）的周期和振幅；（Ⅱ）利用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；（Ⅲ）根据三角函数的单调性进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），函数f（x）的周期为T=2π，振幅为2．…（4分）（Ⅱ）列表：x ﹣x+0 π2πy=2sin（x+）0 2 0 ﹣2 0图象如上（作图不规范者扣1分）．…（8分）（Ⅲ）由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，所以函数的递减区间为，k∈Z …（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及五点作图法，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．20．（12分）在一个盒子中装有6枝圆珠笔，其中3枝黑色，2枝蓝色，1枝红色，从中任取3枝．（1）该实验的基本事件共有多少个？若将3枝黑色圆珠笔编号为A、B、C，2枝蓝色圆珠笔编号为d，e，1枝红色圆珠笔编号为x，用{a，b，c}表示基本事件，试列举出该实验的所有基本事件；（2）求恰有一枝黑色的概率；（3）求至少1枝蓝色的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）所有情况一一列举出来即可，（2）恰有一枝黑色的概率，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可，（3）求出没有蓝色的取法，根据互斥事件的概率公式计算即可．解答：解：（1）3枝黑色圆珠笔编号为A、B、C，2枝蓝色圆珠笔编号为d，e，1枝红色圆珠笔编号为x则从中任取3枝的总的取法为：（A、B、C），（A、B、d），（A、B、e），（A、B、x），（A、C、d），（A、C、e），（A、C、x），（B、C、d），（B、C、e），（B、C、x），（A、d、e），（A、d、x），（A、e、x），（B、d、e），（B、d、x），（B、e、x），（C、d、e），（C、d、x），（C、e、x），（d、e、x）共20种，（1）其中恰有一枝黑色的取法有（A、B、d），（A、B、e），（A、B、x），（A、C、d），（A、C、e），（A、C、x），（B、C、d），（B、C、e），（B、C、x）共9种，故恰有一枝黑色的概率P=，A，B，C）（2）没有蓝色的取法有（A，B，C）（A，B，X），（B，C，x），（A，C，X），故至少1枝蓝色的概率为P=1﹣=点评：本题考查了等可能事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，此题属中档题．21．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程．（2）设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．解答：解：（1）把圆C的方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心为C（﹣1，2），半径r=2．当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，则=2，解得k=﹣．∴l的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即3x+4y﹣15=0．综上，满足条件的切线l的方程为x=1，或3x+4y﹣15=0．（2）设P（x，y），则|PM|2=|PC|2﹣|MC|2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣4，|PO|2=x2+y2．∵|PM|=|PO|，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣4=x2+y2，整理，得2x﹣4y+1=0，∴点P的轨迹方程为2x﹣4y+1=0．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，注意分类讨论；直线和圆相切的性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及求轨迹方程的方法，属于中档题．22．（14分）已知平面向量=，=，（1）证明：⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和g，使=+（g2﹣3），=﹣k+g，且⊥，试求函数关系式k=f（g）；（3）椐（2）的结论，讨论关于g的方程f（g）﹣k=0的解的情况．考点：利用导数研究函数的极值；平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）欲证，只需证明两个向量的数量积等于0即可，用向量数量积的坐标运算计算．（2）因为，所以=0，就可得到含k，g的式子，把k用g表示，化简即为函数k=f（g）的关系式．（3）由（2）得，=0，所以要判断方程的解的情况，即判断曲线与直线y=k的交点个数的情况，利用导数求函数f（g）的极值，由函数的极值画出函数的大致图象，通过图象讨论，曲线与直线y=k的交点个数，即得关于g的方程f（g）﹣k=0的解的情况．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵，∴=0，即（+（g2﹣3））•（﹣k+g）=0．整理得：﹣k2+•+g（g2﹣3）•2=0．∵=0，2=4，2=1，∴上式化为﹣4k+g（g2﹣3）=0⇒（3）讨论方程=k的解的情况，可以看作曲线与直线y=k的交点个数.，令f'（g）═0，解得g1=1，g2=﹣1，当g变化时，f'（g）、f（g）的变化情况如下表：当g=﹣1时，f（g）有极大值，当g=1时，f（g）有极小值，而时，得：，0，，可得：f（g）的大致图象（如右图）．于是当或时，直线与曲线有且仅有一个交点，则方程有一解：当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0时，直线与曲线有三个交点，但k、g不同时为零，故此时也有二解；当或时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解．点评：本题主要考查了向量垂直的充要条件的应用，以及利用导数求函数的极值，借助极值判断方程解的个数，属于综合题．。