2015届高考文科数学三角函数专题训练及答案
三角函数高考真题文科总结及答案
2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .28.（2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．29.(2015·四川卷19)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1) 求C 的大小；(2) 若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：，及，可得7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=- 8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ 9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=. 13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：14.【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 21.【答案】(1)25；(2)9 试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.22.【答案】（1；（223.【答案】（1）；（2）．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==所以D ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a =8,sin C =（II .试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 所以 28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =. 因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=. 由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 30.3B B ∠=∠=△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanBp ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-所以p(tanA ＋tanB )(2＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-（Ⅱ）.试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp 上的值域是.33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，2π()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5x >452<003πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4sin 5x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5x >k ()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>所以对任意的正整数，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．k 0x ()00g x >。
2015高考数学总复习三角函数专题测试(含答案)
2015福建文科高考数学总复习（6）----三角函数单元测试题一、选择题1.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于:A.52B.-52C.51D.-512.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于:A.-23B.23C.21D.±233. 已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是:A.若α,β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β4.若sinx ＋cosx ＝1，那么sin n x ＋cos nx 的值是:A ．1B ．0C ．－1D ．不能确定 5. 函数y=－x ·cos x 的部分图象是：6. 函数x x y sin cos 2-=的值域是: A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,17. 已知：函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当12x π=时取最大值4y =；当712x π=时，取最小值4y =-，那么函数的解析式为: A ．4sin(2)3y x π=+ B. 4sin(2)3y x π=-+C 4sin(4)3=+y x π. D. 4sin(4)3y x π=-+8. 在函数y ＝｜tanx ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是:A ．1B ．2C ．3D ．49. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为:A. 21- B .23 C. 23-D 2110. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是:A.)32sin(π-=x y B.)62sin(π-=x y C ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 11.函数f(x)＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点中心对称,则: A ．φ＝π2 B ．φ＝k π＋π2 C ．φ＝k π D ．φ＝2k π－π2(k ∈Z) 二．填空题：12. 函数sin 2y x =的定义域是 . 13. 若1351016()sin ()()()(n f n f f f f π=++++，）= .14，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43cos log 21πx y 在区间_______上是减函数15.给出下列命题：(1)存在实数x ，使sinx+cosx ＝3π; (2)若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β; (3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数； (4)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x+4π)的图象.其中正确的命题的序号是 . 三、解答题16.已知函数y ＝3sin3x ．(1)作出函数在x ∈[π6,5π6]上的图象． (2)求(1)中函数的图象与直线y ＝3所围成的封闭图形的面积．17 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；18. 已知y ＝Asin(ωx ＋φ)，(A ＞0, ω＞0,ϕπ<)的图象过点P(π12,0)图象上与点P 最近的一个顶点是Q(π3,5)． (1)求函数的解析式；(2)求使y ≤0的x 的取值范围．19，已知函数.2sin 21log 21⎪⎭⎫⎝⎛=x y（1） 求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数；（2） 判断它的奇偶性； （3） 判断它的周期性。
2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形.doc
试题部分1.【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 2.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （ ）(A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 563.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 4.【2015高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要5.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C. 211 D. 213 6.【2015高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A ．B ．2C ．D ．3 7.【2015高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．8.【2015高考福建，文14】若ABC ∆中，AC =，045A =，075C =，则BC =_______．9.【2015高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 10.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.11【2015高考上海，文1】函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 12.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω =_____.13.【2015高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．14.【2015高考四川，文13】已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.15.【2015高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .16【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.17【2015高考上海，文14】已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且AB12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .18.【2015高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，b =，23π∠A =，则∠B = ．19.【2015高考北京，文15】（本小题满分13分）已知函数()2sin 2x f x x =-． （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．20.【2015高考安徽，文16】已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.21.【2015高考福建，文21】已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 22.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 22.【2015高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．23.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.24.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 25.【2015高考山东，文17】 ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 26.【2015高考陕西，文17】ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.(I)求A ；(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.27.【2015高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值28.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.29.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.30.【2015高考浙江，文16】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.31.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=122cos x .(Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g(x)的值域.32.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.参考答案1.【答案】D 由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ． 2.【答案】A 11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 3.【答案】B 因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .4【答案】A 22cos 20cos sin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A .5【答案】D 设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =， 因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 6【答案】B 由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以(22222b b =+-⨯⨯2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 7【答案】π()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 8.由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．9.【答案】4由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;故填：4.10.【答案】8由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.11.【答案】π因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2321)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22.12.【答案】2πω= 由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .13.由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 14.【答案】－1由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++15.【答案】2由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC16.【答案】.在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即1sin sin 2AB BC BAC ACB =⨯∠==∠，所以tan CD BC DBC =⨯∠==，故应填.17.【答案】8 因为函数x x f sin )(=对任意i x ，j x ),,3,2,1,(m j i ⋅⋅⋅=，2)()(|)()(|min max =-≤-x f x f x f x f j i ，欲使m 取得最小值，尽可能多的让),,3,2,1(m i x i ⋅⋅⋅=取得最高点，考虑π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m 按下图取值满足条件，所以m 的最小值为8.18.【答案】4π由正弦定理，得sin sin a bA B ==sin B =所以4B π∠=.19.【答案】（I ）2π；（II ）.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.20.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为0 【解析】 （Ⅰ）因为x x x x x x x x f 2c o s 2s i n 12c o s c o s s i n 2c o s s i n )(22++=+++=1)42s i n (2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.21.【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析．【解析】（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 22.【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】解：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=23.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 26【答案】(I) 3A π=；(II)【解析】(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，代入数值求得3c =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，2sin B=，从而sin B =，又由a b >知A B >，所以cos B =，由sin sin()sin()3C A B B π=+=+，计算得sin C =所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =解：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A =由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A = 由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =27.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式 △＝)2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0 所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanBp ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB == 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以ptanA ＋tanB )(2＋1)＝－128【答案】（I ）a=8,sin C =（II. 【解析】（I ）由面积公式可得24,bc =结合2,b c -=可求得解得6, 4.b c ==再由余弦定理求得a =8.最后由正弦定理求sin C 的值;（II ）直接展开求值.试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=29.【答案】（I ）14（II ）1 解：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a =所以D ABC 的面积为1.30.【答案】(1)25；(2)9【解析】 (1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.31.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，. 【解析】(1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p -?，从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp 上的值域是.32.【答案】（I ）a =8,sin C =（II 【解析】（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =（II ）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=。
2015全国高考数学,三角函数
）
（A）
3 2
（B）Leabharlann 3 2（C） 1 2
（D）
1 2
sin 2 A sin C
4.（15 北京理科）在 △ ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 5.（15 北京文科）在 C 中， a 3 ， b
． ．
6 ，
2 ，则 3
6.（15 年广东理科）设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a 3 ，
sin B
1 π ， C ，则 b 2 6
c． C 的对边分别为 a ， b， c2 3， 7. （15 年广东文科） 设 C 的内角 ， 若a 2， ，
cos 3 ，且 b c ，则 b 2
。
8. （ 15 年 安 徽 文 科 ） 在 ABC 中 ， AB 6 ， A 75 ， B 45 ， 则
AC
。
9.（15 年福建理科）若锐角 ABC 的面积为 10 3 ，且 AB 5, AC 8 ，则 BC 等于 ________．
专题三 三角函数小题
3
1.（15 年山东理科）要得到函数 y sin(4 x (A)向左平移
) 的图象，只需将函数 y sin 4 x 的图像
12 (C)向左平移 个单位 3
个单位
(B) 向右平移
12 (D) 向右平移 个单位 3
个单位
5 ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于（ 13 12 5 12 5 A． B． C． D． 5 12 5 12 3.（15 年新课标 1 理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=
2015年全国高考真题_三角函数(详细答案)
又∵，，∴，故. 23.【2015高考山东，理16】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是； 单调递减区间是 （II） 面积的最大值为 【解析】 （I）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是
(Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知. （1）求的长；
（2）求的值. 【答案】（1）；（2）
21.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变 换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），再将所得到的图像向右平移个单位长度. (Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
∴ ，又， ∴ ，∴ 即，∴ ； （2）由（1）依题知 ， ∴ 又， ∴ 即． 32.【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为 钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）.
，∴，于是 ，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
2015课标卷(Ⅱ)三角函数
2015年新课标卷Ⅱ《三角函数》1．（2015年新课标卷Ⅱ文科）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，2BD DC =.（I ）求sin sin BC ∠∠ ；（II ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【解析】（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin ADBDADDCB BADC CAD ==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2BDCC BD ∠==∠ （角平分线定理：ABBDAC CD =能不能用？）（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan ,30.3B B ∠=∠=2.（2015年新课标卷Ⅱ理科）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍.（I ）求sin sin B C∠∠ ； (Ⅱ) 若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长. 【解析】（I ）2,2ABD ADC S S BD DC ∆∆=∴= ，由角平分线定理得12AC CD AB DB == 正弦定理sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠ （角平分线定理：AB BD AC CD=能不能用？似乎此题就是在推证角平分线定理）(Ⅱ)由（I ）知2BD DC =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得 2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =． 【点评】此题第二问也是2014年文科题的延续。
近几年的三角形考查偏向于应用意识，在众多的边角问题上组建等量关系式，加强了思维含量的考查，这也是高考以能力立意的一个好的素材。
《三角函数》高考真题文科总结及答案
2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x 2＋sin x6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .28.（2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．29.(2015·四川卷19)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1) 求C 的大小；(2) 若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：，及，可得7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ 9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a bA B ==sin B =4B π∠=.13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：14.【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－145sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =， 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π【解析】()211c o s 2113s i ns i n c o s 1s i n 21s i n 2c o s 222222x fx x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =-. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =21.【答案】(1)25；(2)9 试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.22.【答案】（1（223.【答案】（1）；（2）．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==. 所以D ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a =8,sin C =（II试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以由（I ）知,所以 28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2－p ＋1＝0的判别式△＝)2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanBp ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 30.B B ∠=∠=从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以ptanA ＋tanB )(21)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+，最小值为0 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x 由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0. 综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-，（Ⅱ）.试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp 上的值域是.33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：21且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）； （ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 2π()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5x >45<003πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4sin 5x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5x >k ()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>k 0x ()00g x >。
2015年高考文科数学试题分类解析之三角函数与解三角形.doc
B ． -C ．D ． -2.【2015 高考重庆，文 6】若 tan a = , tan(a + b ) = ,则 tan b = （）（ 12 个单位 （B ）向右平移 12 个单位（C ）向左平移 π 个单位 （D ）向右平移 个单位3 至 OB ，则点 B 的纵坐标为（B. C. D.试题部分1.【2015 高考福建，文 6】若 sin α = -于（）513，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等A ．12 12 5 55 5 12 121 13 21 1 5 5(A) (B) (C) (D)7 6 7 63.【2015 高考山东，文 4】要得到函数 y = sin 4 x -y = sin 4 x 的图象（ ）π 3 ）的图象，只需要将函数（A ）向左平移 πππ334.【2015 高考陕西，文 6】“ sin α = cos α ”是“ cos 2α = 0 ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要5.【2015 高考上海，文 17】已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ，将 O A 绕坐标原点 O 逆时针旋转 π ）.A.3 3 5 3 11 132 2 2 26.【2015 高考广东，文 5】设 ∆AB C 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若a = 2 ， c = 2 3 ， cos A = 3 ，且b <c ，则 b = （）2A ． 3B ． 2C ． 2 2D ． 37. 【 2015 高 考浙 江， 文 11 】函数 f (x ) = sin 2 x + sin x cos x + 1 的最 小正周 期6x＋Φ)是，最小值是．8.【2015高考福建，文14】若∆ABC中，AC=3，A=450，C=750，则BC=_______．9.【2015高考重庆，文13】设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-1,3sin A=2sin B,则c=________.410.【2015高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(π＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.11【2015高考上海，文1】函数f(x)=1-3sin2x的最小正周期为.12.【2015高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω=_____.13.【2015高考天津，文14】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为．14.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.15.【2015高考安徽，文12】在∆ABC中，AB=6，∠A=75 ，∠B=45 ，则AC=.16【2015高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此D C山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度B A CD=_________m.17【2015高考上海，文14】已知函数f(x)=sin x.若存在x1，x2，⋅⋅⋅，xm满足0≤x<x<⋅⋅⋅<x≤6π，且12m（II ）求 f (x )在区间 ⎢0,⎥⎦ 上的最小值．（Ⅱ）求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.21.【2015 高考福建，文 21】已知函数 f (x ) = 10 3 sin cos + 10cos 2 ．【 （ 6 个单位长度，再向下平移 a （ a > 0 ）个单（1）求 tan α + ⎪ 的值；（1）求 tan α + ⎪ 的值；| f ( x ) - f ( x ) | + | f ( x ) - f ( x ) | + ⋅⋅⋅ + | f ( x1223m -1) - f ( x ) |= 12 (m ≥ 2, m ∈ N * ) ，则 mm的最小值为.18. 【 2015 高考北京，文 11 】在 ∆AB C 中， a = 3 ， b = 6 ， ∠A = 2π ，则3∠B =．19. 2015 高考北京，文 15】本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = sin x - 2 3 sin 2（I ）求 f (x )的最小正周期；⎡ 2π ⎤ ⎣ 320.【2015 高考安徽，文 16】已知函数 f ( x ) = (sin x + cos x)2 + cos 2 x（Ⅰ）求 f ( x ) 最小正周期；π2x x x2 2 2 （Ⅰ）求函数 f (x )的最小正周期；x 2．（Ⅱ）将函数 f (x )的图象向右平移π位长度后得到函数 g (x )的图象，且函数 g (x )的最大值为 2．（ⅰ）求函数 g (x )的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ． 022.【2015 高考广东，文 16】（本小题满分 12 分）已知 tan α = 2 ．⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭（2）求 sin 2α的值．sin 2 α + sin α cos α - cos 2α - 122.【2015 高考广东，文 16】（本小题满分 12 分）已知 tan α = 2 ．⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭|．．．．．．．．．．．cos B=3,sin(A+B)=,ac=23求sin A和c的值.（2）求sin2α的值．sin2α+sinαcosα-cos2α-123.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ<π)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数2据，如下表：ωx+ϕx 0π2π3π3π25π62πA s in(ωx+ϕ)5-50（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；（Ⅱ）将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π个单位长度，得到y=g(x)图6象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.24.【2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.（I）证明：sin B=cos A；(II)若sin C-sin A c os B=3，且B为钝角，求A,B,C. 425.【2015高考山东，文17】∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知63926.【2015高考陕西，文17】∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(I)求A；(II)若a=7,b=2求∆ABC的面积.27.【2015高考四川，文19】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关边分别为 a,b ,c △已知 ABC 的面积为 3 15 , b - c = 2,cos A = - ,（II ）求 cos 2 A + ⎪ 的值.对的边分别为 a, b , c .已知 tan( + A) = 2 . 31.【2015 高考重庆，文 18】已知函数 f(x)= sin2x- 3 cos 2 x .到函数 g （x ）的图像.当 x ∈ ⎢ , π ⎥ 时，求 g(x)的值域.边分别为 a,b ,c △已知 ABC 的面积为 3 15 , b - c = 2,cos A = - ,（II ）求 cos 2 A + ⎪ 的值.（1）求的值； （2）若 B =, a = 3 ，求 ∆ABC 的面积.于方程 x 2＋ 3 px －p ＋1＝0(p ∈R)两个实根.(Ⅰ)求 C 的大小(Ⅱ)若 AB ＝1，AC ＝ 6 ，求 p 的值28.【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的14（I ）求 a 和 sinC 的值;⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭29.【2015 高考新课标 1，文 17】（本小题满分 12 分）已知 a, b , c 分别是 ∆ABC 内角 A, B, C 的对边， sin 2 B = 2sin A s in C .（I ）若 a = b ，求 cos B;（II ）若 B = 90 ，且 a = 2, 求 ∆ABC 的面积.30.【2015 高考浙江，文 16】（本题满分 14 分）在 ∆ABC 中，内角 A ，B ，C 所π4sin 2 Asin 2 A +cos 2 Aπ412(Ⅰ)求 f （x ）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数 f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦32.【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的14（I ）求 a 和 sinC 的值;⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭，且 α 为第四象限角，则 cos α = 1 - sin 2α = ，则 =- ，故选 D ． tan(α + β ) - tan α 2 3 = 1 ，故选 A.1 + tan(α + β ) tan α 1 1 7 3.【答案】B 因为 y = sin(4 x - ) = sin 4( x - ) ，所以，只需要将函数 y = sin 4 x 的12 个单位，故选 B .3 + α ，因为 A(4 3,1) ，4 3 = 13 ，即 m 2 = 27 n 2 ， ， tan( + α ) = ， =1 - 3 ⋅ 13 m m n 2 = 49 ，所以n = 或 n = - （舍 ( ) - 2 ⨯ b ⨯ 222= b 2+ 2 31.【答案】D 由 sin α = - 参考答案5 12 13 13tan α =sin α 5cos α 121 1- 2.【答案】A tan β = tan[(α + β ) - α ] = =1 + ⨯2 3π π3 12图象向右平移 π4【答案】 A cos 2α = 0 ⇒ cos 2 α - sin 2 α = 0 ⇒ (cos α - sin α )(cos α + sin α ) = 0 ，所以 sin α = cos α 或 sin α = - cos α ，故答案选 A .5【答案】D 设直线 OA 的倾斜角为 α ， B (m , n)(m > 0, n > 0) ，则直线OB 的倾斜角为π所以 tan α =因为 m 2 + n 2 = (4 3)2 + 12 = 49 ，所以n 2 + 27 13 13169 2 2去）， 所以点 B 的纵坐标为13 .26【答案】B 由余弦定理得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，所以23 ⨯ 3，即 b 2 - 6b + 8 = 0 ，解得：b = 2 或 b = 4 ，因为2b <c ，所以 b = 2 ，故选 B ．7【答 案 】π ,3 - 2 2f(x)=sin2x+sin x cos x+1=sin2x++1=sin2x-cos2x+=2sin(2x-)+，所以T==π；f(x)2-由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C=4+9-2⨯2⨯3⨯(-)=16，所以c=4;故10.【答案】8由图像得，当sin(x+Φ)=-1时y当sin(x+Φ)=1时，y11.【答案】π因为2sin2x=1-cos2x，所以f(x)=1-(1-cos2x)=-+cos2x，所以函数f(x)的最小正周期为=π.12.【答案】ω=由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为（（kπ+，），（（kπ+，-2），k，k∈Z+,距离最短的两个交点一定ω4ω4()15ππ在同一个周期内，∴232=（-）2+（-2-2）2，ω=.,且f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin ω2+⎪=1,所以ω2+π11-cos2x11322222π32π242232 min=2.8.【答案】2由题意得B=1800-A-C=600．由正弦定理得BC=AC sin A，sin BAC BC=sin B sin A，则所以BC=3⨯322=2．29.【答案】4由3sin A=2sin B及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=2，14填：4.π6min=2，求得k=5，π6max=3⨯1+5=8，故答案为8.3132222π2π21π15π21212π∴ω244213.【答案】π由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图像关于直线x=ω2对称,可得2ω≤πω⎛π⎫⎝4⎭ππ=⇒ω=.42214.【答案】－1由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝===-1理知，BC=⨯sin∠BAC=⨯=3002，，即BC=4由正弦定理，得a b3622sinαcosα-cos2α2tanα-1-4-1sin2α+cos2αtan2α+14+115.【答案】2由正弦定理可知：sin[180AB AC6AC=⇒=⇒AC=2-(75 +45 )]sin45 sin60sin4516.【答案】1006.在∆ABC中，∠CAB=300，∠ACB=750-300=450，根据正弦定AB AB6001sin∠BAC sin∠ACB sin∠ACB222所以CD=BC⨯tan∠DBC=3002⨯3=1006，3故应填1006.17.【答案】8因为函数f(x)=sin x对任意x，x(i,j=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，i j|f(x)-f(x)|≤f(x)i j max -f(x)min=2，欲使m取得最小值，尽可能多的让x(i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)取得最高点，考虑i0≤x<x<⋅⋅⋅<x≤6π，12m|f(x)-f(x)|+|f(x)-f(x)|+⋅⋅⋅+|f(x 1223取值满足条件，所以m的最小值为8.m-1)-f(x)|=12(m≥2,m∈N*)按下图m18.【答案】π=，即=，所以sin B=，sin A sin B3sin B224.，∴≤x+≤π.当x+=π，即x=时，f(x)取得最小值.∴f(x)在区间[0,]上的最小值为f()=-3.4)+14)+1当x∈[0,]时，2x+∈[,]由正弦函数y=sin x在[,]上的图象知，当2x+=，即x=时，f(x)取最大值2+1；当2x+=，即x=时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在[0,]上的最大值为2+1，最小值为0.【解析】（I）因为f(x)=103sin cos+10cos222x s所以∠B=π19.【答案】（I）2π；（II）-3.（Ⅱ）∵0≤x≤2πππ333π2π332π2π3320.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为1+2，最小值为0【解析】（Ⅰ）因为f(x)=s i n x+c o s x+2s i n c o x+c o s2x=1+s i n2x+c o s2x=2s i n2(x+π所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π＝π.2（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，f(x)=2sin(2x+ππππ5π2444π5π44πππ428π5ππ444π221.【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g(x)=10sin x-8；（ⅱ）详见解析．x x x222=53sin x+5cos x+5= 10sin x + ⎪ + 5 ．6 个单位长度后得到 y = 10sin x + 5 的图象，由 4 知，存在 0 < α < ，使得 sin α = ．5 2 3 53 > 1，54 = tan α + 1 = 2 + 1 = -3解：（1） tan α + ⎪ = 4⎭ 1 - tan α tan π 1 - tan α 1 - 2⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭所以函数 f (x )的最小正周期 T = 2π ．（II ）（i ）将 f (x )的图象向右平移 π再向下平移 a （ a > 0 ）个单位长度后得到 g (x ) = 10sin x + 5 - a 的图象．又已知函数 g (x )的最大值为 2 ，所以10 + 5 - a = 2 ，解得 a = 13 ．所以 g (x ) = 10sin x - 8 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得10sin x - 8 > 0 ，即 sin x > 0 0 03 π4 < 0 0 45．由正弦函数的性质可知，当 x ∈ (α , π - α )时，均有 sin x > 0 0因为 y = sin x 的周期为 2π ，45．所以当 x ∈ (2k π + α , 2k π + π - α ) （ k ∈ Z ）时，均有 sin x > 0 0 45．因为对任意的整数 k ， (2k π + π - α )- (2k π + α 0) = π - 2α0 >π所 以 对 任 意 的 正 整 数 k ， 都 存 在 正 整 数 x ∈ (2k π + α , 2k π + π - α ksin x > 4．k亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 g (x ) > 0 ．0 022.【答案】（1） -3 ；（2）1．【解析】tan α + tan π ⎛π ⎫⎝4sin 2α（2）sin 2 α + sin α cos α - cos 2α - 1) ，使得2 π3π22π====2sin α cos αsin 2 α + sin α cos α - (2cos 2 α - 1)- 12sin α cos αsin 2 α + sin α cos α - 2cos 2 α 2 tan αtan 2 α + tan α - 2 2 ⨯ 222 + 2 - 2= 123.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A = 5, ω = 2, ϕ = - π .数据补全如下表： 6ω x + ϕ0 πxA s in(ωx + ϕ)π 120 π 35 7π 125π 6-513 12π且函数表达式为 f ( x ) = 5sin(2 x - π ) ；（Ⅱ）离原点 O 最近的对称中心为 (- π , 0) . 612【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得： A = 5 ， π ω + ϕ = π ， 5π ω + ϕ = 3π ，解3262 得 ω = 2, ϕ = - π . 数据补全如下表：6ω x + ϕ0 π2π 3π22πxA s in(ωx + ϕ)π 120 π 357π 125π 6-513 12π且函数表达式为 f ( x ) = 5sin(2 x - π ) .6（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x ) = 5sin(2 x - π) ，因此 g ( x ) = 5sin[2( x + π ) - π ] = 5sin(2 x + π ) .666 6因为 y = sin x 的对称中心为 (k π, 0) ， k ∈ Z . 令 2 x + π = k π ，解得 x = k π- π ， k ∈ Z .6212即 y = g ( x ) 图象的对称中心为（k π - π ，），k ∈ Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 212(- π, 0) .1224.【答案】（I ）略；(II) A = 30 , B = 120 , C = 30.，得 sin B = . 因此 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = 6 5 3c sin Ac= 3 = 2 3c ，又 ac = 2 3 ，所以 c = 1 .=, 可得 a =sin C3；(II)25【答案】 2 2,1.3【解析】在 ∆ABC 中，由 cos B =3 6 3 3因为 A + B + C = π ，所以 sin C = sin( A + B) = 69，因为 sin C < sin B ，所以 C < B ， C 为锐角， cos C = 5 39，3 6 2 2 ⨯ + ⨯ = 3 9 3 9 3.由26【答案】(I) A = π3 3 2.【解析】(II)解法一：由余弦定理，得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，代入数值求得 c = 3 ，由面积公式得∆ABC面积为bc sin A=.，从而sin B=，又由a>b知A>B，，由sin C=sin(A+B)=sin(B+)，计算得sin C=，所以∆ABC面积为ab sin C=332.3，故∆ABC面积为bc sin A=sinπ=3)133 22解法二：由正弦定理，得7sinπ3=2sin B217所以cos B=12解：(I)因为m//n，所以a sin B-3b cos A=0由正弦定理，得sin A s in B-3sin B cos A=0，又sin B≠0，从而tan A=3，由于0<A<π所以A=π3(II)解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc cos A，而a=7,b=2，A=π得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因为c>0，所以c=3，13322.解法二：由正弦定理，得732 sin B从而sin B=21 7又由a>b知A>B，所以cos B=27 7故sin C=sin(A+B)=sin(B+π3+cos B sin所以∆ABC面积为ab s in C=.从而tan(A＋B)＝tan A+tan B错误!tan450+tan3001+所以p＝－1(tanA＋tanB)＝－(2＋3＋1)＝－1－3;（II）.=sin B cosππ3=32114，1332227.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2＋3px－p＋1＝0的判别式＝3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0所以p≤－2或p≥2 3由韦达定理，有tanA＋tanB＝－3p，tanAtanB＝1－p 于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0-3p==-31-tan A tan B p所以tanC＝－tan(A＋B)＝3所以C＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝AC sin C6sin6002== AB32解得B＝45°或B＝135°(舍去)于是A＝180°－B－C＝75°则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝=1-tan450tan3001-33=2+3 3313328【答案】（I）a=8,sin C=1515-73816【解析】（I）由面积公式可得bc=24,结合b-c=2,可求得解得b=6,c=4.再由余弦定理试题解析 :（I ）△ABC 中,由 cos A = - , 得 sin A = , 由 bc sin A = 3 15 ,得15 4 sin C ,得 sin C = ππ3 (2cos 2 A -1)- sin A c os A cos 2 A + ⎪ = cos 2 A cos - sin 2 A sin4 （II ）1 由余弦定理可得 cos B = a 2 + c 2 - b 25 ；(2) 9【解析】 (1)由 tan( + A) = 2 ，得 tan A = 3 ，所以 sin 2 A sin 2 A + cos 2 A = 2sin A c os A + cos 2 A 5 .2 tan A + 1 =3 可得， sin A =4 ，由正弦定理知： b = 35 .求得 a=8.最后由正弦定理求 sinC 的值;（II ）直接展开求值.1 14 2bc = 24, 又由 b - c = 2, 解得 b = 6, c = 4. 由 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A , 可得 a=8. 由a csin A =15 8 .（II⎛ π ⎫ ⎝ 6 ⎭ 6 6 =2= 15 - 7 31629.【答案】（I ） 1解：（I ）由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac .又 a = b ，可得 b = 2c , a = 2c ,12ac = 4 .（II ）由(1)知 b 2 = 2ac .因为 B = 90°，由勾股定理得 a 2 + c 2 = b 2 .故 a 2 + c 2 = 2ac ，得 c = a = 2 .所以 D ABC 的面积为 1.30.【答案】(1) 2π142sin A c os A 2 tan A 2 =）,(2)由 tan A = 1 10 10 ,cos A =3 1010 .a = 3, B =π， Ⅱ）[ , ] . （ （ 当 x [ , p ] 时，有 x - ?[ , ] ，从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] ，那么 sin( x - p的值域为 [ 故 g( x) 在区间 [ , p ] 上的值域是 [ , ] .;（II ） . （ ）△I ABC 中,由 cos A = - , 得 sin A = , 由 bc sin A = 3 15 ,得 bc = 24, 又15 4又 sin C = sin( A + B) = sin A c os B + cos A s in B = 2 55，所以 S ∆ABC =1 12 5ab sin C = ⨯ 3 ⨯ 3 5 ⨯ = 9 .2 2 531.【答案】 Ⅰ）f ( x ) 的最小正周期为 p ，最小值为 - 2+ 3 1- 3 2- 32 2 2【解析】1 1 3(1) f ( x ) = sin 2 x - 3 cos 2 x = sin 2 x - (1+cos 2 x )2 2 21 3 3 p 3= sin 2x - cos 2x - = sin(2 x - )-2 2 23 2,因此 f ( x ) 的最小正周期为 p ，最小值为 - 2+ 32.(2)由条件可知： g( x) = sin( x - p 3 )- 3 2.p p p 2p2 3 6 3p 13 23 1- 3 2- 3)- , ] .3 2 2 2p 1- 3 2- 32 2 232.【答案】（I ）a=8, sin C = 15 15 - 7 38 16【解析】1 14 2由 b - c = 2, 解得 b = 6, c = 4. 由 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ,可得 a=8.由得 sin C =15 .8a c= sin A sin C,cos 2 A + ⎪ = cos 2 A cos - sin 2 A sin = 2cos 2 A -1)- sin A cos Aπ ⎫ π π 3 (（II ）⎛ ⎝ 6 ⎭ 6 6 2= 15 - 7 316,。
2015年高考真题解答题专项训练：三角函数(文科)教师版
2015年高考真题解答题专项训练：三角函数（文科）1．（浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .（1（2（22．（江苏）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值. 试题解析：（1）由余弦定理知，（2 因为C AB<B ，所以C 为锐角，则考点：余弦定理，二倍角公式3．（全国一卷）已知a ,b ,c 分别是ΔABC 内角A ,B ,C 的对边，sin 2B =2sin A sin C ． （1）若a =b ，求cos B ;（2）若B =90∘，且a = 求ΔABC 的面积． 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得b 2=2ac 又a =b ，可得b =2c ,a =2c由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac=14（2）由（1）知b 2=2ac因为B =90∘，由勾股定理得a 2+c 2=b 2 故a 2+c 2=2ac ，得c =a = 2 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形4．（湖南）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. ，且B 为钝角，求,,A B C .试题解析：（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，所以sin cos B A =。
（Ⅱ）因为sin sin cos sin[180()]sin cos C A B A B A B -=-+-sin()sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B =+-=+-=有（Ⅰ）知sin cos B A =，因此 故120B = ，由知30A =，从而180()30C A B =-+= ， 综上所述，30,120,30,A B C === 5．（广东）已知tan α=2． （Ⅰ）求tan(α+π4)的值；（Ⅱ）求sin 2αsin 2α+sin αcos α−cos 2α−1的值． 试题解析：（Ⅰ）tan(α+π4)=tan α+tanπ41−tan αtanπ=2+11−2×1=−3.（Ⅱ）原式=2sin αcos asin 2α+sin αcos α−2cos 2α=2tan αtan 2α+tan α−2=2×222+2−2=1．考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用 6．（安徽）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2+cos2x （Ⅰ）求f (x )最小正周期；（Ⅱ）求f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值. 试题解析：（Ⅰ）∴f (x )的最小正周期T =2π|2|=π（Ⅱ）∴f (x )max =1+ 2,f (x )min =0考点：1．三角函数式化简；2．三角函数性质 7．（全国二卷）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.试题解析：AD 平分∠BAC,BD=2DC,（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以由（I）知2s i ns B C ∠=∠, 8．（天津）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC（Ⅰ）求a 和sinC 的值;. 试题解析:（Ⅰ）△ABC 中,得又由解得由,可得a=8.由24,bc =2,b c -=6, 4.b c ==2222cos a b c bc A =+-9．（陕西）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与()cos ,sin n A B =平行．（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC 的面积． 试题解析：(I)因为//m n，所以sin cos 0a B A = 由正弦定理，得sin cos 0sinA B A =， 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<所以3A π=．(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =10．（山东）ABC ∆中，角A BC ，，所对的边分别为,,a b c .已知求sin A 和c 的值. 【解析】在ABC ∆中，由 因为A B C π++=，所以 因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角， ，所以1c =. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.11． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；f x在区间（Ⅱ）求()试题解析：f x的最小正周期为2π.∴()。
三角函数高考真题文科总结及答案
2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x 2＋sin x 6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．22C ．2 D.37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.28.（2015·山东卷17）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．29.(2015·四川卷19)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1)求C 的大小； (2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：，及，可得7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=- 8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ 9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=.13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：14.【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4 【解析】由3sin 2sin AB 及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 21.【答案】(1)25；(2)9 试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=.22.【答案】（1（223.【答案】（1）；（2）．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又ab ，可得2bc ,2a c ,由余弦定理可得2221cos 24a cb Bac. （II ）由(1)知22b ac .因为B90°，由勾股定理得222a c b .故222a c ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a=8,sin C =（II试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A =由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为所以 由（I ）知, 所以 28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B = ,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 30.B B ∠=∠=因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=. 由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅰ）最大值为1+，最小值为0 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅰ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x 由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0. 综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+3，（Ⅱ）1323,]. 试题解析： (1) 2113()sin 23cos sin 2(1cos 2)22f x x xx x1333sin 2cos 2sin(2)232x x x, 因此()f x 的最小正周期为，最小值为2+3. (2)由条件可知：3g()sin()32x x. 当[,]2x时，有2[,]363x ， 从而sin()3x的值域为1[,1]2， 那么3sin()32x的值域为1323,].故g()x 在区间[,]2上的值域是1323,].33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由知，存在，使得． 2π()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5x >45<003πα<<04sin 5α=由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．()00,x απα∈-4sin 5x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5x >k ()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>k 0x ()00g x >。
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2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋)B ．y ＝cos (2x ＋)π2π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋D ．y ＝x 2＋sin x 12x 6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2，cos A ＝且b <c ，则b ＝( )332A ．3 B ．22C ．2 D.37．（2015·福建卷6）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α513的值等于( )A.B ．－C.D ．－1251255125128．（2015·重庆卷6）若tan α＝，tan(α＋β)＝，则 tan β＝( )1312A.B.C.D.171657569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －)的图象，只需将函数π3y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位π12π12C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位π3π310.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.，k ∈Z (k π－14，k π＋34)B.，k ∈Z (2k π－14，2k π＋34)C.，k ∈Z (k －14，k ＋34)D.，k ∈Z (2k －14，2k ＋34)11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为17________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠A ＝，则62π3∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝，∠A ＝75°，∠B ＝45°，6则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则3BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.1417.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin－x 2的零点个数为(x ＋π2)__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则3ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．3(1)求A ；(2)若a ＝，b ＝2，求△ABC 的面积．721.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(＋A )＝2.π4(1)求的值；sin 2Asin 2A ＋cos2A (2)若B ＝，a ＝3，求△ABC 的面积．π422.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan的值；(α＋π4)(2)求的值．sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－124.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝，且B 为钝角，求A ，B ，C .3425.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝，求△ABC 的面积．226.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为3，b －c ＝2，cos A ＝－.1514(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos的值．(2A ＋π6)27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求；sin B sin C(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .28.（2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝，sin(A ＋B )＝，ac ＝2，33693求sin A 和c 的值．29.(2015·四川卷19)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．3(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝，求p 的值．630.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，]上的最大值和最小值．π231．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －2sin 2.3x2(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，]上的最小值．2π332.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x .123(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈时，求g (x )的值域．[π2，π]33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，(ω>0，|φ|<π2)如下表：ωx ＋φ0π2π3π22πx π35π6A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到π6y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝10sin cos ＋10cos 2.3x 2x 2x2(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，再向下平移a (a >0)π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，及b c <，可得2b =7.【答案】D 【解析】由，且为第四象限角，则，5sin 13α=-α12cos 13α==则sin tan cos ααα=512=-8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯9.【答案】【解析】因为，所以，只需要将函数B sin(4sin 4()312y x x ππ=-=-的图象向右平移个单位，故选.4y sin x =12πB 10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-12.【解析】由正弦定理，得sin sin a bA B ==sin B =.4B π∠=13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC 14.【解析】由题意得．由正弦定理得，则0018060B A C =--=sin sinAC BCB A=，sin sin AC ABC B=所以．BC ==15.【答案】－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，3sin 2sin A B =32a b =2a =2b =由余弦定理得：，所以;22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=4c =17.【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+，所以；.3)42x π=-+22T ππ==min 3()2f x =18.【答案】219.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为, 距离最短的两个交点一定在同12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，一个周期内， .(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（），20.试题解析：(I)因为，所以//m nsin cos 0a B A -=由正弦定理，得，sin sin cos 0A B B A -=又，从而，sin 0B ≠tan A =由于0A π<<所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得，而，，2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=得，即2742c c =+-2230c c --=因为，所以，0c >3c =故面积为.ABC ∆1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由知，所以a b >A B >cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以面积为.ABC ∆1sin 2ab C =21.【答案】(1)；(2)259试题解析：(1)由，得，tan(A)24π+=1tan 3A =所以.22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2)由可得，.1tan 3A=sin A A ==，由正弦定理知：3,4a B π==b =又，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以.11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=22.【答案】（1223.【答案】（1）3-；（2）1．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+- 1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）（II ）114试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得.22b ac =又，可得,,a b =2b c =2a c =由余弦定理可得.2221cos 24a cb B ac +-==（II ）由(1)知.22b ac =因为90°，由勾股定理得.B =222a c b +=故，得.222a c ac +=c a =所以ABC 的面积为1.D26.【答案】（I ）a =8,（II .sin C =试题解析:（I ）△ABC 中,由得 由,得1cos ,4A =-sin A =1sin 2bc A = 又由解得 由,可得a =8.由24,bc =2,b c -=6, 4.b c ==2222cos a b c bc A =+-,得sin sin a cA C=sin C =(2),)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭=27.【解析】（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠=28.【解析】在中，由ABC ∆cos B =sin B =因为，所以，A B C π++=sin sin()C A B =+=因为，所以，为锐角，sin sin C B <C B <C cos C =因此.sin sin()sincos cos sin A BC B C B C =+=+==由可得，又，所以.,sinsin a c A C=sinsin c A a C ===ac =1c =29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－p ，tanAtanB ＝1－p于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-所以p(tanA ＋tanB )＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为0π1【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=142sin(2++=πx 所以函数的最小正周期为.)(x f ππ＝＝22T（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f 当 时，2,0[π∈x ]45,4[42πππ∈+x 由正弦函数在上的图象知，x y sin =]45,4[ππ当，即时，取最大值；242ππ=+x 8π=x )(x f 12+当，即时，取最小值.4542ππ=+x 4π=x )(x f 0综上，在上的最大值为，最小值为.)(x f [0,]2π12+031.解析（Ⅰ）∵=+cos －=2(+)－()f x x sin 3x 3sin x 3π3∴的最小正周期为2.()f x π（Ⅱ）∵，∴.203x π≤≤33x πππ≤+≤当，即时，取得最小值.3x ππ+=23x π=()f x∴在区间上的最小值为.()f x 2[0,]3π2(3f π=32.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.()f x p -试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+,1sin 22sin(2)23x x x p =--=--因此的最小正周期为，最小值为()f x p -(2)由条件可知：.g()sin()3x x p=--当时，有，[,]2x pp Î2[,]363x pp p -Î从而的值域为，sin(3x p-1[,1]2那么的值域为.sin(3x p--故在区间上的值域是.g()x [,]2pp 33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得5A =32ππωϕ+=5362ππωϕ+=. 数据补全如下表：π2,6ωϕ==-且函数表达式为.π()5sin(2)6f x x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .因π()5sin(26f x x =-πππ()5sin[2(]5sin(2)666g x x x =+-=+为的对称中心为，. 令，解得，.即sin y x =(π,0)k k ∈Z π2π6x k +=ππ212k x =-k ∈Z 图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为()y g x =ππ0212k -（（（k ∈Z O . π(,0)12-34.【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数，使000(2,2)x k k παππα∈++-得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．04sin 5x >。
2015年高考数学—三角函数(解答+答案)
2015年高考数学—三角函数（解答+答案）1.(2015新课标Ⅰ文数（17）（本小题满分12分）)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积2.（2015新课标II 文数17．（本小题满分12分））ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。
（1）求sin sin BC∠∠；（2）若60BAC ∠=o，求B ∠。
3.（2015安徽文数16.（本小题满分12分）） 已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.4.（2015北京文数（15）（本小题13分））已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。
5.（2015重庆文数18）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.6.(2015福建文数21.（本小题满分12分）)已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．7.（2015广东文数16、（本小题满分12分）） 已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．8.（2015湖北文数18.（本小题满分12分））某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.9.（2015湖南文数17. （本小题满分12分））设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （Ⅰ）证明：sin cos B A =； （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C .10.（2015山东文数17．（本小题满分12分））AB C ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知33cos =B ，sin()A B +=ac =，求A sin 和c 的值.11.（2015陕西文数17．）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =u r 与(cos ,sin )n A B =r平行.（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.12.（2015上海文数21. （本题满分14分））如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.13.（2015四川文数19、(本小题满分12分)）已知A 、B 、C 为ABC ∆的内角，tan ,tan A B 是关于方程2310()x px p p R +-+=∈的两个实根.（Ⅰ）求C 的大小； （Ⅱ）若3,6AB AC ==，求p 的值14.（2015天津文数16.（13分））△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，12,cos ,4b c A -==-（Ⅰ）求a 和sin C 的值； （Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
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A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
3．（2015·北京卷 3）下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x
4．（2015·安徽卷 4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 ω＝________.
20．(2015·陕西卷 17)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m＝(a, 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求 A； (2)若 a＝ 7，b＝2，求△ABC 的面积．
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2015《三角函数》高考真题总结
1．(2015·四川卷 5)下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是( )
π
π
A．y＝sin (2x＋2) C．y＝sin 2x＋cos 2x
B．y＝cos (2x＋2) D．y＝sin x＋cos x
2．(2015·陕西卷 9)设 f(x)＝x－sin x，则 f(x)( )
23.(2015·广东卷 16)已知 tan α＝2.
.
.
( )π
α＋ (1)求 tan 4 的值；
sin 2α (2)求sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．
24.(2015·湖南卷 17)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝btan A.
(1)证明：sin B＝cos A； 3
A．y＝ln x
B．y＝x2＋1
C．y＝sin x
D．y＝cos x
5．(2015·广东卷 3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
三角函数高考真题文科总结及答案
三角函数高考真题文科总结及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2) C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x 2＋sin x 6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .28.（2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．29.(2015·四川卷19)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B 是关于x的方程x2＋3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1) 求C的大小；(2) 若AB＝3，AC＝6，求p的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f(x)＝103sin x2cosx2＋10cos2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，及b c <，可得2b =7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ 9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a bA B =63=2sin B =以4B π∠=.13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC14.2【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B 及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =，由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A = 由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =21.【答案】(1)25；(2)9试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++. (2)由1tan 3A =可得，10310sin ,cos 1010A A ==. 3,4a B π==，由正弦定理知：35b =.又25sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=， 所以1125sin 3359225ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 22.【答案】（1）7；（2）43723.【答案】（1）3-；（2）1．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）14（II ）1试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac .又a b ，可得2b c ,2a c , 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac. （II ）由(1)知22b ac .因为B 90°，由勾股定理得222a c b .故222a c ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a =8,sin C =（II .试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =.(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠=28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==由,sin sin a c A C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. 29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2－p ＋1＝0的判别式 △＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0 所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanBp ，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )1)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为10 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为，最小值为2+3，（Ⅱ）1323,].试题解析： (1) 2113()sin 23cos sin 2(1cos 2)22f x x xx x1333sin 2cos 2sin(2)232x x x , 因此()f x 的最小正周期为，最小值为2+3. (2)由条件可知：3g()sin()32x x . 当[,]2x 时，有2[,]363x， 从而sin()3x 的值域为1[,1]2， 那么3sin()32x的值域为1323,]. 故g()x 在区间[,]2上的值域是1323,].33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．。
三角函数高考真题文科总结及答案
2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2) C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin x D ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x 2＋sin x 6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ； (2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14. (1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.28.（2015·山东卷17）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．29.(2015·四川卷19)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1) 求C的大小；(2) 若AB＝3，AC＝6，求p的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：，及，可得7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=- 8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=. 13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：14.【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则 45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC ACsin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－1【解析】由已知可得，sin α＝－2cos α，即tan α＝－22sin αcos α－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =， 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =， 又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 21.【答案】(1)25；(2)9 试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 22.【答案】（1（223.【答案】（1）；（2）．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a ==所以D ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a =8,sin C =（II .试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 所以 28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B =. 因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=. 由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. ,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 30.3B B ∠=∠=29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式 △＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==-所以p(tanA ＋tanB )＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）最大值为1+0 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-（Ⅱ）.试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp上的值域是.33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，所以当（）时，均有． 2π()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5x >45<003πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4sin 5x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5x >因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．k ()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>k 0x ()00g x >。
C：三角函数(文科2015年) Word版含答案
数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 16．C2，C5，C6 已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．13．B9、C2、C6 函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．13．2 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图像的交点个数．作出函数图像如图所示，两函数图像的交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.3．B4，C2 下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x3．B 选项A 中，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，函数为奇函数；选项B 中，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，所以函数为偶函数；选项C 中，函数y ＝|ln x |的定义域不关于原点对称，所以函数不具备奇偶性；选项D 中，函数y ＝2－x为非奇非偶函数，故选B.6．C2 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5126．D 因为α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－512.13．C2 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是____________． 13．－1 由已知可得tan α＝－2，2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.C3 三角函数的图象与性质18．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．18．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 5．C3 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin2x ＋π2B ．y ＝cos2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x5．B 选项A ，B ，C 中的函数的最小正周期都是π，选项D 中，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期是2π，故排除D.选项A 中，y ＝cos 2x 是偶函数；选项B 中，y＝－sin 2x 为奇函数；选项C 中，y ＝2sin2x ＋π4是非奇非偶函数．5．B8、C3 函数f (x )＝x －1xcos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )图125．D y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，故f (x )是奇函数，排除A ，B ；当x ＝π时，f (π)＝1π－π<0，排除C ，故选D.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质16．C4、C5 已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.18．C4、C3 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心．18．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图像的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0. 8．C4 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图12所示，则f (x )的单调递减区间为( )图12A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 8．D 由图知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.因为函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ；当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z .所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，由2k π<πx ＋π4<π＋2k π解得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.15．C4，C5 已知函数f (x )＝sin x －2 3sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．15．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.15．C4 已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________．15.π2 设距离最短的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．根据正弦函数、余弦函数的性质，不妨设距离最短的两个交点的横坐标满足ωx 1＝π4，ωx 2＝5π4，即x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，此时y 1＝2，y 2＝－2，由两点间距离公式得5π4ω－π4ω2＋(2＋2)2＝12，解得ω＝π2.4．C4 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．B 设将函数y ＝sin 4x 的图像向右平移φ个单位，得到函数y ＝sin 4(x －φ)＝sin(4x －4φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 的图像，故φ＝π12. 14．C4 如图14，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．图1414．8 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8.14．C4、C5 已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．14.π2 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，当－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4ω＋2k πω≤x ≤π4ω＋2k πω，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增．又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以－3π4ω≤x ≤π4ω，则－3π4ω≤－ω且ω≤π4ω，所以ω2≤π4.又因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以2sin ω2＋π4＝±2，所以ω2＝π4＋k π，k ∈Z .综上可得，ω＝π2. 11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，最小值是________．11．π3－22 由题得，f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，故函数f (x )的最小正周期是π，最小值是3－22.18．C3、C4、C5、C6 已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，当x ∈π2，π时，求g (x )的值域．18．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x－32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin x －π3－32.当x ∈π2，π时，有x －π3∈π6，2π3，从而sin x －π3∈12，1，那么sin x －π3－32∈1－32，2－32. 故g (x )在区间π2，π上的值域是1－32，2－32.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切16．C4、C5 已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取得最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.16．C2，C5，C6 已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．17．C5、C8 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积． 17．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2， 所以△ABC 的面积为1.17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 17．解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以 sin ∠C ＝sin (∠BAC ＋∠B )＝ 32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30° 15．C4，C5 已知函数f (x )＝sin x －2 3sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．15．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.17．C5、C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin －sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ， 所以cos A sin B ＝34.由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34，又B 为钝角，所以sin B ＝32，B ＝120°.由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°， 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.19．B9，C5，C8 已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．19．解：(1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0， 所以p ≤－2或p ≥23.由韦达定理，得tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p . 于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3， 所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得 sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22， 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)． 于是A ＝180°－B －C ＝75°.则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13×(2＋3＋1)＝－1－ 3. 14．C4、C5 已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．14.π2 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，当－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4ω＋2k πω≤x ≤π4ω＋2k πω，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增．又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以－3π4ω≤x ≤π4ω，则－3π4ω≤－ω且ω≤π4ω，所以ω2≤π4.又因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以2sin ω2＋π4＝±2，所以ω2＝π4＋k π，k ∈Z .综上可得，ω＝π2. 16．C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos2A ＋π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A＝15－7316. 11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，最小值是________．11．π3－22 由题得，f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，故函数f (x )的最小正周期是π，最小值是3－22.6．C5 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16 C.57 D.566．A tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.18．C3、C4、C5、C6 已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，当x ∈π2，π时，求g (x )的值域．18．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x－32＝sin2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin x －π3－32.当x ∈π2，π时，有x －π3∈π6，2π3，从而sin x －π3∈12，1，那么sin x －π3－32∈1－32，2－32. 故g (x )在区间π2，π上的值域是1－32，2－32.8．C5 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．8．3 因为β＝(α＋β)－α，所以tan β＝tan ＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.C6 二倍角公式16．C2，C5，C6 已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．13．B9、C2、C6 函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．13．2 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图像的交点个数．作出函数图像如图所示，两函数图像的交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.11．C4、C5、C6 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是____________，最小值是________．11．π3－22 由题得，f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，故函数f (x )的最小正周期是π，最小值是3－22.18．C3、C4、C5、C6 已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图像，当x ∈π2，π时，求g (x )的值域．18．解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x－32＝sin2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知g (x )＝sin x －π3－32.当x ∈π2，π时，有x －π3∈π6，2π3，从而sin x －π3∈12，1，那么sin x －π3－32∈1－32，2－32. 故g (x )在区间π2，π上的值域是1－32，2－32.C7 三角函数的求值、化简与证明17．C7、C8 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 17．解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C <sin B ，所以C <B ，可知C 为锐角， 所以cos C ＝539，因此sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69 ＝223. 由a sin A ＝csin C， 可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1. 14．C7、F3 设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cosk π6，sink π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k＋1)的值为________． 14．93 因为a k ·a k＋1＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6＝2cosk π6cos（k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋sin k π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＝cosk π6cos（k ＋1）π6＋cos π6＋sin （2k ＋1）π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，所以k ＝011(a k ·a k ＋1)＝12×334＋12k ＝011cos （2k ＋1）π6＋k ＝011sin （2k ＋1）π6＝9 3C8 解三角形12．C8 在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________．12．2 依题意得∠C ＝60°，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，即AC ＝6×2232＝2.5．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 35．C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.因为b <c, 所以b ＝2.15．C8 如图12，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.图1215．100 6 依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.17．C5、C8 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC . (1)若a ＝b ，求cos B;(2)若B ＝90°，且a ＝2， 求△ABC 的面积． 17．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，所以可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，所以由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝2， 所以△ABC 的面积为1.17．C5、C8 △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 17．解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以 sin ∠C ＝sin (∠BAC ＋∠B )＝ 32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°11．C8 在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．11.π4 根据正弦定理a sin A ＝b sin B，可得3sin2π3＝6sin B ，解得sin B ＝22，因为0<∠B <π3，所以∠B ＝π4.14．C8 若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________．14. 2 B ＝60°，因为BC sin A ＝AC sin B ，所以BC ＝AC ·sin A sin B ＝3sin 45°sin 60°＝ 2.17．C5、C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .17．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin －sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ， 所以cos A sin B ＝34.由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34，又B 为钝角，所以sin B ＝32，B ＝120°.由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°， 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.17．C7、C8 △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 17．解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C <sin B ，所以C <B ，可知C 为锐角，所以cos C ＝539，因此sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69 ＝223. 由a sin A ＝csin C， 可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1.17．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 从而sin B ＝217.又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.19．B9，C5，C8 已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值．19．解：(1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0， 所以p ≤－2或p ≥23.由韦达定理，得tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p . 于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3， 所以C ＝60°. (2)由正弦定理，得 sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22， 解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)． 于是A ＝180°－B －C ＝75°.则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13×(2＋3＋1)＝－1－ 3. 16．C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos2A ＋π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A＝15－7316. 16．C8，C9 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．16．解：(1)由tan π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A ＋π4，得sin C ＝2 55.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.13．C8 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________．13．4 由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，即b ＝32a ＝3.在△ABC 中，由余弦定理cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.15．C8 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．15．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.C9 单元综合21．C92015·福建卷已知函数f (x )＝10 3sin x 2·cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)将函数f (x )的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.21．解：(1)因为f (x )＝10 3sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝5 3sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图像向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图像，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图像．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8>0，即sin x 0>45.由45<32知，存在0<α0<π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x >45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x >45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0>π3>1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k >45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.16．C8，C9 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．16．解：(1)由tan π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A ＋π4，得sin C ＝2 55.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.4． 已知向量a ＝sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos2A ＋π6x ∈0，π3的取值范围． 4．解：(1)∵a∥b ，∴tan x ＝－34，∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin2x ＋π4＋32.由asin A ＝b sin B 可得sin A ＝22， 又b >a ，∴A ＝π4，∴f (x )＋4cos2A ＋π6＝2sin2x ＋π4－12.又∵x ∈0，π3，∴2x ＋π4∈π4，11π12，∴32－1≤f (x )＋4cos2A ＋π6≤2－12. 8． 已知函数f (x )＝2cos x ·(sin x －cos x )＋1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，3π4上的最小值和最大值．8．解：(1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin2x －π4，因此函数f (x )的最小正周期为π.(2)因为f (x )＝2sin2x －π4在区间π8，3π8上为增函数，在区间3π8，3π4上为减函数，且f π8＝0，f 3π8＝2，f 3π4＝2sin 5π4＝－1，所以函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.9． (1)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈0，π2，求cos β的值；(2)已知α为第二象限角，且sin α＝24，求cos π4－αcos 2α－sin （2α－π）＋1的值．9．解：(1)∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝4 37，sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝5 314，∴cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5 314×4 37＝4914×7＝12. (2)∵α为第二象限角，sin α＝24， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－144， ∴cos π4－αcos 2α－sin （2α－π）＋1＝22cos α＋22sin αcos 2α－sin 2α＋2sin αcos α＋1＝2－28828－2 2816＝－77. 3． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝c sin B ＋b cos C . (1)求A ＋C 的值；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．3．解：(1)由正弦定理，得sin A ＝sin C sin B ＋sin B cos C ， 又sin A ＝sin ＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以cos B sin C ＝sin C sin B. 又因为C∈(0，π)，所以sin C ≠0， 所以cos B ＝sin B ，所以tan B ＝1.又B∈(0，π)，所以B ＝π4，所以A ＋C ＝34π.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以2＝a 2＋c 2－2ac ，所以2＋2ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立， 即ac≤22－2＝2＋2，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ≤1＋22，所以△ABC 面积的最大值为1＋22.。
2015高考题(文理)——三角函数及三角恒等变形
2015高考题（文理）——三角函数及三角恒等变形1.（2015·北京·理科）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：212--. 试题解析：(Ⅰ)211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- ()f x 的最小正周期为221T ππ==； (Ⅱ)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤Q ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 2.（2015·北京·文科）已知函数()2sin 23sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（2015·广东·文科）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（2015·安徽·文科）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（2015·福建·理科）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2sin cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +5sin()x j =+（其中12sin ,cos 55j j ==），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m =和函数5sin()y x j =+有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) 21f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x +=+=+ 5sin()x j =+（其中12sin ,cos 55j j ==） 依题意知，sin()=5m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当||15m<，故m 的取值范围是(5,5)-.2)因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5m b j +. 当1m<5£时，+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+ 当5<m<1-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+ 所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m a b b j b j -=-+=+-=-=-( 解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5m a j +，sin()=5mb j +. 当1m<5£时，+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即 当5<m<1-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即所以cos +)cos()a j b j =-+(cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m m m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（2015·福建·文科）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．考点：同角三角函数基本关系式．7.（2015·福建·文科）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ． 试题解析：（I ）因为()2103sincos 10cos 222x x xf x =+ 53sin 5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象． 又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（2015·新课标Ⅰ·理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(2015·新课标Ⅰ·理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 A.（）,kB.（）,kC.（）,kD.（）,k【答案】B10.（2015·陕西·理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11.（2015·陕西·文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（2015·天津·理科）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（2015·天津·文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.14.（2015·湖南·理科）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D试题分析：向右平移ϕ个单位后,得到)22sin()(ϕ-=x x g ,又∵2|)()(|21=-x g x f ,不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.15.（2015·江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式16.（2015·江苏）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.学习方法报社全新课标理念，优质课程资源考点：余弦定理，二倍角公式11。
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2015届文科数学三角函数专题训练一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则A ．1213-B ．513-C ．513D ．12132 ．（2013年高考江西卷sincos 2αα==若 （ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．233．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)=（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2013年高考广东卷（文））已知51sin()25πα+=,那么cos α=（ ） A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．（2013年高考北京卷（文））在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sinB =（ ）A ．15B ．59CD ．16．（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7 ．（2013年高考辽宁卷（文））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为（ ） A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-19．（2013年高考山东卷（文））ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =,则c =（ ） A．B ．2CD ．110．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要把函数f (x )＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位11．（2013年高考大纲卷（文））若函数()()sin0=y x ωϕωω=+>的部分图像如下图(左)，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212 ．（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如上图(右)所示,则,ωϕ的值分别是 （ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π13．（2013年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π14．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．515．（2013年浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2二、填空题1．（2013年高考四川卷（文））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.2．（2013年上海高考数学试题（文科））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________3．（2013年上海高考数学试题（文科））若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则()cos 22x y -=________. 4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.三、解答题1．（2013年高考辽宁卷（文））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =⋅求的最大值2．（2013年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3．（2013年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若sin sin A C =,求C .4．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =,a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值..5．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.6．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =+. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.7．（2013年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.8．（2013年高考江西卷（文））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1) 求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值.9．（2013年高考安徽（文））设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.10．（2013年高考北京卷（文））已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值; (II)若(,)2παπ∈,且f α=（）求α的值.三家函数及解三角形部分复习要点 3. 同角三角函数基本关系（1）平方关系 （2）商数关系 4.和差角公式、二倍角公式、诱导公式、辅助角公式⑴()cos αβ-= ；⑵()cos αβ+= ；⑶()sinαβ-= ；⑷()sin αβ+= ； ⑸()tanαβ-= ⑹()tan αβ+=5、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 2α= ．⑵cos 2α= （3）tan 2α=6. 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：（1）周期 （2）最值 （3）单调区间（4）取得最值时X 的集合解三角形：1、正弦定理：2、正弦定理的变形公式；3、三角形面积公式：．4、余弦定理：5、推论：江川二中2014届文科数学回归基础练习3（3月20、21日周四、五）答案一、选择题ACACB AABBD BABDA二、填空题1．【答案】3 2.【答案】23π 3． 【答案】79- 4．【答案】5-;三、解答题1．（2013年高考辽宁卷（文））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =⋅求的最大值【答案】2．（2013年高考陕西卷（文））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.3．（2013年高考大纲卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得,2221cos 22a cb B ac +-==-, 因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++122=+2=故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.4．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =,a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】.5．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:2sin sin A B B=,且(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=; (Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到:222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,所以128232ABCS =⨯⨯= 11．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =+. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.12．（2013年高考四川卷（文））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=- 得53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A又π<<A 0,则 54sin =A (Ⅱ)由正弦定理,有BbA a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B .根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c , 解得 1=c 或 7-=c (负值舍去),向量BA 在BC=B 22 13．（2013年高考江西卷（文））在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列(2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos3b a a b ac π-=+-化简得35a b = 14．（2013年高考安徽（文））设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【答案】解:(1)3sincos 3cossin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++=)6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 时,3)(min -=x f ,此时)(,234,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移6π个单位,得)6sin(3)(π+=x x f 15．（2013年高考北京卷（文））已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且2f α=（）,求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x +=1(sin 4cos 4)2x x +=)24x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,最大值为2.(II)因为2f α=（）,所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈,所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=.。