江苏江浦高级中学21-22学度高一上阶段性检测-数学

江苏江浦高级中学21-22学度高一上阶段性检
测-数学
数学试卷
一、填空题：本大题共14小题, 共70分.不写解答过程,将答案写在答题纸的．．．．．．．．．
指定位置上．．．．．
. 1、等差数列}{n a 中，12543=++a a a ，则=+++721a a a ▲
2、不等式0
4
2≥+-x x
的解集是 ▲
3、两平行直线0643:1=++y x l ，012)1(:2=+++ay x a l 间的距离为 ▲
4、在△ABC 中，三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,
，若30,1,A a b ===B ＝
▲
5、若直线2(2)10a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范畴是 ▲
6、已知
,31)6sin(=-απ
则)
23
2cos(απ
+的值是 ▲ 7、已知等比数列}{n a 中，公比1>q ，且14239,8a a a a +==，则20112012
20092010
a
a a a +=
+ ▲
8、通过点)3,2(-M 且到原点距离为2的直线方程为 ▲
9、正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =， P 是11
B C 的中点，则四棱锥11P A BCD -的体积为 ▲
10、ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且2c a =，则cos B = ▲
11、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面四个命题中，正确．．
的命题序号为 ▲ （请写出所有正确命题的序号） 12、已知数列}{n
a 的通项公式为n a n
423-=，n
S 是其前n 项之和，则使数列}
{
n
S n
的前n
项和最大的
正整数n 的值为 ▲
13、若三个正数,,a b c 成等比数列，且1a b c ++=，则a c +的取值范畴是 ▲ 14、ABC △中，S 为ABC △的面积，c b a ,,为C B A ,,的对边，
)
(4
12
2c b S +=，则B = ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解承诺写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸的指定区域内.
15、(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且(a +b +c )(b +c -a )=3bc ． (1)求角A 的度数；
(2)若2b=3c ，求tan C 的值． 16、（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，
//AB DC ，AB BC ⊥，AB BC =，点E 在棱PB
上，且2PE EB =．
（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求证：PD ∥平面EAC ．
B
A
D
C
P
E
17、（本小题满分14分）
已知等差数列}{n a 中，1763=+a a ，3881-=a a ，且81a a <
（1）求}{n
a 的通项公式；
（2）调整数列}{n a 的前三项321,,a a a 的顺序，使它成为等比数列}{n b 的前三项，求}
{n
b 的前n 项和.
18、（本小题满分16分）
已知)0,3(),0,1(),3,0(C B A -，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（D
C B A ,,,
按逆时针方向排列）.
19、（本小题满分16分）
如图，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，
底AB 的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S 1和S 2
(1) 若小路一端E 为AC 的中点，求现在小路的长度；
(2) 求S 1
S 2的最小值。

20、（本小题满分16分）
已知数列}{n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n
S 是
数列}{n a 的前n 项和，121,2a a ==．
（1）若54516,S a a ==，求10
a ；
（2）已知15815S a =，且对任意n N *∈,有1n n a a +<恒成立，求证：数列}{n a 是等差数列；
（3）若1213(0)d d d =≠，且存在正整数m 、()n m n ≠，使得m n a a =．求当1d 最大时，
数列}{n
a 的通项公式。

江苏省江浦高级中学高一年级第一学期时期性检测 数学试卷
一、填空题：本大题共14小题, 共70分.不写解答过程,将答案写在答题纸的指定位置上．．．．．. 1、等差数列
{}n a 中，34512a a a ++=，则127...a a a +++= 28 ▲ .
2、不等式20
4
x
x -≥+的解集是 (4,2]- .
3、两平行直线1:3460l x y ++=，2:(1)210l a x ay +++=间的距离为 1 ．
4、在△ABC 中，三边a,b,c 所对的角分别为A ，B ，C ，
若
30,1,A a b ===则B ＝4
π
或34
π .
5、若直线2(2)10a a x y +-+=的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范畴是 (2,0)- .
6、已知
,31)6sin(=-απ
则)232cos(απ
+的值是 79
-
． 7、已知等比数列{}n a 中，公比1>q ，且14239,8a a a a +==，则20112012
20092010
a
a a a +=
+ 4 ．
8、通过点M(-2,3)且到原点距离为2的直线方程为x=2或026125=-+y x
9、正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是11
B C 的中点，则四棱锥11P A BCD -的体
积为_83
_．
10、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且2c a =，则cos B = 3/4 ．
11、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： （1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //； （2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥.
上面命题中，所有正确．．
的命题序号为 （2） （4） .
12、已知数列{a n }的通项公式为a n =23-4n ，S n 是其前n 项之和，则使数列n
S {}n
的前n 项和
最大的
正整数n 的值为 10 .
13、若三个正数,,a b c 成等比数列，且1a b c ++=，则a c +的取值范畴是 )1,3
2[ ．
14、在ABC △中，S 为ABC △的面积，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，
)
(4
12
2c b S +=，则=∠B 45
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解承诺写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分14分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且(a +b +c )(b +c -a )=3bc ． (1)求角A 的度数；
(2)若2b=3c ，求tan C 的值．
16．（本小题满分14分）
解析：（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥，
又AB ⊥BC ，PA
AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．
又BC ⊂平面PCB ，
∴平面PAB ⊥平面PCB ．
（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．
又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．
在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得
4
BAC π∠=
，
∴
4
DCA BAC π∠=∠=．又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．
∴
)
22
22DC AC AB AB
===．
连接BD ，交AC 于点M ，则 2.DM
DC
MB
AB
=
=
在BPD ∆中，2PE
DM
EB MB
==， P
A
D
B C
E
M
∴//PD EM 又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，
∴PD ∥平面EAC ． 17、（本题满分14分）
已知等差数列{a n }中，36
181817,
38a a a a a a +==-<且.
（1）求{a n }的通项公式；
（2）调整数列{a n }的前三项a 1、a 2、a 3的顺序，使它成为等比数列{b n }的前三项，
求{b n }的前n 项和.
（i ）当数列{b n }的前三项为b 1=1，b 2=－2，b 3=4时，则q=－2 . ]
)2(1[3
1)2(1])2(1[11)
1(1n n n
n q
q b S --=----⋅=--=
∴.………………………………11分 （ii ）当数列{b n }的前三项为b 1=4，b 2=－2，b 3=1时，则
2
1-
=q .
]
)21(1[38)
2
1(1]
)21(1[41)1(1n n
n n q q b S --=----=--=∴…………………14分
18、已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）. 解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB ·k BC =0≠-1，
即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. …………2分
①若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x=3.
又k AD =k BC ，∴x
y 3-=0，即y=3. 现在AB 与CD 不平行.
故所求点D 的坐标为（3，3）. ………………7分 ②若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x
y 3-，k CD =3
-x y .
由于AD ⊥AB ，∴x
y 3-·3=-1. 又AB ∥CD ，∴3
-x y =3.
解上述两式可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==,59,518y x 现在AD 与BC 不平行.
故所求点D 的坐标为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛59,518, …………………………………………12分
综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标能够为（3，3）或⎪⎭
⎫ ⎝⎛59,518.………14分
19、(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情形调查一)（3. (本小题满分14分) 如图，△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，底AB 的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2. (1) 若小路一端E 为AC 的中点，求现在小路的长度；
(2) 求S 1
S 2的最小值．
解：(1) ∵ E 为AC 中点，∴ AE ＝CE ＝3
2. ∵ 32＋3＜3
2＋4，∴ F 不在BC 上．(2分)
若F 在AB 上，则AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3，∴ AE ＋AF ＝5.
∴ AF ＝7
2＜4.(4分)
在△ABC 中，cos A ＝2
3.(5分)
在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2
－2AE ·AF cos A ＝94＋494－2×32×72×23＝15
2，
∴ EF ＝302.(6分) 即小路一端E 为AC 的中点时小路的长度为30
2(百米)．(7分) (2) 若小道的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF ＝y ， 则x ＋y ＝5，
S 1S 2＝S △CAB －S △CEF S △CEF
＝S △CAB
S △CEF －1(8分) ＝1
2CA ·
CB sin C 12CE ·CF sin C －1
＝9xy －1≥2
29⎪⎭
⎫
⎝⎛+y x －1 ＝1125(当x ＝y ＝52时取等号)；(10分)
若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC )上和底上，
设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5， S 1S 2＝S △ABC －S △AEF S △AEF
＝S △ABC S △AEF －1＝12xy －1≥2
212⎪⎭
⎫
⎝⎛+y x －1＝2325(当x ＝y ＝5
2时取等号)．(13分) 答：最小值是11
25.(14分) 20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n
S 是
数列
{}n a 的前n 项和，121,2a a ==．
（1）若54516,S a a ==，求10
a ； （2）已知15815S a =，且对任意n N *∈,有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列；
（3）若1213(0)d d d =≠，且存在正整数m 、()n m n ≠，使得m n a a =．求当1d 最大时，
数列
{}n a 的通项公式。