第09章 轴测投影
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轴测投影
轴测投影基本知识1、轴测图的形成与作用将空间一形体按平行投影法投影到平面P 上，使平面P 上的图形同时反映出空间形体的三个面来，该图形就称为轴测投影图，简称轴测图。
为研究空间形体三个方向长度的变化，特在空间形体上设一直角坐标系O-XYZ ，以代表形体的长、宽、高三个方向，并随形体一并投影到平面P 上。
于是在平面P 上得到O 1-X 1Y 1Z 1，如图10-1所示。
（tp10-1）图10-1轴测投影的形成S ——称为轴测投影方向。
P ——称为轴测投影面。
O 1-X 1Y 1Z 1——称为轴测投影轴，简称轴测轴。
由于轴测投影面P 上同时反映了空间形体的三个面，所以其图形富有立体感。
这一点恰好弥补了正投影图的缺点。
但它作图复杂，量度性较差。
因此它在工程实践中一般只用作辅助性图样。
、轴测图的分类1．正轴测投影——坐标系O-XYZ 中的三个坐标轴都与投影面P 相倾斜，投影线S 与投影面P 相垂直所形成的轴测投影。
2．斜轴测投影——一般坐标系O-XYZ 中有两个坐标轴与投影面P 相平行，投影线S 与投影面P 相倾斜所形成的轴测投影。
3、轴测图中的轴间角与变形系数轴测轴之间的夹角称为轴间角，如图10-1中∠X 1O 1Y 1、∠Y 1O 1Z 1、∠Z 1O 1Y 1。
（tp10-1）图10-1轴测投影的形成形体在坐标轴（或其平行线）上的定长的投影长度与实长之比，称为轴向变形系数，简称变形系数。
即 OX X O p 11=——称为X 轴向变形系数； OY Y O q 11=——称为Y 轴向变形系数； OZZ O r 11=——称为Z 轴向变形系数； 轴间角确定了形体在轴测投影图中的方位。
变形系数确定了形体在轴测投影图中的大小。
这两个要素是作出轴测图的关键。
1.4、轴测投影图的特点1．因轴测投影是平行投影，所以空间一直线其轴测投影一般仍为一直线；空间互相平行的直线其轴测投影仍互相平行；空间直线的分段比例在轴测投影中仍不变。
机械制图课件-轴测投影图知识
机械制图课件-轴测投影图知识1. 轴测投影图的概念轴测投影图是一种用于展示三维物体形状和结构的图形表达方法。
它可以将三维物体的各个面投影到一个二维平面上，以便更清晰地显示物体的细节和几何关系。
2. 轴测投影图的种类常见的轴测投影图有等轴测、斜轴测和正轴测三种。
其中：•等轴测投影图：物体的三个主轴（长轴、宽轴、高轴）之间的夹角相等，投影图比例为1:1。
•斜轴测投影图：物体的三个主轴之间夹角不相等，通常以45度或30度为倾斜角度。
•正轴测投影图：既可以是等轴测投影图，也可以是斜轴测投影图的投影比例不为1:1的情况。
3. 轴测投影图的主要特点轴测投影图具有以下主要特点：•保持物体的形状：轴测投影图可以保持物体的真实形状，不会发生形变。
•显示物体的所有面：轴测投影图可以显示物体的前、后、上、下、左、右等各个面，使得观察者可以全方位地观察物体的外观。
•清晰明了：轴测投影图的投影线条清晰明了，不会出现视觉上的混淆。
•便于测量和设计：通过轴测投影图可以方便地进行测量和设计，尺寸和比例可以轻松确定。
4. 轴测投影图的制作步骤制作轴测投影图的一般步骤如下所示：1.确定物体的主轴方向，即长轴、宽轴和高轴。
这需要根据物体的形状和结构来决定。
2.根据主轴方向确定投影面，即确定物体的前、后、上、下、左、右等各个面。
确定投影面后，可以根据需要选择一个合适的投影比例。
3.根据物体的真实尺寸，将物体的各个面投影到投影面上。
需要注意的是，投影过程中需要保持直线、点、面等几何元素的相对位置和关系。
4.在投影面上绘制出投影图，使用合适的标线和符号来表示不同的元素和特征。
5. 轴测投影图的应用领域轴测投影图在机械制图中有广泛的应用，尤其适用于以下领域：•机械设计：轴测投影图可以帮助工程师实现对机械零件和装配件的设计和效果展示。
•工艺制作：轴测投影图可以辅助制造工艺的规划和排布，提高生产效率。
•建筑设计：轴测投影图能够帮助建筑师表达建筑物的立面、平面和空间结构，方便设计和施工。
第09章 绘制轴测图
9.1.2
使用“草图设置” 使用“草图设置”对话框激活轴测投影模式
要激活轴测投影模式，可选择“工具” 草图设置 菜单， 草图设置” 要激活轴测投影模式，可选择“工具”>“草图设置”菜单，打开
“草图设置”对话框。打开“捕捉和栅格”选择卡，在“捕捉类型和 草图设置”对话框。打开“捕捉和栅格”选择卡， 样式”设置区中选择“栅格捕捉” 样式”设置区中选择“栅格捕捉”与“等轴测捕捉”单选钮，如图9-1 等轴测捕捉”单选钮，如图 所示。 所示。
14
11
9.4.2
标注支架轴测图
了解了轴测图中标注尺寸的方法，下面对绘制的支架进行标注， 了解了轴测图中标注尺寸的方法，下面对绘制的支架进行标注，
如图9-4所示。 如图 所示。 所示
12
上机实践——绘制托架轴测图 绘制托架轴测图 上机实践
前面已经详细介绍了轴测图的绘制方法，下面绘制如图9-5所 前面已经详细介绍了轴测图的绘制方法 ， 下面绘制如图 所 示轴测图。 示轴测图。
标注轴测图的一般步骤
标注轴测图尺寸的一般步骤如下： 标注轴测图尺寸的一般步骤如下： （1）创建两种文字类型，其倾斜角分别为 °和-30°。 ）创建两种文字类型，其倾斜角分别为30° ° 轴测投影轴画尺寸线， （2）如果沿 或Y轴测投影轴画尺寸线，则可用“对齐标注”命 ）如果沿X或 轴测投影轴画尺寸线 则可用“对齐标注” 令画出最初的尺寸标注。如果用户沿Z投影轴画尺寸线 投影轴画尺寸线， 令画出最初的尺寸标注。如果用户沿 投影轴画尺寸线，这时既 可以用“对齐标注”又可以用“线性标注”命令进行最初的标注。 可以用“对齐标注”又可以用“线性标注”命令进行最初的标注。
6
9.2.1
绘制直线
在轴测投影模式下绘制直线的最简单的办法就是使用捕捉、 在轴测投影模式下绘制直线的最简单的办法就是使用捕捉、
9.画法几何—轴测投影
(2)Z轴一般都按铅垂方向绘制，X轴和Y轴可以对调，各轴也
都可以分别按相反方向或对称方向画出。与坐标轴平行的直线 可直接画出；不平行于坐标轴的直线，常作出两端点后连成。
(3)作图时可应用平行投影的投影特性，使作图较为简捷。如 空间互相平行的直线的轴测投影仍互相平行；同一直线上两线 段的长度比，以及两平行线段的长度比，在轴测投影中仍保持 不变等。 (4)为了增强轴测投影的立体感和真实感，在轴测投影中用粗 实线画出物体的可见轮廓，一般都不画不可见轮廓；必要时， 可用虚线画出不可见轮廓。
2.轴间角和轴向伸缩系数
坐标轴O0X0、O0Y0、O0Z0的轴测投影OX、OY、OZ，称为轴测轴。两条 轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠ZOX，称为轴间角。 轴测轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度的比值，分别称为X、Y、 Z轴的轴向伸缩系数，分别用p1、q1、r1表示。简化后的系数称为简化伸缩 系数，分别用p、q、r表示。
［解］
完成作图
(a)已知条件
(b)作图过程
（c）清理后的作图结果
轴测投影的选择
1.选择轴测投影应考虑的两个方面
选择哪一种轴测投影来表达一个物体，应按物体的形状特 征和对立体感程度的要求综合考虑而确定。通常应从两个方面 考虑：首先是直观性，也就是画出的轴测投影立体感强，尽可 能多地表达清楚物体的各部分的形状，尤其是要把物体的主要 形状和特征表达清楚；其次是作图的简便性，也就是能够较为 简捷地画出这个物体的轴测投影。
(a)两面投影
(b)正等测(有两个平面表 (c)正面斜二测(避免了平面
面的投影积聚)
表面的投影积聚)
轴测投影的选择 (3)避免物体转角处的不同的交线在轴测投影中共线
(a)两面投影
(b)正等测(不同交 线共线)
都可以分别按相反方向或对称方向画出。与坐标轴平行的直线 可直接画出；不平行于坐标轴的直线，常作出两端点后连成。
(3)作图时可应用平行投影的投影特性，使作图较为简捷。如 空间互相平行的直线的轴测投影仍互相平行；同一直线上两线 段的长度比，以及两平行线段的长度比，在轴测投影中仍保持 不变等。 (4)为了增强轴测投影的立体感和真实感，在轴测投影中用粗 实线画出物体的可见轮廓，一般都不画不可见轮廓；必要时， 可用虚线画出不可见轮廓。
2.轴间角和轴向伸缩系数
坐标轴O0X0、O0Y0、O0Z0的轴测投影OX、OY、OZ，称为轴测轴。两条 轴测轴之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠ZOX，称为轴间角。 轴测轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度的比值，分别称为X、Y、 Z轴的轴向伸缩系数，分别用p1、q1、r1表示。简化后的系数称为简化伸缩 系数，分别用p、q、r表示。
［解］
完成作图
(a)已知条件
(b)作图过程
（c）清理后的作图结果
轴测投影的选择
1.选择轴测投影应考虑的两个方面
选择哪一种轴测投影来表达一个物体，应按物体的形状特 征和对立体感程度的要求综合考虑而确定。通常应从两个方面 考虑：首先是直观性，也就是画出的轴测投影立体感强，尽可 能多地表达清楚物体的各部分的形状，尤其是要把物体的主要 形状和特征表达清楚；其次是作图的简便性，也就是能够较为 简捷地画出这个物体的轴测投影。
(a)两面投影
(b)正等测(有两个平面表 (c)正面斜二测(避免了平面
面的投影积聚)
表面的投影积聚)
轴测投影的选择 (3)避免物体转角处的不同的交线在轴测投影中共线
(a)两面投影
(b)正等测(不同交 线共线)
工程制图 轴测投影
绘制徒手斜二测规律方法
1. 垂直线： 1）正垂线∥OY 投影∥O1Y1 左斜45°\ 1/2长 2）侧垂线∥OX 投影∥O1X1 水平 等长 3）铅垂线∥OZ 投影∥O1Z1 竖直 等长 2. 平行线：借助于垂直线确定端点→ 连线 倾斜线： 3. 点：借助于垂直线确定两点之间的相对位置距离 4.平行两直线： 空间平行 → 立体图平行 5.平行圆： 正平圆——圆 水平圆——外切正方形→内切椭圆 侧平圆——外切正方形→内切椭圆
第五章
轴测投影
轴测投影俗称立体图，与正投影图比较，特 点是三维立体感强，但度量性差，且作图麻烦。 所以让正投影图作为各种工程图样的主要形式， 而让轴测投影作为各种工程图样的辅助形式等测 将物体连同确定其空间形状大小和位置的直角坐标轴（OX OY OZ）一起 用正投影法向与三坐标轴倾角相同的投影面做投影。 斜二测 将物体连同确定其空间形状大小和位置的直角坐标轴（OX OY OZ）一起 用斜投影法向与XOY坐标面平行的投影面做投影。
凡是与坐标轴平行的线段，就可以在轴测图上 沿轴向进行度量和作图。
绘制徒手正等测规律方法
1. 垂直线： 1）正垂线左斜30°\ 等长 2）侧垂线右斜30°/ 等长 3）铅垂线竖直 等长 2. 平行线：借助于垂直线确定端点→ 连线 倾斜线： 3.点：借助于垂直线确定两点之间的相对位置距离 4.平行两直线： 空间平行 → 立体图平行 5.平行圆：两中心线（垂直线） → 四点（据圆半 径）→ 四圆弧（半径大致）
轴测投影 课件
Z 轴向伸缩系数——轴测轴上的 轴向伸缩系数——轴测轴上的 C 单位长度与对应坐标轴上的单 位长度之比。 位长度之比。 O 轴轴向伸缩系数: X轴轴向伸缩系数: p=OA/O1A1 X A 轴轴向伸缩系数: Y轴轴向伸缩系数: q=OB/O1B1 轴轴向伸缩系数： Z轴轴向伸缩系数：r=OC/O1C1 推论: 与坐标轴平行的棱线， 推论: 与坐标轴平行的棱线，其轴测投影平 行于对应的轴测轴， 行于对应的轴测轴，其轴向伸缩系数 等于对应坐标轴的轴向伸缩系数。 等于对应坐标轴的轴向伸缩系数。 P
返回
Z1′
Z
O1′ O1
X1′ X
Y
Y1
返回
Z1′
Z
O1′ O1
X1′ X
Y
Y1
返回
正面斜等测
正面斜二测
返回
四、轴测投影的选择
1、轴测投影的选择原则
⑴ 应尽可能多地表达清楚物体的各部分的形状和结构特征； 应尽可能多地表达清楚物体的各部分的形状和结构特征； ⑵ 作图方法简便； 作图方法简便；
2.9 轴测投影图
一、轴测投影的基本知识 二、正等测的画法 三、斜等测和斜二测的画法 四、轴测投影的选择
一、轴测投影的基本知识
1、轴测投影的形成和作用 2、轴间角和轴向伸缩系数 3、轴测投影的分类及应用
返回
1、轴测投影的形成和作用
轴测投影——将物体连同确定物体的坐标轴，向一个与 轴测投影 将物体连同确定物体的坐标轴， 将物体连同确定物体的坐标轴 确定该物体的三个坐标面倾斜的投影面投 所得的平行投影即为轴测投影。 影，所得的平行投影即为轴测投影。该投 影面称为轴测投影面。 影面称为轴测投影面。
O X
O
返回
倒圆角正等轴测图的画法
返回
Z1′
Z
O1′ O1
X1′ X
Y
Y1
返回
Z1′
Z
O1′ O1
X1′ X
Y
Y1
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正面斜等测
正面斜二测
返回
四、轴测投影的选择
1、轴测投影的选择原则
⑴ 应尽可能多地表达清楚物体的各部分的形状和结构特征； 应尽可能多地表达清楚物体的各部分的形状和结构特征； ⑵ 作图方法简便； 作图方法简便；
2.9 轴测投影图
一、轴测投影的基本知识 二、正等测的画法 三、斜等测和斜二测的画法 四、轴测投影的选择
一、轴测投影的基本知识
1、轴测投影的形成和作用 2、轴间角和轴向伸缩系数 3、轴测投影的分类及应用
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1、轴测投影的形成和作用
轴测投影——将物体连同确定物体的坐标轴，向一个与 轴测投影 将物体连同确定物体的坐标轴， 将物体连同确定物体的坐标轴 确定该物体的三个坐标面倾斜的投影面投 所得的平行投影即为轴测投影。 影，所得的平行投影即为轴测投影。该投 影面称为轴测投影面。 影面称为轴测投影面。
O X
O
返回
倒圆角正等轴测图的画法
《轴测投影图》课件
从上方观察物体，展示其平面 布局和轮廓。
投影的修辞手法
1 放大
通过放大局部细节，引 起观众的注意。
2 剪影
利用明暗对比，创造独 特的视觉效果。
3 变形
通过改变物体形状，表 现其特定属性。
轴测图在工业设计中的应用
1
产品设计
使用轴测图展示产品的外观和构造。
2
工程制图
轴测图用于标注和表达工程设计。
3
3D模型制作
基于轴测图创建3D虚拟模型。
总结与提问互动
总结
轴测投影图是一种常用于工业设计和工程制图的投影方法。
提问
在你的行业中，你如何应用轴测投影图来解决设计问题？
《轴测投影图》PPT课件
介绍轴测投影图的基本概念，探讨其在工业设计中的应用，以及与透视投影 的对比。
轴测投影分类
1
等轴测投影
保持物体的三个主轴等长，90度角度投影。
2
等角测投影
保持物体的三个主轴等长，120度角度投影。
3
斜轴测投影
根据需要来选择合适的倾斜投影角度。
4
弯轴测投影
将轴测图按照弧线进行弯曲，用于表现曲面。
透视投影与轴测投影对比
透视投影
真实感强，但容Байду номын сангаас引起视 觉变形。
轴测投影
形体清晰，减少变形的可 能。
使用场景
透视投影适合艺术绘画和 建筑设计，轴测投影适合 工业设计和工程制图。
正剖、侧剖与俯视投影
正剖投影
通过切割物体，展示其内部结 构和细节。
侧剖投影
从侧面观察物体，展示其整体 形状和尺寸。
俯视投影
投影的修辞手法
1 放大
通过放大局部细节，引 起观众的注意。
2 剪影
利用明暗对比，创造独 特的视觉效果。
3 变形
通过改变物体形状，表 现其特定属性。
轴测图在工业设计中的应用
1
产品设计
使用轴测图展示产品的外观和构造。
2
工程制图
轴测图用于标注和表达工程设计。
3
3D模型制作
基于轴测图创建3D虚拟模型。
总结与提问互动
总结
轴测投影图是一种常用于工业设计和工程制图的投影方法。
提问
在你的行业中，你如何应用轴测投影图来解决设计问题？
《轴测投影图》PPT课件
介绍轴测投影图的基本概念，探讨其在工业设计中的应用，以及与透视投影 的对比。
轴测投影分类
1
等轴测投影
保持物体的三个主轴等长，90度角度投影。
2
等角测投影
保持物体的三个主轴等长，120度角度投影。
3
斜轴测投影
根据需要来选择合适的倾斜投影角度。
4
弯轴测投影
将轴测图按照弧线进行弯曲，用于表现曲面。
透视投影与轴测投影对比
透视投影
真实感强，但容Байду номын сангаас引起视 觉变形。
轴测投影
形体清晰，减少变形的可 能。
使用场景
透视投影适合艺术绘画和 建筑设计，轴测投影适合 工业设计和工程制图。
正剖、侧剖与俯视投影
正剖投影
通过切割物体，展示其内部结 构和细节。
侧剖投影
从侧面观察物体，展示其整体 形状和尺寸。
俯视投影
建筑工程识图与构造技术之轴测投影
三维建模技术可以与轴测投影相 互转换，方便设计师在不同阶段
进行方案调整和优化。
在虚拟现实和增强现实中的应用
轴测投影在虚拟现实和增强现实技术 中具有广阔的应用前景，可以实现建 筑物的虚拟漫游和交互操作。
这种技术的应用将为建筑设计、施工 和运维提供更加高效、便捷的解决方 案。
通过虚拟现实和增强现实技术，可以 更加真实地展示建筑物的外观、结构 和功能，方便用户进行体验和评估。
建筑工程识图与构造技术 之轴测投影
• 轴测投影概述 • 建筑工程识图基础 • 轴测投影在建筑工程中的应用 • 轴测投影的绘制技巧 • 轴测投影在建筑工程中的优缺点 • 轴测投影在未来的发展趋势
01
轴测投影概述
定义与特点
定义
轴测投影是一种单面投影方法， 通过将物体放置在投影面上，并 沿特定方向进行投影，将三维物 体转换为二维图形。
正确表达物体的空间关系是轴测投影的重要任务，它有助于理解物体的构造和形态。
在绘制过程中，可以通过添加辅助线、标注尺寸和角度等方法来帮助表达物体的空 间关系。
掌握绘图软件的使用技巧
熟练使用绘图软件是绘制轴测投 影的必备技能，常用的绘图软件 包括AutoCAD、SketchUp等。
掌握绘图软件的基本操作，如线 条绘制、图形编辑、视图调整等， 能够提高绘图的效率和准确性。
在建筑教育和培训中的应用
轴测投影在建筑教育和培训中具有重要作用，可以帮助学生和学员更好地理解建筑构造和设 计原理。
通过轴测投影的图示方法，可以清晰地展示建筑物的构造细节和空间关系，提高教学质量和 效果。
在培训方面，轴测投影可以帮助学员快速掌握建筑识图技能，提高职业素养和实践能力。
THANKS
感谢观看
9.轴测投影
q = 0.5
【例2-9-12】作纪念碑模型的正面斜二测图。
【例2-9-13】作房屋模型的正面斜二测图。
水平斜轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
水平斜等测图的轴向伸缩系数： p = r = q = 1 水平斜二测图的轴向伸缩系数: p = r = 2q = 1
选择哪一种轴测投影来表达一个物体, 应按物体的形状特征和对立体感程度的要求 综合考虑而确定。 通常应从两个方面考虑 一是直观性：也就是画出的轴测投影立体感 强，尽可能多地表达清楚物体的各部分形状， 尤其是要把物体的主要形状和特征表达清楚。 二是作图的简便性：也就是能够较为简捷地 画出物体的轴测投影。
2.9.1
轴测投影的基本知识
2.9.2
2.9.3
正等测的画法
斜二测的画法
2.9.1.1 2.9.1.2 2.9.1.3 2.9.1.4
轴测投影的形成和作用， 正轴测投影和斜轴测投影 轴间角和轴向伸缩系数 轴测投影的分类以及土木 建筑工程中常用的轴测投影 绘制轴测投影时的注意点
2.9.2.1
平行于坐标面的圆
【例2-9-1】根据点的三面投影图，用 坐标法画点的正等测图。
【例2-9-2】根据直线的三面投影图， 画出直线的正等测图。
轴测轴的设定
【例2-9-3】根据五棱柱的两面投影图 画正等测图。
【例2-9-4】根据房屋模型的三面投影 图画正等测图。
【例2-9-5】根据建筑形体的两面投影 图，用叠加法画出正等测图。
【例2-9-11】作组合体的正面斜等测图。
此点即 为圆心
此线平行 于Z轴
此线平行 于Y轴
正面斜二测图的轴间角和轴向伸缩系数
正面斜二测的轴间角 与正面斜等测的轴间 角相同： 轴间角∠XOZ为90° 轴间角∠XOY为135° 轴间角∠YOZ为135°
【例2-9-12】作纪念碑模型的正面斜二测图。
【例2-9-13】作房屋模型的正面斜二测图。
水平斜轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
水平斜等测图的轴向伸缩系数： p = r = q = 1 水平斜二测图的轴向伸缩系数: p = r = 2q = 1
选择哪一种轴测投影来表达一个物体, 应按物体的形状特征和对立体感程度的要求 综合考虑而确定。 通常应从两个方面考虑 一是直观性：也就是画出的轴测投影立体感 强，尽可能多地表达清楚物体的各部分形状， 尤其是要把物体的主要形状和特征表达清楚。 二是作图的简便性：也就是能够较为简捷地 画出物体的轴测投影。
2.9.1
轴测投影的基本知识
2.9.2
2.9.3
正等测的画法
斜二测的画法
2.9.1.1 2.9.1.2 2.9.1.3 2.9.1.4
轴测投影的形成和作用， 正轴测投影和斜轴测投影 轴间角和轴向伸缩系数 轴测投影的分类以及土木 建筑工程中常用的轴测投影 绘制轴测投影时的注意点
2.9.2.1
平行于坐标面的圆
【例2-9-1】根据点的三面投影图，用 坐标法画点的正等测图。
【例2-9-2】根据直线的三面投影图， 画出直线的正等测图。
轴测轴的设定
【例2-9-3】根据五棱柱的两面投影图 画正等测图。
【例2-9-4】根据房屋模型的三面投影 图画正等测图。
【例2-9-5】根据建筑形体的两面投影 图，用叠加法画出正等测图。
【例2-9-11】作组合体的正面斜等测图。
此点即 为圆心
此线平行 于Z轴
此线平行 于Y轴
正面斜二测图的轴间角和轴向伸缩系数
正面斜二测的轴间角 与正面斜等测的轴间 角相同： 轴间角∠XOZ为90° 轴间角∠XOY为135° 轴间角∠YOZ为135°
T2009-09 轴测投影(修改)
（b) 垫座的轴测图
二、轴测图的作用
一般作为辅助图样，有 时可代替正投影图，作为 施工的依据
水簸箕构造详图
第九章
轴测投影
三、轴测投影的形成
1．斜轴测投影图
投射方向S与轴测投影面P倾斜，为了便于作图，通常取 平行于XOZ坐标面的平面为轴测投影面P ，这样所得的投影 图称为斜轴测投影图。 2．正轴测投影图
图中S为轴测投影的投射方向，P为 轴测投影面，O1X1、O1Y1、O1Z1为坐标 轴在轴测投影面上的投影，称为轴测轴。 轴测轴之间的夹角称为轴间角，如图中 的∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、 ∠Z1O1X1 。
轴测轴 轴测投影面
第九章
轴测投影
四、 轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
轴测轴上单位长度与相应坐标轴上单位长度的比值称为轴向伸缩系数。
投射方向 S 与轴测投影面 P 垂直，将物体放斜．使物体 上的三个坐标面和P面都斜交．这样所得的投影图称为正轴 测投影图。
第九章
轴测投影
1．斜轴测投影图的形成
Z 正投影图
S S0
X
斜轴测投影图 Z
O X
Y
第九章
轴测投影
2．正轴测投影图的形成
Z
正轴测投影图
O
S
X
Y
第九章
轴测投影
四、 轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
第九章
轴测投影
1. 正等轴测投影的基本知识
作形体的正等轴测投影，可根据形体的特征，选用不同的作图方法， 如坐标法、装箱法、端面法、叠砌法等。
第九章
轴测投影
2. 例题
例题1
例题2
第九章
轴测投影
[例题1] 基础的正等测图画法（坐标法、叠砌法）
第09章 轴测投影
圆锥正等轴测图的画法
第九章 轴测投影
圆角正等轴测图的画法
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影 二 斜二测投影 平面P和投影线方向都可以任意选择，为 了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标面 平行或重合，这样无论投影线方向怎样，平 行于这个投影面的图形总在P平面上投影反映 实形，轴斜二轴向变化系数总是1，但余下的 一个坐标轴（即Y轴）的投影，轴向变形系数 就因为方向而定了，方向不同，变形系数不 同，轴间角也不同。
第九章 轴测投影
由图可知，斜二测图轴向变形系数和轴间角没 有关联，均可任意选择，为了作图简便常取 q=0.5 ， 轴间角取α 1 =45°。
第九章 轴测投影
斜二测图的画法 斜轴测图通常与某一坐标面平行的平面作 轴测投影面，所以，这种图主要用于表达形体 上某一方向形状复杂或只有一个方向有圆的情 况。为了作图方便，轴测投影面多为坐标面XOZ （V面）、XOY（H面）或YOZ(W面)的平行面，所 得到的轴测投影分别称为正面斜轴测图、水平 斜轴测图或侧面斜轴测图。 画斜轴测图时，应使所需表达形体的特征 面与轴测投影面平行，使之反映实形。
第二节 常用轴测投影坐标系
一 正轴测图 正轴测图投影方向与轴测投影面P垂直，平面图 必须与三个投影都倾斜，为了便于研究，我们将坐 标轴倒扣在投影面图上。
二 斜轴测图 在斜轴测投影中，投影方向和投影面之间的夹 角没有固定的要求，投影线倾斜于投影面，倾角也 没有统一要求。平面P和投影线方向都可以任意选择， 为了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标面平行 或重合，这样无论投影线方向怎样，平行于这个投 影面的图形总在P平面上投影反映实形。
X1
水平斜轴测图
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
圆角正等轴测图的画法
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影 二 斜二测投影 平面P和投影线方向都可以任意选择，为 了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标面 平行或重合，这样无论投影线方向怎样，平 行于这个投影面的图形总在P平面上投影反映 实形，轴斜二轴向变化系数总是1，但余下的 一个坐标轴（即Y轴）的投影，轴向变形系数 就因为方向而定了，方向不同，变形系数不 同，轴间角也不同。
第九章 轴测投影
由图可知，斜二测图轴向变形系数和轴间角没 有关联，均可任意选择，为了作图简便常取 q=0.5 ， 轴间角取α 1 =45°。
第九章 轴测投影
斜二测图的画法 斜轴测图通常与某一坐标面平行的平面作 轴测投影面，所以，这种图主要用于表达形体 上某一方向形状复杂或只有一个方向有圆的情 况。为了作图方便，轴测投影面多为坐标面XOZ （V面）、XOY（H面）或YOZ(W面)的平行面，所 得到的轴测投影分别称为正面斜轴测图、水平 斜轴测图或侧面斜轴测图。 画斜轴测图时，应使所需表达形体的特征 面与轴测投影面平行，使之反映实形。
第二节 常用轴测投影坐标系
一 正轴测图 正轴测图投影方向与轴测投影面P垂直，平面图 必须与三个投影都倾斜，为了便于研究，我们将坐 标轴倒扣在投影面图上。
二 斜轴测图 在斜轴测投影中，投影方向和投影面之间的夹 角没有固定的要求，投影线倾斜于投影面，倾角也 没有统一要求。平面P和投影线方向都可以任意选择， 为了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标面平行 或重合，这样无论投影线方向怎样，平行于这个投 影面的图形总在P平面上投影反映实形。
X1
水平斜轴测图
第九章 轴测投影
《轴测投影》课件
3 图样与底图分析
创建物体的图样并加上必要的注释，包括视图轴的方向和每个视图的比例。
练习题和答案
练习题
通过不同情景的练习，巩固并加深理解轴测投影 的概念。
答案
提供每道练习题的详细解答，帮助学生加深理解 并检验知识点掌握程度。
扩展学习资源
书籍资源
推荐几本和轴测投影相关 的书籍，如《机械制图基 础》、《机械制图与CAD》 等。
视频资源
链接几个和轴测投影有关 的在线视频，包括制作轴 测投影的技巧和实例分析。
线上社区
介绍几个在线社区，如 Reddit、豆瓣小组等，方 便学生们交流与分享经验。
总结
1
回顾轴测投影
本课程覆盖了轴测投影的概念、常用方法和技巧，提出了不同的视角来观察和描 述物体的投影。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
总体评价
课程既能够满足初学者对于轴测投影相关知识的学习需求，对于有一定基础且想 深入学习的人群也有很大的帮助。
《轴测投影》PPT课件
本课件介绍轴测投影的基本概念，常用方法和技巧。通过本课程的学习，你 将能够更加准确地描述从不同角度观察的物体。
轴测投影的概念
什么是轴测投影？
通过投影将物体在不同角度下的视觉效果呈现出来。
有哪些应用？
广泛应用于工程和建筑设计，机械和汽车工业等方面。
核心原理是什么？
测量和确定角度和距离，在保持正确比例的同时进行投影。
常用的轴测投影方法
等轴测投影
物体的三个投影面的比例相同且相互垂直。
斜测投影
物体的一个面沿着某个特定角度对视图进行投影。
透视投影
通过模拟物体在透视平面上的投影，呈现出相 似和比例正确的视图。
示例分析
创建物体的图样并加上必要的注释，包括视图轴的方向和每个视图的比例。
练习题和答案
练习题
通过不同情景的练习，巩固并加深理解轴测投影 的概念。
答案
提供每道练习题的详细解答，帮助学生加深理解 并检验知识点掌握程度。
扩展学习资源
书籍资源
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视频资源
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线上社区
介绍几个在线社区，如 Reddit、豆瓣小组等，方 便学生们交流与分享经验。
总结
1
回顾轴测投影
本课程覆盖了轴测投影的概念、常用方法和技巧，提出了不同的视角来观察和描 述物体的投影。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
总体评价
课程既能够满足初学者对于轴测投影相关知识的学习需求，对于有一定基础且想 深入学习的人群也有很大的帮助。
《轴测投影》PPT课件
本课件介绍轴测投影的基本概念，常用方法和技巧。通过本课程的学习，你 将能够更加准确地描述从不同角度观察的物体。
轴测投影的概念
什么是轴测投影？
通过投影将物体在不同角度下的视觉效果呈现出来。
有哪些应用？
广泛应用于工程和建筑设计，机械和汽车工业等方面。
核心原理是什么？
测量和确定角度和距离，在保持正确比例的同时进行投影。
常用的轴测投影方法
等轴测投影
物体的三个投影面的比例相同且相互垂直。
斜测投影
物体的一个面沿着某个特定角度对视图进行投影。
透视投影
通过模拟物体在透视平面上的投影，呈现出相 似和比例正确的视图。
示例分析
轴测投影
投影坐标轴长度 cos ＝0.82 空间坐标轴长度
正等轴测投影
将三根 轴和立体同 时向Ｐ平面 正投影，此 时三个坐标 轴与Ｐ平面 倾角相等。
正等轴测图的轴间角
Ｚ
Ｘ
Ｙ
正等轴测图
轴向变形系数 p＝q＝r＝0.82
为了作图方便，常采用简化 变形系数 ，取p＝q＝r＝１。这 样便可按实际尺寸画图，但画出 的图形比原轴测图投影大些，各 1 轴向长度均放大 1.22 倍。
x
y
4 确定后面位置, 画后面的轴 测图 5 平移画前面的轴测图
§11－3
斜二等轴测投影
当投射方向Ｓ倾斜于轴测投影面Ｐ， 形体上两个坐标轴的轴向变形系数相等 时，在Ｐ面上所得到的投影称为斜二等 轴测投影，简称为斜二测。 如果p=r(≠q) ，即坐标面ＸＯＺ平 行于Ｐ面，得到的是正面斜二测；如果 p= q (≠ r) ，即坐标面ＸＯＹ平行于Ｐ 面，得到的是水平斜二测。
三、圆的正等测投影的画法 一般情况下圆的正等测 投影为椭圆。 画圆的正等测投影时， 一般以圆的外切 正方形为辅 助线，先画出外切正方形的 轴测投影（菱形），然后再 用四心法近似画出椭圆。
水平圆
Y X
O
侧平圆
Z
正平圆
平行于坐标面的圆的正等测图 在正等测图中，平行于坐标 面上的圆，其投影为椭圆。椭圆 长轴垂直于不属于该坐标面的轴 测轴，短轴平行于不属于该坐标 面的轴测轴；
定比性：物体上两平行线段长 度之比在投影图上保持不变。
平行于坐标面的圆的正等测图 在正等测图中，平行于坐标面 上的圆，其投影为椭圆。椭圆长轴 垂直于不属于该坐标面的轴测轴， 短轴平行于不属于该坐标面的轴测 轴；
3．画图的基本方法
有坐标法、端面法、 切割法和叠加法；
高等教育《 轴测投影》
1
第九章 轴测投影
21
§9-4 平行于坐标面的圆的轴测投影
画轴测椭圆的作图方法（以平行于XOY 面的圆为例）：
1.八点法 作圆的外切正方形及对角线，得圆上的八个点，四个是正方形 各边的中点，另外四个是对角线上的点。画出正方形的正等轴测 图，为一菱形，按照定比关系作出八个点的轴测图，据此可连成椭 圆。
第九章 轴测投影
5
§9-1 基本知识
为此，可以选用一个 不平行于任一坐标面的方 向为投射方向，将形体连 同确定该形体位置的直角 坐标系一起投射到同一个
投影面P上，这样得到的投
影就能同时反映出形体的 三个方向的尺寸。这种投 影方法即为轴测投影法， 得到的投影称为轴测投 影，也称轴测图。
点击2次
第九章 轴测投影
31
§9-5 轴测投影的画法
4.综合法 对于较复杂的组合形体，可以根据其 组合方式，综合运用上述方法画出其轴测 图。
先叠加
再切割
先叠加 再倒圆角
第九章 轴测投影
32
§9-5 轴测投影的画法
二、轴测投影的剖切画法
为了表示形体的内部形状，可以在轴测图上用平行于坐标 面的剖切平面将形体切去四分之一或一半。
画法几何及土木工程制图
（第四版）
第九章 轴测投影
1
对老师们的温馨提示
这一批教学演示文稿（PPT），是为使用 朱育万 、卢传贤
主编的《画法几何及土木工程制图》教材进行课堂教学而编制的
电子讲稿之框架、雏形，它原则上不能直接作为通用的电子讲稿
来使用，更不能称其为“电子教案”，它绝对不能代替教案设计。
文稿的作者本来无意，也不可能设计出能为大家“统一”使用的 电
第九章 轴测投影
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第九章 轴测投影
主要内容
第一节 轴测投影的基本知识 第二节 常用轴测投影的坐标系 第三节 轴测投影图的画法
目的和要求
（一）了解轴测图的形成；了解正等测、斜 二测轴向变形系数和轴间角的确定方法。 （二）掌握正等轴测图、斜二测轴测图的画 法。
第一节 轴测投影的基本知识
一 概述 1.轴测投影的形成 P
第九章 轴测投影
轴向伸缩系数和轴间角
Z1 X1 1:1 1:1
1:1
Y1
45° O1
X1 1:1
O1 45°
Y1
Z1
轴向伸缩系数：p = r = 1 ，q = 0.5 轴间角： X1O1Z1 = 90° X1O1Y1 = Y1O1Z1 = 135°
轴间角和轴向伸缩系数对比表
正等轴测图（简称正等测） 斜二轴测图（简称斜二测）
正轴测投影图的形成
P
Z1 Z
正轴测投影图
O1 X1 Y1 X O
S
Y
正等轴测图 正等轴测图 p = q = r 正二轴测图 p = r q 正三轴测图 p q rLeabharlann 斜轴测投影图的形成Z
P
斜轴测投影图
Z1 O
S
X
Y
O1 X1
Y1
斜二轴测图
斜等轴测图 p = q = r 斜二轴测图 p = r q 斜三轴测图 p q r
第九章 轴测投影
二 斜二测坐标系
1 为了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标 面平行或重合，这样无论投影线方向怎样， 平行于这个投影面的图形总在P平面上投影反 映实形，轴向变化系数总是1；
2 余下的一个坐标轴（即Y轴）的投影，轴向变 形系数就因为方向而定了，方向不同，变形 系数不同，轴间角也不同。
第九章 轴测投影
第二节 常用轴测投影坐标系 一 正轴测坐标系
第九章 轴测投影
正等测图的轴向变化系数和轴间角： p=q=r 即3P2=2 p=2/3=0.82 ∠X1O1Y1=∠Y 1O1Z 1 = ∠X1O 1Z1 =120° 作图时常使O 1 Z 1 轴处于铅垂位置，为了 作图简便，常取正等p=q=r=1，这样使每 个轴上尺寸放大了1/0.82=1.22倍，其形 状大小稍有改变但能满足实用要求。
Y1
●
B
第九章 轴测投影
例2 正等轴测图的画法
第九章 轴测投影
⒉ 切割法
例3 已知三视图，画轴测图。
第九章 轴测投影
⒊ 叠加法
例 4已知三视图，画正等测图。
水平圆正等轴测图的画法
D
A
B
C
菱形法画椭圆
第九章 轴测投影
单圆法画椭圆
d
b
a
c
圆柱正等轴测图的画法 一
移心法
第九章 轴测投影
圆锥的画法
第九章 轴测投影
根据这个轴向变化系数，就可以量度平 行于相应轴的尺寸。 轴测：就是沿轴的方向量测的意思。 所以轴测投影最基本的问题就是如何确 定轴间角和轴向变化系数。
第九章 轴测投影
2.多面正投影图与轴测图的比较
正投影图
Z S Z1 O X Y S0
P
O1 X1 Y1
第九章 轴测投影
度量性好，直观性差。
度量性差，直观性较好。
第九章 轴测投影
二
轴测投影的基本性质 由于轴测投影采用的是平行投影法,所以 1.物体上相互平行的线段，它们在轴测图中仍然相 互平行且长度间的比例不变。 2.平行于坐标轴的线段，其投影亦与相应轴测轴平 行，其长度可按轴向变形系数求出。
第九章 轴测投影
三 轴测投影的分类
1.根据轴测投影方向与轴测投影面的夹角 正轴测 、斜轴测投影 2.根据轴向变形系数 （p＝q＝r ）等测投影 （p＝q≠r，或p≠q＝r、或p＝r≠q ）二测投影 （p≠q≠r ）三测投影
一. 正等测图的画法 知道了轴间角和轴向变形系数，按轴测投影 的特性，根据形体投影图就可以画出轴测图。
1、坐标法
2、切割法
3、叠加法
第九章 轴测投影
⒈ 坐标法 例1：画三棱锥的正等轴测图
s
Z
Z
s S ● Z1
X a
b s b
a
cO a b Y cO c
O
●
X
O1 C
Y
A● X1
圆角正等轴测图的画法
上一级
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
形体的斜二轴测图画法 例7 已知两视图，画斜二轴测图。
Z 1.主要应用于形体在某一方向上圆多的情况。 2.轴间角为90°、45°。 X 3.轴向变形系数为p=r=1，q≈0.5 45° Y O
第九章 轴测投影
投影类型选择
Z1 X1
Z1 Y1 O1
O1
Y1 X1
投 影 方 向 选 择
z' 从左前上向右后下看
x' x
o'
从左前下向右后上看
o y
Z1 X1 Y1 Z1
O1
Y1 X1
O1
从右前上向左后下看
从右后下向左前上看
小结
本节讲述了轴测投影的基本概念，坐标的由 来，以及正等测和斜二测的画法。画轴测图 时，要根据空间形体的特点，选择轴测图类 型和投影视向，把形体真正需要表达的复杂 的部分表达出来（关键在坐标系的建立）。 正等测适用形体三个方向复杂程度相当组合 体，斜二测适合一个方向比较简单，两个方 向比较复杂的组合体。
投影线方向
轴向伸缩系数 简化轴向伸缩系数 特
投影线与轴测投影面垂直
p1=q1=r1=0.82 p=q=r=1
投影线与轴测投影面倾斜
p1=q1=1 q1=0.5 无
性
轴间角
120°
120°
90°
135°
120°
135°
边长为L的正 方形的轴测图
0.82L
L
L
L
按简化轴向伸缩系数画
按轴向伸缩系数画
第三节 轴测图的画法
轴测投影面 轴测投影轴 i 轴向变形系数 p、q、r。
Z1
轴测投影 a1
Z
C1
A1 O1 k
j
B1 A1
u
C
u
A
O
u
B
X1
Y1
X Y
轴间角
第九章 轴测投影
轴向变化率： 令线段u为各直角坐标轴上的单位长度，它在 平面P上沿X 1Y 1Z 1 轴的投影长度分别为I、j 、 k,此投影长度与单位长度u之比叫做轴向变化 率。它们分别是： p=i/u——X轴向变化率， q=j/u——Y轴向变化率， r=k/u——Z轴向变化率。
主要内容
第一节 轴测投影的基本知识 第二节 常用轴测投影的坐标系 第三节 轴测投影图的画法
目的和要求
（一）了解轴测图的形成；了解正等测、斜 二测轴向变形系数和轴间角的确定方法。 （二）掌握正等轴测图、斜二测轴测图的画 法。
第一节 轴测投影的基本知识
一 概述 1.轴测投影的形成 P
第九章 轴测投影
轴向伸缩系数和轴间角
Z1 X1 1:1 1:1
1:1
Y1
45° O1
X1 1:1
O1 45°
Y1
Z1
轴向伸缩系数：p = r = 1 ，q = 0.5 轴间角： X1O1Z1 = 90° X1O1Y1 = Y1O1Z1 = 135°
轴间角和轴向伸缩系数对比表
正等轴测图（简称正等测） 斜二轴测图（简称斜二测）
正轴测投影图的形成
P
Z1 Z
正轴测投影图
O1 X1 Y1 X O
S
Y
正等轴测图 正等轴测图 p = q = r 正二轴测图 p = r q 正三轴测图 p q rLeabharlann 斜轴测投影图的形成Z
P
斜轴测投影图
Z1 O
S
X
Y
O1 X1
Y1
斜二轴测图
斜等轴测图 p = q = r 斜二轴测图 p = r q 斜三轴测图 p q r
第九章 轴测投影
二 斜二测坐标系
1 为了作图方便通常使轴测投影面P与一个坐标 面平行或重合，这样无论投影线方向怎样， 平行于这个投影面的图形总在P平面上投影反 映实形，轴向变化系数总是1；
2 余下的一个坐标轴（即Y轴）的投影，轴向变 形系数就因为方向而定了，方向不同，变形 系数不同，轴间角也不同。
第九章 轴测投影
第二节 常用轴测投影坐标系 一 正轴测坐标系
第九章 轴测投影
正等测图的轴向变化系数和轴间角： p=q=r 即3P2=2 p=2/3=0.82 ∠X1O1Y1=∠Y 1O1Z 1 = ∠X1O 1Z1 =120° 作图时常使O 1 Z 1 轴处于铅垂位置，为了 作图简便，常取正等p=q=r=1，这样使每 个轴上尺寸放大了1/0.82=1.22倍，其形 状大小稍有改变但能满足实用要求。
Y1
●
B
第九章 轴测投影
例2 正等轴测图的画法
第九章 轴测投影
⒉ 切割法
例3 已知三视图，画轴测图。
第九章 轴测投影
⒊ 叠加法
例 4已知三视图，画正等测图。
水平圆正等轴测图的画法
D
A
B
C
菱形法画椭圆
第九章 轴测投影
单圆法画椭圆
d
b
a
c
圆柱正等轴测图的画法 一
移心法
第九章 轴测投影
圆锥的画法
第九章 轴测投影
根据这个轴向变化系数，就可以量度平 行于相应轴的尺寸。 轴测：就是沿轴的方向量测的意思。 所以轴测投影最基本的问题就是如何确 定轴间角和轴向变化系数。
第九章 轴测投影
2.多面正投影图与轴测图的比较
正投影图
Z S Z1 O X Y S0
P
O1 X1 Y1
第九章 轴测投影
度量性好，直观性差。
度量性差，直观性较好。
第九章 轴测投影
二
轴测投影的基本性质 由于轴测投影采用的是平行投影法,所以 1.物体上相互平行的线段，它们在轴测图中仍然相 互平行且长度间的比例不变。 2.平行于坐标轴的线段，其投影亦与相应轴测轴平 行，其长度可按轴向变形系数求出。
第九章 轴测投影
三 轴测投影的分类
1.根据轴测投影方向与轴测投影面的夹角 正轴测 、斜轴测投影 2.根据轴向变形系数 （p＝q＝r ）等测投影 （p＝q≠r，或p≠q＝r、或p＝r≠q ）二测投影 （p≠q≠r ）三测投影
一. 正等测图的画法 知道了轴间角和轴向变形系数，按轴测投影 的特性，根据形体投影图就可以画出轴测图。
1、坐标法
2、切割法
3、叠加法
第九章 轴测投影
⒈ 坐标法 例1：画三棱锥的正等轴测图
s
Z
Z
s S ● Z1
X a
b s b
a
cO a b Y cO c
O
●
X
O1 C
Y
A● X1
圆角正等轴测图的画法
上一级
第九章 轴测投影
第九章 轴测投影
形体的斜二轴测图画法 例7 已知两视图，画斜二轴测图。
Z 1.主要应用于形体在某一方向上圆多的情况。 2.轴间角为90°、45°。 X 3.轴向变形系数为p=r=1，q≈0.5 45° Y O
第九章 轴测投影
投影类型选择
Z1 X1
Z1 Y1 O1
O1
Y1 X1
投 影 方 向 选 择
z' 从左前上向右后下看
x' x
o'
从左前下向右后上看
o y
Z1 X1 Y1 Z1
O1
Y1 X1
O1
从右前上向左后下看
从右后下向左前上看
小结
本节讲述了轴测投影的基本概念，坐标的由 来，以及正等测和斜二测的画法。画轴测图 时，要根据空间形体的特点，选择轴测图类 型和投影视向，把形体真正需要表达的复杂 的部分表达出来（关键在坐标系的建立）。 正等测适用形体三个方向复杂程度相当组合 体，斜二测适合一个方向比较简单，两个方 向比较复杂的组合体。
投影线方向
轴向伸缩系数 简化轴向伸缩系数 特
投影线与轴测投影面垂直
p1=q1=r1=0.82 p=q=r=1
投影线与轴测投影面倾斜
p1=q1=1 q1=0.5 无
性
轴间角
120°
120°
90°
135°
120°
135°
边长为L的正 方形的轴测图
0.82L
L
L
L
按简化轴向伸缩系数画
按轴向伸缩系数画
第三节 轴测图的画法
轴测投影面 轴测投影轴 i 轴向变形系数 p、q、r。
Z1
轴测投影 a1
Z
C1
A1 O1 k
j
B1 A1
u
C
u
A
O
u
B
X1
Y1
X Y
轴间角
第九章 轴测投影
轴向变化率： 令线段u为各直角坐标轴上的单位长度，它在 平面P上沿X 1Y 1Z 1 轴的投影长度分别为I、j 、 k,此投影长度与单位长度u之比叫做轴向变化 率。它们分别是： p=i/u——X轴向变化率， q=j/u——Y轴向变化率， r=k/u——Z轴向变化率。