广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：导数工具性作用之研究01 含答案 精品
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：函数的奇偶性和周期性01 含答案 精品
解 (1)令 x＝y＝0⇒f(0)＝0，令 y＝－x，
则 f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)在(－1,1)上是奇
函数． (2)设 0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f1x－1－x1xx22， 而 x1－x2<0,0<x1x2<1⇒1x－1－x1xx22<0⇒f1x－1－x1xx22>0， 即当 0<x1<x2<1 时，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0,1)上单调递减．
(3)由4|x－＋x32|≥－03≠0 ，得－2≤x≤2 且 x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝(x＋4－3)－x23＝
4－x2 x.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
探究提高
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分 条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运 算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－ x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分 段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－ x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满 足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：导数工具性作用之研究02 含答案 精品
利用导数求解函数的最 值或极值
例 2 已知函数 g(x)＝ax3＋bx2＋cx (a∈R 且 a≠0)，g(－1)＝0， 且 g(x)的导函数 f(x)满足 f(0)f(1)≤0.设 x1、x2 为方程 f(x)＝0 的两根． (1)求ba的取值范围； (2)若当|x1－x2|最小时，g(x)的极大值比极小值大43，求 g(x)的 解析式．
探究提高
本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x1－x2|取得最小值 时，会有怎样的结论？②怎样求出 g(x)的极大值、极小值？在 问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x1－x2|2 关于ba的函 数关系式，由第(1)问中ba∈－23，1求得|x1－x2|2 取最小值，即|x1 －x2|取得最小值时的条件是 a＝b.然后在求 g(x)的极大值、极小 值时，需要对 a 分 a>0、a<0 进行讨论，得到相应的极大值、极 小值．
③当 a<0 时，若①成立，根据二次函数 g(x)＝3ax2＋3ax－1 (－ 1<x<1)的图象，只需满足 g－12＝3a×－122＋3a×－12－1≤0， 即 a≥－43，∴－43≤a<0.
综上所述，f(x)在(－1,1)上是增函数时， a 的取值范围为－43，16.
探究提高
(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其 根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间 上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决． (2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可 能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常 遇到的，值得考生特别注意．
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2. 11导数及其应用
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算<一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接<1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。
<2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
b5E2RGbCAP2、例题解读〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。
解读：〖例2〗一质点运动的方程为。
（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度<用定义及求求导两种方法）分析<1）平均速度为；<2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：<1）∵∴Δs=8-3(1+Δt>2-(8-3×12>=-6Δt-3(Δt>2,.（3）定义法：质点在t=1时的瞬时速度（4）求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
p1EanqFDPw<二）导数的运算1、相关链接<1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间<a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。
<2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
DXDiTa9E3d<3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：二项式定理03 含答案 精品
(
x 1)6(2x 1)5 的通项是
C6r C5s
(1)s
25s
x
16r 2 s 2
.
由题意知
16
r 2
2s
6,
r 2s 4,(r 0, ,6, s 0, ,5)
解得
r 0, s 2;
r 2, s 1;
r 4, s 0.
乘所C积52以C【,06利x(点6用1的)评2系两】2数个3对为C通于15:C项62较(之为1积) 复2比4杂C较的05C方46二(便1项)运0 式 2算5与. 二6项40式.
(1)r C2r n C22Leabharlann n1 nC2n 2n
0.
两式相加，得
C02n C22n C42n
C2n 2n
22n 2
22n1，
C22n C42n
C2n 2n
22n1
1.
走进高考 【1】 (广东模拟)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2) +a2(x+2)2+…+a11(x+2)11, 则 a0+a1+a2+…+a11的值 为 -2 .
C1 n+1
7
n
Cn n+1
7
1
7n 5
7(7n
C1 n+1
7n1
Cn n+1
n)
6
所以 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 ,
所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一 天是星期日．
【2】求证 32n2 8n 9(n N ) 能被64整除.
证明：∵ 32n2 8n 9 (8 1)n1 8n 9
广东广州市天河中学2018届高三数学一轮复习模拟试题精选：导数及应用 Word版含答案
导数及其应用一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．曲线y P x y 处的切线与在点)12,1(113+=轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ． 9D ．15【答案】C2．曲线3sin (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为( ) A ． 1B ． 2C ． 52D ． 3【答案】A3．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a ·e －x的导函数f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ ln22B ．－ln2C ．ln22 D ．ln2【答案】D4．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形面积为( )A ．112 B ．14C ．13D ．712【答案】A5．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是( )A ．()()2f a f b + B ．()baf x dx ⎰C ．1()2baf x dx ⎰ D ．1()baf x dx b a -⎰【答案】C6．已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,f f x x ='=+且，则满足2(1)()0f x f x x ++-＞的实数x 的取值范围为( )A ． (1,1)-B ．(11)-+，C ．(1 D ．(1,1+【答案】C7．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( )A ．18B ．38/3C ．16/3D ．16【答案】A8．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，用分点b x x x x x a n i i =<<<<<=- 110，把区间],[b a 等分成n 个小区间，在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i =ξ，作和式∑=∆=n i i nxf S 1)(ξ（其中x ∆为小区间的长度），那么n S 的大小( )A ．与)(x f 和区间],[b a 有关，与分点的个数n 和i ξ的取法无关B ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n 有关，与i ξ的取法无关C ． 与)(x f 和区间],[b a 和分点的个数n,i ξ的取法都有关。
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：数列的综合应用04 含答案 精品
∵ ∴∵ ∴∵ ∴(∵ ∴ ∴((aaaaaaa(nannnaaaannnnann1nn11n10是0是0是30是a，a，aa， ，n首n首n首n首))))∴(n∴(∴(∴(aa项项a项a项nnna1na为ana为为n为nanana32aan31n3，nn3aaa11，1n，12n，公n2n1)11公22公差2公2)1，)0)2为2差．差2差.，，0，020为为为.的.. 2等22的的的差等数等等列差差差．数数数列列列．．． ∴∴∴aaannn 333nnn111222222nnn111．．．
9(1 n) 4n1
cn
.
∴当 又 cn
n 1时
≤ 1 m2 4
cn
取最大值是 1 ， 4
m 1 对一切正整数
n
恒成立，
1 4
m
2
m
1
≥
1 4
,
即 m2 4m 5 ≥ 0, 得 m ≥1或m ≤ 5.
(二) cn1 3n 1 ， cn 4(3n 2)
又 即又 即 又 即∴又 即∴ ∴① ②∴cm14当cm14当 当cm14当 当 n当nnm2ncm22mn2cnnnnn2n222141≥144144141mmm1m1mm2m时mm时时 时1时2时22,2c，c15，cn15即nn15mn取m4cc取 取mc取12(cn最1430最 最nc140最14011n得21得大1对得大 大1对大对，m值m1一 值值2cm一值， 即 一3)是是是切是切切11(1c41或c14正或3141正或4正，n，，m，整m整m整c1数2数数)nn5n154恒c5恒恒．n9；．．．.(成成n成立立立1，)，，， 0,
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.3 导数的综合应用(讲)
专题3.3 导数的综合应用【考纲解读】【知识清单】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围, (2)已知函数的单调性求参数的取值范围 ,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围．考点2 利用导数证明不等式问题利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．【考点深度剖析】1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点,一般有两种形式考查:(1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题.(2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题.2.利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题.(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A 上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立.(3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题.【重点难点突破】考点1 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【1-1】设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 单调减区间为(－∞，＋∞)．(2) (－∞，2－e 2)．【1-2】函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________． 【答案】20.【解析】因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 【思想方法】(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．【温馨提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且 f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f (x )在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间． 考点2 利用导数证明不等式问题【2-1】已知函数f (x )＝12x 2－13ax 3(a >0)，函数g (x )＝f (x )＋e x(x －1)，函数g (x )的导函数为g ′(x )．(1)求函数f (x )的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g (x )的单调区间；(ⅱ)求证：x >0时，不等式g ′(x )≥1＋ln x 恒成立．【答案】(1) 极小值为f (0)＝0，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝16a2.(2) (ⅰ) 单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． (ⅱ)详见解析g′(x)＝x(e x－e x＋1)．(ⅰ)记h(x)＝e x－e x＋1，则h′(x)＝e x－e，当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴h(x)≥h(1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；在(－∞，0)上，g′(x)<0，【2-2】记函数f n (x )＝a ·x n －1(a ∈R ，n ∈N *)的导函数为f ′n (x )，已知f ′3(2)＝12. (1)求a 的值；(2)设函数g n (x )＝f n (x )－n 2ln x ，试问：是否存在正整数n 使得函数g n (x )有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由； (3)若实数x 0和m (m >0且m ≠1)满足f n ′x 0f n ＋1′x 0＝f n mf n ＋1m，试比较x 0与m 的大小，并加以证明．【答案】(1) a ＝1. (2) n ＝1， (3) 当m >1时，x 0<m ，当0<m <1时，x 0>m . 【解析】(1)f 3′(x )＝3ax 2，由f 3′(2)＝12得a ＝1. (2)g n (x )＝x n－n 2ln x －1，g ′n (x )＝nx n －1－n 2x ＝n x n －nx.因为x >0，令g n ′(x )＝0得x ＝nn ， 当x >nn 时，g n ′(x )>0，g n (x )是增函数； 当0<x <nn 时，g n ′(x )<0，g n (x )是减函数． 所以当x ＝nn 时，g n (x )有极小值，也是最小值，g n (nn )＝n －n ln n －1.当x →0时，g n (x )→＋∞； 当x →＋∞时，g n (x )→＋∞.当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m<0，所以x0<m.当0<m<1时，(n＋1)(m n－1)<0.设h(x)＝－x n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，则h′(x)＝－(n＋1)x n＋n＋1＝－(n＋1)(x n－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m>0，所以x0>m.综上所述，当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.【思想方法】利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【温馨提醒】构造函数是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数．【易错试题常警惕】1、函数()f x 的单调性问题，一般是先确定函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间．如：设函数()ln f x x x =-，讨论()f x 的单调性． 【分析】函数()f x 的定义域是()0,+∞，()11f x x'=-，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 单调递增，当()0f x '<，即01x <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．。
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理
例4 如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E
作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，
则函数S＝f(x)的图象为下图中的
答案
解析
思维升华
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0). (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.
命题点2 求参数的值
例3 (1)(2016·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝ e.
答案
解析
几何画板展示
设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex，
得 y |x＝x0 ＝ex0， 从而切线方程为 y－ex0＝ex0 (x－x0 )，
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0). 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝＋1x0＝lnx10＋，ln x0x0， 解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
3.某质点的位移函数是s(t)＝2t3－ 1gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加
2
速度是
答案
解析
A.14 m/s2
B.4 m/s2
C.10 m/s2
D.－4 m/s2
由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt， a(t)＝v′(t)＝12t－g， 当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性课件理
G(x)min＝－1.
所以 a>－1.
(2)由 h(x)在[1，4]上单调递减得， 1 当 x∈[1，4]时，h′(x)＝x －ax－2≤0 恒成立，③ 1 2 1 2 即 a≥x2－x 恒成立.设 G(x)＝x2－x ， 所以 a≥G(x)max，而
1 －（a＋1）＋ 2a＋1 当－ ＜a＜0 时，f(x)在0， ， 2 a
－（a＋1）－ a
2a＋1 ，＋∞上单调递减，
－（a＋1）＋ 在 a
2a＋1 －（a＋1）－ 2a＋1 上单调递增. ， a
规律方法
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确
A.1 C.3
B.2 D.4
解析
由题意知在x ＝－ 1 处f′( － 1) ＝0 ，且其左右两侧导数
符号为左负右正. 答案 A
3.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(
)
A.(－∞，1]
C.(－∞，0]
B.[1，＋∞)
D.(0，＋∞)
解析 令f′(x)＝ex－1>0得x>0， 所以f(x)的递增区间为(0，＋∞). 答案 D
解
(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
4 4 因为 f(x)在 x＝－ 处取得极值，所以 f′－3＝0， 3 4 16a 8 16 1 － ＝ 所以 3a· 9 ＋2· 3 －3＝0，解得 a＝2. 3
(2)由(1)得 故
1 3 2 x g(x)＝2x ＋x e ，
4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.
解析 1 ∵f′(x)＝x －a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：命题及其关系、充分条件和必要条件03
例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题， 并判断它们的真假：
（1）若A∪B=U，则A= ∁UB.
逆命题 若A=∁UB,则A∪B=U 真命题 否命题 若A∪B≠U,则 A≠∁UB 真命题 逆否命题 若A≠∁UB,则A∪B≠U 假命题
思维启迪
写成“若p，则q”的形式
写出逆命题、否命题、逆否命题 判断真假
1
, q: y=f(x)是偶函数；
③p:cosα =cosβ, q:tanα =tanβ;
④p: A∩B=A, q: ∁UB⊆ ∁UA
点评 充要条件的判断：
（1）分清命题的条件与结论； （2）常用方法有：定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)等.
【1】已知p:|2x-3|≥1;
q:
x
2
1 x
6
0
p
p.
q.
2
【3】 “sinA>sinB”是“A>B”的既__不__充__分__又__不__必__要__条件.
【4】在△ABC中, “sinA>sinB”是 “A>B”的充__要___条件.
【5】在△ABC中, “B=60°”是 “A, B, C成等差数列”
的
充要
__________条件.
题型二 充分条件、必要条件的判断
证明：(2)必要性:因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1,x2均为负，
且x1x2＝1，
所以m－2＝－(x1＋x2)－2
( x1 ( x1
1) 1x)12
2 ≥ 0,
所以m≥2.
x1
综合(1)(2)知命题得证.
变式 1. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：立体几何中向量方法证明平行和垂直02
,
垂直关系的线线面法线面面向垂垂平量直直行分l别l /为/mu, v aau， ///则/ uvb
u a b a
v
Байду номын сангаас 0
u
系 面面垂直 u v u v 0
l
a
l a
u
b
m
v u
要点梳理
空间角 线线角
图形
角的范围 计算公式
a b
a
b
(0,
2
]
cos
| cos a,b |
(1)证明 作 AH⊥平面 BCD 于 H，连结 BH、CH、DH，则四边形 BHCD 是正方形， 且 AH＝1，以 D 为原点，以 DB 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，以垂直于 DB 的 直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 所示，则 B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)， 所以B→C＝(－1,1,0)，D→A＝(1,1,1)，
失误与防范
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定 理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 a∥b，只需证明向量 a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与 平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
A
n
线面角 B
A n
B
[0,
2
]
sin
| cos BA, n | | BA n |
| BA || n |
n2
面面角
n1
l
n2
l
n1
[0, ]
cos
n1 ,
n2
|
n1 n1
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：数列求和02 含答案 精品
变式训练 3
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，an＋1＝12Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)当 bn＝log 3 (3an＋1)时，求证：数列bnb1n＋1的前 n 项和 Tn＝1＋n n.
2
(1)解
由已知得an＋1＝12Sn， an＝12Sn－1
解法一（构造1）
an
4an1 2n
an 2n
2
an1 2n1
1
an 2n
1
2(
an1 2n1
1)
an 4an1 2n (n 2, 3, 4 )
法二（构造2）
由 an 4an1 2n，得an 2n 4(an1 2n1 )
解法三（构造3）
an
4an1
2n
an－4an1
2n
an 4n
(2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝a2n－ 1 1＝2n＋112－1＝14·nn1＋1 ＝14·n1－n＋1 1，
[2分] [6分] [8分]
[10分]
所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1)
＝14·(1－n＋1 1)＝4nn＋1， 即数列{bn}的前n项和Tn＝4nn＋1.
【例3】求 Sn (a 1) (a2 2) (an n) 的值.
解：Sn (a a2 an ) (1 2 n).
①当a=0时有：
Sn
n2 2
n;
②当a=1时有：
Sn
n2 2
n;
③当a≠1且 a≠1时有：
Sn
a(1 an ) 1a
1 n 2
n.
Sn
n2 2
n
,
广东省广州市天河中学2018高考高三数学一轮复习讲义精讲精练：数列的综合应用03 含答案 精品
{an }为递减数列.
例 1．（本小题满分 12 分）
已知{an}为递减的等比数列，且{a1,a2,a3} {4, 3, 2,0,1,2,3,4} ．
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式；
(Ⅱ)当
bn
1
(1)n 2
an
时，求证： b1
b2
b3
解：(1)因为{an}是递减数列,
分
b1 b2 b3 b2n2 b2n1 a1 a3 a2n1
4[1
(
1 4
)n
]
1
1 4
16 3
[1
(
1 4
)n
]
16 .
3
例 2．（07
福建）等差数列
{an
}
的前
n
项和为
S
，
n
a1 1 2，S3 9 3 2 ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn ；
（Ⅱ）设 bn
a1＞0,d＜0⇔{an}是递减数列， Sn有最大值，
a1<0,d>0⇔{an}是递增数列， Sn有最小值．
若mn pq 则 aman a paq
若数列{an}是等比数列
Sk , S2k Sk , S3k S2k成等比数列
若数列{an} {bn}是等比数列，
k an，an bn成等比数列
等差数列的单调性
即 2(
1 2
)n
(n 1)2
2 (
1 2
)n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n2 .
即 6( 1)n 2n 1对任意 n N* 恒成立.
①当 n ①当 n
是奇2 数时，
广东省广州市天河中学高考数学一轮复习导数工具性作用之研究03课件
即 x2－2ln x－x＋2 x－2＝0.
设 h(x)＝x2－2ln x－x＋2 x－2，
则
h′(x)＝2x－2x－1＋
1， x
当 h′(x)＝0 时，( x－1)(2x x＋2x＋ x＋2)＝0，解得 x＝1.
令 h′(x)>0，并由 x>0，解得 x>1.
令 h′(x)<0，由 x>0，解得 0<x<1.
x2＝－1＋ 2 1－2b；
当 0<b<12时，f(x)有一个极大值点 x1＝－1－ 2 1－2b和一个极小
值点 x2＝－1＋ 2 1－2b；
当 b≥12时，函数在(－1，＋∞)上无极值点．
[10 分]
(3)证明 当 b＝－1 时，f(x)＝x2－ln(x＋1)，
令 h(x)＝x3－f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)， 则 h′(x)＝3x2－2x＋x＋1 1＝3x3＋x＋(x－ 1 1)2，
(1)讨论函数 F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程 f(x)＝g(x)在区间[ 2，e]上有两个不等解，求 a 的取
值范围．
解 (1)F(x)＝ax2－2l＝时2，ax－由2xa＝x22－(a1x>x2－0，1)得(xx>>0)1．a.
显然 h′(x)在[0，＋∞)上恒为正，
∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增．
[12 分]
第十三页，共17页。
当 x∈(0，＋∞)时，恒有 h(x)>h(0)＝0，
即当 x∈(0，＋∞)时，有 x3－x2＋ln(x＋1)>0，
即 ln(x＋1)>x2－x3， 所以对任意正整数 n，取 x＝n1， 可得 lnn1＋1>n12－n13恒成立．
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故 f(x)的单调递增区间是(－1,0)和1－k k，＋∞， 单调递减区间是0，1－k k.
当 k＝1 时，f′(x)＝1＋x2x.
故 f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当 k>1 时，f′(x)＝x(kx1＋＋kx－1)＝0， 得 x1＝1－k k∈(－1,0)，x2＝0. 所以在区间－1，1－k k和(0，＋∞)上，f′(x)>0； 在区间1－k k，0上，f′(x)<0.
解 (1)当 k＝2 时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2， f′(x)＝1＋1 x－1＋2x. 由于 f(1)＝ln 2，f′(1)＝32，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线方程为 y－ln 2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋2ln 2－3＝0.
(2)f′(x)＝x(kx1＋＋kx－1)，x∈(－1，＋∞)． 当 k＝0 时，f′(x)＝－1＋x x.
利用导数求函数的单调区间
例 1 已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间．
第(1)问由 f(x)在 x∈[1，＋∞)上是增函数，即 f′(x)≥0 在 x∈[1， ＋∞)上恒成立，可求出 a 的取值范围；第(2)问先由 f′(3)＝0 求出 a 的值，再求 f(x)的单调区间．
解 (1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝3x2－2ax－3. 由 f′(x)≥0，得 a≤32x－1x. 记 t(x)＝32x－1x，当 x≥1 时，t(x)是增函数， t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由题意，f′(3)＝0，即 27－6a－3＝0，∴a＝4.
∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－13，x2＝3.
故 f(x)的单调递增区间是－1，1－k k和(0，＋∞)， 单调递减区间是1－k k，0.
综上：①当 k＝0 时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减
区间为(0，＋∞)； ②当 0<k<1 时，f(x)的单调递增区间为(－1,0)和1－k k，＋∞， 单调递减区间为0，1－k k. ③当 k＝1 时，f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－13) －13 (－13，3) 3
f′(x)
＋
0
－
0
(3，＋∞) ＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，(3，＋∞)，单调递减区间 为－13，3.
探究提高
本题的难点是对函数在区间上单调和求函数的单调区间的理
[难点正本 疑点清源] 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确
定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围， 来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等 式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题， 运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是 一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数 的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个．
所以在区间(－1,0)上，f′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故 f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 当 0<k<1 时，由 f′(x)＝x(kx1＋＋kx－1)＝0， 得 x1＝0，x2＝1－k k>0. 所以在区间(－1,0)和1－k k，＋∞上，f′(x)>0； 在区间0，1－k k上 f′(x)<0.
要点梳理
忆一忆知识要点
解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等 于 0，若能恒等于 0，则参数的这个值应舍去，若 f′(x)不恒为 0，则由 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数 的取值范围确定． 2．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 并不是 f(x)在 x＝x0 处有极值的 充分条件 对于可导函数 f(x)，x＝x0 是 f(x)的极值点，必须具备①f′(x0) ＝0，②在 x0 两侧，f′(x)的符号为异号．所以 f′(x0)＝0 只是 f(x)在 x0 处有极值的必要条件，但并不充分．
④当 k>1 时，f(x)的单调递增区间为－1，1－k k和(0，＋∞)，单 调递减区间为1－k k，0.
4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连 续函数在区间(a，b)内只有一个极值点，则极大值就是最大值， 极小值就是最小值．
5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值 点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可．
6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导 数为零的点，导数不存在的点，端点．
导数的工具性作用之研究
要点梳理
忆一忆知识要点
1．f′(x)>0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应 注意 f′(x)>0(或 f′(x)<0)仅是 f(x)在某个区间上递增(或递减)的 充分条件．在区间(a，b)内可导的函数 f(x)在(a，b)上递增(或递 减)的充要条件应是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立， 且 f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点 x0 处有 f′(x0) ＝0，甚至可以在无穷多个点处 f′(x0)＝0，只要这样的点不能充 满所给区间的任何子区间，因此在已知函数 f(x)是增函数(或减函 数)求参数的取值范围时，应令 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，
解．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导 数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上 恒等于零即可，求函数的单调区间解 f′(x)>0(或<0)即可．
变式训练 2 已知函数 f(x)＝ln(x＋1)－x＋k2x2 (k≥0)． (1)当 k＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求 f(x)的单调区间．