07 样本分布
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2
1 2 S= ∑(Xi − X) n−1 i=1 称 样 标 差 作 本 准
14
n
样本(X 的函数f(X 定义 7.3 样本 1,X2,...,Xn)的函数 1,X2,...,Xn) 的函数 称为统计量, 其中f(X 不含未知参数. 称为统计量 其中 1,X2,...,Xn)不含未知参数 不含未知参数
Other Examples?
3
A Failed Survey Example: 1936 U.S. presidential election, Alf Landon vs
Franklin Roosevelt • October 1936, Literary Digest conducted largest poll in history (10 million voters). • They predicted that Landon would win by 4:3 in share of popular vote. • One month later, Roosevelt was re-elected with the largest remajority in U.S. history. • The magazine went bankrupt soon after.
What happened?
4
How to Understand the Sampling Procedure? Before we collect the sample, sample,
• X1, X2, . . . , Xn are the values that will arise from the sample • X1, X2, . . . , Xn are random variables • X1, X2, . . . , Xn are independent and identically distributed • In particular, each Xi has the same distribution as the entire population. E[ VAR[ • As a result, we have for each Xi: E[Xi] = µ, VAR[Xi] = σ 2. 推断 在实际中, 对关心的总体X, 在实际中 对关心的总体 我们既不知道 它的分布, 也不知道它的数学期望和方差. 它的分布 也不知道它的数学期望和方差 对其进行反复的试验, 得到n个样本值 个样本值, 对其进行反复的试验 得到 个样本值 基 于这n个样本值就可以对总体分布及其参数 于这 个样本值就可以对总体分布及其参数 进行估计、检验、预测——统计推断。 统计推断。 进行估计、检验、预测 统计推断
6
总体 总体是指的一个随机变量X. 总体是指的一个随机变量 样本 样本是指的与总体X的分布完全一样的 的分布完全一样的n个相 样本是指的与总体 的分布完全一样的 个相 互独立的一组随机变量X 其中n称 互独立的一组随机变量 1,X2,...,Xn, 其中 称 为样本容量 而对样本做一次观察得到的具体的试验数据, 而对样本做一次观察得到的具体的试验数据 称作样本值, 用小写字母x 表示. 称作样本值 用小写字母 1,x2,...,xn表示
9
当然, 实际得到的数据可能更多, 当然 实际得到的数据可能更多 有时候为了获得对总体的较深的认识, 有时候为了获得对总体的较深的认识 需要几 千个甚至几万个样本值. 千个甚至几万个样本值 数理统计的问题是, 数理统计的问题是 怎样在获得了这些试验数 据之后, 能够对总体X的某些信息获得一些估 据之后 能够对总体 的某些信息获得一些估 获得一些知识? 计?获得一些知识 获得一些知识 这又分为两类, 这又分为两类 一类是对总体的分布进行一 些统计. 些统计 而另一类则是对总体的一些特征值, 而另一类则是对总体的一些特征值 经常是数 学期望和方差进行一些统计. 学期望和方差进行一些统计
• S=
X1 + X2 + . . . + Xn is the sample mean (a random variable) n
n Σi=1 ( Xi -
X )2 is the sample standard deviation (also a r.v.)
5
n-1
BEFORE and AFTER After we collected the sample,
1
Random Sample • Population: set of all members of a quantity of interest
• •
Sample: subset of the population Random Sample: a sample collected in such a way that every member in the population is equally likely to be selected
7
例如 假设总体X~N(µ,σ2), 假设总体 进行10次试验得到 次试验得到10个实数为 进行 次试验得到 个实数为 10.5, 11.23, 8.4, 9.94, 13.22, 5.08, 7.62, 12.33, 10.02, 9.97 个实数就叫做样本值. 这10个实数就叫做样本值 个实数就叫做样本值 因此样本值是实数, 而样本则是随机变量. 因此样本值是实数 而样本则是随机变量 样本值是对样本的观察结果. 样本值是对样本的观察结果
• x1, x2, . . . , xn are observed values of the sample (just numbers)
• x = (x1 + x2 + . . . + xn) / n is the observed sample mean (a number)
n Σi=1 ( xi
样本分布样本及抽样分布描述样本分布样本统计量的分布支票填写样本样本比例分布正态分布样本方差授权委托书样本购销合同样本收据样本
次课:样本分布 第20次课 样本分布Ⅰ 次课 样本分布Ⅰ 总体、个体、样本、 总体、个体、样本、统计量 样本均值与样本方差、直方图。 样本均值与样本方差、直方图。 样本的基本性质、样本与总体的关系： 样本的基本性质、样本与总体的关系：样本 中的个体相互独立且与总体同分布。 中的个体相互独立且与总体同分布。 习题七（ ） 习题七（2）
2
Examples of Statistical Sampling
• • • •
Marketing: Determine household income of consumers Manufacturing: Determine the fraction of defects in a batch Polling: Polling: Determine the proportion of population that favors a candidate
接收
11
频率 10 20 30 40 0
,0 00 00 00 00 00 00 60 65 ,0 ,0 00 00 其 他 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 30 35 40 45 50 55
某远程营销公司日销售额分布状况
接收
12
频率
对于正态总体, 对于正态总体 统计量通常是用来估计总体的 期望和方差, 期望和方差 因此下面两个用来估计期望和方 差的统计量必须记住. 差的统计量必须记住 1 n X = ∑Xi n i=1
15
10
对分布进行统计通常就是用的直方图进行统 下面是书上习题七第二题数据的直方图, 计, 下面是书上习题七第二题数据的直方图 用excel工具进行统计的直方图 工具进行统计的直方图
直方图 30 25 20 频率 15 10 5 0 其他 100 110 120 130 140 150 160 70 80 90 频率
- x )2 is the observed sample standard deviation
• s=
n-1
• Based on the outcome of this particular random sample, • we report x as our estimate for µ . • we report s as our estimate for σ . • typically, we get different results from different samples.
Our Goal: Make inferences, i.e., estimates, predictions, etc. about a population based on information from a sample. In particular, we want to estimate the population mean µ , and the population standard deviation σ.
被 作 本 值 这 随 变 ,但 称 样 均 , 是 机 量 它 的 个 体 观 值 作 一 具 的 测 写 1 x = ∑xi , 称 样 均 的 本 . 作 本 值 样 值 n i=1
13
n
样本方差的定义
1 2 S = ∑(Xi − X) n−1 i=1 称 样 方 . 为 本 差
2
n
而 本 差 有 本 ,写 s . 样 方 也 样 值 作
1 2 S= ∑(Xi − X) n−1 i=1 称 样 标 差 作 本 准
14
n
样本(X 的函数f(X 定义 7.3 样本 1,X2,...,Xn)的函数 1,X2,...,Xn) 的函数 称为统计量, 其中f(X 不含未知参数. 称为统计量 其中 1,X2,...,Xn)不含未知参数 不含未知参数
Other Examples?
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A Failed Survey Example: 1936 U.S. presidential election, Alf Landon vs
Franklin Roosevelt • October 1936, Literary Digest conducted largest poll in history (10 million voters). • They predicted that Landon would win by 4:3 in share of popular vote. • One month later, Roosevelt was re-elected with the largest remajority in U.S. history. • The magazine went bankrupt soon after.
What happened?
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How to Understand the Sampling Procedure? Before we collect the sample, sample,
• X1, X2, . . . , Xn are the values that will arise from the sample • X1, X2, . . . , Xn are random variables • X1, X2, . . . , Xn are independent and identically distributed • In particular, each Xi has the same distribution as the entire population. E[ VAR[ • As a result, we have for each Xi: E[Xi] = µ, VAR[Xi] = σ 2. 推断 在实际中, 对关心的总体X, 在实际中 对关心的总体 我们既不知道 它的分布, 也不知道它的数学期望和方差. 它的分布 也不知道它的数学期望和方差 对其进行反复的试验, 得到n个样本值 个样本值, 对其进行反复的试验 得到 个样本值 基 于这n个样本值就可以对总体分布及其参数 于这 个样本值就可以对总体分布及其参数 进行估计、检验、预测——统计推断。 统计推断。 进行估计、检验、预测 统计推断
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总体 总体是指的一个随机变量X. 总体是指的一个随机变量 样本 样本是指的与总体X的分布完全一样的 的分布完全一样的n个相 样本是指的与总体 的分布完全一样的 个相 互独立的一组随机变量X 其中n称 互独立的一组随机变量 1,X2,...,Xn, 其中 称 为样本容量 而对样本做一次观察得到的具体的试验数据, 而对样本做一次观察得到的具体的试验数据 称作样本值, 用小写字母x 表示. 称作样本值 用小写字母 1,x2,...,xn表示
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当然, 实际得到的数据可能更多, 当然 实际得到的数据可能更多 有时候为了获得对总体的较深的认识, 有时候为了获得对总体的较深的认识 需要几 千个甚至几万个样本值. 千个甚至几万个样本值 数理统计的问题是, 数理统计的问题是 怎样在获得了这些试验数 据之后, 能够对总体X的某些信息获得一些估 据之后 能够对总体 的某些信息获得一些估 获得一些知识? 计?获得一些知识 获得一些知识 这又分为两类, 这又分为两类 一类是对总体的分布进行一 些统计. 些统计 而另一类则是对总体的一些特征值, 而另一类则是对总体的一些特征值 经常是数 学期望和方差进行一些统计. 学期望和方差进行一些统计
• S=
X1 + X2 + . . . + Xn is the sample mean (a random variable) n
n Σi=1 ( Xi -
X )2 is the sample standard deviation (also a r.v.)
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n-1
BEFORE and AFTER After we collected the sample,
1
Random Sample • Population: set of all members of a quantity of interest
• •
Sample: subset of the population Random Sample: a sample collected in such a way that every member in the population is equally likely to be selected
7
例如 假设总体X~N(µ,σ2), 假设总体 进行10次试验得到 次试验得到10个实数为 进行 次试验得到 个实数为 10.5, 11.23, 8.4, 9.94, 13.22, 5.08, 7.62, 12.33, 10.02, 9.97 个实数就叫做样本值. 这10个实数就叫做样本值 个实数就叫做样本值 因此样本值是实数, 而样本则是随机变量. 因此样本值是实数 而样本则是随机变量 样本值是对样本的观察结果. 样本值是对样本的观察结果
• x1, x2, . . . , xn are observed values of the sample (just numbers)
• x = (x1 + x2 + . . . + xn) / n is the observed sample mean (a number)
n Σi=1 ( xi
样本分布样本及抽样分布描述样本分布样本统计量的分布支票填写样本样本比例分布正态分布样本方差授权委托书样本购销合同样本收据样本
次课:样本分布 第20次课 样本分布Ⅰ 次课 样本分布Ⅰ 总体、个体、样本、 总体、个体、样本、统计量 样本均值与样本方差、直方图。 样本均值与样本方差、直方图。 样本的基本性质、样本与总体的关系： 样本的基本性质、样本与总体的关系：样本 中的个体相互独立且与总体同分布。 中的个体相互独立且与总体同分布。 习题七（ ） 习题七（2）
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Examples of Statistical Sampling
• • • •
Marketing: Determine household income of consumers Manufacturing: Determine the fraction of defects in a batch Polling: Polling: Determine the proportion of population that favors a candidate
接收
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频率 10 20 30 40 0
,0 00 00 00 00 00 00 60 65 ,0 ,0 00 00 其 他 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 30 35 40 45 50 55
某远程营销公司日销售额分布状况
接收
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频率
对于正态总体, 对于正态总体 统计量通常是用来估计总体的 期望和方差, 期望和方差 因此下面两个用来估计期望和方 差的统计量必须记住. 差的统计量必须记住 1 n X = ∑Xi n i=1
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对分布进行统计通常就是用的直方图进行统 下面是书上习题七第二题数据的直方图, 计, 下面是书上习题七第二题数据的直方图 用excel工具进行统计的直方图 工具进行统计的直方图
直方图 30 25 20 频率 15 10 5 0 其他 100 110 120 130 140 150 160 70 80 90 频率
- x )2 is the observed sample standard deviation
• s=
n-1
• Based on the outcome of this particular random sample, • we report x as our estimate for µ . • we report s as our estimate for σ . • typically, we get different results from different samples.
Our Goal: Make inferences, i.e., estimates, predictions, etc. about a population based on information from a sample. In particular, we want to estimate the population mean µ , and the population standard deviation σ.
被 作 本 值 这 随 变 ,但 称 样 均 , 是 机 量 它 的 个 体 观 值 作 一 具 的 测 写 1 x = ∑xi , 称 样 均 的 本 . 作 本 值 样 值 n i=1
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n
样本方差的定义
1 2 S = ∑(Xi − X) n−1 i=1 称 样 方 . 为 本 差
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n
而 本 差 有 本 ,写 s . 样 方 也 样 值 作