专题04 因动点产生的面积问题(原卷版)
因动点产生的面积问题
例21：2011年四川省南充市中考第22题抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q 的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．解答：解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，答：抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）解：AC=3，AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，∠BAC=45°，∵平行四边形ACQP的面积为12，∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，∴DN=4，∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，∴，解得：或，，方程无解，即P1（3，0），P2（﹣2，5），∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），当P（﹣2，5）时，Q（1，2），∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．（3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，答：△PQM 的最大面积是，，点M 的坐标是（，﹣）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．例22：2010年广东省湛江市中考第28题如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(－3，－4)，线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．(1)直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．解：(1)A(5，0) ………1分由抛物线经过点O ，可设抛物线的解析式为bx ax y +=2…2分⎩⎨⎧=-=+4390525b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=6561b a …………………………4分 ∴抛物线的解析式为x x y 65612+-=…………………………5分 (2)如图，由(1)得抛物线的对称轴是直线25=x ，点O 、A 关于直线25=x 对称，连接AB 交直线25=x 于点C ，则点C 使BC+OC 的值最小………………………6分设直线AB 的解析式为b kx y +=，得⎩⎨⎧-=+-=+4305b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2521b k∴直线的解析式为2521-=x y ………………………8分把25=x 代入2521-=x y ，得45-=y ，∴点C 的坐标为)45,25(-………………9分(3)如图，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点P 的横坐标为x ，得)6561,(2x x x P +-, )2521,(-x x D ………………10分∴PAD PBD PAB S S S ∆∆∆+==)(21B A x x PD -∙＝))((21B A D p x x y y --＝[])3(5)2521()6561(212--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-x x x ＝1034322++-x x ＝332)1(322+--x ∴当1=x 时，PAB S ∆的最大值为332………………12分 把1=x 代入x x y 65612+-=，得32=y ，∴此时点P 的坐标为)32,1(………………13分例23：2012年广东省广州市中考数学模拟第25题平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为(0，3)、(1-，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''A B OC 。
(完整版)汇编《因动点产生的面积问题》含答案
例1如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910。
初三压轴题专项----因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题
教学目标
对中考可能出现的压轴题类型进行模块复习
教学内容
常见解法：
1.观察要求的图形是什么形状，各点坐标是否知道；
2.是否有一条边与x轴、y轴平行或重合，是否为规那么的图形，如是，直接用公式计算；
3.割，大多应用于四边形或多边形；
4.补，即用作差法求面积。实在没有方法就做高形成梯形，再做差。
2.如图，：抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，并且 = .
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕过点 作 ∥ 轴，交抛物线于点 ，设抛物线的顶点为点 ，试判断△ 的形状，并说明理由；
〔3〕设点 在抛物线的对称轴 上，且△ 的面积等于△ 的面积，请写出点 的坐标〔无需写出解题步骤〕．
3.：抛物线 经过点 ， ，且对称轴 与 轴交于点 .
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕如图，点 、 分别是 轴、对称轴 上的点，且四边形 是矩形，点 是 上一点，将 沿着直线 翻折， 点与线段 上的 点重合，求 点的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，点 是对称轴 上的点，直线 交 于点 ， ，求 点坐标.
Байду номын сангаас家庭作业：
1.如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为〔3,0〕，第一象限内的点 在直线 上，∠ =45度．
〔1〕求点 的坐标；
〔2〕如果二次函数的图像经过 、 、 三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标 ；
〔3〕如果将第〔2〕小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线 上的点 处，求△ 与△ 的面积之比．
1.如图，在平面直角坐标系 中，直角梯形 的顶点 为坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ∥ ， =4， =3， =5，点 在边 上， =3，过点 作 的垂线 ，交 轴于点 ．
二次函数-因动点产生的面积问题典型例题.doc
二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1,己知抛物线y = -x2-}-bx + c（力、Q是常数，且c<0）与”轴交于人〃两点（点/在点〃的左侧），与y轴的负半轴交于点G点力的坐标为（-1,0）.（1） ______ b=______________________，点〃的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结饥；过点/作直线力伤/应；与抛物线交于点仅点〃是/轴上一点，坐标为（2, 0）,当C、〃、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结刖、PC.设比的面积为S.①求S的取值范围；②若的面积S为正整数，则这样的△/犹共有___________ 个.思路点拨1. 用c表示方以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB=2OC.2. 当C、D、£、三点共线时，'EHAs'COB、'EHLS'COD.3. 求△观面积的取值范圉，要分两种情况计算，户在％上方或下方.4. 求得了S的取值范围，然后罗列P从M经过C运动到〃的过程中，面积的正整数值，再数一数个数•注意排除点久C.〃三个时刻的值.满分解答（1）b=c +丄，点〃的横坐标为— 2c.过点E作EHLx轴于〃.由于当AE//BC时，AH=2EIL所以x + l = (x+l)Cx+2c).因此x = l — 2c.所以E(l-2c,l-c).当C 、D 、F 三点在同一直线上时，—.所以 I =Z£.DH DO -2c-1 2整理，得2<?+3c —2 = 0.解得c=~2或0 =丄（舍去）.2（3）①当P 在力下方时，过点P 作x 轴的垂线交氏于F.直线〃C'的解析式为y = ^x-2.131 1设 —- — tn -2),那么, FP = —nr +2m.2222所以S MB 卜+ S^pct-=丄FP{X B —X C ) = 2FP — —m 2+ 4m = —(m — 2)2 + 4 •2因此当P 在氏下方时，的最大值为4.当P 在比上方时，因为SHABC=5、所以S\PBC<5・ 综上所述，0VSV5.②若△/沆、的而积S 为止整数，则这样的△/沉共有11个. 考点伸展点P 沿抛物线从力经过C 到达〃的过程中，的面积为整数，依次为（5）, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, （0）.当戶在兀下方，S=4时，点P 在氏的中点的正下方，尸是应'的中点. 例2、如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为水0, 1)、〃(2, 0)、0(0, 0),将此三 角板绕原点0逆时针旋转90° ,得到三角形/ B' 0.(1) 一抛物线经过点川、B, B,求该抛物线的解析式；(2) 设点"是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点"，使四边形/行A' 〃的面积是△彳夕0而积的4倍？若存在，请求出点戶的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，试指出四边形PB* 〃是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.2, 1, (0), 1,图1思路点拨1. 四边形丹'A9〃的面积是△才B' 0面积的4倍，可以转化为四边形丹'防的面积是△才B' 0面积的3倍.2. 联结四边形/为'必可以分割为两个三角形.3. 过点向无轴作垂线，四边形丹'血也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(1) 防绕着原点0逆时针旋转90°，点彳、B'的坐标分别为(一1, 0)、(0, 2).因为抛物线与x轴交于A1 (-1, 0)、凤2, 0),设解析式为尸=臼匕+1)匕一2),代入B r (0, 2),得&=1.所以该抛物线的解析式为y=-d+l)d-2) =-/+x+2・(2) o— 1.如果S四边形w A f g=4 S^A r g 0=4,那么S四边形曲加=3 S^A f ff o=3.如图2,作刃丄防，垂足为设点"的坐标为匕，—x+x+i).1 1 9 1 . 1 9 =-DO^O-^ PD) = -x(2-x2+x+2) = --x3 +-x2 + 2x .1 | 1 3S、PDB =—DB X PD=-(2-X)(-X2 + x + 2) = 一一兀2 + 2 .解方程一,+2/+2 = 3,得 K = Z =1.所以点戶的坐标为（1, 2）.（3）如图3,四边形"F A r〃是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线. 考点伸展第（2）题求四边形加的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.S、PB （）=运 B'O ・心= — x2x = x-&PBO — — BO • yp — — x 2（—+ 兀 + 2） — —+ 无 + 2 • 21 2所以 ％ 边形阳池=Sp&o += —x + 2x+2 •甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ： 作OB'关于抛物线的对称轴对称的△从加，那么点F 的坐标为（1, 2）.而矩形励’0〃与△才OB'、△尿沪是等底等高的，所以四边形防'A f3的面积是△才ff 0面积的 4倍.因此点疋就是要探求的点尢所以％边 形PBAD图2图3=—x 2 + 2兀+2 •2图4S 梯形PBOD例3、如图1,在平面直角坐标系屮，直线y = -x+\与抛物线y= ax + bx — 3交于弭、〃两点，点力在/ 轴上，点〃的纵坐标为3.点P 是直线力〃下方的抛物线上的一动点(不与点/、〃重合)，过点"作/轴 的垂线交直线力〃于点C,作皿丄血/于点〃.(1) 求曰、b 及sin^ACP 的值； (2) 设点P 的横坐标为饥① 用含刃的代数式表示线段刃的长，并求出线段刃长的最大值；② 连结/为，线段/乞把△/%矽分成两个三角形，是否存在适合的/〃的值，使这两个三角形的面积比为9 : 10?若存在，直接写出/〃的值；若不存在，请说明理由・思路点拨1. 第(1)题由于GV/y 轴，把z/m 转化为它的同位角.2. 第(2)题中，PD=PCskZACP,第(1)题已经做好了铺垫.3.与△"伪是同底边&、的两个三角形，面积比等于对应高〃V 与射的比.4. 两个三角形的面积比为9 : 10,要分两种情况讨论. 满分解答(1) 设直线 y = -x + 1 与 y 轴交于点 那么 71(-2, 0), 〃(4,3), MO,1).2在Rt △肋0屮，04=2, OE=\,所以AE =亦.所以sin ZAEO = 迈・5将力(一2,0)、8(4,3)分别代入尸/+&—3,得.⑵由"巧心尹一3)，帥了+1)，因为PG7%,所以ZACP=ZAEO.因此sin4。
2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案
1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1例3 2017年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．图1例4 2017年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 5 2017年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1例 6 2017年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例7 2017年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个． 思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值． 满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值．2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =． 所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--． （2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35． 在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ． 所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+． 因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。
由动点引出的几种面积问题(含答案)
专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。
基本模型一利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.面积公式：S =12ah 基本模型二CABD其中：:ACD BCD S S AD BD =△△： ，:ACD BCA S S AD BA =△△： 基本模型三OB()12AOB ACB AOBC S S S a h OA =+=+△△四边形 类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线121y x =+和直线2443y x =-+交于点A . 直线y n =从x 轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A 点时停止. 在运动过程中，直线y n =分别交y 1、y 2两条直线于C 、B 两点，交y 轴于点D . 连接OC 、OB .（1）设运动时间为t （s ），求t 的取值范围.（2）求出△OBC 的面积S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时n 的值.y=n类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题例2. 如图例2-1，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的交点为A 、D (A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A (4，0)，C (0，－3)，对称轴是直线x =1． (1)求二次函数的解析式；(2)若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为S ．请写出S 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大.图例2-1图例2-2类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数kyx(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？图例3-1类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S . 求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值.图例4-1.类型五、由动点问题引出的面积存在性问题例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），B （0，2），C （3，1）抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点，交y 轴于点D ． （1）在后面的横线上直接写出点D 的坐标及b 的值： ，b = ；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ，设l 与x 轴交于点G （x ，0），当OG 等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？AOxyBCGF H E图例5-1 图例5-2类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线24 5y ax x c=++与直线2255y x=--交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线2255y x=--与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线2255y x=--上方，求△P AC的最大面积.OxyPACBGEH 图例6-1专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。
由动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题1．（南通）如图，已知直线l 经过点A （1，0），与双曲线my x =（x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p ﹣1）（p ＞1）作x 轴的平行线分别交双曲线m y x =（x ＞0）和my x=-（x ＜0）于点M 、N ．（1）求m 的值和直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y =2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.∴A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。
因动点产生的面积问题
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例题 5 如图平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y = ������ 2 − 4������ + ������与������轴
交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与������轴的负半轴交于点 C，且OB = OC。 1) 求该抛物线的解析式及点 B 的坐标； 2) P 是线段 OB 上的一点，过点 P 作PD ⊥ ������轴，与抛物线交于 D 点，直线 BC 能 否把∆������������������分成面积之比为2: 3的两部分？如能， 请求出点 P 的坐标； 如不能， 请说明理由。
������
Hale Waihona Puke 例题 3 如图，已知直线y = 2 ������与双曲线 y = ������ （k > 0）交于 A、B 两点，且点 A
的横坐标为 4. 1) 求 K 的值； 2) 若双曲线上的一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积； 3) 过原点 O 的另一条直线交双曲线与 P、Q 两点（P 点在第一象限） ，若由 A、 B、P、Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标。
第五篇因动点产生的面积问题 例题 1 如图已知一次函数y = ax − a(a ≠ 0)的图像是直线l,点 E 是直线l与y轴的
交点。 1) 证明：当a取不等于 0 的实数时，直线l都经过x轴上的一个定点 P，并求这个 定点 P 的坐标； 2) 在x轴上找出点 Q，使 S∆PQE=2S∆OPE ，求出点 Q 的坐标。
例题 2 如图，点 P、点 Q 分别在x轴、y轴上。
1) 已知点 P（3，0） ，Q（0，4） ，点 M 在线段 PQ 上，直线 OM 把∆POQ 分成两 个三角形，且这两个三角形的面积的比是 2：1，求直线 MO 的函数解析式； 2) 如图，已知 P（m，0） ，Q（0，n） （m>0,n>0）,反比例函数y = ������ 的图像与线 段 PQ 交于 C、D 两点，若 S∆POC=S∆COD=S∆DOQ 求 n 的值。
2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案
1.6 因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为2188y x =-+．（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下： 设点P 的坐标为21(,8)8x x -+，那么PF ＝y F －y P ＝218x ．而FD 2＝22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+，所以FD ＝2128x +． 因此PD －PF ＝2为定值． （3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ． 因为S △POD ＝1()32P OD x x ⋅-=-，S △POE ＝2111624P OE y x ⋅=-+，S △DOE ＝12，所以 S △PDE ＝21316124x x --+-＝21344x x --+＝21(6)134x -++． 因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6． 如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程21(6)13124x -++=的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得38a =．所以抛物线的解析式为3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--．（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝35．在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝35t ．所以S △PBQ ＝211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+．因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是910。
2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的面积问题(含2019试题-含详解)
3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在 BC 上方或下方． 4．求得了 S 的取值范围，然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注 意排除点 A、C、B 三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝ c + 1 ，点 B 的横坐标为－2c． 2
（2）由 y = 1 x2 + (c + 1)x + c = 1 (x +1)(x + 2c) ，设 E (x, 1 (x +1)(x + 2c)) ．
22
2
2
所以
S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝
1 2
FP( xB
−
xC
)
=
2FP
=
−m2
+
4m
=
−(m
−
2)2
+
4
．
因此当 P 在 BC 下方时，△PBC 的最大值为 4．
当 P 在 BC 上方时，因为 S△ABC＝5，所以 S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC．设△PBC 的面积为 S． ①求 S 的取值范围； ②若△PBC 的面积 S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“13 苏州 29”，拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相 似．点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值
九年级数学中考复习专题 因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题1.如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．2.如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x=+与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【3】如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．【4】如图11，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AC =6，另有一直角梯形DEFH （HF ∥DE ，∠HDE =90°）的底边DE 落在CB 上，腰DH 落在CA 上，且DE =4，∠DEF =∠CBA ，AH ∶AC =2∶3（1）延长HF 交AB 于G ，求△AHG 的面积.（2）操作：固定△ABC ，将直角梯形DEFH 以每秒1个单位的速度沿CB 方向向右移动，直到点D 与点B 重合时停止，设运动的时间为t 秒，运动后的直角梯形为DEFH ′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH ′H 能否为正方形？若能， 请求出此时t 的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC 与直角梯形DEFH ′重叠部分的面积为y ，求y 与t 的函数关系.答案：1.（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=．22112(2)222PBO P S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)． 而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．2. （1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin AEO ∠=． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin 4)1)2PD PC ACP PC m m m =∠==-++=-． 所以PD 95．（3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =；当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos (4)(2)(4)5525DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=⨯-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．【3】解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ； ∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：【4】解：（1）∵AH ∶AC =2∶3，AC =6∴AH =23AC =23×6=4又∵HF ∥DE ，∴HG ∥CB ，∴△AHG ∽△ACB …………………………1分∴AH AC=HG BC，即46=8HG ，∴HG =163…………………………………2分∴S△AHG =12AH·HG =12×4×163=323……………………………………3分（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分∵HH ′∥CD ，HC ∥H ′D ，∴四边形CDH ′H 为平行四边形 又∠C =90°，∴四边形CDH ′H 为矩形…………………………………5分又CH =AC-AH =6-4=2∴当CD =CH =2时，四边形CDH ′H 为正方形 此时可得t =2秒时，四边形CDH ′H 为正方形 (6)分②（Ⅰ）∵∠DEF =∠ABC ，∴EF ∥AB∴当t =4秒时，直角梯形的腰EF 与BA 重合. 当0≤t ≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH ′的面积.…………7分2·4· ·2 ·4S a )04212≤<+-=a a S （)42)4(212<≤-=a a S （过F作FM⊥DE于M ，FMME =tan∠DEF=tan∠ABC=ACBC=68=34∴ME =43FM=43×2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH′的面积为12（4+43）×2=163∴y=163（Ⅱ）∵当4＜t≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=12×8×6-323=403S矩形CDH′H=2t∴y=403-2t（Ⅲ）当513＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P.BD=8-t又PDDB=tan∠ABC=3 4∴PD=34DB=34（8-t）∴重叠部分的面积y=S ,△PDB=12PD·DB=12·34（8-t）（8-t）=38（8-t）2=38t2-6t+24∴重叠部分面积y与t的函数关系式：y=316（0≤t≤4）40 3-2t（4＜t≤513）3 8t2-6t+24（513＜t≤8）。
中考数学压轴题---因动点产生的面积问题[含答案]
![中考数学压轴题---因动点产生的面积问题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/bf4968a40029bd64783e2ca4.png)
因动点产生的面积问题例1（ 2011年南通市中考第28题）如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x轴的平行线分别交曲线m y x=(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线m y x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-．（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，（2）．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1132x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=．②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x xx x⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例2（2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．图1满分解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．C EM M EF C O E O FM C S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222t t t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+．（ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t ，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小．可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =．因此点M （3，58）在直线AC 上．因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．例3（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122O E O C b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例4（ 2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4E F B E B x ==-．所以21315288y A E E F x x =⋅=-+．②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532．因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142s i n (6)(6)2255AEF S AE AF A xx x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±．因为1362x =+在3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---．解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例5（2009年兰州市中考第29题）如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2满分解答（1）Q (1,0)，点P 每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线交直线BE 于F ，交x 轴于H ．在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM M P ABAFBF==，即1068t A M M P ==．因此34,55A M t P M t==．于是3410,55P NO M t O N P M t==-==．设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S O Q PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t=时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)．（4）当53t =或29513t=时, OP 与PQ 相等．图3 图4附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组5, 81,m tm t=⎧⎨=+⎩解得53t=．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组537.5,81,m tm t=-⎧⎨=+⎩解得29513t=．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组51010,81,m tm t-=-⎧⎨=+⎩解得53t=，但这时点P不在BC上．图5 图6例6（2008年长春市中考第25题）在直角坐标系中，抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2）．（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线cbxxy++=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.图1（1）因为抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2），所以10,164 2.cb c=⎧⎨++=⎩解得6b=-，10c=．因此抛物线的解析式为y＝x2－6x＋10．（2）①因为CD＝1，点D在y轴上，所以点C的横坐标为1．在y＝x2－6x＋10中，当x＝1时，y＝5．所以边BC 的长为5．②因为矩形边长一定，所以BC＝5．如图2，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:5时，点C的纵坐标为1．解方程x2－6x＋10＝1，得123x x==．此时点C的坐标为(3，1)．如图3，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:1时，点C的纵坐标为4．解方程x2－6x＋10＝4，得133x=+，233x=-．此时点C的坐标为(3＋3，4)或(3－3，4)．图2 图3考点伸展在本题情景下，以CD为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？解：由于CD＝1，抛物线的顶点为（3，1），因此与坐标轴相切的⊙C有三个，点C的坐标分别为（1，5），（－1，17），（3，1）．在本题情景下，以CB为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？解：由于点（5，5）恰好在抛物线上，因此与坐标轴相切的⊙C有两个，点C的坐标分别为（5，5），（－5，65）．。
专题04 因动点产生的面积问题
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题04因动点产生的面积问题【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．y = - ( x + 1)(x - 4) = - x 2 + x + 2 = - ( x - )2 + ．顶点坐标为 ( ， ) ．图 4图 5 图 6【典例分析】【例 1】如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与 x 轴交于 A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与 y 轴交于点 C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q ，交抛物线于另一点 E ，直线 BM 交 y 轴于点 F ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3 时，求点 M 的坐标．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．△2．把 MFQ 和△MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME ，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式子表示），于是得到关于 m 的方程．3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设 y ＝a(x ＋1)(x －4)．代入点 C(0, 2)，得 2＝－4a ．解得 a = - 1．所以21 1 3 1 3 252 2 2 2 2 83 252 8与 n 无关，两条底边的比考点伸展第（2）题 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3，何需点 M 一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比 也与 n 无关．FQ m MQ m= =MN 4 - m ME 3 - 2m如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x ＝ 3 2对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就存在 S△MFQ∶△S MEB ＝1∶3，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或－12（如图 4）．图 3图 4（t ﹣1）2+ △=3 m 2﹣ m ﹣3）．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．结合已知条件和（2）中的结果 ．则根据图形得到：S △ CBK =S △CEK +S △=BEK EK•m+ •EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代 入推知：﹣ m 2+3m= ．易求得 K 1 （1，﹣ ），K 2 （3，﹣）． 27 4⎩16a + 4b - 3 = 0【例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与 x 轴交于点 A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△ PBQ存在时，求运动多少秒使△ PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3△）当 PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K ，使 △S CBK ：△S PBQ =5：2，求 K 点坐标．思路点拨（1）把点 A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为 t 秒．利用三角形的面积公式列出 S △PBQ 与 t 的函数关系式 S PBQ ﹣ 用二次函数的图象性质进行解答；9 9 10 10．利（3）利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 y= 3 4x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点 K 的坐标为（m ，3 8 4求得 S △CBK = 9 1 1 4 2 23 9 154 8 8满分解答（1）把点 A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得⎧4a - 2b - 3 = 0 ⎨，a=3解得⎨8OC==t5t．∴S△=12（6﹣3t）•32+9S△PBQ最大10．答：运动1△秒使PBQ的面积最大，最大面积是9⎧⎪⎪b=-3⎪⎩4，所以该抛物线的解析式为：y=3x2﹣834x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=32+42=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴BHQ∽BOC△，∴HB BG HbBC，即35，∴HQ=32PB•HQ=15t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）10．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，=910；c = -3 ， ⎪k =4 x ﹣3．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．则点 E 的坐标为（m ，34 m ﹣3﹣（ 3 m 2﹣ 4m ﹣3）=﹣ 3 m 2+当△PBQ 的面积最大时，△∵S CBK ：S△=5PBQ：2，S△=9∴S △CBK = 9S △CBK =S △CEK +S △BEK = 12×4•EK4 m 2+3m ． 4 m 2+3m=（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c （k≠0）．把 B （4，0），C （0，﹣3）代入，得⎧4k + c = 0 ⎨ ⎩⎧解得 ⎨3 4 ， ⎪⎩c = -3∴直线 BC 的解析式为 y=3∵点 K 在抛物线上．∴设点 K的坐标为（m ， 3 m 2﹣ 83 4m ﹣3）．4m ﹣3）．∴EK=38 38 3 2 m ．10．4 ．=12EK•m+12 •EK•（4﹣m ）=2（﹣ 3 m 2+ 83 2m）=﹣ 3即：﹣ 394 ．∴K1（1，﹣27），K2（3，﹣）．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得⎨解得a=1，b=-．解得m1=1，m2=3．1588【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．△3．PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线y=1x+1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．2在△Rt AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE=5．所以sin∠AEO=因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此s in∠ACP=25．5⎧4a-2b-3=0,⎩16a+4b-3=3.122255．⨯ (- m 2+m + 4) = - (m + 2)(m - 4) ，①当 △S PCD ∶△S PCB ＝9∶10 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ． ②当 △S PCD ∶△S PCB ＝10∶9 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ．考点伸展第（△3）题的思路是： PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比．而 DN = PD cos ∠PDN = PD cos ∠ACP = 5 2 5 1 1 5 5 2 5BM ＝4－m ．1 9 5 5 10 21 10 32 5 9 9【例 4】如图，在 △Rt ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD ⊥AC 于点 D （点 P 不与点 A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；（△3）设 PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．2=3t，思路点拨（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．满分解答（1）在△Rt ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=23，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在△Rt ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=AP cosA=2t×3∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）在△Rt PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴P A=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；（3）当 0＜t≤1 时，S=S △PDQ = 1DQ×DP=13 =2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = 1× 3 t×t ﹣ 13 t 2 (0＜t ≤ 1)∴S= ⎨ 22 PQ= 12 AP=t ，AF= 1 ∴∠PGF=90°，PG= 1 t= 12 AC=3 ，QM= 12 PQ= 1 ∴∠QMN=90°，AN= 1 cos30 ︒ =3 t =23 t ， ∴t= 32 ×3 t×t= 3 2 t 2，当 1＜t ＜2 时，如图 2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2 3 t ﹣2 3 =2 3 （t ﹣1）， 在 △Rt CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 3 （t ﹣1）× 32 ×23 （t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣3 3 2 t 2+4 3 t ﹣2 3 ，⎧ ⎪ ⎪- 3 3 t 2 + 4 3t - 2 3 (0＜t ＜2 )⎪⎩ 2；（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3，2AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，∴AP+PF=2t+2t=2，2；当 PQ 的垂直平分线过AC 的中点 M 时，如图 4，2AP=t ，在 △Rt NMQ 中，NQ= MQ∵AN+NQ=AQ ，∴ 3 + 2 32 3 3 t，10∴BF= 1 (x ＞0)和 y = - (x ＜0)于 M 、N 两点．当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5，1BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，2 2∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，∴BH=BF=1，在 △Rt PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= 54，即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 123 5秒或 秒或 秒．4 4【例 5】如图，直线 l 经过点 A (1，0)，且与双曲线 y = m x(x ＞0)交于点 B (2，1)．过点 P( p , p -1) (p ＞1)作 x轴的平行线分别交曲线 y = m mx x（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y ＝2 上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数 p ，使得 △S AMN ＝4△S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明 理由．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把 S △AMN ＝4△S AMP 转化为 MN ＝4MP ，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，△0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6【例6】如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．△Rt CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．△Rt CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当△Rt CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在△Rt CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在△Rt CDE的运动过程中，设AC=h△，OAB△与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．思路点拨（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-23时，③6-23≤h≤6时，依此即可求解．满分解答（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；(2)如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=43；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∴S=S △EDC ﹣S △EFM =1= S=S △AOB △-S ACM =113 + 13 + 3 S=S △OMC = 1h 2+4h+8(最大值为 15- 3 )；②2≤h ＜6-2 3 时，S=18- h 2（最大值∵CD=4，DE=4 3 ，AC=h ，AN=NM ，∴CN=4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ，∵△CMN ∽△CED ，∴ CN MN = ，CD DE4 - FM 4 + h - FM∴ ，4 4 3解得 FM=4﹣3 + 1h ， 21 3 + 1 3 + 1×4×4 3 ﹣ （4 3 -4﹣h ）×（4﹣ h ）=﹣ 2 2 2 4h 2+4h+8， S=15- 3 ．最大②当 2≤h ＜6-2 3 时，2224×6×6- h （h+ h ）=18-h 2，S=15- 3 ． 最大③如图 3，当 6-2 3 ＜h≤6 时，3 OB× 3 OC=（6-h ）2，22S=6 3 ．最大综上所述，①h ＜2 时，S= -3 + 143 + 34为 15- 3 ）；③6-2 3 ≤h≤6 时，S=3 （6-h ）2（最大值为 6 3 ）2【变式训练】1．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m ，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）BC=6-S=11⎛1⎫⎛3⎫3333x+x+6⎪⋅ 63-x⎪=-x2+33x+183=-⎭⎝A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2【答案】C【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在△Rt CBE中，∵∠CEB=90°，∴B E=11x 22∴A D=CE=3BE=63-311 x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6 222∴梯形ABCD面积(CD+AB)⋅CE=22⎝22⎭888(x-4)2+243∴当x=4时，S最大=243．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选C．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，∆APQ 的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）=2⨯2-1(4-x)2-⨯2⨯(x-2)-⨯2⨯(x-2)A．B．C．D．【答案】A【详解】①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S1 AQ⋅AP=x2；22②当2≤x≤4时，y=S∆APQ=S正方形ABCD -S∆CP'Q'-S∆ABQ'-S∆AP'D112221=-x2+2x，2所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．3．如图，已知直线y=3x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆42D．17上一动点，连结PA、PB△．则PAB面积的最大值是（）A．8【答案】C【详解】解：∵直线y=34B．12C．21x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，2∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x-4y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：∴5×CM=4×1+3×4，111×AB×CM=×O A×OC+×OA×OB，222∴CM=16 5，∴圆C上点到直线y=31621x-3的最大距离是1+=，455 12121∴△PAB面积的最大值是⨯5⨯=，252故选C．4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，AB=8cm，C H是AB边上的高，正方形DEFGt = 4 - ⨯ [2 - (4 - t )]2 = - (t - 2)2 + 4 ；t的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ，AH 上．将正方形 DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 ∆BHC 重叠部分的面积为 Scm 2，则能反映 S 与 t 的函数关系的图象（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】由题意得： AH = BH = CH = 4 ， FE = FG = GH = EH = 2 ，（1）当 0剟2 时，如图 1，设 EF 交 CH 于点 K ，则 S = S矩形EDHK= t ⨯ 2 = 2t ；（2） 2 < t … 4 时，如图 2，设 EF 与 BC 交于点 M ， DE 于 BC 交于点 N ，S = S 正方形DEFG - S∆EMN 1 1 2 2（3） 4 < t … 6 时，如图 3，设 GF 交 BC 于点 L ，S = S1⨯ [2 - (t - 4)]2= (t - 6)2 ， 2 2∴当 0剟2 时，函数图象是正比例函数，当2 < t … 4 时，是开口向下的抛物线，当4 < t … 6 时，是开口向上的抛物线，故选： B ．5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（）A．2B．+1C．-1D．2【答案】B【详解】如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA=AB，由题可得∠AOB=45°，∴∠ACB=90°，∴CD=AB=1，AC=BC==CO，连接OD，则OD≤OC+CD，+1，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=此时OD⊥AB，∴△AOB的面积最大值为AB×OD=×2（+1）=+1，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，+1，同理可得，△AOB面积的最大值为故选：B．6．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在△Rt AOB和△Rt ANB中∴△Rt AOB≌△Rt ANB，∴AN=AO=2，设BM=x，∴MN2=（BM-1）（BM+1），∴MN=，∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，∴△BNM∽△AOM，∴即，，解得x=，S△AOM=．故选B．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________【答案】15【详解】∵D是抛物线y=-x2+6x上一点，∴ S V BCD = ⨯ 5 ⨯ (- x 2 + 6 x - 3) = - ( x - 3)2 + 15，Q - < 0，∴设 D( x , - x 2 + 6 x )，∵顶点 C 的坐标为(4,3)，∴OC = 42 + 32 = 5，∵四边形 OABC 是菱形，∴ BC = OC = 5, BC P x 轴，1 52 252∴ S V BCD 有最大值，最大值为 15，故答案为 15.8．如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD △和BCE ，那么 DE 长的最小值是______________．【答案】1【详解】设 AC ＝x ，则 BC ＝2－x ，∵△ACD △和 BCE 都是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝ 2 x ，CE ＝ 2 (2－x) .2 2∴∠DCE ＝90°.∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝（2 x ）2＋[ 2 (2－x) ]2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.2 2∴当 x ＝1 时，DE 2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1.9．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。
2020年九年级中考数学复习题：因动点产生的面积问题(含解析)
因动点产生的面积问题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3．如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin AEO ∠=． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin 4)1)2PD PC ACP PC m m m =∠==-++=-． 所以PD 95（3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得113x +=或113x -=P 在x 轴下方，舍去）．此时113p += ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得15x +=或15x -=P 在x 轴下方，舍去）．此时15p +=考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5 图6如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±因为1362x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2满分解答（1）Q (1,0)，点P 每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线交直线BE 于F ，交x 轴于H ． 在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP ==．因此34,55AM t PM t ==．于是3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t =时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)． （4）当53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD 的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组5,81,m tm t=⎧⎨=+⎩解得53t=．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组537.5,81,m tm t=-⎧⎨=+⎩解得29513t=．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组51010, 81,m tm t-=-⎧⎨=+⎩解得53t=，但这时点P不在BC上．图5 图6。
二次函数-因动点产生的面积问题典型例题
二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值． 满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --． 当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4． 当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个． 考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形． 满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3、如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角． 2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论． 满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin AEO ∠=． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+． 所以PD 95． （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 而252511cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-， BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4、如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论． 满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得113x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5、如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22) 22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6、如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图思路点拨1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点． 2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =因为1362x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分． 考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1． 因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例7、如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2思路点拨1．过点B 、C 、P 向x 轴、y 轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．满分解答（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP==．因此34,55AM t PM t==．于是3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t=⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t=，所以当476t=时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(9415，5310)．（4）当53t=或29513t=时, OP与PQ相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO ＝PQ ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt △AMP 中，设AM ＝3m ，MP ＝4 m ，AP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．根据AP 、OQ 的长列方程组5,81,m t m t =⎧⎨=+⎩解得53t =． ②如图5，在Rt △GMP 中，设GM ＝3m ，MP ＝4 m ，GP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．在Rt △GAD 中，GD ＝7.5．根据GP 、OQ 的长列方程组537.5,81,m t m t =-⎧⎨=+⎩解得29513t =．③如图6，设MP ＝4m ，那么OQ ＝8m ．根据BP 、OQ 的长列方程组51010,81,m t m t -=-⎧⎨=+⎩解得53t =，但这时点P 不在BC 上．图5 图6。
因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题专题一．考情分析中考分值在近五年的东营中考中，动点面积问题作为24题，分值均为12分，占总分的10%考查方式动点面积问题中考中都是以最后一道压轴题出现的，当然在中考中，也出现了以动点面积为背景的选择题。
近年来，随着中考对数学思想方法考察的深入，“形动”问题，以其分类讨论的情况较多，成为了考察的主要题型.二、典例精析例1、如图16，Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝8cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上。
令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图17），直到C 点与N 点重合为止。
设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y 。
求y 与x 之间的函数关系2cm 式。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。
（1）求证：;AH EF AD BC（2）设EF=，当为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值；x x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S与t 的函数关系式。
三、当堂训练1．如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图3所示，则△ABC 的面积是 ( ) A ．10 B ．16 C ．18D ．202.如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为，则x y 与之间的函数关系的图象大致是（ ）y x2．如图11，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是3．如图，在ABC ∆中，90B ∠= ，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，求经过多少秒，四边形APQC 的面积最小．4．如图，在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；（2）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？B图4四、中考欣赏1、如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值．2.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图3.如图，已知：抛物线y＝x2＋bx－3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA = OC．（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE// x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．图5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．图6.如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线(x ＞0)交于点B (2，1)．过点m y x=(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线(x ＞0)和(x ＜0)于M 、N 两点．(,1)P p p -m y x =m y x=-（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．因动点产生的面积问题1.（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线交折线OAB 于点E ．（1）记12y x b =-+△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D 由C 向B 运动，观察S 随b 变化的函数图像，可以体验到，E 在OA 上时，S 随b 的增大而增大；E 在AB 上时，S 随b 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D 由C 向B 运动，可以观察到，E 在OA 上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．思路点拨1．数形结合，用b 表示线段OE 、CD 、AE 、BE 的长．2．求△ODE 的面积，要分两种情况．当E 在OA 上时，OE 边对应的高等于OC ；当E 在AB 边上时，要利用割补法求△ODE 的面积．3．第（2）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻折、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，，由可知，点E 的坐标为(2b ,0)，302b <<12y x b =-+OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝．112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=②如图3，当E 在AB 上时，，把y ＝1代入可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，3522b <≤12y x b =-+CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入可知，点E 的坐标为，12y x b =-+3(3,)2b -AE ＝，BE ＝．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD 32b -52b - ＝．1315133(()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DNH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为．54m 54图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．53图5 图6 图72. 2010年湖州市中考第24题如图1，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问当CF 为何值时S 最小，并求出最小值．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10湖州24”，拖动点F 在OC 上运动，可以体验到，△BMF 与△ENB 保持全等．观察S 随CF 变化的图像，可以体验到，S 是CF 的二次函数，当CF ＝2时，S 取得最小值．思路点拨1．过点B 向坐标轴作垂线，图形中就构造出丰富的余角，从而构造出相似三角形．本题中因为点B 的坐标特殊，因此构造出全等三角形．2．用CF 表示△BEF 与△BFC 的面积之差，首先要判断△BEF 是等腰直角三角形，这样△BEF 的面积就转化为求BF 2的问题．满分解答(1)根据题意可得A (0,2)，B (2,2)，C (3,0)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，那么 解得，，．所以抛物线的解析式为．2,422,930.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩23a =-43b =2c =224233y x x =-++(2)由，得抛物线的顶点G 的坐标为（）．224233y x x =-++228(1)33x =--+81,3如图2，过点B 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点E 作y 轴的垂线，交BM 于N ．因为∠BEN 与∠FBM 都是∠EBN 的余角，所以∠BEN ＝∠FBM ．又因为BM ＝EN ＝2，所以△BMF ≌△ENB ．因此BE ＝BF ，BN ＝FM ．当BE 经过抛物线的顶点G 时，．此时842()2(2)33BN yG yB =-=-=．47133CF FM NC =+=+=(3)设CF 的长为a ．在Rt △BFM 中，．2222222(1)25BF BM FM a a a =+=+-=-+因为△BEF 是等腰直角三角形，所以．22115222BEF S BF a a ∆==-+因此．22151522222BEF BFC S S S a a a a a ∆∆=-=-+-=-+211(2)22a =-+所以当CF ＝2时，S 取得最小值，最小值为．12考点伸展：图2是一个典型图，在这个图形中，△BMC ≌△BAD ，△BFC ≌△BED ，△BFM ≌△BEA ≌△ENB ，△BEF 与△BDC 、△BAM 都是等腰直角三角形．如果把本题中的条件“角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ”改为“角的两边分别交y 轴、x 轴于E 和F ”，那么上述结论依然成立（如图3，图4）．图3 图43. （2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E 在AB 上运动，从y 随x 变化的图像可以体验到，当F 在AC 上时，y 随x 的增大而增大；当F 在BC 上时，y 随x 变化的图像是开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF 平分△ABC 的周长，拖动点E ，观察图像，可以体验到，“面积AEF ”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。
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（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
13．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 都经过 、 两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线 的解析式；
（2）设直线 与该抛物线的对称轴交于点E，在射线 上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．
15.如图，抛物线 交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
A． B． C． D．
5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（ ）
A．2B． +1C． -1D．2
6．如图，已知 ，以 为圆心， 长为半径作 ， 是 上一个动点，直线 交 轴于 点，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________
A． B．
C． D．
3．如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）
A．8B．12C． D．
4．如图，在等腰直角三角形 中， ， ， 是 边上的高，正方形 的边 在高 上， ， 两点分别在 ， 上．将正方形 以每秒 的速度沿射线 方向匀速运动，当点 与点 重合时停止运动．设运动时间为 ，正方形 与 重叠部分的面积为 ，则能反映 与 的函数关系的图象（）
18．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
16．如图，抛物线 的图象过点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得 ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；
（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．
12．如图1，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连结AC，若
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上有一动点P，当 时，求出点 的坐标；
（3）如图2所示，连结 ， 是线段 上（不与 、 重合）的一个动点.过点 作直线 ，交抛物线于点 ，连结 、 ，设点 的横坐标为．当t为何值时， 的面积最大？最大面积为多少？
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.
如图5，同底三角形的面积比等于高的比．
如图6，同高三角形的面积比等于底的比．
图4图5图6
【典例分析】
【例1】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．点M(m,n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒。
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。
10.如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．
【变式训练】
1．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）
A．18m2B． m2C． m2D． m2
2．如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运动终止，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与 的函数关系的是（ ）
8．如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是______________．
9．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【例5】如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线 (x＞0)交于点B(2，1)．过点 (p＞1)作x轴的平行线分别交曲线 (x＞0)和 (x＜0)于M、N两点．
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
专题04 因动点产生的面积问题
【类型综述】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.
11．如图，已知抛物线y=﹣ x2 +bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（3）设点P是直线 下方抛物线上的一动点，当 面积最大时，求点P的坐标，并求 面积的最大值．
14．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
【方法揭秘】
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．