高中数学必修二3.2.1直线的点斜式方程课时作业

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人教版高一数学必修二导学案：3.2. 1直线的点斜式方程

3. 2. 1直线的点斜式方程一、考纲要求1．学习目标知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

2．学习重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

二、自主学习阅读教材P 92-94完成下面问题并填空知识点一：直线的点斜式方程【提出问题】问题1：已知某一直线过一定点B ，那么该直线位置确定吗？问题2：若某条直线过点(0,)B b ，斜率为k ，则该直线所在直线上的点(,)P x y 满足什么条件？问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？【导入新知】1. 直线的点斜式方程⑴定义：直线l 过定点00(,)P x y ，斜率为k ，则把方程叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式。

⑵说明:过定点00(,)P x y ，倾斜角是090的直线没有点斜式，其方程为00,x x -=或0.x x =2. 直线的斜截式方程⑴定义：直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，则方程叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式。

⑵说明:一条直线与y 轴的交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的。

倾斜角是的直线没有斜截式方程。

三、考点突破例1 ⑴经过点(5,2)-且平行于y 轴的直线方程为。

⑵直线1y x =+绕其上一点(3,4)P 逆时针旋转090后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程为。

⑶求过点(1,2)P 且与直线21y x =+平行的直线方程为。

课时作业12：3.2.1 直线的点斜式方程

3.2.1 直线的点斜式方程一、选择题1.已知直线方程y -x -4),则这条直线经过的已知点和倾斜角分别是( )A.(4,3);60°B.(-3,-4);30°C.(4, 3);30°D.(-3,-4);60°2.直线y =kx +b 通过第一、三、四象限,则有 ( )A.k >0,b >0B.k >0,b <0C.k <0,b >0D.k <0,b <03.设集合A ={x |x 为直线的斜截式方程},B ={x |x 为一次函数的解析式},那么集合A 与集合B 的关系为 ( )A.A =BB.A ⊆BC.B ⊆AD.以上都不对4.下列四个结论:①方程k =21y x -+与方程y -2=k (x +1)可表示同一直线; ②直线l 过点P (x 1,y 1),倾斜角为π2,则其方程为x =x 1; ③直线l 过点P (x 1,y 1),斜率为0,则其方程为y =y 1;④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4 5.与直线y =2x +1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ( )A.y =12x +4 B.y =2x +4 C.y =-2x +4D.y =12-x +4 二、填空题6.直线l 1与直线l 2:y =3x +1平行,又直线l 1过点(3,5),则直线l 1的方程为 .7.直线y =ax -3a +2(a ∈R )必过定点 .8.直线l 的方程为y -a =(a -1)(x +2),若此直线在y 轴上的截距为10,则a = .三、解答题9.已知三角形的顶点坐标是A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.10.求满足下列条件的直线方程:(1)倾斜角为直线y =x -1)的倾斜角的一半,且在y 轴上的截距为-10.(2)在x 轴上的截距为4,而且与直线y =12x -3垂直.11.(能力挑战题)直线l 的斜率为16-,且和两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为3,求直线l的方程.【参考答案】一、选择题1.A【解析】直线过点(4,3),故倾斜角为60°.2.B【解析】由图象知, k >0,b <0.3.C【解析】直线的斜截式方程y =kx +b 中的k 可以为0,一次函数y =kx +b 中k ≠0,故选C.4.B【解析】①中k =21y x -+表示的直线上少一点(-1,2),y -2=k (x +1)则表示整条直线,故不正确;②③正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故④不正确.5.D【解析】与直线y =2x +1垂直,故斜率为12-,所以要求的直线方程为y =12-x +4. 二、填空题6. y -5=3(x -3)【解析】直线l 1与直线l 2:y =3x +1平行,故其斜率为3,又过点(3,5),所以方程为y -5=3(x -3).7. (3,2)【解析】将直线方程变形为y -2=a (x -3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).8. 4【解析】x =0时,y =3a -2,令3a -2=10,解得a =4.三、解答题9.解：直线AB 的斜率k AB =303(5)----=38-,过点A (-5,0), 由点斜式得y =38-(x +5),即3x +8y +15=0;同理,k BC =2303+-=53-,k AC =2005-+=25, 直线BC ,AC 的方程分别为5x +3y -6=0,2x -5y +10=0.10.解：(1)直线y =(x -1)的斜率为α=得倾斜角α=120°,故所求直线的斜率k =tan 60°直线方程为y x -10.(2)在x 轴上的截距为4,故直线过点(4, 0),与直线y =12x -3垂直,故斜率为-2, 由直线的点斜式得y =-2(x -4).11. (能力挑战题)解：直线l 的斜率为16-,设在y 轴上的截距为b (b >0), 则方程为y =16-x +b ,所以与x 轴的交点为(6b ,0), 所以与两坐标轴围成的三角形的面积S =12·6b ·b =3, 解得b =1,直线l 的方程为y =16-x +1.。

3.2.1 直线的点斜式方程(高中数学人教版必修二)

（点P不同于点A时）
y 3 2[ x (1)]
o
P( x, y)
x
l直
线上
2 坐标满足此方程的每一点都在直线 l 上.
问题2：若直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线的方程是？
y
P( x, y)
P ( x0 , y0 ) 0
y y0
l
y y0 k x x0
C4
3 所以，m 2或3,7.
若角A为直角， m 1 m 2, 解得： 7. 则 k AC
新知：
一、直线的点斜式方程
问题1: 若直线 l经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线 l 上运动,则点P的坐标(x , y)满足怎样的关系式？
y
A(1,3)
y 3 2 x (1)
x
x x0
即： y y0 k ( x x0 )
(1)
o （1）过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k的直线 l上每个点的坐标都满足方程 y y0 k ( x x0 ) ；
（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点 P0 ( x0 , y0 ),斜率为k的直线 l 上.
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
练习5判断下列直线是否平行垂直：
1 1 (1)l1 : y x 3, l2 : y x 2; 2 2
平行
5 3 (2)l1 : y x, l2 : y x. 3 5
y
解：如图 k BP
P
o
B A
1 (3) 4 1 ( 3) 4, k AP 1 2 3 倾斜角为锐角时， , ; k 4 x 倾斜角为钝角时， ,4; k

2020版高中数学人教版必修2高一数学第三章直线的方程(课时作业)

课时作业20　直线的点斜式方程基础巩固1．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示( ) A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线C ．不与坐标轴垂直的直线D ．不与x 轴垂直的直线解析：点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x 轴垂直的直线．答案：D2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝x ＋2B.y ＝－x ＋2 33C ．y ＝－x －2D.y ＝x －233解析：直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式得y ＝3x －2. 3答案：D3．直线y －b ＝2(x －a )在y 轴上的截距为( ) A ．a ＋b B ．2a －b C ．b －2aD ．|2a －b |解析：由y －b ＝2(x －a )，得y ＝2x －2a ＋b ，故在y 轴上的截距为b －2a .答案：C4．直线l 过点(－3，0)，且与直线y ＋1＝2x 垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－(x －3)B.y ＝－(x ＋3)1212C ．y ＝(x －3)D.y ＝(x ＋3)1212解析：因为直线y ＝2x －1的斜率为2，所以直线l 的斜率为－.12又直线l 过点(－3，0)，故所求直线的方程为y ＝－(x ＋3)，选B.12答案：B5．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )解析：对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.答案：D6．直线x tan ＋y ＝0的倾斜角是__________．π7解析：k ＝－tan ＝tan ＝tan ，且∈[0，π)，所以π7(π－π7)6π76π7倾斜角为π.67答案：6π7能力提升1．已知直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D.±2解析：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝1，∴a ＝±2.又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则a ≠1，12即a ≠2，故a ＝－2. 答案：C2．将直线y ＝(x －2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得3直线方程是( )A.x ＋y －2＝0B.x －y ＋2＝0 3333C.x ＋y ＋2＝0D.x －y －2＝03333解析：∵直线y ＝(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针旋转60°3后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)．∴其方程为3y －0＝－(x －2)，即x ＋y －2＝0.333答案：A3．在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D.y －3＝－3(x －1)解析：由对称性可得B (2，0)，∴k AB ＝＝－3，31－2∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．答案：D4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )( ) A ．1 B ．2 C ．－D ．2或－1212解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为＝1，4m －12m 2＋m －3即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－.12答案：D5.若直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3, 3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，则倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角为90°，且l 过点P (3，3)，所以直线l 的方程x ＝3.答案：x ＝36．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，所以该直线过定点(2，3)．答案：(2，3)7．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，图1如图1，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]8．与直线l ：y ＝x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的34直线l 1的方程为________.解析：依题意设直线方程为y ＝x ＋b ，34令x ＝0可得纵截距为b ，令y ＝0可得横截距为－b ，43∴－b ＋b ＝1，∴b ＝－3，43所以直线方程为y ＝x －3.34答案：y ＝x －3349．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，(1)求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限； (2)为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y －＝a ， 35(x －15)图2由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A ，(15，35)由于点A 在第一象限，所以直线一定过第一象限．(2)如图2，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间， k AO ＝＝3，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.35－015－010．已知在△ABC 中，A (0，0)，B (3，1)，C (1，3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程． (2)求BC 边上的高所在直线的方程． (3)求过点A 与BC 平行的直线方程．解：(1)直线AB 的斜率k 1＝＝，AB 边上的高所在直线的斜1－03－013率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝＝－1，BC 边上的高所在直线的斜率3－11－3为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y ＝x .(3)由第二问知过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＝－x .11．求经过点A (－2，2)，并且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程．解：因为直线的斜率存在且不为0，所以设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2k ＋2，令y ＝0，得x ＝－，2k ＋2k由2k ＋2>0，－>0，得－1<k <0.2k ＋2k 由已知得(2k ＋2)＝1，12(－2k ＋2k )整理得2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－，12因为－1<k <0，所以k ＝－，12所以直线方程为y －2＝－(x ＋2)．1212．已知直线l ：ax ＋y －4＝0(－1≤a ≤1)，求直线l 的倾斜角3α的取值范围．解：设l 的斜率为k ，∴k ＝－，a3∵－1≤a ≤1，∴－≤k ≤.3333当0≤k ≤时，α∈， 33[0，π6]当－≤k <0时，α∈，33[5π6，π)[0，π6][5π6，π)∴α的取值范围是∪.。

数学必修2人教版导学案3.2.1直线的点斜式方程 (2)

3. 2.1 直线的点斜式方程【教学目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.【教学重难点】重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

【教学过程】（一）情景导入、展示目标1．情境1：过定点P （x 0,y 0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？学生思考、讨论。

(二)预习检查、交流展示检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（三）合作探究、精讲精炼。

问题1：确定一条直线需要几个独立的条件？学生可能的回答：（1）两个点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）；（2）一个点和直线的斜率（可能有学生回答倾斜角）；（3）斜率和直线在y 轴上的截距（说明斜率存在）；（4）直线在x 轴和y 轴上的截距（学生没有学过直线在x 轴上的截距，可类比，同时强调截距均不能为0）。

问题2：给出两个独立的条件，例如：一个点P 1（2，4）和斜率k=2就能决定一条直线l 。

（1）你能在直线l 上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？（2）这条直线上的任意一点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足什么特征呢？直线上的任意一点P(x,y)（除P 1点外）和P 1(x 1，y 1)的连线的斜率是一个不变量，即为k ，即：k ＝00x x y y --，即y - y 1= k (x - x 1)学生在讨论的过程中：（1）强调P （x ，y ）的任意性。

（2）不直接提出直线方程的概念，而用一种通俗的，学生易于理解的语言先求出方程，可能学生更容易接受，也更愿意参与。

问题3：（1）P 1（x 1，y 1）的坐标满足方程吗？（2）直线上任意一点的坐标与此方程有什么关系？教师指出，直线上任意一点的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在此直线上。

高中数学必修二同步练习专题3.2.1直线的点斜式方程、直线的两点式方程(原卷版)

一、选择题1．经过点()1,2-且斜率为2的直线方程为 A ．24y x =+ B ．25y x =- C ．24y x =-D ．25y x =+2．下列说法中不正确的是A ．点斜式()00y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B ．斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C ．两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线D ．截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线 3．与直线y =2x +1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．y =12x +4 B ．y =2x +4 C ．y =−2x +4D ．y =−12x +4 4．过点A (5，6)和点B (－1，2)的直线的两点式方程是 A ．5162y y x x -+=-- B ．652615y x --=--- C ．261565y x ---=-- D ．652615x y --=--- 5．如果直线34x yc +=被两个坐标轴截得的线段长为5，则c 的值为 A ．1B ．－1C ．15±D ．±16．,()00y ax b a b ab =++=≠的图象可能是下列图中的二、填空题7．直线()32R y ax a a =-+∈必过定点___________． 8．过点(−3，2)且与直线21(5)3y x -=+平行的直线的点斜式方程是________________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()3,0A ，()0,4B ，点(),M x y 为线段AB 上的动点，则xy 的最大值是__________．10．过点(4，−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________________．三、解答题11．在△ABC 中，已知点A (5，－2)、B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求直线MN 的两点式方程．12．设直线l 的方程为(1)20()a x y a a +++-=∈R .（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.13．已知直线经过两点A (2+a 2,1+a 2),B (-1,-5).（1）若a =1,求直线AB 的斜截式方程;（2）当斜率k AB 最大时,求直线AB 的点斜式方程.14．ABC △的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,3A B C .（1）求BC 边上的高所在直线的方程；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程；（3）求BC 边的垂直平分线的方程. 要求：直线方程都转化为斜截式方程.15．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．。

高中数学 3.2.1《直线的点斜式方程》导学案新人教A版必修2

【学习目标】 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感态度与价值观：通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

【重点难点】（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

【学法指导】1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。

3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。

【知识链接】1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．【学习过程】A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？yxOP P 0B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。

设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。

A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1）（2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？B 问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？yP 0（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？.l l l α︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。

3.2.1_直线的点斜式方程_学案(人教A版必修2)

3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程【课标要求】1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．新知导学温馨提示：(1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线．(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0.2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b .(2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的横坐标a .温馨提示(1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系．(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当斜率为0时，y ＝b 不是一次函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？提示一定有点斜式方程．探究点2 若直线在x 轴、y 轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？提示 135°.探究点3 斜率为k 且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？提示相同．都是y ＝kx 的形式.类型一直线的点斜式方程【例1】求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路探索] 求出斜率，代入点斜式方程．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.[规律方法] 求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．【活学活用1】 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为________．解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0类型二直线的斜截式方程【例2】求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[思路探索] 根据两直线的平行(或垂直)关系求出斜率后，再设所求方程的斜截式，由截距之和求得纵截距．解 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【活学活用2】 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程．(2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0.法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5，又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b .∵l 过点A (2，－3)，∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1，∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.类型三直线过定点问题【例3】求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[思路探索] (1)化为点斜式，求定点；(2)化为mf (x ，y )＋g (x ，y )＝0.证明法一根据恒等式的意义求解．直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．法二直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．【活学活用3】已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.易错辨析因忽视截距所致的错误【示例】 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？[错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多．[正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1. [防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立.课堂达标 1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )．A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( )．A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－3答案 D3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．答案 y ＝4x －114．过点(1,3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1,3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝15．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定两直线的位置关系.。

高中数学必修二第三章3.2.1《直线的点斜式方程》课堂学案

高一课堂学案课题：直线的点斜式方程编号：3.2.1编写人：审核人：_____使用人：_____上课时间：______班级_______ 小组_______姓名_______（2）斜率为0，在y 轴上的截距为6 _______ ；（3）过(4,2)A -，倾斜角是120 ____________ ；（4）倾斜角为0150，在y 轴上的截距是-3的直线的斜截式方程为 _________________ .例3：（1）经过点（-5,2）且平行于y 轴的直线方程是______________（2）直线y=x+1绕其上一点p （3,4）逆时针旋转90度得到直线L ，则其点斜式方程为____________________（3）求过点p(1,2)且与直线y=2x+1的平行的直线方程为____________【练】（一）选择题（每题10分，共35分）1. 直线x=1的倾斜角为 ( )A.不存在B.90°C.0°D.180°2. 已知直线l 1:y=2x-1,l 2:y=-x+3,则直线l 1与l 2的位置关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.相交但不垂直3. 直线23y x =-的斜率和在y 轴上的截距分别等于（）A.2，3B. -3，-3C.-3，2D. 2，-34. 直线经过点(2,3)P -，且倾斜角045α=，则直线的点斜式方程是（）A. 32y x +=-B. 32y x -=+C. 23y x +=-D. 23y x -=+5. 已知直线的方程是21y x +=--，则（）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-6. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--(二) 填空题(每题10分，共30分)7. 在y 轴上的截距为2，且与直线34y x =--平行的直线的斜截式方程为。

人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2

3．2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)，即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b 1≠b 2时，两直线平行；当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________．答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2，解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________．答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________．答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________．答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－?－5?＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。

高中数学人教A版必修2一课三测：3.2.1 直线的点斜式方程

3．2.1 直线的点斜式方程填一填1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x 0，y 0)和斜率k图示方程式 y －y 0＝k(x －x 0) 适用条件斜率存在 2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式 y ＝kx ＋b 适用条件斜率存在判一判1.当直线的倾斜角为000)2．过点(x 0，y 0)斜率为k 的直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k.(×)3．y 轴所在直线方程为y ＝0.(×)4．直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线．(×) 5．直线在y 轴上的截距是直线与y 轴交点到原点的距离．(×) 6．过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．(×) 7．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为y ＝－3x ＋2.(√) 8．直线y ＝k(x －2)想一想1.直线与y 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 2．直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？提示：不一定．当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数，k ＝0时，y ＝b 不是一次函数．3．求直线的点斜式方程的步骤是什么？提示：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.4．求直线的斜截式方程的策略是什么？提示：(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.思考感悟：练一练1.已知直线的方程是A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1答案：D2．方程y＋1＝k(x－1)表示()A．通过点(1，－1)的所有直线B．通过点(－1,1)的所有直线C．通过点(1，－1)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(－1,1)且不垂直于x轴的所有直线答案：C3．经过点(－2，2)且倾斜角为30°的直线的点斜式方程为()A．y－2＝33(x＋2)B．y－2＝33(x＋2)C．y－2＝3(x＋2)D．y－2＝3(x＋2)答案：B4．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________．答案：3－25．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________．(2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________．答案：(1)x ＝2 (2)y ＝1知识点一直线的点斜式方程1.经过点A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3)解析：因为倾斜角为60°的直线的斜率为3，由点斜式方程可得C 正确．答案：C2．方程y ＝k(x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线解析：通过点斜式方程，当直线垂直于x 轴时，k 不存在．易知选C . 答案：C 知识点二直线的斜截式方程3.直线A ．－2 B ．－1C ．－12D ．1解析：直线2x ＋y －1＝0化为y ＝－2x ＋1，则在y 轴上的截距为1.故选D . 答案：D4．已知直线的斜率是2，在y 轴上的截距是－3，则此直线方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．2x －y ＋3＝0 C ．2x ＋y ＋3＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：由直线方程的斜截式得方程为y ＝2x －3，即2x －y －3＝0. 答案：A知识点三直线过定点问题5. ) A ．(1,2) B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为直线y －2＝k(x ＋1)表示过点(－1,2)，斜率为k 的直线，因此M 的坐标为(－1,2)．答案：C6．直线方程为y ＋2＝2x －2，则( ) A ．直线过点(2，－2)，斜率为2 B ．直线过点(－2,2)，斜率为2C ．直线过点(1，－2)，斜率为12D ．直线过点(1，－2)，斜率为2解析：把直线方程写成点斜式方程：y －(－2)＝2·(x －1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2.答案：D 知识点四平行与垂直的应用7.过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率等于12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，选C .答案：C8．直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：因为直线y ＝2x －3的斜率为2，所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0)，故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3)，选B .综合知识直线的点斜式、斜截式方程9.(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0. 解析：(1)y ＝3x －3. (2)因为k ＝tan 60°＝3，所以y ＝3x ＋5.(3)因为k ＝tan 30°＝33，所以y ＝33x.10．求满足下列条件的直线方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，斜率k ＝3； (3)过点P(5,2)，且与x 轴平行； (4)过点P(3,2)，且与y 轴平行．解析：(1)因为直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3.所以直线的点斜式方程为y －3＝－3(x ＋4)，即y ＝－3x －9.(2)因为直线过点P(3，－4)，斜率k ＝3，所以直线的点斜式方程为y ＋4＝3(x －3)，即y ＝3x －13.(3)直线过点P(5,2)，且与x 轴平行，故斜率k ＝0，由直线的点斜式方程得y －2＝0(x －5)，即y ＝2.(4)直线过点P(3,2)，且与y 轴平行，故斜率k 不存在，所以直线方程为x ＝3.基础达标一、选择题1．经过点A(－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．x －y ＋5＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0解析：过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为4－0－1－3＝－1.所求的直线方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.答案：C2．一直线过点A(0,2)，它的倾斜角等于直线y＝33x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()A．y＝33x＋2 B．y＝3x＋2C．y＝33x－2 D．y＝3x－2解析：因为直线y＝33x的斜率为33，所以其倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝ 3.直线过点A(0,2)，即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得直线的方程为y＝3x＋2.另解：所求直线斜率为3，过点A(0,2)，则点斜式方程为y－2＝3(x－0)，即y＝3x＋2.答案：B3．已知直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0解析：若y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则必有斜率k>0，在y轴上的截距b<0，选B.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．故选B.答案：B5．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是()A．5x＋y－2＝0 B．x－5y－16＝0C．5x－y－8＝0 D．x＋5y＋14＝0解析：△ABC的高CD与直线AB垂直，故有直线CD的斜率k CD与直线AB的斜率k AB满足k CD·k AB＝－1，k AB＝2－3－1－4＝15，所以k CD＝－5.直线CD过点C(1，－3)，故其直线方程是y＋3＝－5(x－1)整理得5x＋y－2＝0，选A.答案：A6．已知直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，则a的值为()A．±3 B．±1C．1 D．－1解析：直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行，所以a2－2＝－1,2≠2a，解得a＝－1.故选D.答案：D7．已知直线l 1：y ＝－m 4x ＋12与直线l 2：y ＝25x ＋n5垂直，垂足为H(1，p)，则过点H 且斜率为m ＋p m ＋n的直线方程为( )A ．y ＝－4x ＋2B ．y ＝4x －2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝－2x －2解析：∵l 1⊥l 2，∴－m 4×25＝－1，∴m ＝10，所以直线l 1的方程为y ＝－52x ＋12.又点H(1，p)在l 1上，∴p ＝－52×1＋12＝－2，即H(1，－2)．又点H(1，－2)在l 2上，∴－2＝25×1＋n5，∴n ＝－12，∴所求直线的斜率为m ＋pm ＋n＝－4，其方程为y ＋2＝－4(x －1)，即y ＝－4x ＋2，选A .答案：A 二、填空题 8．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：(0,3)9．经过点(－4,1)且倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角一半的直线方程为________．解析：因为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，斜率k ＝3，故所求直线方程为y ＝3x ＋43＋1.答案：y ＝3x ＋43＋110．已知点A(1,3)，B(5,7)，C(10,12)，则过点A 且垂直于BC 的直线的方程为________．解析：因为k BC ＝12－710－5＝1，所以所求直线的斜率为－1，又因为直线过点A(1,3)，所以方程为y －3＝－(x －1)，即y ＝－x ＋4.答案：y ＝－x ＋411．已知△ABC 在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则边AB ，AC ，BC 所在直线的方程分别为________．解析：AB 边的方程为y ＝1；因为AB 平行于x 轴，且△ABC 在第一象限，k AC ＝tan 60°＝3，k BC ＝tan (180°－45°)＝－tan 45°＝－1，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －3＋1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)，即y ＝－x ＋6.答案：y ＝1，y ＝3x －3＋1，y ＝－x ＋6 12．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A(3,2)和B(a ，－1)，且直线l 1与直线l垂直，直线l 2的方程为y ＝－2b x －1b，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于________．解析：由直线l 的倾斜角为135°，得直线l 的斜率为－1.由A(3,2)，B(a ，－1)得直线l 1的斜率为33－a.∵直线l 与l 1垂直，∴33－a ×(－1)＝－1，解得a ＝0.又直线l 2的斜率为－2b ，l 1∥l 2，∴－2b＝1，解得b ＝－2.因此a ＋b ＝－2. 答案：－2 三、解答题13．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝33x 的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．解析：∵直线y＝33x 的斜率为33， ∴它的倾斜角为30°，∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3. 又直线经过点A(2，－3)，∴这条直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －2)．14．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解析：因为直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，所以其倾斜角α＝120°.由题意得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.(1)因为所求直线经过点(3，－1)，斜率为33，所以所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0.(2)因为所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5，所以所求直线的方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.能力提升15.已知直线l ：5ax －5y (1)求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限； (2)为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围．解析：(1)证明：直线l 的方程可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，由于点A 在第一象限，所以直线一定过第一象限．(2)如图，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间，k AO ＝35－015－0＝3，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x<3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围．解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k(x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f(x)＝kx ＋2k ＋1.若－3<x<3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.由Ruize收集整理。

人教版高中数学必修二学案：3.2直线的方程

3.2 直线的方程 3．2.1 直线的点斜式方程[新知初探]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.[点睛] 经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可以分为两类： ①斜率存在的直线，方程为y －y 0＝k (x －x 0)； ②斜率不存在的直线，方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0. 2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[点睛](1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y －3＝m (x ＋1)恒过定点(－1,3)( ) (2)对于直线y ＝2x ＋3在y 轴上截距为3( ) (3)直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋2[典例] 已知点A (3,3)和直线l ：y ＝34x －52.求：(1)过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； (2)过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程． [解] 因为直线l ：y ＝34x －52，所以该直线的斜率k ＝34.(1)过点A (3,3)且与直线l 平行的直线方程为y －3＝34(x －3)．(2)过点A (3,3)且与直线l 垂直的直线方程为y －3＝－43(x －3)．[活学活用]1．直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程．解：直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，∴倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，∴直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1. 又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)． 2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的点斜式方程．解：因为A (－1,2)，B (m,3)，当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，没有点斜式方程；当m ≠－1时，直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，直线AB 的点斜式方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1).[典例] 根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. [解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y ＝2x ＋5. (2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得方程为y ＝－33x －2.(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k ＝tan 60°＝ 3.由于直线与y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.[活学活用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[典例] (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ [解] (1)由题意可知，kl 1＝－1，kl 2＝a 2－2，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． (2)由题意可知，kl 1＝2a －1，kl 2＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．对于不能用斜截式方程表示的直线，判断它们的位置关系时，需注意： (1)若两条直线的斜率均不存在，则有l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l 1⊥l 2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直．[活学活用]1．已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. 解析：由题意可知a ·(a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 答案：－12．若直线l 1：y ＝－2a x －1a与直线l 2：y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.解析：由题意可知⎩⎨⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.答案：－23层级一学业水平达标1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2解析：选D 直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y ＝3x －2. 3．直线y －b ＝2(x －a )在y 轴上的截距为( ) A ．a ＋b B ．2a －b C ．b －2aD ．|2a －b |解析：选C 由y －b ＝2(x －a )，得y ＝2x －2a ＋b ，故在y 轴上的截距为b －2a . 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．若两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 由a ＝2－a ，得a ＝1.6．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________.解析：由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.答案：－2或17．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4.答案：－48．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴过定点(2,3)．答案：(2,3)9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解：(1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等．∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12.∴m ＝34.10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2. 令y ＝0得，x ＝2k －2k.由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2.解得，k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．层级二应试能力达标1．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)解析：选C 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率等于12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，选C.2．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )解析：选D 对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.3．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1解析：选A y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A.4．若原点在直线l 上的射影是P (－2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y ＝0 B ．y －1＝－2(x ＋2) C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝2x ＋3解析：选C ∵直线OP 的斜率为－12，又OP ⊥l ，∴直线l 的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y －1＝2(x ＋2)，化简，得y ＝2x ＋5，故选C.5．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 方程为________________．解析：设l ：2x ＋3y ＋c ＝0，令x ＝0，则y ＝－c 3，令y ＝0，则x ＝－c2，∴－c3＋⎝⎛⎭⎫－c 2＝56，∴c ＝－1. 答案：2x ＋3y －1＝0 6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y ＋2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立．答案：②③7．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1的斜率相等且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， ∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.8．求斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，令x ＝0得y ＝b .令y ＝0得x ＝－6b ， ∴S ＝12|b |×|－6b |＝3，∴b 2＝1即b ＝±1，∴所求的直线方程为y ＝16x ±1.3．2.2&3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程[新知初探]1．直线的两点式与截距式方程[点睛] (1)截距式方程中间以“＋”相连，右边是1. (2)a 叫做直线在x 轴上的截距，a ∈R ，不一定有a >0. 2．直线方程的一般式 (1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．②每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[点睛] 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )答案：(1)× (2)√2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y＋3＝0.答案：x －y ＋3＝0[典例] 线方程．[解] ∵A (2，－1)，B (2,2)，A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0. ∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为 x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0.[活学活用]已知直线经过点A (1,0)，B (m,1)，求这条直线的方程．解：由直线经过点A (1,0)，B (m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得：当m ＝1时，直线方程为x ＝1；当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0.[典例] 求过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．[解] 法一：(1)当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或x －y －3＝0. 法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y －2＝k (x －5)， x ＝0时，y ＝2－5k ，y ＝0时，x ＝5－2k.根据题意得2－5k ＝－⎝⎛⎭⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1. 当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0；当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0. [一题多变]1．[变条件]若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0适合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴l 的方程为x ＋2y －9＝0.2．[变条件]若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是92”，其它条件不变，如何求解？解：由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为x a ＋yb＝1.∴⎩⎨⎧5a ＋2b ＝1， ①12|a ||b |＝92， ②②可化为ab ＝±9，解⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝9，无解，解得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝1，ab ＝－9，得⎩⎨⎧a ＝－152，b ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.∴l 的方程为4x －25y ＋30＝0或x －y －3＝0.[典例] 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.[解] 法一：直线l 1可化为y ＝－a 2x ＋32.(1)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不平行；当a ≠－1时，直线l 2：y ＝－3a ＋1x ＋a a ＋1， ∵l 1∥l 2，∴－a 2＝－3a ＋1且32≠aa ＋1，解得a ＝2.(2)当a ＝－1时，l 2：x ＝－13与l 1不垂直；当a ≠－1时，l 2：y ＝－3a ＋1x ＋aa ＋1，∵l 1⊥l 2，∴－a 2·⎝⎛⎭⎫－3a ＋1＝－1，解得a ＝－25.法二：由题可知A 1＝a ，B 1＝2，C 1＝－3， A 2＝3，B 2＝a ＋1，C 2＝－a .(1)当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧aa ＋－2×3＝0，a－a －－×3≠0，解得a ＝2.(2)当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0，即3a ＋2(a ＋1)＝0，解得a ＝－25.[活学活用]已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解：法一：l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二：(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)．将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.层级一学业水平达标1．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y－2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y3＝1 D.x －3＋y 2＝1 解析：选C 由直线的截距式方程可得x －2＋y3＝1.2．直线x 3＋y4＝1，化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：选C 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．已知M ⎝⎛⎭⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12解析：选B AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1＋32，2＋12，即⎝⎛⎭⎫2，32，又点M ⎝⎛⎭⎫3，72，故所求直线的斜率k ＝72－323－2＝2.5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m,3)的直线与直线x ＋3y ＋2＝0平行，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为k ＝－13，∴m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4. 6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x ；(2)不过原点时，设为x a ＋y－a ＝1，∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝08．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：x －2y －1＝0和直线l 2：2x －ay －a ＝0平行，则常数a 的值为________．解析：由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 答案：49．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73，解得m ＝－4，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解：(1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. (2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.层级二应试能力达标1．经过点A (1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 当直线过原点时1条，不过原点时有两条，故B 正确． 2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A ．y ＝－3x －4 B ．y ＝3x －4 C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝－3x ＋4解析：选A 因为A (1,3)，B (－5,1)，所以线段AB 的中点坐标为(－2,2)，直线AB 的斜率为3－11－－＝13，所以线段AB 的中垂线的斜率为－3，所以以A ，B 为端点的线段的垂直平分线的方程是y －2＝－3(x ＋2)，即y ＝－3x －4，选A.3．已知点M (1，－2)，N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0.又点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C.4．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.5．若直线(2t －3)x ＋y ＋6＝0不经过第一象限，则t 的取值范围为________．解析：方程可化为y ＝(3－2t )x －6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t ≤0，得t ≥32.答案：⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 6．已知点A (0,1)，点B 在直线l ：x ＋y ＝0上运动，则当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：当线段AB 最短时，AB ⊥l ，所以k AB ＝1.由直线的斜截式，得直线AB 的方程为y ＝x ＋1，故直线AB 的一般式方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝07．已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边上的中垂线的方程．解：(1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －－－2－－，即2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，得AC 边上的中垂线的斜率为－2.又AC 的中点坐标为(－4,2)，由点斜式，得AC 边上的中垂线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，即2x ＋y ＋6＝0.8．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝aa －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·aa －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S ＝4代入①式，得a 2－8a ＋16＝0，解得a ＝4，∴b＝aa－2＝2.∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.。

高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第22课时直线的点斜式方程A．直线经过点(－3，4)，斜率为2B．直线经过点(4，－3)，斜率为2C．直线经过点(3，－4)，斜率为2D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2答案 C解析直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2．2．经过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝33(x＋3)C ．y －2＝3(x ＋3)D ．y ＋2＝33(x －3) 答案 C解析直线的斜率k ＝tan60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3 答案 C解析直线在y 轴上的截距为3的直线方程可以设为y ＝kx ＋3．将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k ＋3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3．4．直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )答案 B解析根据斜截式方程，得其斜率与在y 轴上的截距同号，故选B ．5．已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，l 2：y ＝－2x ＋1，l 3：y ＝－n x －n ．若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8．又∵l 2⊥l 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2．∴m＋n ＝－10．故选A ．6．已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( )答案 D解析逐一判定即可，对于选项A ，由l 1的图象知a>0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A 错误；对于选项B ，由l 1的图象知a>0，b<0，由l 2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B 错误；对于选项C ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C 错误；对于选项D ，由l 1的图象知a<0，b>0，由l 2的图象知a<0，b>0，故D 正确．7．求斜率为4，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线l 的方程．解设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，易求与x ，y 轴的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b ，0，B(0，b)， ∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43b 2＋b 2＝53|b|．∴53|b|＋43|b|＋|b|＝12，∴b＝±3． ∴直线l 的方程为y ＝34x±3，即：3x －4y±12＝0．8．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．证明方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)，即y ＝35a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＋25，∴它表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25的直线． ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25在第一象限， ∴直线l 不论a 取何值，总过第一象限．一、选择题1．直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点( )A ．(－1，2)B ．(1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1) 答案 B解析根据直线点斜式的定义可知，直线y ＝k(x －1)＋2恒过定点(1，2)． 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 C解析 ∵x－2y －2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0．3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析解法一：(1)当a>0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角且过原点，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a>0，A ，B ，C ，D 都不成立；(2)当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，所以A ，B ，C ，D 都不成立；(3)当a<0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角且过原点，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，且在y 轴上的截距a<0．C 正确．解法二(排除法)：直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角，排除B 、D ，A 选项中：直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a<0，所以不满足．从而得C 正确．4．下列叙述中正确的是( )A ．点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线B ．y －y 1x －x 1＝k 表示过点P(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程 C ．斜截式y ＝kx ＋b 适用于不平行于x 轴的任何直线 D ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB| 答案 A解析对于选项A ，点斜式方程y －y 1＝k(x －x 1)适用于过点(x 1，y 1)且不垂直于x 轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，所以正确；对于选项B ，显然P(x 1，y 1)不满足方程，不正确；对于选项C ，斜截式y ＝kx ＋b 适用于不垂直于x 轴的任何直线，所以不正确；对于选项D ，直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点B(0，b)，其中截距b ＝|OB|不正确，因为截距是b ，其值可正、可负、可为零．故选A ．5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．二、填空题6．已知直线l 在y 轴上的截距为1，且垂直于直线y ＝12x ，则l 的方程是________．答案 y ＝－2x ＋1解析设垂直于直线y ＝12x 的直线l 的方程为y ＝－2x ＋m ．因为直线l 在y 轴上的截距为1，所以m ＝1，所以直线l 的方程是y ＝－2x ＋1．7．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0解析在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M(－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°．若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x ＋3＝0；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．即x －3y ＋3＝0．综上所述，所求直线l′的方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0．8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2，2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2，2]．三、解答题9．求过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线方程．解当m ＝2时，过点M(m ，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x ＝2．当m≠2时，直线的斜率为k ＝0－1m －2＝－1m －2．又直线过点N(2，1)，∴直线的点斜式方程为y －1＝－1m －2(x －2)．综上，当m ＝2时，所求的直线方程为x ＝2．当m≠2时，所求的直线方程为y －1＝－1m －2(x －2)．10．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程．解 AC ：y ＝3x ＋2＋3． ∵AB∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， ∴BC 的倾斜角α为30°或120°．当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线的倾斜角为120°，即其所在直线方程为y ＝－3x ＋2－3．当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－3x ＋2－33， ∠A 平分线的倾斜角为30°，即其所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33．。

高中数学人教版必修2 3.2.1直线的点斜式方程教案(系列四)

3.2.1 直线的点斜式方程一、教材分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题. 三、教学重点与难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.（2）(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？ ⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.（三）应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)， Q （k k 46-,41624--k k )，此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k . 变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x =1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2).例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1. 又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512.（四）知能训练课本本节练习1、２、３、４.（五）拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21，则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题3.2 A 组2、3、5.。

高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课时训练新人教版必

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课时训练新人教版必修2一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．k ＝3，b ＝6B ．k ＝－3，b ＝－6C ．k ＝－3，b ＝6D ．k ＝3，b ＝－6【解析】化为斜截式，得y ＝－3x －6，∴k ＝－3，b ＝－6，故选B.【答案】 B2．直线x 3＋y 4＝1化成一般式方程为( ) A ．y ＝－43x ＋4 B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0 D ．4x ＋3y ＝12 【解析】直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5 【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5. 【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( )A ．ab >0，bc >0B ．ab >0，bc <0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0【解析】把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得y ＝－a b x －c b，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －a b >0，－c b >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋y a＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．【解析】由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)，整理得2x －y ＋1＝0.【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3. 【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________；(2)直线与y 轴平行时：________；(3)直线过原点时：________；(4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02＝4，0＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3；(2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53. (2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43. 11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].。

人教版直线的点斜式方程精选课时练习含答案)1

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前人教A 版必修2第三章3.2.1《直线的点斜式方程》精选课时练习（含答案)-1 试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．直线l 过点()1,3P ，且与,x y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（） A ．360x y +-= B ．3100x y +-= C ．30x y -= D ．380x y -+= 2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是 ( ) A ． B ． C ． D ． 3．已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+，则它们的图象可能为（） A ． B ． C ． D ． 4．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A ．x-2y-1=0 B ．x-2y+1=0 C ．2x+y-2=0 D ．x+2y-1=0 5．若直线l 的斜率为2，且在x 轴上的截距为1，则直线l 的方程为（）． A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．22y x =+ D ． 22y x =- 6．经过点(－1,1)，斜率是直线y 2x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝1 C ．y －12(x ＋1) D ．y －1＝2(x ＋1)○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 7．方程()00y y k x x -=-（） A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 8．过点(3,4)A 且与点(3,2)B -的距离最大的直线l 的方程为（） A ．3130x y --= B ．3130x y -+= C ．3130x y +-= D ．3130x y ++=9．已知直线1l 的方程是y ax b =+，2l 的方程是(0,)y bx a ab a b =-≠≠，则下列各图形中，正确的是（）A ．B ．C ．D ． 10．下列四个结论：①方程21y k x -=-与()21y k x -=-可表示同一直线；②直线l 过点()11,P x y ，倾斜角为90°，则其方程1x x =；③直线l 过点()11,P x y ，斜率为0，则其方程为1y y =；④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知直线的方程是21y x +=--，则( )A ．直线经过点()1,2-)，斜率为1-B ．直线经过点()2,1-，斜率为1-C ．直线经过点()1,2--，斜率为1-D ．直线经过点()2,1--，斜率为1- 12．已知直线l 的倾斜角为45︒，且经过点()1,0-，则直线l 的方程为（）． A ．10x y -+= B ．10x y +-=C ．10x y ++=D ．10x y ++=13．已知点()3,0A ，()0,4B ，动点(),P x y 在线段AB 上运动，则()max xy =（）．A ．3B 3C ．34 D ．14449A ．0y a -=B ． 0y a +=C ．0x a -=D ． 0x a += 15．直线l 过点(1,2)P ，且(2,3)M 、(4,5)N -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-= B ．460x y +-= C ．3270x y +-=或460x y +-= D ．2370x y +-=或460x y +-= 16．已知直线l 经过点(2,1)P -，且斜率为34-,则直线l 的方程为（） A ．3420x y ++= B ．3420x y --= C ．4320x y ++= D ．4320x y --= 17．直线21)y x +=+的倾斜角及其在y 轴上的截距分别为( ) A ．60︒，2 B ．60︒2 C ．120︒2 D ．30︒，2-18．直线360x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．3k =, 6b = B ．3k =-，6b =- C ．3k =-，6b = D ．3k =，6b =- 19．已知直线l 的斜率为k （0k ≠），它在x 轴、y 轴上的截距分别为k ，2k ，则直线l 的方程为（） A ．240x y --= B ．240x y -+= C ．240x y +-= D ．240x y ++= 20．方程y ＝k(x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线 C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线 D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 21．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是_____ 22．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l 的方程为_________23．过两点()1,1-和()3,9的直线在x 轴上的截距是___________. 24．斜率与直线2y x =的斜率相等，且过点()4,3-的直线的点斜式方程是______. 25．点P (-1,3)在直线l 上的射影为点Q (1,-1)，则直线l 的方程是______. 26．倾斜角为30o ，且在x 轴上的截距为2-的直线方程为______. 27．已知两点()()2,0,0,4A B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为_________. 28．已知ABC ∆的三个顶点分别是()5,0A -，()3,3B -，()0,2C ，则边BC 上的高所在的直线方程是_____．29．过点()2,1-，且倾斜角比直线340x y -+=的倾斜角大45︒的直线方程为________．30．已知ABC ∆的三个顶点分别是(5,0)A -，(3,3)B -，(0,2)C ，则BC 边上的高所在直线的斜截式方程为______.31．直线l 过点()01,5M ，倾斜角是3π，且与直线0x y --=交于M ，则0MM 的长为______.32．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是____.33．经过点(3,1)P -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________．34．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为_____35．斜率为4，经过点(2，－3)的直线的点斜式方程是____________．36．已知直线l 1的方程为y 1＝－2x ＋3，l 2的方程为y 2＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________．37．过点(1，3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线的方程是________．38．倾斜角为直线1y =+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．39．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的点斜式方程是_______．40．直线32(R)y ax a a =-+∈必过定点___________．三、解答题41．已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 42．已知等腰三角形ABC 的顶点()1,2A -，AC ,点(3,2)B -，求直线AC ,BC 及∠A 的平分线所在直线的方程. 43．已知直线l 过点()2,1P ，且直线l 的倾斜角是直线3':24l y x =-的倾斜角的一半，求直线l 的方程． 44．已知过点()3,2P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点．（1）若P 为AB 的中点，求直线l 的方程；（2）当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程. 45．已知直线l 经过点(0,2)-，其倾斜角为60︒. (1)求直线l 的方程； (2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 46．已知直线5y =+的倾斜角是直线l 的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程. (1)过点(3,4)P -, (2)在x 轴上截距为2-; (3)在y 轴上截距为3. 47．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程． 48．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 49．已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程． 50．过点(4，－3)的直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．C7．D8．C9．D10．B11．C12．A13．A14．A15．C16．A17．B18．B19．D20．C21．3x ＋19y ＝0.22．3x =23．32-24．()324y x -=+ 25．230x y --=26．y = 27．230x y +-=28．35150x y -+=29．250x y --=30．335y x =+31．10+32．3x －y ＋10＝033．210x y +-=或30y x +=34．2y =35．y ＋3＝4(x －2)36．y ＝－2x －237．210x y -+=38．14)y x -=+ 39．33(4)2y x -=+ 40．(3,2)41．（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=． 42．见解析43．310x y -+=44．（1）23120x y +-=；（2）50x y +-=45．(1) 2y =- (2)46．(1)y 4.(2) y (3) y ＋3. 47．335y x =+ 48．220x y +-=或2+20x y +=49．334y x =-或334y x =--50．7y x =-,+1y x =-或34y x =-。

课时作业3：2.2.1　直线的点斜式方程

§2.2 直线的方程2．2.1 直线的点斜式方程课时对点练1．已知一直线经过点A (3，－2)，且与x 轴平行，则该直线的方程为() A ．x ＝3 B ．x ＝－2C ．y ＝3D ．y ＝－2答案 D解析 ∵直线与x 轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y ＝－2.2．若直线l 的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l 的方程是( )A ．y －1＝xB ．y ＋1＝xC ．y －1＝－xD ．y ＋1＝－x答案 B解析 ∵直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的斜率为1，又∵直线l 过点(0，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝x .3．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2答案 B解析该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.4．过点(－1,3)且垂直于直线y ＝12x ＋32的直线方程为( )A ．y －3＝－2(x ＋1)B ．y －3＝－2(x －1)C ．y －3＝－12(x ＋1)D ．y －3＝12(x ＋1)答案 A解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y －3＝－2(x ＋1)．5．以A (2，－5)，B (4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．y －(－3)＝2(x －3)B ．y －3＝2(x －3)C ．y －3＝－12(x －3) D ．y －(－3)＝－12(x －3) 答案 D解析由A (2，－5)，B (4，－1)，知线段AB 的中点坐标为P (3，－3)，又由斜率公式可得k AB ＝－1－(－5)4－2＝2，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－1k AB ＝－12，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y －(－3)＝－12(x －3)． 6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( )A ．(1,3)B ．(－1，－3)C ．(3,1)D ．(－3，－1)答案 C解析直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是．答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6解析因为直线与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.8．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为．答案 y －1＝－(x －2)解析直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线的斜率相等．∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12， ∴m ＝34. 10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2k －2k，由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)．综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )答案 C解析对于选项A ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C ，y ＝ax 过坐标原点，且a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D ，两直线均不过原点，不符合题意．12．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝ . 答案－2或1解析由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.13．已知直线l 在y 轴上的截距等于它的斜率，则直线l 一定经过点．答案 (－1,0)解析由题意可设方程为y ＝ax ＋a ，即y －0＝a (x ＋1)，由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0)．14．将直线y ＝3(x －2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 . 答案 y ＝－3(x －2)解析 ∵直线y ＝3(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－3，且过点(2,0)， ∴其方程为y －0＝－3(x －2)，即y ＝－3(x －2)．15．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤－2，12 解析由已知得，直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，所以－2≤k ≤12. 16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)解设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.。

课时作业9：3.2.1 直线的点斜式方程

3.2.1直线的点斜式方程一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝-x －1，则( )A ．直线经过点(-1,2)，斜率为-1B ．直线经过点(2，-1)，斜率为-1C ．直线经过点(-1，－2)，斜率为-1D ．直线经过点(-2，-1)，斜率为12．经过点(-2,2)，倾斜角是60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y －2＝3(x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y ＋2＝3(x －2) 3．直线y －3＝－32(x ＋4)的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．k ＝－32，b ＝3 B ．k ＝－32，b ＝－2 C ．k ＝－32，b ＝－3 D ．k ＝－23，b ＝－3 4．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4 5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－16．直线y ＝2x －6通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限二、填空题7．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为_________.8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝_________，b ＝_________.9．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．10．已知△ABC 的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求BC 边上的高所在直线的点斜式方程．11．求与直线x ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线l 的方程．参考答案1．【答案】 C【解析】直线方程y ＋2＝-x -1可化为y -(-2)＝-[x -(-1)]，故直线经过点(-1，-2)，斜率为-1.2．【答案】 B【解析】k ＝tan60°＝3，则点斜式方程为y －2＝3(x ＋2)．3．【答案】C【解析】原方程可化为y ＝－32x －3，故k ＝－32，b ＝－3. 4．【答案】 D5．【答案】 B【解析】根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.6．【答案】C【解析】y ＝2x －6过点(3,0)、T (0，－6)，因此直线过一、三、四象限，选C ．7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.又k 2＝1，∴k 1＝－1. ∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．8．【答案】－2 －2【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2. 9【解析】由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2.又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，∴由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.10．【分析】BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．【解析】设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3. 11．【解析】由直线l 与直线y ＝43x ＋53垂直，可设直线l 的方程为y ＝－34x ＋b ，则直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为x 0＝43b ，y 0＝b . 又因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以S ＝12|x 0||y 0|＝24，即12|43b ||b |＝24，b 2＝36，解得b ＝6，或b ＝－6. 故所求的直线方程为y ＝－34x ＋6，或y ＝－34x －6.。

课时作业2：2.2.1直线的点斜式方程

2.2.1 直线点斜式方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－3C ．60°，2－ 3D ．120°，22．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－13．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )A B C D4．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( )A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝05．直线y ＝2x ＋1绕着其上一点(3,4)，逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程为( )A ．y －4＝2(x －3)B ．y －4＝12(x －3)C ．y －4＝－12(x －3) D ．y －4＝－2(x －3) 二、填空题6．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．7．直线l 的方向向量为(1,3)，且在y 轴上的截距为－2的斜截式方程为________．8．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．三、解答题9．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.10．根据条件写出下列直线方程的斜截式．(1)经过点A (3,4)，在x 轴上的截距为2；(2)斜率与直线x ＋y ＝0相同，在y 轴的截距与直线y ＝2x ＋3的相同．11．(多选题)下列说法正确的有( )A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二象限B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3,2)C ．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)D ．斜率为－2，在y 轴截距为3的直线方程为y ＝－2x ±3.12．在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)13．(一题两空)若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．14．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．15．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．参考答案一、选择题1．B【解析】由方程y －2＝－3(x ＋1)得y ＝－3x ＋2－3，∴斜率k ＝－3，在y 轴上的截距为2－3，倾斜角为120°.2．B【解析】由于两条直线平行，∴a ＝2－a ，解得a ＝1，验证知适合条件．3．C【解析】A 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；B 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；D 中，y ＝ax ，a ＜0，y ＝x ＋a 的图象错误．4．A【解析】∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.5．C【解析】逆时针旋转90°即与y ＝2x ＋1垂直，由于y ＝2x ＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－12，又因过点(3,4)，故直线方程为y －4＝－12(x －3)．二、填空题6． y ＝－3x ＋2【解析】∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.7． y ＝3x －2【解析】由于直线l 的方向向量为(1,3)，也就是直线的斜率为k ＝3，又因直线在y 轴上的截距为－2，故方程为y ＝3x －2.8． y －(－3)＝3(x －2)【解析】∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)．三、解答题9．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33. (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)． (2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 10．解：(1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝k (x －2)，∵点A (3,4)在直线上，∴k ＝4，∴y ＝4×(x －2)＝4x －8，∴所求直线方程的斜截式为y ＝4x －8.法二：由于直线过点A (3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k ＝4－03－2＝4，由直线的点斜式方程得y －0＝4×(x －2)＝4x －8，∴所求直线方程的斜截式为y ＝4x －8.(2)因为直线x ＋y ＝0的方程可化为y ＝－x ，斜率为－1，又直线y ＝2x ＋3在y 轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y ＝－x ＋3.11．ABC【解析】A 中，直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则k ＜0，b ＞0，∴(k ，b )在第二象限，正确．B 中，直线可写为y －2＝a (x －3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C 中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y ＝－2x ＋3，故D 错误．12．D【解析】由条件知，直线AO 与AB 的倾斜角互补，斜率互为相反数，∴k AO ＝3，k AB ＝－3，由点斜式方程得y －3＝－3(x －1)．13．(－2,1) ⎣⎡⎦⎤－15，1 【解析】由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1. 14．y ＝－23x ＋13【解析】由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ，则b ＋32b ＝56，解得b ＝13，故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.15．解：∵直线y ＝3(x －1)的斜率为3，∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l 与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l 的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x ＝1或y ＝33(x －1).。

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2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．
§3． 2 直线的方程 3． 2． 1 直线的点斜式方程
答案
知识梳理
1． y －y 0＝ k(x － x0 ) y＝ kx＋ b 2． (1)k 1＝ k 2 且 b1≠ｂ2 (2)k 1k 2＝－ 1 作业设计 1． C [ 易验证直线通过点 (2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于
________ ． 9．下列四个结论： y－2 ①方程 k＝ x＋ 1与方程 y－ 2＝ k( x＋ 1) 可表示同一直线； ②直线 l 过点 P( x1， y1) ，倾斜角为 90°，则其方程是 x＝ x1； ③直线 l 过点 P( x1， y1) ，斜率为 0，则其方程是 y＝ y1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．正确的为 ________( 填序号 ) ．
2． D [ 直线的倾斜角为 60°，则其斜率为 3，
利用斜截式直接写方程． ] 3． B 4． D
5． B [ 一次函数 y＝ kx ＋b( k≠0) ；
直线的斜截式方程 y＝ kx＋ b 中 k 可以是 0，所以
．]
6． C [ 直线 kx－ y＋ 1－3k＝ 0 变形为 y－ 1＝ k(x － 3) ，
A． (1,3)
B
． ( － 1，－ 3)
C． (3,1)
D
． ( － 3，－ 1)
二、填空题 7．将直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转 90°，再向右平移 1 个单位长度，所得到的直线为
______________ ． 8．已知一条直线经过点 P(1,2) 且与直线 y＝ 2x＋ 3 平行，则该直线的点斜式方程是
§３.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
已知条件
点
点 P( x0， y0)
斜
和斜率 k
式
斜
斜率 k 和在 y
截式
轴上的截距 b
示意图
2．对于直线 l 1： y＝ k1x＋ b1， l 2： y＝ k2x＋ b2 ， (1) l 1∥ l 2? ________________________ ； (2) l 1⊥ l 2? ________________ ．
10．解 (1) 由题意知，直线的斜率为 2，
所以其点斜式方程为 y－5＝ 2(x －2) ．
(2) 由题意知，直线的斜率 k＝ tan 0°＝ 0，
所以直线的点斜式方程为 y－ ( － 1) ＝ 0，即 y＝－ 1．
11．解设 BC边上的高为 AD，则 BC⊥AD，
2＋3
3
∴ｋAD·ｋBC＝－ 1，∴ 0－3·ｋAD＝－ 1，解得
． k<0，b<0
4．直线 y＝ ax＋ b 和 y＝bx＋ a 在同一坐标系中的图形可能是 ( )
5．集合 A＝{ 直线的斜截式方程 } ， B＝ { 一次函数的解析式 } ，则集合 A、 B 间的关系是
()
A． A＝B
B
．B A
C． A B
D
．以上都不对
6．直线 kx－ y＋ 1－ 3k＝0 当 k 变化时，所有的直线恒过定点 ( )
能力提升 1
12．已知直线 l 的斜率为 6，且和两坐标轴围成三角形的面积为
3，求 l 的方程．
13．等腰△ ABC的顶点 A( －1,2) ，AC的斜率为 3，点 B( －3,2) ，求直线 AC、BC及∠ A 的平分线所在直线方程．
1．已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点 P( x0，y0) ，斜率不存在的直线方程为 x＝ x0．直线的斜截式方程 y＝kx＋ b 是点斜式的特例．
1
故所求直线方程为 y＝ x＋ 1 或 y＝ x－ 1．
6
6
13．解直线 AC的方程： y＝ 3x ＋ 2＋ 3． ∵AB∥ｘ轴， AC的倾斜角为 60°， ∴BC的倾斜角为 30°或 120°．
3 当 α＝30°时， BC方程为 y＝ 3 x＋ 2＋ 3，∠Ａ平分线倾斜角为
120°，
∴所在直线方程为 y＝－ 3x＋ 2－ 3．当 α＝120°时， BC方程为 y＝－ 3x ＋ 2－3 3，∠Ａ平分线倾斜角为 30°，
kAD＝． 5
3 ∴BC边上的高所在的直线方程为 y－ 0＝ (x ＋ 5) ，
5
3 即 y＝ x＋3．
5
1
12．解
设直线
l
的பைடு நூலகம்程为
y＝
x 6
＋
b，
则 x＝0 时， y＝b； y＝ 0 时， x＝－ 6b．
1 由已知可得 2·|b| ·|6b| ＝ 3，即 6|b| 2＝ 6，∴ b＝± 1．
1
方程
________ ________
使用范围
斜率存在
________
存在斜率
一、选择题 1．方程 y＝ k( x－ 2) 表示 ( )
A．通过点 ( － 2,0) 的所有直线 B．通过点 (2,0) 的所有直线
C．通过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线 D．通过点 (2,0) 且除去 x 轴的所有直线
三、解答题 10．写出下列直线的点斜式方程． (1) 经过点 A(2,5) ，且与直线 y＝ 2x＋ 7 平行； (2) 经过点 C( －1，－ 1) ，且与 x 轴平行．
11．已知△ ABC的三个顶点坐标分别是 A( － 5,0) ，B(3 ，－ 3) ，C(0,2) ，求 BC边上的高所在的直线方程．
由直线的点斜式可得直线恒过定点 11
7． y＝－ x＋ 33
(3,1) ． ]
x 轴． ]
1 解析直线 y＝3x 绕原点逆时针旋转 90°所得到的直线方程为 y＝－ 3x，再将该直线向
1
11
右平移 1 个单位得到的直线方程为 y＝－ (x － 1) ，即 y＝－ x＋．
3
33
8． y－2＝ 2(x －1) 9．②③
2．已知直线的倾斜角为 60°，在 y 轴上的截距为－ 2，则此直线方程为 (
)
A． y＝ 3x＋ 2
B
． y＝－ 3x＋2
C． y＝－ 3 x－ 2
D
． y＝ 3x－ 2
3．直线 y＝ kx＋ b 通过第一、三、四象限，则有 ( )
A． k>0， b>0
B
． k>0，b<0
C． k<0， b>0
D