激光原理及应用[陈家璧主编][习题解答]

思考练习题11． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：188346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==---λνc h q n 239342100277.51031063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。

(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？答：（1）(//m n E E m m kTn n n g e n g --=）则有：1]3001038.11031063.6exp[2393412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν（2）K T Te n n kT h 3623834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。

设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。

求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？答：（1）1923181221121011.3]27001038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kTh ν且202110=+n n 可求出312≈n（2）功率＝W 918810084.51064.13110--⨯=⨯⨯⨯4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比q q 激自1=2000，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求q q 激自为若干？ 答：（1）3173436333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激（2）943436333106.71051063.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

设红宝石直径0.8cm ，长8cm ，铬离子浓度为2×1018cm －3，巨脉冲宽度为10ns 。

求：(1)输出0.6943μm 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命τ＝10－2s ，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量J ch d r h N W 3.2106943.01031063.61010208.0004.0683461822=⨯⨯⋅⨯⋅⨯⨯⋅⋅⨯=⋅⋅⋅⋅=⋅=--πλρπν脉冲平均功率＝瓦8961030.21010103.2⨯=⨯⨯=--t W （2）瓦自自自145113.2112002021=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰-e h N P e n dt e n N t A τνττ6．试证单色能量密度公式，用波长λ来表示应为5811hc kThc eλλπρλ=-证明：11811852322-⨯=⋅-⨯=⋅=⋅==kTh kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7. 试证明，黑体辐射能量密度()ρν为极大值的频率m ν由关系112.82m T kh ν--=给出，并求出辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系。

答：（1）由 33811hv kTh c eνπνρ=-可得：0))1(113(82323=⋅⋅--⋅+-=∂∂kT he e e c h kT h kT h kT h ννννννπνρ 令kTh x ν=，则上式可简化为：xx xe e =-)1(3解上面的方程可得：82.2≈x 即：1182.282.2--=⇒≈kh T kTh m mνν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为mm c λν=8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数1A τ=证明： 2202)2/1()(4)(τννπν+-=Af N ，由归一化条件且0ν是极大的正数可得： ⇒=+-⎰∞1)2/1()(402202ντννπd A ⇒=+-⎰∞1)2/1()(4202202ντννπνd A⇒='+'⎰∞1)41(120222νπτνπd A τπτνπτπ11]'4[4202=⇒=⋅⋅∞A arctg A9．试证明：自发辐射的平均寿命211A =τ，21A 为自发辐射系数。

证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：t A e n t n 21202)(-＝自发辐射的平均寿命可定义为()dt t n n ⎰∞=2201τ式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。

将（1-26）式代入积分即可得出 21121A dt e t A ==⎰∞-τ10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为c υ<<，证明接收器接收到的频率01/1/ccυννυ+=-，在一级近似下为：0(1)c υνν≈+证明：0022021220)1()211)(1()1)(1(11υυυυυυυυυυυν⋅+≈⋅⋅++≈⋅-+=⋅-+=-c c c cc c c 即证11．静止氖原子的3S 2→2P 4谱线的中心波长为0.6328μm ，设氖原子分别以±0.1c ,±0.5c 的速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？ 答：Hz cc cc 146801.010241.5106328.01039.01.19.01.111⨯=⨯⨯⋅=⋅=-+=-+λυυνν 同理可求：Hz c 141.010288.4⨯=-ν；Hz c 145.010211.8⨯=+ν；Hz c 145.010737.2⨯=-ν12．设氖原子静止时发出0.6328μm 红光的中心频率为4.74×1014Hz ，室温下氖原子的平均速率设为560m/s 。

求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？ 答：Hzc 81460680010848.81074.4108667.1)108667.11()1035601()1(⨯=⨯⨯⨯=∆⇒⨯+=⨯+=+=--νννυνν13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm -1、光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

答；（1）368.01)0()()0()(10001.0===⇒=⋅--ee I z I eI z I Az（2）11693.02ln 2)0()()0()(-⋅==⇒==⇒=m G e I z I e I z I G Gz思考练习题21. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n 2－n 1＝5⨯1018cm -3，1/f (ν)＝2×1011 s -1，t 自发＝211A -≈3⨯10-3s ，λ＝0.6943μm ，μ＝l.5，g 1＝g 2。

答：)(8)(8)(8)()(222133321333212121νπμλννμνπμννπμννμνf A n f h c h c A n G c h B A f h c nB G ⋅⋅∆=⋅⋅∆=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆=11122431871.010215.18)106943.0(1031105)(---=⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯=cm G πν 2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度n 0＝n 1+n 2＝l012 cm -3，1/f (ν)＝15×109 s -1，λ＝0.6328μm ，t 自发＝211A -=10-17s ，g 3＝3，g 2＝5，11μ≈,又知E 2、E 1能级数密度之比为4，求此介质的增益系数G 值。

答：11112211211112312210103141081021410⨯=-=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=⇒⎭⎬⎫=+=-n g g n n n n E E cm n n n 比能级数密度之比为和 332121333332121888νπνπνπμh c A B c h c h B A =⇒== 192617112212172.0105.118)106328.0(1010314)(8)()(--=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=cmf A n f h c nB G πνπλννμν3. (a)要制作一个腔长L ＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R 1＝4L ，求另一面镜的曲率半径取值范围。

答：（a ）R R R ==21；cm R RLR L 301)1)(1(0≥⇒≤--≤ （b ）L R L R R LR L R L 31)1(4301)1)(1(022221-≤≥⇒≤-⋅≤⇒≤--≤或 4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R 1＝40cm ，R 2＝100cm ，求腔长L 的取值范围。

答：cm L cm L L L R L R L 1401004001)1001)(401(01)1)(1(021≤≤≤≤⇒≤--≤⇒≤--≤或5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

证明：2102100021000210002100)ln2( 2)()2ln (2)()( )()( )(πννμνπννννμνννμνh c B n G f f h c B n G f h cB n G D D DD D D D D ∆∆=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆=∆=⇒∆= 即证。

6. 推导均匀增宽型介质，在光强I ，频率为ν的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。

证明：220022000)2)(1()()(])2()[()()(1 )()(ννννννννννν∆++-∆+-=+=s s I I G f f I I G G 而：())()(2)2()(12)()()(2)()( )()( )(0022000000002100002100ννπνννπννννννπνννμνννμνG G f f G f f h c B n G f h cB n G ∆∆+-∆==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆=∆=∆≈依据上面两式可得：220002)2)(1()()()2()(νννννν∆++-∆=s I I G G ；即证。