湘教版八年级数学知识趣题
湘教版八年级数学上册习题1.1知识点及解析
1.掌握分式的概念； 2.能求出分式有意义及分式值为0的条件； 3.掌握分式的基本性质及分式的符号规律； 4.会利用分式的基本性质对分式变形、约分、化简
与求值。
分式
概念
分式有意义的条件 分式值为0的条件
基本性质
分式的变形 约分、化简与求值
◐分式的概念
1. 一个整式 f 除以一个非零整式g(g中含有 字母 )， 所得的商 f ，叫做分式。
g
2. 在分式 f 中，当分母g ≠0 时，分式有意义。
g
当分子f =0 ，且分母g ≠0 时，分式值等于0.
在下列式子中，分式有
（ B）
3x 4 ， a ，4x ，3m2 ， b 2 3 a m 1a
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
不论x取何值，分式的值一定存在的是（ D ）
A. x 3 x3
●A组基础题
x 1.当x取什么值时，分式 x 1 的值等于0？
2.当x取什么值时，下列分式的值不存在？
1 1 ;
2x 4
2
x2 x2 1
.
3.下列分式中，哪些是相等的？用等号连接它们：
7x2 y3 3 xy4
,
7x2 3y2 ,
7x , 3y
7 x2 y 1 3 y2 y 1 ,
7 3
x y
y y
1 1
.
解：
7x2 y3 3 xy4
7x 3y
7xy 1 3 yy 1
7x2 3 y2
7 3
x y
2 2
y y
1 1
.
4.填空：
1 xy ；
yx xy
2
7x x y
湘教版初中数学八年级下册4.综合滚动练习：直角三角形的相关性质与判定
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！综合滚动练习：直角三角形的相关性质与判定时间：45分钟 分数：100分 得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为( ) A ．45° B ．55° C ．65° D ．50°2．(常德澧县期中)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( ) A ．30，40，50 B ．7，12，13 C ．5，9，12 D ．3，4，63．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论错误的是( ) A ．∠A ＝∠2B ．∠1和∠B 都是∠A 的余角C ．∠1＝∠2D ．图中有3个直角三角形第3题图 第4题图4．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL”证明Rt △ABE ≌△Rt △DCF ，则还需要添加一个条件是( )A ．AE ＝DFB ．∠A ＝∠DC ．∠B ＝∠CD ．AB ＝DC5．已知直角三角形的一个锐角为60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是( ) A. B ．3 C.＋2 D. 5233＋326．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A.B. C. D. 2353454553557．(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则( )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝08．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于【易错102】( )A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，AB ＝10cm ，则CD 的长为________cm.第9题图 第10题图10．如图，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥BE 于点E ，BC 平分∠ABE ，∠BDE ＝58°.则∠A ＝________°.11．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC ＝BE ，则E 站距A 站________千米．第11题图 第12题图 第14题图12．如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B ，C 重合，折痕为DE .若AC ＝6cm ，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则△ADC 的周长是________cm.13．若△ABC 是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P ，到两直角边的距离相等，则这个距离等于________．14．(烟台中考)如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为________．三、解答题(共44分)15．(10分)(湘潭市期末)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝4，AC ＝3，DC ＝. 95(1)求BD 的长；(2)判断△ABC 的形状．16．(10分)如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 是AC 上一点，E 在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．17．(12分)一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸(单位：cm)，那么这个零件符合要求吗？求出这个零件的面积．18．(12分)如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．(1)求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．参考答案与解析1．B 2.A 3.C 4.D5．D 解析：一个锐角为60°，则另一个锐角为30°，所以30°锐角所对的直角边为12，故60°锐角所对的直角边为，所以直角三角形的周长是.故选D. 323＋326．C7．C 解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则CD ＝AC ＝m ，AD ＝DB ＝n －m .在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，即m 2＋2mn －n 2＝0.故选C.8．C 解析：如图①所示，在Rt △ABD 中，BD ＝＝＝8，在AB 2－AD 2102－62Rt △ACD 中，CD ＝＝＝2，∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.如图②所AC 2－AD 2（210）2－62示，同理求出BD ＝8，CD ＝2，∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.故选C.9．5 10.58 11.12 12.18 13.3 14.715．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ADC 中，由勾股定理得AD ＝＝＝.(3分)在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD ＝＝AC 2－CD 232－(95)2 125AB 2－AD 2＝.(5分) 42－(125)2 165(2)∵BC ＝BD ＋DC ＝5，且AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．(10分)16．解：猜想：BF ⊥AE .(2分)理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°.又∵BC ＝AC ，BD ＝AE ，∴△BDC ≌△AEC (HL)，(6分)∴∠CBD ＝∠CAE .(7分)又∵∠CAE ＋∠E ＝90°，∴∠EBF ＋∠E ＝90°，∴∠BFE ＝90°，即BF ⊥AE .(10分)17．解：∵AD ＝4cm ，AB ＝3cm ，BD ＝5cm ，DC ＝13cm ，BC ＝12cm ，∴AB 2＋AD 2＝BD 2，BD 2＋BC 2＝DC 2，∴△ABD ，△BDC 是直角三角形，(6分)∴∠A ＝90°，∠DBC ＝90°，∴这个零件符合要求．(8分)∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝3×4÷2＋5×12÷2＝6＋30＝36(cm 2)．故这个零件的面积是36cm 2.(12分)18．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM ＝30°，AO ＝80米，∴AD ＝40米，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米．(4分)(2)如图，以50米为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点．在Rt △ABD 中，AB ＝50米，AD ＝40米，由勾股定理得BD ＝＝＝30(米)．在Rt △ACD 中，同AB 2－AD 2502－402理可得CD ＝30米．故BC ＝BD ＋CD ＝60米．(8分)∵重型运输卡车的速度为18千米/时，即＝5(米/秒)，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷5＝12(秒)．(11分) 180003600答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．(12分)相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
湘教版数学八年级上册期末复习(二)三角形
初中数学试卷考点一三角形的边和角【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）错.【方法归纳】在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加 边相加，判断其和是否大于最大边即可［例2］如图，在那BC 中,/A : /ABC : /ACB=3:4 : 5,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的高，BD,CE 相交于H,求/BHC 的【分析】 根据三角形的内角和定理 ，结合已知条件可先求出/ A,/ABC,/ACB,因为/ BHC 在ABHC 中,则需先求出/DBC 和/ECB 的值.期末复习（二）三角形A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.3,4,8【分析】本题考查了三角形的三边关系及不等式的相关知识.A中,1+2=3,错；B 中，2+2=4,错；C 正确;D 中，3+4<8, 然后判断其和是否大于第三边.只需选取较小的两【解答】依题意设/ A=(3x) °,/ABC=(4x) °,"CB=(5x) °,• .3x+4x+5x=180. .1.x=15.即/A=45 ，/ABC=60 ，/ACB=75•. BD,CE 分另1J是边AC,AB 上的高，，/BDC= /BEC=90 二・•.ZDBC=90 -75 =15，/ECB=90 -60 =30 °.在ABHC 中，/BHC=180 -15 -30 =135 °.【方法归纳】已知三角形三个内角的比例关系，可根据份数设未知数，再结合三角形内角和定理，可得到一个方程，解方程即可求得三角形三个内角的度数.1.如图，/1=100 ,72=145。
则/3=( )B.65C.75 °D.852.一个三角形的两边a=2,b=15,试确定第三边c的范围，当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少考点二命题与证明【例3】用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于60。
八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题新版湘教版
八年级数学上册第2章：三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段： （1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积： 三角形的面积=21×底×高 二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
湘教版八级数学上第二章《三角形》复习试卷含答案
湘教版八年级数学（上）第二章《三角形》复习卷知识点1、三角形1、如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）A.2；B.3；C.4；D.8；2、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条边的垂直平分线的交点；D.三条角平分线的交点；3、不一定在三角形内部的线段是（ ）A.三角形的角平分线；B.三角形的中线；C.三角形的高；D.以上都不对；4、在△ABC 中，∠A=105°，∠B -∠C=15°，则∠C 的度数是（ ）A. 35°；B. 60°；C. 45°；D. 30°；5、已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于（ ）A. 40°；B. 60°；C. 80°；D. 90°；6、如图，△ABC 的外角是（ ）A. ∠1；B. ∠2；C. ∠3；D. ∠4； 7、如图，∠1=100°，∠C=70°， 则∠A 的大小是（ ） A. 10°； B. 20°； C. 30°； D. 80°； 8、小明有两根3cm ，7cm 的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 cm 长的木棒。
知识点2、命题与证明9、下列命题是真命题的是（ ）A.同位角相等；B.过一点有且只有一条直线与这条直线平行；C.相等的角是对顶角；D.同旁内角互补，两直线平行；10、“等腰三角形的两底角相等。
”的逆命题是 。
11、把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 。
知识点3、等腰三角形 12、如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB=AD=DC ，∠B=80°，则∠C 度数为( )A. 30°；B. 40°；C. 45°；D. 60°； 13、如图，在△ABC 中，AB=AC ， 且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ， 则∠B 度数为（ ）A. 30°；B. 36°；C. 40°；D. 45°； 14、在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ， 则AB 边的取值范围是（ ）A. 1cm<AB<4cm ；B. 5cm<AB<10cm ；C. 4cm<AB<8cm ；D. 4cm<AB<10cm ；A B C 1 2 3 4 第6题 A B C 1 第7题A B C D 第12题A B D C 第13题15、一个等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）A.13；B.17；C.22；D.17或22；16、已知一个等腰三角形的两内角的度数比是1:4，则这个等腰三角形的顶角度数为 。
湘教版八年级下册数学复习知识点归纳过关
cbaCBAPF E D CB21AEDCBA八年级下册数学复习知识点梳理姓名：一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF1·如右上图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是 厘米。
2·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。
·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿3、勾股定理及其逆定理①勾股定理： 222c b a =+。
，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是_ _·如图是拉线电线杆的示意图。
已知CD ⊥AB ，·直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
②逆定理 如果三边a 、b 、c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是Rt ∆。
·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．∠C=90°B ．∠B=90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 三角形.·一块木板如图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，90B ∠=︒，木板的面积为 . ·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？O CBAA DBCCBACBADC BAGFEDC B A4、直角三角形全等·如图，在ΔABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC的延长线于点G 。
2019年春八年级数学下册直角三角形专题训练(一)直角三角形与勾股定理的应用练习湘教版
专题训练(一) 直角三角形与勾股定理的应用►类型之一共边直角三角形的问题1．如图1－ZT－1，一架梯子的长度为2.5米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端0.7米．(1)这个梯子顶端离地面________米；(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？图1－ZT－12．如图1－ZT－2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)图1－ZT－2►类型之二构造直角三角形解决问题3．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图1－ZT －3，近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240 km的B处，以每小时12 km 的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150 km的范围为受影响区域．(1)A城是否会受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)如果A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？图1－ZT－34．如图1－ZT－4，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一个水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(参考数据：21≈4.6，保留到整数位)图1－ZT－4►类型之三直角三角形中的测量问题5．如图1－ZT－5，小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮他计算一下旗杆的高度吗？图1－ZT－5►类型之四最短路径问题6．如图1－ZT－6，有一个圆柱形透明玻璃容器，高15 cm，底面周长为24 cm，在容器内壁距上边缘4 cm的A处停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬3 cm到达B 处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少要爬多少厘米？(容器厚度忽略不计)．图1－ZT－6►类型之五直角三角形与面积问题7．如图1－ZT－7，学校有一块三角形草坪，数学课外小组的同学测得其三边的长分别为AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．(1)小明根据测量的数据，猜想△ABC是直角三角形，请判断他的猜想是否正确，并说明理由；(2)若计划修一条从点C到AB边的小路CH，使CH⊥AB于点H，求小路CH的长．►类型之六直角三角形作图与计算问题8．如图1－ZT－8，在笔直的公路l的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC＝3 km，BD＝4 km.现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等．(1)试用直尺和圆规在图中作出点P；(保留作图痕迹)(2)连接AP，BP，若测得∠APB＝90°，求A村到车站的距离．图1－ZT－8详解详析1．解：(1)梯子底部离墙底端0.7米，且梯子的长度为2.5米，则在梯子与地面、墙面构成的直角三角形中，梯子顶端与地面的距离为 2.52－0.72＝2.4(米)．故答案为2.4.(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了x 米，则(2.4－0.4)2＋(0.7＋x)2＝2.52，(0.7＋x)2＝2.52－22＝2.25，∴0.7＋x ＝1.5(0.7＋x ＝－1.5已舍去)， ∴x ＝0.8.答：梯子在水平方向上滑动了0.8米．2．解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝90°，BC ＝13米，AC ＝5米，∴AB ＝132－52＝12(米)．∵此人以每秒0.5米的速度收绳，10秒后船移动到点D 的位置， ∴CD ＝13－0.5×10＝8(米)，∴AD ＝CD 2－AC 2＝82－52＝39(米)， ∴BD ＝AB －AD ＝(12－39)米． 答：船向岸边移动了(12－39)米．3．解：(1)A 城会受到这次沙尘暴的影响．理由：如图，过点A 作AC ⊥BM ，垂足为C.在Rt △ABC 中，由题意可知∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×240＝120(km)．∵AC ＝120 km ＜150 km ，∴A 城会受到这次沙尘暴的影响．(2)设点E ，F 是以点A 为圆心，150 km 为半径的圆与MB 的交点，由题意得CE ＝AE 2－AC2＝1502－1202＝90(km)，∴EF ＝2CE ＝2×90＝180(km)． 180÷12＝15(时)．答：A 城遭受影响的时间为15小时．4．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝60°. 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°－∠CBD ＝30°， ∴BD ＝12BC ＝12×20＝10(米)，∴CD ＝202－102＝10 3(米)， ∴AD ＝AB ＋BD ＝80＋10＝90(米)．在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝902＋（10 3）2≈92(米)． 答：A ，C 两地之间的距离约为92米．5．解：如图，设AC ＝x 米， 则AB ＝(x ＋1)米． 在Rt △ABC 中， 由勾股定理，得 AC 2＋BC 2＝AB 2，即x 2＋52＝(x ＋1)2，解得x ＝12. 答：旗杆的高度为12米． 6．解：将圆柱沿相对的A ，B 垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图所示．过点B 作BO ⊥AO 于点O ，则AO ，BO 分别平行于长方形的两边，作点A 关于点D 的对称点A′，连接A ′B ，则△A′BO 为直角三角形，且BO ＝242＝12(cm)，A ′O ＝(15－3)＋4＝16(cm)，由勾股定理，得A′B 2＝A′O 2＋BO 2＝162＋122＝400，∴A ′B ＝20 cm.故蜘蛛沿折线BCA 爬去吃小飞虫最近，且它至少要爬20 cm.7．解：(1)正确．理由：在△ABC 中，AB ＝200米，AC ＝160米，BC ＝120米，∵AC 2＋BC 2＝1602＋1202＝2002＝AB 2，即AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形．(2)∵CH ⊥AB ，∴S △ABC ＝12AB·CH.由(1)知△ABC 是直角三角形， 且∠ACB ＝90°，∴S △ABC ＝12AC·BC，∴AB ·CH ＝AC·BC， 即200CH ＝160×120， 解得CH ＝96米．答：小路CH 的长为96米．8．解：(1)如图，连接AB ，画出AB 的垂直平分线交CD 于点P ，则点P 即为所求的点． (2)∵∠APB ＝90°， ∴∠APC ＋∠BPD ＝90°. 又∵∠APC ＋∠PAC ＝90°，∴∠PAC＝∠BPD.又∵∠ACP＝∠PDB＝90°，AP＝PB，∴△ACP≌△PDB(AAS)，∴PC＝BD＝4 km.在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∴AP2＝AC2＋PC2＝32＋42＝25，∴AP＝5 km.答：A村到车站的距离为5 km.。
湘教版数学八年级上册【课时训练一】2.1三角形
初中数学试卷2.1 三角形三边关系练习题一、填空题1 、若等腰三角形的两边长分别为3 和 7,则它的周长为 _______; 若等腰三角形的两边长分别是 3 和 4,则它的周长为 _____.2 、长为 10 、 7 、5 、3 的四跟木条，选此中三根构成三角形有___种选法。
3 、若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为 3 ：4 ：5 ，则三边长分别为 _______4 、已知线段 3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以 3 ， 5， x 为边能构成 ______个三角形。
5 、△ABC 中，假如 AB=8cm ， BC=5cm ，那么 AC 的取值范围是 ________________.6 、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长 a 的取值范围是 ________;二、选择题7 、已知三条线段的比是:① 1:3:4; ② 1:2:3; ③ 1:4:6; ④ 3:3:6; ⑤ 6:6:10; ⑥ 3:4:5. 此中可构成三角形的有 ()A.1 个B.2 个个个8 、假如三角形的两边长分别为 3 和 5,则周长 L 的取值范围是 ( )A.6<L<15B.6<L<16C.11<L<13D.10<L<169 、已知三角形的三边长为连续整数,且周长为 12cm, 则它的最短边长为 ( )10 、等腰三角形的一边长为3cm, 周长为 19cm, 则该三角形的腰长为( )cm.A 、 3 B、 8 C、3或8 D、以上答案均不对11 、若三角形两边长分别为6cm,2cm, 第三边长为偶数，则第三边长为( )A 、 2cm B、4cm C、 6cm D 、8cm12 、已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为 ( )金戈铁制卷1 / 2D.12 或 15三、解答题A13 、一个等腰三角形，周长为20cm ，一边长 6cm ，求其余两长。
14 、已知等腰三角形的两边长分别为4,9, 求它的周长 . P四、创新题 B C15 、 P 是△ABC 内一点 ,说明 PA+PB+PC> 1(AB+BC+AC). 2堂堂清练习题答案：一、填空题1、17 ，11 或 10 2 、2 3、15 ㎝、20 ㎝、25 ㎝4、25、3 ㎝﹤AC﹤13 ㎝6、0﹤a﹤12二、选择题7 、B 8、 D 9 、B 10 、B 11、C 12 、C三、解答题13、6 ㎝8 ㎝或 7 ㎝7 ㎝14、2215、证明略。
湘教版八年级数学上册习题1.3知识点及解析
整数指数幂
1.同底数幂的除法的运算法则是什么？ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
设a≠0，m，n是整数，且m＞n,则
是正整数且等于小数中第一个不是零的数前 面的“0”的个数.
例如：0.0000305，3的前面有5个0，则表示 成a×10-n形式时，n=5.即0.0000305=3.05×10-5.
4.整数指数幂的运算法则有哪些？ 设a≠0，b≠0，m，n为整数，则
am·an=am+
n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
13
3
2 x2 y2 2 1 x2 y1 1 .
2
(1)是0次幂和负整数指数幂的计算，关键是 理解意义、正确利用公式；(2)是整数指数幂及 除法运算，注意法则运用和结果化成正整数幂。
解：1
3 2
1
0
1 2020
1
2
13
3
1 1 32 11 9 11.
●A组基础题
1
a5 a3
；
3
x 2m1 x m2
m是
正
整 数(2；)
2（（xx22yy33））4 ；
4
x5 y3 2 xy 2
.
(1)(2)(3)是同底数幂的除法，可直接运用 法则。(4)是单项式除以单项式，可把系数、同 底数的幂分别相除。
2.计算：
110000 ；Βιβλιοθήκη 3 1 4 ；22
3
3
4105 400000 (个).
湘教版八年级下册数学知识点及例题归纳
C BAC BAcbaCB ADCBAP FE DC B21AP EDC BAF E CBAEDCBA新湘教版八年级下册数学复习知识点梳理第一章直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 几何语言∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF（巩固练习）·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。
几何语言∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB（巩固练习）·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
（巩固练习）·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等．3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等 于斜边c 的平方，即222a b c +=。
求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a cb =-或22b c a =-。
，（巩固练习）·如图是拉线电线杆的示意图。
已知CD ⊥AB ，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。
（巩固练习）·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
（巩固练习）·在Rt △ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
湘教版初二练习题数学
湘教版初二练习题数学在湘教版初二数学教材中，有许多练习题可以帮助学生巩固所学的知识。
这些练习题旨在激发学生的兴趣、培养学生的思维能力和解决问题的能力。
以下是一些例题，让我们来看看它们是如何帮助学生提高数学水平的。
一、整数运算1. 将-5与3相加后，再减去2。
解答：(-5) + 3 - 2 = -42. 计算(-7) × 4 ÷ (-2)。
解答：(-7) × 4 ÷ (-2) = 14二、分数运算1. 将2/3加上1/4。
解答：2/3 + 1/4 = 11/122. 计算3/5减去1/10。
解答：3/5 - 1/10 = 5/10 = 1/2三、代数式1. 如果x = 3，计算3x + 2x² = ?解答：将x = 3代入表达式中：3(3) + 2(3)² = 272. 如果x = -2，计算4x - x² = ?解答：将x = -2代入表达式中：4(-2) - (-2)² = -8 - 4 = -12四、方程求解1. 解方程3x + 4 = 16。
解答：3x + 4 = 16，移项得3x = 12，再除以3，得x = 4。
2. 解方程2(x - 3) + 4 = 10。
解答：2(x - 3) + 4 = 10，展开得2x - 6 + 4 = 10，化简得2x - 2 = 10，再加2得2x = 12，最后除以2得x = 6。
五、几何1. 计算一个正方形的面积，已知边长为4cm。
解答：正方形的面积等于边长的平方，所以面积为4² = 16cm²。
2. 计算一个圆的周长，已知半径为5cm。
解答：圆的周长等于2πr，所以周长为2π(5) = 10π cm。
六、概率1. 把一副52张的牌洗乱后，从中随机抽取1张牌，抽到红心的概率是多少？解答：一副牌中有13张红心，因此概率为13/52 = 1/4。
2. 把一枚骰子掷一次，掷到偶数点的概率是多少？解答：一枚骰子中有3个偶数点（2、4、6），因此概率为3/6 = 1/2。
湘教版八年级上册数学全册同步练习含答案
1.1 分式基础导练1．若分式2a＋1有意义，则a的取值范围是()A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠02．当a ________时，分式1a＋2有意义．3. 若式子2x－1－1的值为零，则x＝________．4．求出使分式|x|－3（x＋2）（x－3）的值为0的x的值．能力提升5．a，b为有理数，且ab＝1，设P＝aa＋1＋bb＋1，Q＝1a＋1＋1b＋1，则P____Q(填“＞”、“＜”或“＝”)．6．解方程：2x－1＝1x－2.7．解方程：23x－1－1＝36x－2参考答案1．C 2.≠－23.34．【解析】要使分式的值为0，必须使分式的分子为0，且分母不为0，即|x |－3＝0且(x ＋2)(x －3)≠0.解：要使已知的分式的值为0，x 应满足|x |－3＝0且(x ＋2)·(x －3)≠0.由|x |－3＝0，得x ＝3或x ＝－3，检验知：当x ＝3时，(x ＋2)(x －3)＝0，当x ＝－3时，(x ＋2)(x －3)≠0，所以满足条件的x 的值是x ＝－3.5．＝6．解：方程两边都乘(x －1)(x －2)，得2(x －2)＝x －1，去括号，得2x －4＝x －1，移项，得x ＝3.经检验，x ＝3是原方程的解，所以原分式方程的解是x ＝3.7．解：方程两边同时乘6x －2，得4－(6x －2)＝3，化简，得－6x ＝－3，解得x ＝12.检验：当x ＝12时，6x －2≠0，所以x ＝12是原方程的解．1.2 分式的乘法和除法 基础导练 一、选择题 1．约简分式后得 () A ．； B ． ； C ．； D ．．2．等于 ()22y x ayax -+y x a -2y x a-y x a+y x a+2cd axcd ab 4322-÷A ．；B ．b 2x ；C ．－；D ．－． 3．·5(a +1)2等于 () A ．a2+2a+1； B ．5a2+10a+5； C ．5a2－1； D ． 5a2－5．4．下列各式中，化简成最简分式后得的是 ( ) A ．； B ． ；C ．；D ．．5．若x 等于它的倒数，则分式的值为 () A ．－1； B ．5； C ．－1或5； D ．－或4．能力提升二、计算题1．2．三、若=1,求x 的取值范围．参考答案x b 32223x b 322222283d c x b a 23222++-+a a a a 121-x 144122+-+x x x 144122+--x x x 4141212--x x 4121212+--x x x 1332622+-+÷--+x x x x x x 4122222121221⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷-+-÷⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x x x x 22222222223654523212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x x x x x x x )(|3|))(3(x m x m x x ----一、1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．C ．二、 1．；2．1 ． 三、x ＜3,且x ≠m ．1.3.1 同底数幂的除法基础导练1．下列各项计算正确的是()A ．a 7÷a ＝a 7B ．a 6÷a 2＝a 3C.（－xy ）8（－xy ）4＝－x 4y 4 D ．a 6÷a 3÷a 2＝a 2．下列运算正确的是()A ．8a 3b 8÷4ab 4＝2a 2b 2B ．(－2x 2y 4)÷⎝⎛⎭⎫－12xy 2＝xy 2 C ．(－x y )6÷(－xy )3＝－x 3y 3D ．(－a 4b 5c )÷ab 3＝－a 4b 2c3．下列各项计算正确的是()A.（－x ）9（－x ）6＝x 3 B.（x 2y ）5（xy ）2＝x 3y 3 C.（－a ）2n （－a ）2n －1＝－a D.⎝⎛⎭⎫a 3n a n 3＝a 9 4．计算：(x －y )6÷(y －x )3＝________．5．计算：(－2a 2)3·(－a )4÷(－a )8＋3a 2＝________.能力提升6．计算：⎝⎛⎭⎫4a 2＋2ab ＋b 25÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7.22--x x7．先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(4ab3－8a2b2)÷4ab，其中a＝2，b＝1. 参考答案1．D【解析】a7÷a＝a6≠a7，a6÷a2＝a4≠a3，（－xy）8（－xy）4＝(－xy)4＝x4y4≠－x4y4，a6÷a3÷a2＝a6－3－2＝a，所以选项D正确，故选D. 2．C3．C【解析】（－x）9（－x）6＝－x9x6＝－x3≠x3；（x2y）5（xy）2＝x10y5x2y2＝x8y3≠x3y3；⎝⎛⎭⎫a 3n a n 3＝(a 2n )3＝a 6n ≠a 9；（－a ）2n （－a ）2n －1＝a 2n－a 2n －1＝－a ，故选C.4．－(x －y )3【解析】(x －y )6÷(y －x )3＝(x －y )6÷[－(x －y )]3＝(x －y )6÷[－(x －y )3]＝－(x －y )6÷(x －y )3＝－(x －y )3.5. －5a 2【解析】原式＝－8a 6·a 4÷a 8＋3a 2＝－8a 6＋4－8＋3a 2＝－8a 2＋3a 2＝－5a 2，故填－5a 2.6．【解析】先将a 2＋2ab ＋b 2因式分解，再根据先乘方、后乘除的顺序计算．解：原式＝⎣⎡⎦⎤22（a ＋b ）25÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7＝⎝⎛⎭⎫2a ＋b 10÷⎝⎛⎭⎫2a ＋b 7＝⎝⎛⎭⎫2a ＋b 3＝8（a ＋b ）3.7．【解析】先化简，要知道(a ＋b )(a －b )这个式子是a 与b 的平方差的形式．解：(a ＋b )(a －b )＋(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab＝a 2－b 2＋4ab 3÷4ab －8a 2b 2÷4ab＝a 2－b 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab .当a ＝2，b ＝1时，原式＝a 2－2ab ＝22－2×2×1＝4－4＝0.1.3.2 零次幂和负整数指数幂基础导练1．(－2)0等于 ()A ．1B ．2C ．0D ．－22．3－1等于()A ．3B ．－13C ．－3 D.133．把(－100)0，(－3)－2，⎝⎛⎭⎫13－2按从小到大的顺序排列并用“<”连接，正确的是()A ．(－100)0<(－3)－2<⎝⎛⎭⎫13－2B.⎝⎛⎭⎫13－2<(－3)－2<(－100)0 C.⎝⎛⎭⎫13－2<(－100)0<(－3)－2D ．(－3)－2<(－100)0<⎝⎛⎭⎫13－24．计算：(－1)2 012－(－3)＋⎝⎛⎭⎫－12－1.5．计算：(－1)2 012×(3－π)0＋⎝⎛⎭⎫12－1.能力提升6．要使代数式(4x －5)0＋(2x －3)－2有意义，求x 的取值范围，并求当x ＝34时，代数式的值．7．已知x 2＋1＝3x ，求x 2＋x－2的值．参考答案1．A2.D3．D 【解析】(－100)0＝1，(－3)－2＝1（－3）2＝19，⎝⎛⎭⎫13－2＝32＝9，19<1<9，即(－3)－2<(－100)0<⎝⎛⎭⎫13－2.4．解：原式＝1＋3－2＝2.5．解：原式＝1×1＋2＝3.6．解：必须4x －5≠0且2x －3≠0时代数式才有意义，即要x ≠54且x ≠32， 所以x 的取值范围是x ≠54且x ≠32. 当x ＝34时，原式＝⎝⎛⎭⎫4×34－50＋⎝⎛⎭⎫2×34－3－2＝(－2)0＋⎝⎛⎭⎫－32－2＝1＋49＝139. 7．解：因为x 2＋1＝3x ，所以x ＋1x＝3， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝9，所以x 2＋1x 2＋2·x ·1x ＝x 2＋1x2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝x 2＋1x2＝9－2＝7.1.3.3 整数指数幂的运算法则基础导练1．下列运算正确的是()A ．a 2·a 3＝a 6B ．a 3÷a 2＝aC ．(a 3)2＝a 9D ．a 2＋a 2＝a 52．计算(－x )2·x 3的结果是()A ．x 5B ．－x 5C ．x 6D ．－x 63．计算(a 3)2·a 3的结果是()A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 114．下列式子中，正确的有()①a 2÷a 5＝a －3＝1a 3；②a 2·a －3＝a －1＝1a； ③(a ·b )－3＝1（ab ）3＝1a 3b 3；④(a 3)－2＝a －6＝1a 6. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．下列计算正确的是()A ．a 2·b 3＝a 6B ．5a 2－3a 2＝2a 2C ．a 0＝1D ．2－1＝－2 6．根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a 6的算式________．能力提升7．计算24a 3b －2－12a 2b －2（－2a ）2b －1的结果是() A.2a －1b 3 B.3（2a －1）bC ．(2a －1)bD ．(2a －1)b 38．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－x x －16÷(－x )3·⎝⎛⎭⎫1x －1－4； (2)8x 2y 2÷⎝⎛⎭⎫y 3－xy 2·⎝⎛⎭⎫－y 24x 2； (3)(－3a n ＋1)－2÷[a n ＋2·(a n b 2)－3]． 参考答案1．B 2.A3．B 【解析】本题考查的是同底数幂的乘法与幂的乘方，需注意它们之间的区别：同底数幂的乘法法则为底数不变，指数相加；幂的乘方法则为底数不变，指数相乘．原式＝(a 3)2·a 3＝a 3×2·a 3＝a 6＋3＝a 9.故选B.4．D5.B6．答案不唯一，如(a 2)3＝a 67．B 【解析】原式＝12a 2b －2（2a －1）4a 2b －1＝3（2a －1）b －2b －1＝3（2a －1）b －1·b 2＝3（2a －1）b ，故选B. 8．解：(1)原式＝x 6（x －1）6·⎝⎛⎭⎫－1x 3·(x －1)4＝－x 3（x －1）2. (2)原式＝8x 2y 2·x 2y 2y 6·y 416x 2＝12x 2y 2. (3)原式＝19a 2n ＋2÷a n ＋2a 3n b 6＝19a 2n ＋2·a 3n b 6a n ＋2＝a 3n b 69a 3n ＋4＝b 69a 4.1.4 分式的加法和减法基础导练1．化简x 2x －1＋x 1－x的结果是() A ．x ＋1 B ．x －1C ．－xD ．x2．化简a 2a －b －b 2a －b的结果是() A ．a ＋b B ．a －bC ．a 2－b 2D ．13．对分式y 2x ，x 3y 2，14xy通分时，最简公分母是() A ．24x 2y 3B ．12x 2y 2C ．24xyD ．12xy 24．分式1x 2－4，x 4－2x 的最简公分母为() A ．(x ＋2)(x －2)B ．2(x ＋2)(x －2)C ．2(x ＋2)(x －2)2D ．－(x ＋2)(x －2)5．化简⎝⎛⎭⎫a 2a －3＋93－a ÷a ＋3a 的结果为()A ．aB ．－aC ．(a ＋3)2D ．16．化简⎝⎛⎭⎫1＋4a －2÷aa －2的结果是()A.a ＋2aB.a a ＋2C.a －2aD.a a －2能力提升7．已知数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为________．8．化简：⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2－1÷⎝⎛⎭⎫2＋1x －1－1x ＋1.9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1，其中x ＝－3.参考答案1.D2.A3.D4.B5.A6.A7．78．解：原式＝x 3－x ＋x （x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2.9．解：⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1＝⎣⎡⎦⎤3x ＋4（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x ＋2＝3x ＋4－2x －2（x ＋1）（x －1）×（x －1）2x ＋2 ＝x ＋2（x ＋1）（x －1）×（x －1）2x ＋2 ＝x －1x ＋1. 当x ＝－3时，原式＝－3－1－3＋1＝2.1.5 可化为一元一次方程的分式方程基础导练1．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程x －2x 2－4x ＋4＝0的根为2；③方程12x ＝12x －4的最简公分母为2x (2x －4)；④x ＋1x －1＝1＋1x －1是分式方程．其中正确的个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下面是四位同学解方程2x －1＋x1－x＝1过程中去分母的一步，其中正确的是() A ．2＋x ＝x －1B ．2－x ＝1C ．2＋x ＝1－xD ．2－x ＝x －1 3．分式方程32x ＝1x －1的解为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝44．某商店销售一批服装，每件售价为175元，可获利40%，求这种服装的进价．设这种服装的进价为x 元，则可得到的方程为() A ．x ＝175×40% B ．40%x ＝175 C.175－xx×100%＝40% D ．175×(1－40%)＝x5．已知一汽船在顺水中航行46千米和逆水中航行34千米共用去的时间，正好等于它在静水中航行80千米用去的时间，并且水流速度是2千米/时，求汽船在静水中的速度．若设汽船在静水中的速度为x 千米/时，下列所列方程正确的是()A.46x－2＋34x＋2＝80x B.46x＋2＋34x－2＝80xC.80x＋2＝46x－34x－2D.34x＋2＝80x－2＋46x能力提升6. 解关于x的方程2x－2＋mxx2－4＝0有增根，求m的值．7. 为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行一次考核，某校决定为全校数学老师每人购买一本义务教育《数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)，同时每人配套购买一本《数学课程标准(2011年版)解读》(以下简称《解读》)．其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元，若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1 053元，请问：《标准》和《解读》的单价各是多少元？8.我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书本数相等，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10 000元再购进一批文学书和科普书，问：购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？参考答案1.A2.D3.C4.C5.B6．解：分式方程有增根，最简公分母(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝2或x＝－2.去分母，得2(x＋2)＋mx＝0，当m≠－2时，x＝－42＋m.将x＝－2代入得－2＝－42＋m，解得m＝0；将x＝2代入得2＝－42＋m，解得m＝－4，所以m的值为0或－4.7．解：设《标准》的单价为x元，则《解读》的单价为(x＋25)元．根据题意，得378x＝1 053x＋25，解得x＝14.经检验x＝14是所列方程的解，所以x＋25＝39，故《标准》的单价为14元，《解读》的单价为39元．8．解：设文学书的单价为x元，则科普书的单价为(x＋4)元，根据题意，得12 000x＋4＝8 000x，解得x＝8，经检验，x＝8是方程的根，且符合题意，x＋4＝12，即去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书，根据题意，得550×8＋12y＝10 000，解得y＝4662 3，由题意知y取整数，所以y＝466.答：至多还能购进466本科普书．第2章三角形__三角形__第1课时三角形1．一位同学用三根木棒拼成图形如下，则其中符合三角形概念的是()图2－1－42．如图2－1－5所示，∠BAC的对边是()图2－1－5A．BD B．DCC．BC D．AD3．图2－1－6中的三角形共有()图2－1－6A．2个B．3个C．4个D．5个4．已知三角形ABC的三边a、b、c满足|a－b|＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对5．[2012·郴州]以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，4 cmB．4 cm，6 cm，8 cmC．5 cm，6 cm，12 cmD．2 cm，3 cm，5 cm6．[2012·长沙]现有3 cm，4 cm，7cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()A．1 B．2C．3 D．47．如图2－1－7中，△ABE中AE边的对角为________，AD是△A CD中________的对边，CE是________的公共边．图2－1－78．指出图2－1－8中有几个三角形，并用字母把它们分别表示出来．图2－1－89．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图2－1－9中以BC为公共边的“共边三角形”有()图2－1－9A．2对B．3对C．4对D．6对10．[2012·绥化]若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________．11．湖边上有A，B两个村庄(如图2－1－10)，从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B.试判断哪条路更短，并说明理由．图2－1－10答案解析1．D【解析】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形．故选D.2．C3．D【解析】图中的三角形有：△ABD，△ADC，△ABC，△AEC，△DEC，共5个．4．C【解析】由题意，得a－b＝0，b－c＝0，解得a＝b，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C.5．B6．B【解析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.7．∠ABE∠ACD△ACE与△DCE8．解：图中共有8个三角形，分别是△AEO、△AEC、△AOC、△ABD、△ABC、△ADC、△BEC、△ODC.9．B【解析】△ABC与△DBC，△ABC与△EBC，△DBC与△EBC.10．11或1311．解：A→Q→B更短，理由：延长AQ交BP于E.在△APE中，AP＋PE＞AQ＋QE①，在△BEQ中，QE＋BE＞BQ②.①＋②得，AP＋PE＋QE＋BE＞AQ＋QE＋BQ，即AP＋PB＞AQ＋BQ.第2课时三角形的高、角平分线、中线1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？()A．中线B．高C．角平分线D．边的垂直平分线2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是() A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上答案均正确3．如图2－1－16，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是()A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE＝∠EBD＝∠DBC4．如图2－1－17，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE.(1)______是△ABC的中线，DE是________的中线；(2)△ABC的角平分线是________，BF是________的角平分线．5．如图2－1－18，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BE为△ABC的中线，如果AC＝12cm，则AE＝________；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝________．6．已知△ABC，如图2－1－19，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.图2－1－16图2－1－18 图2－1－17图2－1－197．如图2－1－20，网格中小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出其三边的中线(顶点与对边中点连接的线段)，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？图2－1－208．如图2－1－21所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？说明理由．图2－1－219．有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，如图2－1－22所示．政府要将这块土地按人口分给甲、乙、丙三家，若甲家有6口人，乙家有5口人，丙家有4口人，且每户所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．图2－1－22答案解析1．A2．A【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．D【解析】正确理解三角形的高、中线与角平分线的概念．4．AD△BECBE△ABD【解析】由三角形的中线和角平分线的有关概念可得．5．6 cm40°【解析】由三角形的中线、角平分线的定义计算即可．6．解：画法及图略．7．解：画图略．(1)三条中线交于一点；(2)在同一条中线上，三条中线的交点到边中点的距离等于它到顶点距离的一半．8．【解析】比较两个三角形的周长即是比较两个三角形三边之和的大小关系；而比较两个三角形的面积大小，则是比较底与高乘积的大小．解：△ABE的周长为AB＋AE＋BE，△ACE的周长为AC＋CE＋EA.又因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE.所以△ABE与△ACE的周长之差为(AB＋AE＋BE)－(AC＋AE＋CE)＝AB－AC＝8－5＝3(cm)，即△ABE比△ACE的周长长3 cm.△ABE和△ACE的面积相等，理由如下：因为AD是△ABE与△ACE的高，所以S△ABE ＝12BE·AD，S△ACE＝12CE·AD.又因为BE＝C E，所以S△ABE ＝S△AC E.9．【解析】此题要求按人口分给甲、乙、丙三家，也就是说使三家土地的面积比为6∶5∶4；与灌渠相邻，即把BC边分成(6＋5＋4)份，甲家占6份，乙家占5份，丙家占4份．解：如图所示．第9题答图第3课时三角形的内角和1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是() A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2．[2012·云南]如图2－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为()图2－1－29A．40°B．45°C．50°D．55°3．[2012·梧州]如图2－1－30，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是()图2－1－30A．10° B．12°C．15°D．18°4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是()图2－1－31A．28° B．31°C．39° D．42°5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放在一起，则图中∠α的度数是()A．45°B．60°C ．75°D ．90°6．如图2－1－33，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B ＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A 等于________．图2－1－337．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A ＝100°，∠B ＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC ＝90°，∠B＝21°，∠C ＝20°.检验工人量得∠BDC ＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？图2－1－35图2－1－32图2－1－349．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．图2－1－3610．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．图2－1－37答案解析1．B【解析】三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.2．A【解析】因为∠B＝67°，∠C＝33°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.因为AD是△ABC的角平分线，所以∠CAD＝1 2∠BAC＝12×80°＝40°. 故选A.3．A【解析】因为AD⊥BC，∠C＝36°，所以∠CAD＝90°－36°＝54°，因为AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，所以∠CAE＝12∠BAC＝12×128°＝64°，所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝64°－54°＝10°.故选A.4．C【解析】因为a∥b，所以∠DBC＝70°，所以∠ABD＝180°－70°＝110°，所以∠A＝180°－31°－110°＝39°.故选C.5．C【解析】如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.第5题答图6．80°【解析】因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－40°＝80°.7．408．【解析】可以先计算出合格时∠BDC的度数．由于∠BDC与∠A，∠B，∠C不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线．解：方法一：连接AD并延长，如图(1)所示．第8题答图因为∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠B＋∠C，所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC＝131°.由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．方法二：延长CD交AB于E，如图(2)所示．因为∠CEB＝∠C＋∠A，∠CDB＝∠CEB＋∠B，所以∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B＝20°＋90°＋21°＝131°.由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．9．【解析】运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小．解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4，所以∠3＝2∠2，所以∠2＝12∠3，在△ABC中，∠2＋∠3＋∠BAC＝180°，因为∠BAC＝63°，所以12∠3＋∠3＋63°＝180°，所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC＝180°－78°－78°＝24°.10．解：因为∠AGL＝∠A＋∠B，∠CHG＝∠C＋∠D，∠ELH＝∠E＋∠F，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠AGL＋∠CHG＋∠ELH(即△GHL 的外角和)．所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.__命题与证明__第1课时定义与命题1．下列属于定义的是()A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的补角相等D．线段是直线上的两点和两点间的部分2．下列说法正确的是()A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．三角形的三条中线的交点为三角形的重心C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题也是正确的D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义3．[2012·贵州]定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)，例如f(2，3)＝(3，2)，g(－1，－4)＝(1，4)则g(f(－5，6))等于()A．(－6，5) B．(－5，－6)C．(6，－5) D．(－5，6)4．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是__________________________________________________，它的条件是____________，结论是_____________________________________________________________．5．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是____________________ __ .6．叙述下列概念的定义．(1)轴对称图形；(2)分式；(3)两平行线间的距离．7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．(1)末位数字是5的整数都能被5整除；(2)直角三角形的两个锐角互余．8．阅读下列材料，然后回答问题．材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．如图2－2－1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线．问题：请叙述三角形的中线的定义，并比较三角形的中线与三角形的中位线这两个概念的异同．图2－2－19．某位同学在学过对顶角后，根据自己对对顶角的特征性质的了解给出了自己的定义：没有公共边且相等的两个角叫作对顶角．你认为他的定义正确吗？若不正确，请写出“对顶角”的正确定义，并举出一个例子，说明他的定义是不正确的．10．我们知道平移是将图形中的每一个点都按同一方向移动相同的距离，试判断水磨转动是否为平移现象，并说明原因．答案解析1．D2．B【解析】“作线段CD＝AB”没有对事情作判断，不是命题，故选项A错误；三角形的三条中线的交点为三角形的重心；命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是若x2＝1，则x＝1是错误的，x也有可能等于－1，故选项C是错误的；同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项，故选项D错误．3．A4．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等两个角相等这两个角的余角相等5．互为补角的两个角的和为180°【解析】因为原条件为：和为180°，结论为：这两个角互补，所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°. 6．解：(1)如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．(2)一个整式f除以一个非零整式g，所得的商记作fg，把代数式fg叫作分式.(3)两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．7．解：(1)如果一个整数的末位数是5，那么这个数就能被5整除；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．8．解：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．相同点：这两个概念都与三角形的边的中点有联系．不同点：三角形的中线是连接一边中点与这边所对顶点的线段，而三角形的中位线则是连接三角形两边中点的线段．9．解：不正确．对顶角：两个角有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫作对顶角．如图，将一个直角三等分，那么∠AOB＝∠COD＝30°，并且它们没有公共边，但是它们显然不是对顶角．第9题答图10．解：水磨转动不是平移现象，原因是每个点移动的方向不同，移动的距离也不相等．第2课时真假命题、证明、定理与逆定理1．下列命题中，是真命题的是()A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是()A．a＝－2 B．a＝－1C．a＝1 D．a＝23．下列命题中，错误的是()A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．若|x|＝5，则x＝5.4．下列命题中，是真命题的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝05．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)两个锐角的和是钝角．8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．9．命题：若a＞b，则1a< 1 b.(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．10．如图2－2－3，点B，A，E在同一条直线上，(1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．图2－2－3答案解析1．A【解析】对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.2．A【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a ＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，所以选项A正确；故选A.3．D4．D【解析】选项A，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，是真命题．故选D. 5．①②④6．对顶角相等(答案不唯一)7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；(2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．8．解：(1)假命题．反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.此命题为假命题．反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.9．解：(1)假命题．如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足1a< 1 b.(2)改成：若a＞b＞0，则1a< 1 b.10．解：命题：如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC.(答案不唯一)它是真命题，理由如下：因为AD∥BC，所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC.又因为∠B＝∠C，所以∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.故是真命题．第3课时命题的证明1．[2012·张家界]如图2－2－6，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是()图2－2－6A．当∠1＝∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1＝∠2C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b2．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°3．如图2－2－7，下列推理不正确的是()图2－2－7A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BCC．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD4．用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．已知：如图2－2－8, l1∥l2, l1、l2被l3所截．求证：∠1＋∠2＝180°.图2－2－8证明：假设____________．因为l1∥l2，所以∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.所以____________不成立.所以____________．5．已知：如图2－2－9所示，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.(填写分析和证明中的空白)图2－2－9分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明________＝________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角和∠1、∠2的关系．由AD⊥BC于D，EF⊥BC 于F可推出________∥______，然后根据平行线得出的同位角相等，内错角相等，即可将所要证明相等的角与∠1，∠2联系起来．证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，所以________∥________(在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，所以________＝________(两直线平行，内错角相等)，________＝________(两直线平行，同位角相等)．因为________(已知)，所以________＝________．即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．6．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．7．求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．答案解析1．D2．C【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.3．C4．∠1＋∠2≠180°∠1＋∠3∠1＋∠2≠180°∠1＋∠2＝180°5．∠BAD∠CADEFADEFAD∠1∠BAD∠2∠CAD∠1＝∠2∠BAD∠CAD 6．解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.求证：∠A<90°，∠B<90°.证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与“三角形内角和等于180°”矛盾．所以假设不成立，原命题成立，即等腰三角形的底角是锐角．7．解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点M，且EF交CD于点N.求证：EF⊥CD.证明：因为EF⊥AB，所以∠EMB＝90°.又因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，所以∠END＝90°，所以EF⊥CD.第7题答图2.3__等腰三角形__第1课时等腰三角形的性质1．给出下列关于等腰三角形性质的叙述：①等腰三角形两底角相等；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是() A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或70°，40°D．以上都不对3．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图2－3－5，中塔左右两边所挂的最长钢索AB＝AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是________米．图2－3－54．[2012·淮安]如图2－3－6，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．图2－3－65．做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．其中由上述操作可得出的是________(将正确结论的序号都填上)．6．如图2－3－7，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.图2－3－77．如图2－3－8，已知等边三角形EAD和正方形ABCD，试求∠BEC的度数．图2－3－88．[2012·牡丹江]如图2－3－9①，△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H .易证PE ＋PF ＝CH . 证明过程如下： 如图①，连接AP .因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，所以S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又因为S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， 所以12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . 因为AB ＝AC ， 所以PE ＋PF ＝CH .如图2－3－9②，P 为BC 延长线上的点时，其他条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．图2－3－9答案解析1．D2.C3．456【解析】因为AB＝AC，BD＝228米，AD⊥BC，所以BD＝CD，所以BC＝2BD＝456米．故填456.4．35°【解析】因为△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝12∠BAC＝12×70°＝35°.5．②③6．证明：作AF⊥BC于F.因为AB＝AC(已知)，所以BF＝CF，又因为AD＝AE(已知)，所以DF＝EF，所以BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE(等式的性质)．第6题答图7．【解析】要求∠BEC，先求出∠AEB与∠CED，由题意可知△ABE与△DCE为等腰三角形，且顶角为60°＋90°＝150°，于是可得∠AEB与∠CED的度数．解：因为已知等边△EAD与正方形ABCD，所以AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝∠ABE＝12(180°－150°)＝15°.同理∠CED＝15°，所以∠BEC ＝∠AED －∠AEB －∠CED ＝60°－15°－15°＝30°. 8．解：PE ＝PF ＋CH .证明如下： 连接AP .因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，所以S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 因为S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ，所以12AB ·PE ＝12AC ·PF ＋12AB ·CH ， 又因为AB ＝AC ， 所以PE ＝PF ＋CH .第2课时 等腰三角形的判定1．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 满足(a －b )(b －c )·(c －a )＝0，那么△ABC 的形状是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形 2．下列条件中，不能得到等边三角形的是() A ．有两个内角是60°的三角形 B ．有两边相等且是轴对称的三角形 C ．有一个角是60°且是轴对称的三角形 D ．三边都相等的三角形3．如图2－3－14，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝________．图2－3－144．如图2－3－15，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD 是等腰三角形．图2－3－155．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图2－3－16折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．图2－3－166．如图2－3－17，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC 于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．图2－3－177．如图2－3－18所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB 到E使BE＝BD，连接DE.(1)请你写出图中的一个等腰三角形(除△ABC外，不必说明理由)．(2)如果已知AC＝2 013 cm，你能求出图中CE的长吗？试试看．(3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使(1)(2)成立？图2－3－18答案解析1．A【解析】因为(a－b)(b－c)(c－a)＝0，所以a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0，即a＝b或b＝c或c＝a，因而该三角形一定是等腰三角形．故选A.2．B3．10【解析】由AD∥CE，得∠BEC＝∠A，由已知可得∠BEC＝∠B，从而得出BC＝EC.4．解：因为AB∥CD，所以∠A＝∠D，∠B＝∠C，又因为OA＝OB，所以∠A ＝∠B，所以∠C＝∠D，所以△OCD是等腰三角形．5．解：正确．由折叠，得∠PEF＝∠FEC′.又因为BD′∥AC′，所以∠FEC′＝∠PFE.所以∠PEF＝∠PFE，所以PE＝PF.所以△PEF是等腰三角形．6．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，所以∠BAD＝∠CAD(等腰三角形三线合一定理)．因为DE∥AB，所以∠BAD＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)，所以∠CAD＝∠ADE，所以AE＝DE，所以△ADE是等腰三角形．7．解：(1)△BDE为等腰三角形；(2)因为△ABC为等边三角形，所以AB＝AC＝2 013 cm；又因为CD是AB边上的高，所以BD＝12AB＝1 006.5 cm，所以BE＝BD＝1 006.5 cm，所以CE＝BC＋BE＝2 013＋1 006.5＝3 019.5 cm；(3)把“CD是AB边上的高”改成“CD是AB边上的中线”或“CD是∠ACB的平分线”仍能使(1)(2)成立．__线段的垂直平分线__第1课时线段的垂直平分线的性质1．如图2－4－7，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()图2－4－7A．80° B．70°C．60° D．50°。
湘教版八年级数学上册习题1.4知识点及解析
3
x
6
3x
3
x
32
x
x
3
3
x
6
3
x
32
x 3.
当x 1 时，原式 1 3 7 .
2
2
2
●A组基础题
1 x y y ； 2 5 x ；
2x 2x
x5 5 x
3
x2
5x 2xy
y2
x2
5y 2xy
y2
；
4 x2 2 xy y2 .
x2 y2 x2 y2 x2 y2
xx
1
x
1
1x
2
x
1
2020x
2021
1 1 1 1 1 1 1
x x x1 x1 x2
x 2020 x 2021
1 1 1 2 1 x x x 2021 x x 2021
2x xx
2021 2021
1 x
xx 2021
x 4042
xx 2021
.
2.通分：
1
2
1 x2
y
，2 3x
2
， 4
3 xy2
；
3
x x2
，
4 x
2
22
.
2
1， xy x2
y
2
xy2
；
3.计算：
1
2 3x2
5； 6x
2
1 2x2 y
2 3x2
3 4 xy 2
.
5. 计算：
1 x 1 ；
x1 x1
2
y2 x2 xy
x y
； x
3
a2 a2
湘教版八上数学-巧用性质妙解题
巧用性质妙解题
侯玉泉
一、比较大小
例1 当实数0<a 时，a a -+12_____12（填“>”或“<”）.
解析：当0<a 时，可得a ＜-a.根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上12，得a a -<+1212. 故填<.
二、求不等式的特殊解
例2 不等式323+≤x x 的正整数解是 .
解析：根据不等式的基本性质1，不等式两边同时减去2x ，可求得3≤x .
所以符合要求的正整数解是1，2，3.
三、确定字母范围
例3 若关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则字母a 的取值范围是（ ）
**＜-1 B.a ＜0 C.a ＞-1 D.a ＞1
解析：因为（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，所作的变形是在不等式的两边都除以（a+1），且不等号的方向发生了改变，所以其根据是不等式的基本性质3.
所以a+1＜0.
根据不等式的基本性质1，可得a ＜-1.
故选A.。
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初二数学智力趣题
班级： 姓名：
一、选择题：（四个选项中有且只有一项是正确的。
每小题3分，10小题，共30分） 1、 已知39a =，则a ＝ （ ）
A ．3
B ．3± C
D
．
2、 如图，△ABC 沿PQ 的方向平移到△A ’B ’C ’的位置，AA ’、BB ’、CC ’分别是对应点的连线，请问图中共有多少个平行四边形（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3、 如右图，△ABC ≌△AD
E ，已知∠C ＝25°，∠D ＝105°，则∠CAB ＝（ ）
A ．25°
B ．50°
C ．60°
D ．105° 4、 数轴上点A 的位置如图所示，则点A 所表示的实数可能是（ ）
A
B
C
D
5、 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 。
则下列结论不．
正确的是（ ） A ．AB ∥CD 且AB ＝CD
B ．∠BAD ＝∠DCB 且∠BAD+∠ABC=180°
C ．AC ⊥B
D D ．△ABC ≌△CDA
6、 已知一个等腰三角形的腰长为4，底边长为24，则这个等腰三角形的高为（ ）
A ．22
B ．24
C ．2
D ．4 7、 计算2
(4)(2)x x -÷-＝（ ）
A ．x - 2
B ．x + 2
C ．2 -x
D ．2
4x -
8、 依次连结矩形各边中点所组成的四边形一定是（ ）
A ．梯形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形 9、 计算2
(23)a b a --=（ ）
A
A ．22
484b ba a -+
B ．22484a ab b ++
C ．22484a ab b ---
D ．222a ab b ++
10、 如图，直角梯形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，CD ＝5，则对角线AC 的长为（ ）
A ．8 B
C
D ．10
二、 填空题：（每小题3分，5小题，共15分）
11、 正方形绕着它的对角线交点最小旋转 度后能与自身重合。
12、 若22)(a a =成立，则a 应满足条件 。
13、 两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 14、 一个矩形的一条对角线长为20，且两条对角线相交所成的钝角为120°，则这个矩形的面积为 。
15、 计算：=-⋅+20082007)562()625( 。
二、 解答题：（6小题，共55分）
16、 求值或化简（4小题，每小题4分，共16分） （1）2)22(3⨯ （2）)2()63
4(333
5z x yz x z y x -÷+-
（3）)3)((b a b a +- （4
）(2)(x x x +
17、 把下列多项式分解因式：（2小题，每小题4分，共8分） （1）1442+-y y （2）3
182x x -
18、 （本题满分5分）已知2,6==b a ，计算10098999998100
96b a b a b a +-的值。
19、 （本题满分8分）如图：
（1）请你画出△A ’B ’C ’，使其与△ABC 关于点O 成中心对称。
（2）请你在△ABC 的边上找到一个点M ，作出△DEF 与△ABC 关于点M 成中心对称，使得△DEF 与△ABC 合成的图形为平行四边形。
20、 （本题满分9分）
如图，已知菱形ABCD 的周长为8，∠B ＝60°。
请你求出：
（1） AB 边的长；
（2） 菱形ABCD 的面积。
D
分别在三个标记处将绳子拉直
得到直角 21、 （本题满分9分）古埃及人在没有特殊工具的时候用以下的方法来得到直角：将一根绳子12等分，在3个单位长和7个单位长的地方做好标记，然后将绳子连成环形并在接口处做好标记，最后分别在三个做好标记的地方将绳子拉直，就得到了一个直角（如下图）。
（1） 请你用所学过的知识说明古埃及人如此所得的角是直角；
（2） 如果将绳子30等分，并在5个单位长的地方做第1个标记，那么应该在多少个
单位长的地方做第2个标记才能仿照上述的做法得到一个直角呢？请写出你的计算过程。
附加题：（本题满分10分，得分计入总分）
如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形
（1）请问其中是中心对称图形的是 ；
（2）依此类推，36角星 （填“是”或“不是”）中心对称图形。
（3）你怎样判断一个n 角星是否中心对称图形呢？谈谈你的见解。