北京市东城区171中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版缺答案

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北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B = （）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<< ．故选C ．2．“0x >”是“20x x +>”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>，sin 21x x >-，则p ⌝为（）．A ．0x ∀>，sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>，sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤”．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=（）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=，当0x =时，函数值为2，过点(0,2)，排除B ，D ．对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ．综上，故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ，b是两个非零向量（）．A ．若||||||a b a b +=- ，则a b⊥B ．若a b⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=- ，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +- ≥|，其中等号当且仅当向量a ，b共线时成立，所以由||||||a b a b +=- ，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥，则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>，故A 项错误；B 项，若()f a b ≠，如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <，故C 项错误；D 项，2()2bf a >，2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________．【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________．【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12，122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ= ，(1,cos )b θ=- ，若0a b ⋅= ，则tan θ=__________．【答案】12 【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=，解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时，()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以(1)(1)f f =-．当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-，故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >．故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤，则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ，06y ≤≤，则(0,4)PE y =- ，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上，设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =-- ，(6,2)PF x =--， ∴2=64PE PF x x ⋅- +．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤． ∴当7λ=-时有一解，当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上，设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =-- ，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+．∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤． ∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()f x的最小正周期2ππ2T==．由πππ2π22π+242k x k--≤≤，k∈Z，可得：3πππ88k x kλ-≤≤+，k∈Z故函数()f x的单调递增区间是π3ππ,π88k k⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k∈Z．（2）∵π3π,44x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin24x⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦π24x⎛⎫⎡-∈-⎪⎣⎝⎭，即()f x⎡∈-⎣，故函数()f x在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)na n= 满足12n na a+=，且1a，21a+，3a成等差数列，设23log10n nb a=-．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式．（2）求数列{}n b的前n项和n T．【答案】【解析】（1）12n na a=+，∴{}n a为等比数列，其公比为2．∵1a，21a+，3a成等差数列，∴2132(1)a a a=++，即1112(21)4a a a=++，解得：12a=．∴112n nna a q-==，222log103log210310nn nb a n=-=-=-，故2nna=，310nb n=-．（2）由310nb n=-，可得{}n b的前几项和为1(317)2nS n n=-．当13n-≤≤时，0nb<，即1(317)2n nT S n n=-=--；当4n≥时，可得：231317482(317)2422n nn nT S S n n-=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42nn nnT nn nn⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N≤≤≥++．17．在ABC △中，内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ，且1cos 2B =-．（1）若2a =，b =C 的大小．（2）求sin sin A C ⋅的取值范围．【答案】【解析】（1）在ABC △中，1cos 2B =-，(0,π)B ∈,∴2π3B =,sin B =．由正弦定理sin sin a b A B =，可得：2sin A =，∴1sin 2A =，∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦．故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立，求实数a 的最小值．【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+．（2）由()0f x =，可得1x =，即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值，无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e xxf x -=>，若1a <，令12x =，2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+，由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意；若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥，所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥，即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立．综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =，结合222a b =+c ，解得：a ，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+，将直线方程与椭圆方程联立，22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++．由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+，从而直线AP ，AQ 的斜率之和：12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，n *∈N ．（1）当1m =时，求2a ，3a ，4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论．（3）当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >．【答案】【解析】（1）当1m =时，211n na a =++，10a =， ∴21a =，32a =，45a =．（2）∵2a ，3a ，4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++，∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列．（3）∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >，∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥，12n n a a d ---≥，，21a a d -≥， ∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥．取正整数20161k d>+，则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时，存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

2017届东城区普通校高三第一学期联考理科数学试卷及答案

2017届东城区普通校⾼三第⼀学期联考理科数学试卷及答案东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试⽤时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

祝各位考⽣考试顺利！第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题列出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．若集合{}20M x x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A) {}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x << 2. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤ （D ）若1a b +<，则a b <3. “2x >”是“24x >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4. 已知数列{}n a 为等差数列，且1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 5. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x = （B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =6．曲线 331x y =在x=1处切线的倾斜⾓为（A ）1 （B ）4π- （C ）4π（D ）54π7. 要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π（B ）向右平移π单位（C ）向右平移8π单位（D ）向左平移8π单位 8．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是（A ）12log y x =（B ）21x y =- （C ）212y x =-(D) 3y x =- 9．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a << （D ）b a c <<10．如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下⾯判断正确的是（A ）在区间（－2,1）上)(x f 是增函数（B ）在（1,3）上)(x f 是减函数（C ）在（4,5）上)(x f 是增函数（D ）当4=x 时，)(x f 取极⼤值11．已知数列}{n a 为等⽐数列，274=+a a ，865-=?a a ，则101a a +的值为（A ）7 （B ）5- （C ）5 （D ）7-12. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．13. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________.14. 已知53sin =α，且α为第⼆象限⾓，则αtan 的值为 . 15. 若曲线21232-+=x x y 的某⼀切线与直线341+-=x y 垂直，则切点坐标为 .16. 在ABC ?中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 17．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R)满⾜f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．18．①命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；②函数2()2xf x x =-的零点有2个；③若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0；④函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的⾯积是π-πsin d S x x =；⑤若函数f (x )＝a x －5x >6 ，? ??4－a 2x ＋4 x ≤6 ，在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为（1，8）．其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本⼤题共4⼩题，共60分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．19．（本⼩题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x -．（Ⅰ）求()f x 的最⼩正周期；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最⼤值及相应的x 的值．20. （本⼩题满分14分）在锐⾓ABC ?中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .21.（本⼩题共14分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，410a =，且3a ，6a ，10a 成等⽐数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(*)n an b n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和公式.22.（本⼩题共18分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 在[1,3]上的最⼩值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex ∈（e 为⾃然对数的底数，且e =2.71828 ）使不等式22()3f x x ax ≥-+-成⽴，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(x F 的导函数为)(x f ，试写出⼀个符合要求的)(x F （⽆需过程）.东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考试卷答题纸⾼三数学（理科）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉第Ⅰ卷1_______2_______3_______4_______5_______6_______7_______8_______9______10______11_______12______13. 14.15. 16学号17. 18. 19解：20. 解：21. 解：号学22. 解：东城区普通校2013-2014学年第⼀学期联考答案⾼三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法⾃⼰根据情况相应地给分）命题校：北京市第⼆⼗⼆中学 2013年11⽉⼀.选择题1 A2 C3 A4 B5 D6 C7 C8 B9 B 10C 11D 12A⼆.填空题13. {x | x >1 } 14. 43-15. （1，2）16.①③（写对⼀个给2分，写错⼀个不得分）三．解答题19．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222--1sin(2)62x π=--，所以22T ππ==，故()f x 的最⼩正周期为π. …………………… 7分（Ⅱ）因为 02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤．所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最⼤值12. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ?中，sin 0C >，所以sin 4C =. ……………………………………………7分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ?是锐⾓三⾓形，所以cos C =，cos A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=A=，所以a =…………………………14分 21．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，⼜410a =，可得310a d =-，6102a d =+， 10106a d =+．由3a ，6a ，10a 成等⽐数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．由0d ≠,可得1d =．14310317a a d =-=-?=，所以1(1)6n a a n d n =+-=+． …………………7分（Ⅱ）由2(*)n an b n =∈N ，6n a n =+，可得62n n b +=.所以1612128b +==．因为716222n n n n b b +++==，所以数列{}n b 是⾸项为128，公⽐为2的等⽐数列．所以{}n b 的前n 项和公式为7128(12)212812n n n S +-==--．………14分 22．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，当1(0,)ex ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)ex ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增．⼜(1)ln10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最⼩值为0． …………………7分（Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x ≤++．若存在1[,e]ex ∈使不等式2只需a ⼩于或等于32ln x x x++的最⼤值．设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x+-'=+-=．当1[,1)x e∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当(1,e]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增．由11()23e e e h =-+ +，3(e)2e e h =++，12()(e)2e 40e eh h -=-->，可得1()(e)eh h >．所以，当1[,e]e x ∈时，)(x h 的最⼤值为11()23e e eh =-++．故123e ea ≤-++． ………………14分（Ⅲ）4ln 2)(22x x x x F -=………………18分。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：数列-Word版含答案

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末)已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，12a =,2312a a +=，则5S =________ .2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =,32a S =，则2a =，10S =3、（朝阳区2017届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若23=a ，245S S =，则1a = ，4S =4、(东城区2017届高三上学期期末)数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时,其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是5、(丰台区2017届高三上学期期末）在等比数列}{n a 中,31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A)9（B ）72（C ）9或72（D) 9或-726、（海淀区2017届高三上学期期中)已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____.7、（石景山区2017届高三上学期期末）等差数列{}n a 学科网中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．8、（通州区2017届高三上学期期末）设S n 为等差数列｛a n }的前n 项和，若11a =，7524S S -=,则6____.S =9、（西城区2017届高三上学期期末）设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．二、解答题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）设(3)m,n m n ≤≤是正整数,数列:m A 12m a ,a ,,a ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1k k m ≤≤（）有i j k a a a +=,则称数列m A 是“好数列”．（Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列",试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？(ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<,求a,b,c,d 共有多少种不同的取值?（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”,且m 是偶数，证明:1212m a a a n m ++++≥．2、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列。

北京市东城区第171中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

北京东城区第一七一中学2017—2018学年度高三数学（理科）期中考试试题一、本大题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知是虚数单位，复数（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D.2. 已知集合，集合，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由中的不等式变形得：，得到，由中的不等式变形得：，得到，即，则，故选A.3. 在极坐标系中，点到直线的距离是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】点到直线分别化为直角坐标系下的坐标与方程：，直线点到直线的距离，点到直线的距离是，故选C.4. 已知中，，则（）．A. B. C. D.【答案】A5. 已知不等式组，表示的平面区域的面积等于，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：4过定点表示直线的下方，，则由图象可知，由，解得，即，则的面积，故，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈)，那么该刍甍的体积为（左视图为正视图，右图为左视图，下图为俯视图）（）．A. 立方丈B. 立方丈C. 立方丈D. 立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.7. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（）．A. B. C. D. 或【答案】B【解析】如图所示，平行四边形中，对角线与交于点，根据向量加法原理可得，故选B.8. 设函数，则“”是“与”都恰有两个零点的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以开口向上，有两个零点，最小值必然小于，当取得最小值时，，即，令，则，必有两个零点，同理，由于是对称轴，开口向上，，必有两个零点，所以“”是“与”都恰有两个零点的充要条件，故选C.【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】10【解析】展开式中含项的系数分别为，系数的和为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10. 设是等差数列的前项和，若，，则公差__________．__________．【答案】(1). 2(2). 40【解析】由题意，，①，②②-①得，，即，由等差数列的前项和公式和性质可得：，故答案为.11. 过点的直线将圆分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是__________．【答案】【解析】由条件知点在圆内，故当劣弧最短时，应与圆心与点的连线垂直，设圆心为，则直线的斜率的方程为，即，故答案为.12. 若函数是奇函数，则__________．【答案】【解析】设，则，结合奇函数的性质可得：，故答案为.13. 将、、、、、六个字母排成一排，且、均在的同侧，则不同的排法共有__________种（用数字作答）．【答案】480【解析】按的位置分类，在左1 ，左2 ，左3 ，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可，当在左边第1个位置时，有，当在左边第2个位置时，和有右边的4个位置可以选，有，当在左边第3个位置时，有,共为种，乘以2得，则不同的排法共有种，故答案为.14. 对于一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数，计算__________；若，，为数列的前项和，则__________．【答案】(1). 1(2).【解析】为不大于的最大整数，，为高斯实数或取实数，若，，，，，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分15. （本小题共分）设函数，其中．（Ⅰ）若的最小正周期为，求的单调递增区间．（Ⅱ）若函数的图像的一条对称轴为，求的值．【答案】(1)增区间为，．(2)或【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式将化成的形式，再利用的周期为，根据周期公式列方程求，利用正弦函数的单调性列不等式可得的单调递增区间；（2）∵是的一条对称轴，∴，，取特殊值，结合条件，即可求得的值.试题解析：（Ⅰ），∵的最小正周期是，∴，，∴，令，，得，，∴的单调增区间为，．（Ⅱ）∵是的一条对称轴，∴，，∴，又，，∴或．16. （本小题共分）袋子里有完全相同的只红球和只黑球，今从袋子里随机取球．（Ⅰ）若有放回地取次，每次取一个球，求取出个红球个黑球的概率．（Ⅱ）若无放回地取次，每次取一个球，若取出每只红球得分，取出每只黑球得分，求得分的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由题可先算出取出红球和黑球的概率，再求取3次2个红球1个黑球的概率，可知为独立重复试验（有放回），运用独立重复试验的概率公式可求；（注意规范解题格式）（2）由题意（无放回），先分析出的可能取值，再分别求出对应的概率，可列出分布列（为超几何分布），代入期望公式可得。

北京市东城区2017届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f （t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B 是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【考点】散点图．【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f （t）成立，则a的取值范围是a＞1．【考点】分段函数的应用．【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…18．设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B 是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P 三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B，Q，P三点共线，∴．∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），即，解得，∵点Q在椭圆C上，∴．∴．即，∵A，B在椭圆C上，∴，．∵直线OA，OB的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由子集定义直接写出答案；（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=，x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．（1，1，1，1，1，1，1，1）在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…2017年1月21日。

2016-2017北京东城171中学高三上期中【理】

北京市第一七一中学2017届高三第二次月考试题数学学科（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．负数i(i1)等于（）．A ．1iB ．1iC ．1iD ．1i2．下列函数中，既是偶函数，又是(0,)上是单调减函数的是（）．A ．12yxB ．cos yxC ．2xyD ．ln 1yx 3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a，2b ，1cos()3AB ，则c（）．A ．4B ．15C ．3D ．174．阅读如下图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为（）．A ．3B ．5C ．10D ．165．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“2cos a b C ”是“ABC △是等腰三角形”（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件是否是否输出n i<3n=n 2i=i +1n=3n+1n 是奇数i=0输入n 结束开始6．设函数212log ,0()log (),0x xf x x x 若()()f a f a ，则实数a 的取值范围是（）．A ．(1,0)(0,1)B ．(,1)(0,1)C ．(,1)(1,)D ．(1,0)(1,)7．设函数sin cos yx xx 的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x ，则函数0()kg x 的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．为了平衡膳食小王同学在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小王同学在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）．A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合24Ax x，0,1,2B，则AB__________．10．从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a__________，由图中数据可估计此次成绩平均分为__________．OxyyxOyxOyxO分数分()9080706050400.0050.0100.0200.030a频率组距。

数学理卷·2017届北京市海淀区高三上学期期中考试word版(精选)

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log xbc y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a bA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2xf x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线 Word版含答案

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于．2、（西城区2017届高三上学期期末）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=3、（东城区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-4、（丰台区2017届高三上学期期末）设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为．5、（海淀区2017届高三上学期期末）抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．36、（昌平区2017届高三上学期期末）在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7、（海淀区2017届高三上学期期末）已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A ．12y x =-+B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-8、（石景山区2017届高三上学期期末）若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是．9、（通州区2017届高三上学期期末）“>1m ”是“方程2211x y m m -=-表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、（东城区2017届高三上学期期末））若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．11、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）设双曲线=1的两焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上的一点，若PF 1与双曲线的一条渐近线平行，则•=（）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）椭圆C 的焦点为1(F ,2F ，且点M 在椭圆C 上.过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点,点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）.(I) 求椭圆C 的标准方程；(II)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(0)A ,B 不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．3、（西城区2017届高三上学期期末）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅ 为定值．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．7、（石景山区2017届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．8、（通州区2017届高三上学期期末）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．参考答案一、选择、填空题1、32、B3、D4、535、B6、A7、A 8、( 9、A 1011、解：由双曲线=1的a=，b=1，c=2，得F 1（﹣2，0），F 2（2，0），渐近线为，由对称性，不妨设PF 1与直线平行，可得，由得，即有，，•=﹣×+（﹣）2=﹣．故选B ．二、解答题1、解：(I)法一设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得22222,211,a b c a b c ⎧=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分法二设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由已知得c =12214a MF MF =+==.所以2a =， 2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. …………6分 (II)法一当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+.由221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y .则22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩特殊地，当A 为(2,0)时，12=-k ，所以2423=-x ，223=-x ，243=y ，即24(,)33-B .所以点B 关于y 轴的对称点24(,)33D ，则直线AD 的方程为(2)=--y x . 又因为当直线l 斜率不存时，直线AD 的方程为0=x ，如果存在定点Q 满足条件，则(0,2)Q . 所以111112111---===-QA y y k k x x x ，222222111---===-+--QD y y k k x x x ，又因为 121212112()2()220QA QB x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-=，所以=QA QD k k ，即,,A D Q 三点共线.即直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2)Q . …………14分法二(II)①当直线l 的斜率存在时（由题意0≠k ），设直线l 的方程为1y kx =+ .由221,24y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得22(12)420k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -.所以22122122168(21)0,4,212.21k k k x x k x x k ⎧⎪∆=++>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩因为2121AD y y k x x -=--，所以直线AD 的方程为：211121()y y y y x x x x --=---.所以21121112121y y x y x yy x y x x x x --=⋅++--+21121121112121y y x y x y x y x yx x x x x --++=⋅+--+2112212121y y x y x y x x x x x -+=⋅+--+ 2112212121(1)(1)y y x kx x kx x x x x x -+++=⋅+--+ 21122121212y y kx x x x x x x x x -++=⋅+--+ 2112212121y y kx x x x x x x -=⋅++--+21212y y x x x -=⋅+--.因为当0,2x y ==，所以直线MD 恒过(0,2)点.②当k 不存在时，直线AD 的方程为0x =，过定点(0,2). 综上所述，直线AD 恒过定点，定点坐标为(0,2). …………14分2、解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=．所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分（Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===．设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 3、解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而000ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]4、解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1，因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-，所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=．所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 5、解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. (4)分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ，则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. (13)分6、解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+ 所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.7、解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 8、解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=① 11,22c e a ==又所以② 由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y =2k -121212232()1x x x x x x +--++⑤将④代入⑤得=+21k k 322k -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k kk k k k ，……………….12分又213-=k k ，所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分。

北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析

北京市第一七一中学2016—2017学年度第一学期高二年级数学（理)期中考试试题(考试时间:100分钟总分:100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ )．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选D ．2．原点到直线250x y +-=的距离为（ )．A ．1B ．3C ．2D ．5 【答案】D【解析】22|5|512d -==+,故选D ．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）．A ．3:πB ．2:πC ．1:2πD ．1:3π【答案】B【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积216S a =，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知:23R a =，即32R a =，所以外接球的表面积：2224π3πS R a ==，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：226:3π2:πa a =．故选B ．4．如图,直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则（ )．A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<【答案】A【解析】由图可知：10k <，20k >,30k >，且直线3l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，所以32k k >,综上可知：123k k k <<，故选A ．5．平面α平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R =,过A ,B ,C 确定的平面记为γ，则βγ是（）． A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对【答案】C【解析】∵AB l R =，∴R l ∈，R AB ∈，又l αβ=，∴l β⊂，∴R β∈，R γ∈,又∵C β∈，C γ∈，∴CR βγ=，故选C ．6．对于平面α和异面直线m ，n ,下列命题中真命题是（ )．A ．存在平面α，使m α⊥,n α⊥B ．存在平面α,使m α⊂,n α⊂C ．存在平面α,满足m α⊥，n α∥D ．存在平面α，满足m α∥,n α∥ 【答案】D【解析】A 选项，如果存在平面α，使m α⊥，n α⊥，则m n ∥，与m ,n 是异面直线矛盾，故A 不成立； B 选项，如果存在平面α，使m α⊂，则m ,n 共面，与m ,n 是异面直线矛盾,故B 不成立； C 选项，存在平面α，满足m α⊥，n α∥，则m n ⊥，因为m ，n 是任意两条异面直线,不一定满足m n ⊥，故C 不成立；D 选项，存在平面α，使m α∥,n α∥，故D 成立．综上所述，故选D ．7．直线cos 0x m θ⋅+=的倾斜角范围是（）．A ．πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】设直线的倾斜角为α，则tanαθ=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴θ即：tan α∴π5π0,,π66θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B ．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是( ）．A ．8B ．62C ．10D ．82【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示:易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S =△，18A AB S =△,110A AC S =△，162A BC S =△，所以四个面中面积最大的是10，故选C ．9．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则ab 的取值范围是（）． A ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(0,8] D ．[8,)+∞【答案】D【解析】由圆的方程224280x y x y +---=，得圆心坐标为：(2,1),因直线1(0,0)x y a b a b +=>>始终平分圆的周长，则直线1x y a b+=必过点(2,1)， ∴211a b +=, ∴212a b ab+≥ ∴212ab ≥8ab ≥，当且仅当2112a b ==时，等号成立， ∴ab 的取值范围是：[8,)+∞，故选D ．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =,1A E x =,DQ y =,DP z =(x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的面积（）．A ．与x ,y ,z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关,与x ,z 无关D ．与z 有关，与x ,y 无关【答案】D【解析】如图：EF 在棱11A B 上,Q 在棱CD 上，11A B CD ∥,所以QEF △的高为定值,又EF 为定值1，所以QEF △的面积为定值，四面体PEFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离有关,即与DP 的大小有关，故选D ．二、填空题:11．已知圆22:4C x y +=，则过点(2,0)P 的圆的切线方程是__________．【答案】20x -=【解析】∵点(2,0)P 在圆22:4C x y +=上，且0CP k =,∴过点(2,0)P 的且切线斜率不存在,故切线方程是：20x -=．12．直线(21)(3)110()k x k y k k --+-+=∈R 所经过的顶点坐标为__________．【答案】(2,3)【解析】把(21)(3)110k x k y k --+-+=整理后得：(21)(311)0k x y x y ---+-=， ∴2103110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得:23x y =⎧⎨=⎩, 故直线(21)(3)110k x k y k --+-+=恒过定点(2,3)．13．已知1F ，2F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则1AF B △周长为__________．【答案】16 【解析】由椭圆221169x y +=,可得:4a =． 1AF B △的周长111212||||||||||||||416AF BF AB AF AF BF BF a =++=+++==．14．在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】56 【解析】111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．【注意有文字】15．在三棱锥P ABC -中，已知2PA PB PC ===，30BPA BPC CPA ∠=∠=∠=︒，从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中,最短距离是__________．【答案】22【解析】将三棱锥P ABC -沿PA 展开，如图所示:由题意可知：2PA PA '==，90APA '∠=︒,∴22AA '=．即从A 点绕三棱锥侧面一周回到点A 的距离中，最短距离是22．16．二面角l αβ--的大小是60︒,线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒,则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．【答案】64【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在α内作AD l ⊥,垂足为D ，连接CD ，则ADC ∠即是二面角l αβ--的平面角，∴60ADC ∠=︒，设AD x =，则BD x =，2AB x =,12CD x =，3AC ， ∴362sin 2AC ABC AB x∠== 即AB 与平面β6三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ）求证:平面11CAAC ⊥平面11CB D ．(Ⅲ）若正方体棱长为2，求三棱锥11A EFB -的体积．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明:连接BD ，∵11BB DD ∥且11BB DD =，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥．又∵E 、F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF BD ∥，∴11EF B D ∥，又∵EF ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面1CBD ，∴EF ∥平面11CB D ．（Ⅱ)证明:在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平面1111A B C D ，∴111AA B D ⊥，又∵四边形ABCD 是正方形，∴1111B D AC ⊥,∴11B D ⊥平面11CAAC ，又∵11B D ⊂平面11CB D ，∴平面11CAAC ⊥平面11CB D ．（Ⅲ）11111112A EFB E A B F A B F V V S AE --==⨯△，∵111111122222A B F S A B AA =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11122133A EFB V -=⨯⨯=．18．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证:AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ)求二面角F BE D --的余弦值．(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥，∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -， ∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒,∴3ED DB由3AD =，可知：36DE =，6AF =．则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-，设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即303260y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令z (4,2,6)n =．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，∴(3,3,0)CA =-，所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅===．因为二面角为锐角，故二面角F BE D --．（Ⅲ）依题意得,设(,,0)(0)M t t t >，则(3,,0)AM t t =-，∵AM ∥平面BEF ,∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =，∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时23DM DB =， ∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，及离心率．(Ⅱ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于A ,B 两点,求OAB △面积的最大值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2a =，1b =，c∴椭圆C 的方程为：2214x y +=，离心率：c e a == (Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ,则直线方程为：2y kx =+，由22442x y y kx ⎧+=⎨=+⎩,得22(41)16120k x kx +++=， 222(16)4(41)1216(43)k k k ∆=-+⨯=-,由0∆>得：2430k ->，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+，||AB =又∵原点O 到直线的距离d =∴1||2OAB S AB d =⨯=△41=．当且仅当22164343k k -=-,即2434k -=时，等号成立，此时OAB △面积的最大值为1．。

数学理卷·2017届北京市海淀区高三上学期期中考试word版(精选)

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向 D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log xbc y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C. π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2xf x =上的好位置点. 函数()2xf x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京东城171中2016-2017学年高二上期中数学(理)试题(含精品解析)

北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（理）期中考试试题一、选择题：1. 如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选．2. 原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选．3. 正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：，即，所以外接球的表面积：，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：．故选．4. 图中的直线的斜率分别是，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知：，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，综上可知：，故选．5. 平面平面，点，，，，有，过，，确定的平面记为，则是（）．A. 直线B. 直线C. 直线D. 以上都不对【答案】C【解析】∵，∴，，又，∴，∴，，又∵，，∴，故选．6. 对于平面和异面直线，，下列命题中真命题是（）．A. 存在平面，使，B. 存在平面，使，C. 存在平面，满足，D. 存在平面，满足，【答案】D【解析】选项，如果存在平面，使，，则，与，是异面直线矛盾，故不成立；选项，如果存在平面，使，则，共面，与，是异面直线矛盾，故不成立；选项，存在平面，满足，，则，因为，是任意两条异面直线，不一定满足，故不成立；选项，存在平面，使，，故成立．综上所述，故选．7. 直线的倾斜角范围是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则，∵，∴，即：，∴，故选．8. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且，，，∴，，，，所以四个面中面积最大的是，故选．点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．视频9. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆的方程，得圆心坐标为：，因直线始终平分圆的周长，则直线必过点，∴，∴，∴，即，当且仅当时，等号成立，∴的取值范围是：，故选．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10. 如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，（，，大于零），则四面体的体积（）．A. 与，，都有关B. 与有关，与，无关C. 与有关，与，无关D. 与有关，与，无关【答案】D【解析】如图：在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．二、填空题：11. 已知圆，则过点的圆的切线方程是__________．【答案】【解析】∵点在圆上，且，∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：．12. 直线所经过的定点坐标为__________．【答案】【解析】把整理后得：，∴，解得：，故直线恒过定点．13. 已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，则周长为__________．【答案】【解析】由椭圆，可得：．的周长．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.14. 在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】【解析】15. 在三棱锥中，已知，，从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是__________．【答案】【解析】将三棱锥沿展开，如图所示：由题意可知：，，∴．即从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是．点睛：立体几何最值问题，一般把空间问题转化为平面问题（通常为展开图），再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，通过解三角形等方法求最值.16. 二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．【答案】【解析】过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接，则即是二面角的平面角，∴，设，则，，，，∴．即与平面所成角的正弦值是．三、解答题17. 如图，在正方体中，、为棱、的中点．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求证：平面平面．（Ⅲ）若正方体棱长为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得EF//BD，再根据平行四边形性质得，从而有，再根据线面平行判定定理得平面（2）分析可得关键证平面，这可由正方形性质得，由正方体性质得平面，即得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理证得结论（3），三棱锥高为，再利用三棱锥体积公式可得体积试题解析：（Ⅰ）证明：连接，∵且，∴四边形是平行四边形，∴．又∵、分别是，的中点，∴，∴，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明：在正方体中，∵平面，∴，又∵四边形是正方形，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅲ），∵，∴．18. 如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析.(2).(3)；证明见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 已知椭圆，其长轴为，短轴为.（1）求椭圆的方程及离心率.（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）1【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值试题解析：解：（Ⅰ），，，∴椭圆的方程为：，离心率：．（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，由，得，，由得：，设，，则，，，又∵原点到直线的距离，∴．当且仅当，即时，等号成立，此时面积的最大值为．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.。

北京市东城区北京一中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版缺答案

北京市第一中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三年级数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合|Mx x a ≤，|20Nx x，若MN ，则a 的取值范围为（）．A ．0aB ．0a ≥C ．2aD ．2a ≤2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）．A ．exy B ．3yxC ．sin 2yxD ．12log yx3．若向量a ，b 满足||||2a b ，且6a bb b，则向量a ，b 的夹角为（）．A ．30B ．45C ．60D ．904．已知命题:p x R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（）．A ．命题:p x R ，2x ≤B ．命题:p x R ，2x C ．命题:p xR ，2x ≤D ．命题:p xR ，2x5．已知a ，b R ，下列四个条件中，使a b 成立的必要而不充分的条件是（）．A ．1a bB ．1ab C ．||||a b D ．22ab6．已知向量(3,1)a，12,2b，则下列向量可以与2ab 垂直的是（）．A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(4,2)D ．(4,2)7．为了得到函数sin 2cos2y x x 的图像，只需把函数sin 2cos2y x x 的图像（）．A ．向右平移π2个单位B ．向左平移π2个单位C ．向右平移π4个单位D ．向左平移π4个单位8．已知数列n a 满足1a a ，12nna a ，定义数列n b ，使得1nnb a ，nN *，若46a ，则数列n b 的最大项为（）．A ．2b B ．3b C ．4b D ．5b 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知2log 5a，23b，3log 2c，则a ，b ，c 的大小关系为__________．10．若1sin cos2，则sin 2的值是__________．11．计算211d xxx__________．12．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ABAC ，则的值为__________．DA BCE13．函数()sin()(,0,0π)f x A x A 的部分图像如图所示，其中A 、B 两点间距离为5，则__________．222xy O AB14．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x 满足下列两个条件，则称()y f x 在定义域D 上是闭函数．①()y f x 在D 上是单调函数；②存在区间,a bD ，使()f x 在,a b 上值域为,a b ．如果函数()21f x x k 为闭函数，则k 的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（本小题满分13分）已知等差数列n a 满足：246a a ，63a S ，其中n S 为数列n a 的前n 项和．（I ）求数列n a 的通项公式．（II ）若kN *，且k a ，3k a ，2k S 成等比数列，求k 的值．16．（本小题满分13分）已知ABC △的三个内角分别为A ，B ，C ，且22s i n ()3s i n 2B CA ．（I ）求A 的度数．（II ）若7BC，5AC ，求ABC △的面积S ．17．（本小题满分13分）已知函数22()ln f x xa xax ，()aR ．（I ）当1a时，求函数()f x 的单调区间．（II ）若函数()f x 在区间(1,)上是减函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分13分）已知函数(3cos sin )sin 21()2cos 2xx x f x x．（I ）求π3f的值．（II ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．19．（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln f x x k x ．（I ）2k时，求函数()f x 的增区间．（II ）当0k时，求函数()()g x f x 在区间0,2上的最小值．20．（本小题满分14分）设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，，n a 为(2,3,4,,)n n阶“期待数列”：①1230na a a a ；②123||||||||1n a a a a ．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．（2）若某2017阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S kn ，试证：1||2k S ≤．。

北京市东城区北京一中2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

北京市第一中学2016-2017学年第一学期期中试卷高三年级数学（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知集合，，若，则的取值范围为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，由，得，故选．点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】．是增函数，非奇非偶，．在定义域内既有增区间也有减区间，．定义域为，非奇非偶，．故选：B3. 若向量，满足，且，则向量，的夹角为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，，即，∴，计算得出，则向量，的夹角是，故选：C．4. 已知命题，，那么下列结论正确的是（）.A. 命题，B. 命题，C. 命题，D. 命题，【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题考点：全称命题与特称命题5. 已知，，下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：若命题成立，则是的充分条件，是的必要条件6. 已知向量，，则下列向量可以与垂直的是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量，，∴，∵，，，，∴向量可以与垂直，故选：．7. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）.A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为，函数，又，可知只需把函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，故选：8. 已知数列满足，，定义数列，使得，，若，则数列的最大项为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】∵数列满足，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，∴的最后一个正项是，∴中，当时，数列取最大项．故选．点睛：等差数列，其通项是关于的一次型函数，当时，是关于的单调增函数，当时，是关于的单调减函数，当时，是常函数.本题解题的关键是明确在何时发生转折，由正到负或由负到正.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知，，，则，，的大小关系为__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，即，∵，∴．∴，，的大小关系为．故答案为：．10. 若，则的值是__________.【答案】【解析】把两边平方得：，即，，．解得：．故答案为：．点睛：利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos 这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二；注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.11. 计算__________.【答案】【解析】故答案为：12. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为__________.【答案】【解析】由题意正方形中，为的中点，可知：．则的值为：．故答案为：13. 函数的部分图像如图所示，其中、两点间距离为，则__________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：14. 设函数的定义域为，若函数满足下列两个条件，则称在定义域上是闭函数.①在上是单调函数；②存在区间，使在上值域为.如果函数为闭函数，则的取值范围是__________.【答案】【解析】若函数为闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，∴，是方程的两个实数根，即，是方程的两个不相等的实数根，当时，解得；当时，解得无解．综上，可得．故答案为：．点睛：本题充分体现了方程、不等式、函数的联系，由闭函数转化为方程有解，方程有解转化为解不等式组，从而得到了答案.这种问题最简单的体现“三个”二次的关系.三、解答题（共6小题，满分80分）15. 已知等差数列满足：，，其中为数列的前项和.（I）求数列的通项公式.（II）若，且，，成等比数列，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)4.【解析】试题分析：（1）利用等差数列基本公式求数列的通项公式；（2）利用等比中项构建关于的方程，解之即可.试题解析：（I）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得．∴．（II），由，，成等比数列，得，解得．16. 已知的三个内角分别为，，，且.（I）求的度数.（II）若，，求的面积.【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（1）由内角和定理及商数关系可得，从而得到的度数；（2）由余弦定理，求出，进而得到的面积.试题解析：（I）∵，∴，∴，又∵为三角形内角，∴，∴，而为三角形内角，∴，综上所述，的度数为．（II）由余弦定理，，，，∴，∴，∴或（舍去），∴，综上所述，的面积为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. 已知函数，.（I）当时，求函数的单调区间.（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是，单调递减区间是．(Ⅱ)或．【解析】试题分析：（1）当时，,解导不等式，得到函数的单调区间；（2）函数在区间上是减函数，推得在上恒成立，即在上恒成立，利用“三个”二次的关系得到实数的取值范围.试题解析：（I）当时，，定义域是．，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立．①当时，，所以不成立．②当时，，，对称轴．，即，解得．综上所述，实数的取值范围为，．18. 已知函数.（I）求的值.（II）求函数的最小正周期及单调递减区间.【答案】（I）（II）见解析【解析】试题分析：（1）把代入函数，即可求得的值；（2）明确函数的定义域，化简函数可得：，从而得到函数的最小正周期及单调递减区间.试题解析：（I）由函数的解析式可得：．（II）∵，得，，故的定义域为．因为，，所以的最小正周期为．由，，，得，，，所以，的单调递减区间为，，．19. 设函数.（I）时，求函数的增区间.（II）当时，求函数在区间上的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（1）时，，由得到函数的增区间；（2）当时，，利用对勾函数的图像与性质，对分类讨论，即可得到函数在区间上的最小值试题解析：（I），．则，（此处用“”同样给分）注意到，故，于是函数的增区间为．（写为同样给分）（II）当时，．，当且仅当时，上述“”中取“”．①若，即当时，函数在区间上的最小值为；②若，则在上为负恒成立，故在区间上为减函数，于是在区间上的最小值为．综上所述，当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20. 设满足以下两个条件的有穷数列，，，为阶“期待数列”：①；②.（）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.（）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（）记阶“期待数列”的前项和为，试证：.【答案】(1)三阶：，，四阶：，，，．(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）借助新定义利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.试题解析：（）三阶：，，四阶：，，，．（）设等差数列，，，，公差为，∵，∴，∴，即，∴且时与①②矛盾，时，由①②得：，∴，即，由得，即，∴，令，∴，时，同理得，即，由得即，∴，∴时，．（）当时，显然成立；当时，根据条件①得，，即，，∴，∴．。

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北京市第一中学 2016-2017 学年第一学期期中试卷高三年级数学（理科）一、选择题（共8 小题，每题 5 分，满分 40 分）1. 已知会合，，若，则的取值范围为（） .A. B. C. D.【答案】 D【分析】∵，，由，得，应选．点睛：在进行会合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素失散时用Venn 图表示；会合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的弃取．2. 以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A. B. C. D.【答案】 B【分析】．是增函数，非奇非偶，．在定义域内既有增区间也有减区间，．定义域为，非奇非偶，．应选：B3. 若向量，知足，且，则向量，的夹角为（） .A. B. C. D.【答案】 C【分析】依据题意得，，即∴，计算得出则向量，的夹角是应选： C．，，，4. 已知命题，，那么以下结论正确的选项是（） .A. 命题，B. 命题，C. 命题，D. 命题，【答案】 B【分析】试题剖析：全称命题的否认是特称命题，并将结论加以否认，所以命题考点：全称命题与特称命题5. 已知，，以下四个条件中，使建立的必需而不充足的条件是（） .A. B. C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：分条件考点：充足条件与必需条件评论：若命题建立，则，反之不建立，所以是的充足条件，是的必需条件是的必需不充6. 已知向量，，则以下向量能够与垂直的是（）.A. B. C. D.【答案】 C【分析】∵向量，，∴，∵，，，，∴向量能够与垂直，应选：．7. 为了获得函数的图像，只要把函数的图像（）.A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】 D【分析】分别把两个函数分析式简化为，函数，又，可知只要把函数的图象向左平移个长度单位，获得函数的图象，应选：8. 已知数列知足，，定义数列，使得，，若，则数列的最大项为（）.A. B. C. D.【答案】 B【分析】∵数列知足，，∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴，∵，∴的最后一个正项是，∴中，当时，数列取最大项．应选．点睛：等差数列，其通项是对于的一次型函数，当时，是对于的单一增函数，当时，是对于的单一减函数，当时，是常函数 .此题解题的重点是明确在何时发生转折，由正到负或由负到正.二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，满分 30 分）9. 已知，，，则，，的大小关系为 __________.【答案】【分析】∵，∴，∴，即，∵，∴．∴，，的大小关系为．故答案为：．10. 若，则的值是__________.【答案】【分析】把两边平方得：，即，，．解得：．故答案为：．点睛：利用sin 2 ＋ cos 2 ＝ 1 能够实现角的正弦、余弦的互化，利用＝ tan 能够实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于sin ＋ cos ，sin cos ，sin －cos 这三个式子，利用(sin±cos) 2＝1±2sin cos，能够知一求二；注意公式逆用及变形应用： 1＝ sin 2＋ cos 2， sin 2＝ 1－ cos 2， cos 2＝ 1－ sin 2 .11. 计算__________.【答案】【分析】故答案为：12. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为 __________.【答案】【分析】由题意正方形中，为的中点，可知：．则的值为：．故答案为：13. 函数的部分图像如下图，此中、两点间距离为，则__________ .【答案】【分析】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：14. 设函数的定义域为，若函数知足以下两个条件，则称在定义域上是闭函数 .①在上是单一函数；②存在区间，使在上值域为.假如函数为闭函数，则. 的取值范围是 __________【答案】【分析】若函数为闭函数，则存在区间，在区间上，函数的值域为，即，∴，是方程的两个实数根，即，是方程的两个不相等的实数根，当时，解得；当时，解得无解．综上，可得．故答案为：．点睛：此题充足表现了方程、不等式、函数的联系，由闭函数转变为方程有解，方程有解转化为解不等式组，从而获得了答案.这类问题最简单的表现“三个”二次的关系.三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15. 已知等差数列知足：，，此中为数列的前项和.（I ）求数列的通项公式 .（II ）若，且，，成等比数列，求的值 .【答案】 ( Ⅰ)；( Ⅱ)4.【分析】试题剖析：（1）利用等差数列基本公式求数列的通项公式；（ 2）利用等比中项建立对于的方程，解之即可 .试题分析：（I ）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得．∴．（II ），由，，成等比数列，得，解得．16. 已知的三个内角分别为，，，且.（I）求的度数 .（II ）若，，求的面积.【答案】（ I）（II ）【分析】试题剖析：（ 1 ）由内角和定理及商数关系可得，从而获得的度数；（ 2）由余弦定理，求出，从而获得的面积 .试题分析：（I）∵，∴，∴，又∵为三角形内角，∴，∴，而为三角形内角，∴，综上所述，的度数为．（II ）由余弦定理，，，，∴，∴，∴或（舍去），∴，综上所述，的面积为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件灵活转变边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 其基本步骤是：. 第一步：定条件，即确立三角形中的已知和所求，在图形中标出来，而后确立转变的方向第二步：定工具，即依据条件和所求合理选择转变的工具，实行边角之间的互化.第三步：求结果 .17. 已知函数，.（I）当时，求函数的单一区间 .（II ）若函数在区间上是减函数，务实数的取值范围.【答案】 ( Ⅰ) 单一递加区间是，单一递减区间是．( Ⅱ)或．【分析】试题剖析：（ 1）当时，, 解导不等式，获得函数的单一区间；（2）函数在区间上是减函数，推得在上恒建立，即在上恒建立，利用“三个”二次的关系获得实数的取值范围.试题分析：（I）当时，，定义域是．，由，解得；由，解得；所以函数的单一递加区间是，单一递减区间是．（）由于函数在区间上是减函数，所以在上恒建立，则，即在上恒建立．①当时，，所以不建立．②当时，，，对称轴．，即，解得．综上所述，实数的取值范围为，．18. 已知函数. （I）求的值 .（II ）求函数【答案】（ I）的最小正周期及单一递减区间（ II ）看法析.【分析】试题剖析：（ 1）把代入函数，即可求得的值；（2）明确函数的定义域，化简函数可得：，从而获得函数的最小正周期及单一递减区间.试题分析：（I ）由函数的分析式可得：．（II ）∵，得，，故的定义域为．由于，，所以的最小正周期为．由，，，得，，，所以，的单一递减区间为，，．19. 设函数.（I ）时，求函数的增区间 .（II ）当时，求函数在区间上的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)； ( Ⅱ) 答案看法析 .【分析】试题剖析：（ 1）时，，由获得函数的增区间；（ 2）当时，，利用对勾函数的图像与性质，对分类议论，即可获得函数在区间上的最小值试题分析：（I ），．则，（此处用“ ”相同给分）注意到，故，于是函数的增区间为．（写为相同给分）（II ）当时，．，当且仅当时，上述“ ”中取“ ”．①若，即当时，函数在区间上的最小值为；②若，则在上为负恒建立，故在区间上为减函数，于是在区间上的最小值为．综上所述，当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．点睛：导数是研究函数的单一性、极值(最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考取，对导数的应用的考察都特别突出，本专题在高考取的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进行： (1)考察导数的几何意义，常常与分析几何、微积分相联系． (2) 利用导数求函数的单一区间，判断单一性；已知单一性，求参数．(3)利用导数求函数的最值 (极值 )，解决生活中的优化问题．(4)考察数形联合思想的应用．20. 设知足以下两个条件的有穷数列，，，为阶“期望数列”：①；②.（）分别写出一个单一递加的“”.阶和阶期望数列（）若某阶“期望数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（）记阶“期望数列”的前项和为，试证：.【答案】 (1) 三阶：，，四阶：，，，．(2) ； (3) 证明看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ ）借助新定义利用等差数列，写出一个单一递加的3阶和 4阶“期待数列”；（Ⅱ）利用某阶“期望数列”是等差数列，经过公差为0，大于 0．小于 0，分别求解该数列的通项公式；（Ⅲ ）判断 k=n 时，，而后证明 k＜ n 时，利用数列乞降以及绝对值三角不等式证明即可 .试题分析：（）三阶：，，四阶：，，，．（）设等差数列，，，，公差为，∵，∴，∴，即，∴且时与①②矛盾，时，由①②得：，∴，即，由得，即，∴，令，∴，时，同理得，即，由得即，∴，∴时，（）当时，明显当时，依据条件①得建立；．，，即，，∴，∴．。

北京市东城区东直门中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

北京东直门中学2016—2017学年度第一学期期中考试高三数学（理）2016．11 考试时间：120分钟总分 150分第一部分(选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）． 1．已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（）．A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-【答案】C【解析】{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<,{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23A B x x =<<．故选C ．2．“0x >"是“20x x +>”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】201x x x +>⇔<-或0x >，∴“0x >”是“20x x +>"的充分不必要条件．故选A ．3．设命题:0p x ∃>,sin 21x x >-，则p ⌝为( ）． A ．0x ∀>,sin 21x x -≤B ．0x ∃>，sin 21x x <-C ．0x ∀>，sin 21x x <-D ．0x ∃>,sin 21x x -≤【答案】A【解析】特称命题的否定为全称命题，∴p ⌝为“0x ∀>，sin 21x x -≤"．故选A ． 4．已知π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)α+=( ）．A ．35B ．35-C ．45D ．45-，【答案】D 【解析】∵π3sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴3cos 5α=，4sin 5α=，∴4sin(π)sin 5αα+=-=-．故选D ．5．函数2()1log f x x =+与1()2x g x -=在同一直角坐标系下的图像大致是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】对于函数1()2x g x -=,当0x =时，函数值为2,过点(0,2),排除B ，D ．对于函数2()1log f x x =+，当1x =时，函数值为1，过点(1,1)，排除A ．综上,故选C ．6．为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x =的图像( ）．A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D【解析】ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将y x 的图象向左平移π12个单位．故选D ．7．设a ,b 是两个非零向量（）． A ．若||||||a b a b +=-,则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则||||||a b a b +=-【答案】C【解析】根据向量加法的几何意义，|||||a b a b +-≥|，其中等号当且仅当向量a ，b 共线时成立，所以由||||||a b a b +=-，可得存在实数λ，使得a b λ=．故选C ．8．已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2x f x ≥，x ∈R ．（）． A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b f a ≤，则a b ≤C ．若()f a b ≥,则a b ≥D ．若()2b f a ≥，则a b ≥【答案】B【解析】由题意可得下图：A 项，1()||f a b '<，1a b '>,故A 项错误；B 项，若()f a b ≠,如图，1()2b f a <，1a b <，若()2bf a =，则等号成立，故B 项正确；C 项，2()||f a b >，2a b <,故C 项错误；D 项，2()2bf a >,2a b <，故D 项错误．综上所述，故选B ．第二部分（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分,共30分） 9．定积分21d 1x x -⎰的值为__________．【答案】23【解析】1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰10．在三个数12，122-，3log 2中，最小的数是__________．【答案】12【解析】12122-==>，31log 2log 2>．故三个数12,122-，3log 2中最小的数是12．11．设π02θ<<，向量(sin2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b ⋅=，则tan θ=__________．【答案】12【解析】∵22(sin2,cos )(1,cos )sin2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθθθθ⋅=⋅-=-=-=， ∴22sin cos cos θθθ=， ∵π02θ<<，∴cos 0θ>，∴2tan 1θ=,解得1tan 2θ=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x =x -;当11x -≤≤时，()()f x f x -=-;当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则(6)f =__________．【答案】2 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以当1x >时,()(1)f x f x =-，故(6)(1)f f =；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-,所以(1)(1)f f =-．当0x <时，3()1f x x =-，所以(1)2f =-,故(1)2f =．13．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．【答案】(3,)+∞ 【解析】)=x 22mx+4m (x>m )m m 2当0m >，函数2||,()24,x x mf x x mx m x m ⎧=⎨->⎩≤+的图象如图：∵x m >时，2222()24()44f x x mx m x m m m m m =-=-->-++， ∴y 要使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则：24(0)m m m m -<>，即23(0)m m m >>，解得，3m >．故m 的取值范围是(3,)∞+．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立．那么λ的取值范围是__________．FEB【答案】(0,4)【解析】以DC 为x 轴,以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,4)E ，6,4F （），①若P 在CD 上，设(,0)P x ，06x ≤≤,则(,4)PE x ==-，(6,4)PF x =-． ∴2616PE PF x x ⋅=-+，∵[]0,6x <，∴716PE PF ⋅≤≤．∴当7λ=时有一解，当716λ<≤时有两解．②若P 在AD 上，设(0,)P y ,06y ≤≤，则(0,4)PE y =-，(6,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴016PE PF ⋅≤≤．当0λ=或416λ<≤,有一解，当04λ<≤时有两解．③若P 在AB 上,设(,6)x x ，06x ≤≤，则(,2)PE x =--，(6,2)PF x =--, ∴2=64PE PF x x ⋅-+．∵06x ≤≤，∴74PE PF -⋅≤≤．∴当7λ=-时有一解,当72λ-<≤时有两解．④若P 在BC 上,设(6,)P y ，06y ≤≤，则(6,4)PE y =--，(0,4)PF y =-． ∴22(4)816PE PF y y y ⋅=-=-+． ∵06y ≤≤，∴16PE PF ⋅0≤≤．∴当0λ=或416λ<≤，有一解，当04λ<≤时有两解．综上所述，∴04λ<<．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）求函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）根据题意得：222()sin 2sin cos cos 2cos f x x x x x x =-++ 21sin 22cos x x =-+ sin 2cos 2x x =-π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由πππ2π22π+242k x k --≤≤，k ∈Z ，可得:3πππ88k x k λ-≤≤+，k ∈Z故函数()f x 的单调递增区间是π3ππ,π88k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+，()k ∈Z ．（2）∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 24x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π24x ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，即()f x ⎡∈-⎣，故函数()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．16．已知数列{}(1,2,3,)n a n =满足12n n a a +=，且1a ,21a +，3a 成等差数列，设23log 10n n b a =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】【解析】（1）12n n a a =+，∴{}n a 为等比数列,其公比为2．∵1a ,21a +，3a 成等差数列,∴2132(1)a a a =++，即1112(21)4a a a =++，解得:12a =． ∴112n n n a a q -==，222log 103log 210310n n n b a n =-=-=-, 故2n n a =，310n b n =-．（2）由310n b n =-，可得{}n b 的前几项和为1(317)2n S n n =-．当13n -≤≤时，0n b <,即1(317)2n n T S n n =-=--；当4n ≥时，可得：231317482(317)2422n n n n T S S n n -=-=-=++．综上可得，22317,132()31748,42n n nn T n n n n ⎧-⎪⎪=∈⎨-⎪⎪⎩N ≤≤≥++．17．在ABC △中,内角A 、B 、C 、所对边的长分别为a 、b 、c ,且1cos 2B =-．(1）若2a =,b =求角C 的大小． (2）求sin sin A C ⋅的取值范围．【答案】【解析】(1）在ABC △中,1cos 2B =-，(0,π)B ∈，∴2π3B =，sin B =．由正弦定理sin sin a b A B=，可得:2sin A ，∴1sin 2A =,∴π6A =． ∴ππ6C A B =--=．（2）π1sin sin sin sin sin sin 32A C C C C C C ⎫⎛⎫⋅=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111π12cos2sin 244264C C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭++． ∵π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ5π2,666C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+．∴π1sin 2,162C ⎛⎫⎛⎤∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，∴1π11sin 20,2644C ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦+，即1sin sin 0,4A C ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦．故sin sin A C ⋅的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．18．已知函数1()e xxf x -=． (1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）求函数()f x 的零点和极值．（3）若对任意1x ，2[,)x a ∈+∞都有1221()()e f x f x --≥成立,求实数a 的最小值．【答案】【解析】（1）∵1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，∴(0)1f =，(0)2f '=-， ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为2-，切点为(0,1)， ∴切线方程为：21y x =-+，即210x y -=+．（2)由()0f x =，可得1x =,即零点为1；由2x >时，()0f x '>，()f x 递增，2x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得：当2x =时，()f x 取得极小值，21()(2)e f x f ==-极小值,无极大值．【注意有文字】（3）当1x >时，1()0e x x f x -=<，当1x <时，1()0e x xf x -=>，若1a <,令12x =,2[,1)x a ∈，则1x ，[)2,x a ∈∞+,由于22()()0f x f x ⇔-<，则有121221()()()()e f x f x f x f x -<==-，不符合题意；若1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1()0f x ≤，2()0f x ≤，则有2()0f x -≥，所以121221()()()()e f x f x f x f x -=-≥≥, 即1a ≥时，对任意1x ，[)2,x a ∈∞+，都有1221()()e f x f x --≥成立．综上所述，实数a 的最小值是1．19．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -．（1）求椭圆E 的方程．（2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A )，判断直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值?若是定值,求出改定值;若不是定值，请说明理由．【答案】【解析】根据题意知：c a =1b =,结合222a b =+c ，解得：a =，1b =，1c =，∴椭圆的方程为：2212x y =+．（2）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-≠+,将直线方程与椭圆方程联立,22(1)1,(2)12y k x k x y =≠⎧⎪⎨=⎪⎩+++,得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k ---=++．由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠，则1224(1)12k k x x k -=++，1222(2)12k k x x k -=+，从而直线AP ，AQ 的斜率之和： 12121212121211222(2)AP AQ y y kx k kx k x xk k k k x x x x x x --===-+++++++++ 4(1)2(2)22(1)22(2)k k k k k k k k -=-⋅=--=-+．故直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．20．在数列{}n a 中,10a =，21n n a a m +=+,其中m ∈R ,n *∈N ．（1）当1m =时，求2a ，3a ,4a 的值．（2）是否存在实物m ，使2a ,3a ，4a 构成公差不为0的等差数列?证明你的结论．（3)当14m >时，证明：存在k *∈N ，使得2016k a >．【答案】【解析】（1）当1m =时,211n na a =++,10a =， ∴21a =,32a =，45a =．(2）∵2a ，3a ,4a 成等差数列，∴3243a a a a -=-，即222233a m a a m a -=-++,∴223232()()0a a a a ---=， ∴320a a -≠，∴3210a a -=+．将2a m =，23a m m =+，代入上式，解得1m =- 经检验，此时2a ，3a ，4a 的公差不为0．∴存在1m =-2a ，3a ，4a 构成公差不为0的等差数列．（3)∵221111244n n n n n a a a m a a m m ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+++，又14m >,∴令104d m =->． ∵1n n a a d --≥,12n n a a d ---≥，，21a a d -≥，∴1(1)n a a n d --≥，即(1)n a n d -≥．取正整数20161k d>+,则： 2016(1)2016k a k d d d ⎛⎫->⋅= ⎪⎝⎭≥．故当14m >时,存在*k ∈N ,使得2016k a >．。

北京东城171中2016-2017学年高二上期中数学(理)试题(含精品解析)

北京市东城汇文中学2017-2018学年高三上期中(理)数学试卷(word版含答案)

2017-2018学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 设集合，，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴故选：A点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设，则“”是“”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得由得或即“”是“”的充分不必要条件故选3. 若复数，其中为虚数单位，则共轭复数（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】则复数的共轭复数为故选4. 已知向量，，则，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，，解得，故选D.5. 设函数，则的最小正周期（）．A. 与有关，且与有关B. 与有关，但与无关C. 与无关，且与无关D. 与无关，但与有关【答案】B【解析】当，此时最小正周期为若，则最小正周期是，而不影响周期综上所述，的最小正周期与有关，但与无关故选6. 如图，点是线段的中点，，且，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为点是线段BC的中点，所以，又因为，所以，则；故选C．考点：平面向量的线性运算．7. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】时，函数（，且）的图象恒过定点，即点在直线上，即，当且仅当，时取等号的最小值是故选8. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C是奇函数则即函数在区间上的最大值、最小值之和为即故选9. 已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：观察可知，随的增大，由负数增大为正数，其中，为负数，开始以后各项均为正数，所以，数列的前项和的最小值是，选B.考点：数列的单调性，数列的通项.10. 在平面直角坐标系中，已知平面区域，且，则平面区域的面积为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，则，且等价于，即作出不等式组对应的平面区域如图为等腰直角三角形由解得，即由解得，即三角形的面积故选点睛：本题主要考查的知识点是线性规划的应用。

2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2017届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共14小题．每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】有由题意可得：，则( -2,3 ] .本题选择B选项.2. 极坐标方程表示的圆的半径是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】将极坐标方程两边同乘，得，化为直角坐标方程为，整理得，所表示圆的半径。

选．3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知选项,,,中的函数均为偶函数，但只有选项中的函数在上单调递增。

选．4. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】依次运行程序框图，可得，第一次：x=1+5=6，不满足条件，k=1；第二次：x=6+5=11，不满足条件，k=2；第三次：x=11+5=16，不满足条件，k=3；第四次：x=16+5=21，不满足条件，k=4；第五次：x=21+5=26，满足条件，程序终止。

输出k=4。

选B。

5. 设，是两个向量，则“”是“且”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可推出“且”；但反之不成立。

所以“”是“且”的充分而不必要条件。

选．6. 若，，，则，，的大小关系是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，，，∴。

选．7. 命题“，”的否定是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由特称命题的否定知，命题“，”的否定是“，”。

选．8. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）．A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】∵，∴将函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象。

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北京市第一七一中学2017届高三第二次月考试题
数学学科（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数i(i+1)等于（）．
A ．1i +
B ．1i --
C ．1i -
D ．1i -+
2．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上是单调减函数的是（）．
A ．12y x =
B ．cos y x =
C ．||2x y =-
D ．ln |1|y x =+
3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a =，2b =，1cos()3
A B +=，则c =（）．
A ．4 B
C ．3 D
4．阅读如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为（）．
A ．3
B ．5
C ．10
D ．16
5．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“2cos a b C =”是“ABC △中等腰三角形”的（）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设函数212
log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）． A ．(1,0)
(0,1)- B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-∞D ．(1,0)(1,)-+∞
7．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（）．
A
．B
．C
．D
．
8．为了平衡膳食小王同学在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小王同学在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）．
A ．50种
B ．51种
C ．140种
D ．141种
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知集合2{|4}A x x =<，{0,1,2}B =，则A B =___________．
10．从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a =___________，由图中数据可估计此次成绩平均分为___________．
频率(分)
a
11．新年联合会某游艺项目：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14
，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12
，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为___________．
12．如图，AB 与圆O 相切于点B ，过点A 作圆O 的割线交圆O 于C ，D 两点，BC AD ⊥，22AB AC ==，则圆O 的直径等于___________．
O
B A
C D
13．函数()sin()(,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，其中A 、B 两点距离为5，则ωϕ+=___________．
14．已知点(1,1)A -，(1,1)B ，点(,)P m n 是直线2y x =-上的点，设()APB f m =∠，则下列说法正确的有___________．（填上所有正确命题的序号）
①存在实数t 使得函数()()F m f m t =-有4个零点．
②存在实数t 使得函数()()F m f m t =-有2个零点．
③当1m =时，APB ∠最大．
④当0m =时，APB ∠最大．
17．（本小题共14分）
为庆祝里约奥运会我国乒乓球队包揽四金，学校组织甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止；设甲在每局中获取的概率1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59
．（Ⅰ）求p 的值．
（Ⅱ）投ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．
18．（本小题共13分）
已知关于x 的函数()(0)e x
ax a f x a -=
≠．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值．（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围．。