高中数学必修二-直线的方程

合集下载

【高中数学必修二】3.2直线的方程(1)

就是
这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：
(1) (2) (3) 如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图；与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
o
x
b
图7-9
称b为直线l在y轴上的截距.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的, 所以叫做直线方程的斜截式
截距包括横截距和纵截距(你能描述出这二者的定义么？) 截距与距离相同吗？初中已学的一次函数 y kx b中, b 0, 0, 0都可以. 常数k是直线的斜率常数 b是直线在y轴上的截距请同学们阅读教材94页例2，并掌握其中的结论。
线l与y轴平行或重合它的方程不能用点斜式表示但因为l 上每一点的横坐标都等于x1 , 这时直线l的方程就是x x1.
y y
P1
l
l
P1
o
x
o
x
图7-6
图7-7
例 1一条直线经过点 P 2 , 3 , 倾斜角 45 , 求这条直线的方程并画出图形 1
解 : 这条直线经过点 P 2 , 3 , 斜率是 k tan 45 1, 1
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的点斜式。
由直线的斜率公式 , y y1 得k x x1
特例
1当直线l的倾斜角为0时图7 6, tan0 0,即k 0.
这时直线l的方程就是y y1.
2当直线l的倾斜角为90时图7 7, 直线没有斜率这时直

高中数学必修2第二章之直线与直线方程

第1页共 4 页第二章：直线与直线方程学习重点: 1，直线点斜式、斜截式、一般式方程及相互转化；2，两条直线平行和垂直的判定和应用；3，两点间距离公式，点到直线距离公式，平行直线间的距离。

学习难点:1，几种不同直线方程的适用条件；2，线线垂直与平行的应用题型；3，两点、点线、线线距离公式。

学法指导:1,梳理直线方程、线线平行垂直判定、距离公式等知识点，2,所有题型所用方法都是基本知识点，审题时注意题中所涉及知识点。

题型一：斜率与倾斜角：A1，当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围：1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-kA2、直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则（）A.L 与x 轴垂直B. L 与y 轴垂直C.L 过原点和一，三象限D.L 的倾斜角为︒135 A3、若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（）A 、1B 、－1C 、0D 、7A4、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. A5、已知直线L 的倾斜角为1312cos ,=a a ，则此直线的斜率为。

A6.直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为（）（A ）－;31（B ）－3; （C ）;31（D ）3B4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则（）0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a k D题型二：斜率变形题：1、若三点A （-1,-1）,B(k,k+1)，C （5,8）能够成三角形，求实数k 的取值范围。

2、已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围3、已知113,14,.4y x y x +-≤≤≤≤-求：取值范围4、一条直线经过点(-2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积是１，求此直线的方程。

高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.2直线的方程)》学生版

个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时 3 授课老师教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题第三章：直线与方程3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________． (3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3.(2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．两直线平行与垂直的应用[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，当b 1≠b 2时，两直线平行；当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________.7.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．3．2.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2) 其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b 图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ [解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )，∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．。

【精品】高中数学必修2_直线的一般式方程及综合讲义知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】（1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0．（6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示．【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

高中数学-直线的方程的几种形式

返回
返回
学点一直线的点斜式方程求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
返回
【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
返回
4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
返回
【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
返回
三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.

高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结

高一数学总复习学案必修2第三章：直线与方程一、知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足（） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。

高中数学-直线的方程

直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2

高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

高中数学必修2直线方程

一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率2. 直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它形式转化的条件）3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式 5. 对称问题(点对称、轴对称)二、基础知识练习：1. 直线倾斜角的取值范围___________, 过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的斜率公式______________2．x=1的倾斜角为__________,直线310x +=的倾斜角是__________,90α=时的斜率_________.3. 直线方程的点斜式方程_________________,直线方程的斜截式方程_________________,直线方程的两点式方程_________________,直线方程的截距式方程_________________,直线方程的一般式方程_______________,与x 轴垂直的直线方程___________,与y 轴垂直的直线方程___________.4.已知直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,若1l ∥2l ,则__________________,若1l ⊥2l ,则______________;已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,若1l ∥2l ,则_________________ ,若1l ⊥2l ,则______________.5. 与:0l Ax By C ++=平行的直线可设为______________ ,与:0l Ax By C ++=垂直的直线可设为____________________.6. 平面上任意两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式__________________________, 点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d=_________________,两条平行直线1:0l Ax By C ++=与2:0l Ax By C ++=间距离为d=________________.7.两平行直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是________________.三、基础应用：1.下列命题正确的有 :①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:22=-+-+a y a x l ;21//l l 时，a=__________;这时它们之间的距离是________;21l l ⊥时，a=________ 3．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；(5) 经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零.4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B 求△AOB 面积为4时l 的方程；四、巩固练习 1．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）2.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有 ( )A.3条B. 2条C. 1条D. 0条 3.到x 轴、y 轴和直线02=++y x 的距离相等的点有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 如果直线02=+-y ax 与直线03=--b y x 关于直线0=-y x 对称，则（）A. 31=a , 6=b B. 31=a , 6-=b C. 3=a 2-=b D. 3=a , 6=b5．已知点M （4，2）与N （2，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．06=++y xB ．06=-+y xC ．0=+y xD ．0=-y x6．设三条直线0123201832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 和围成直角三角形，则m 的取值是 ( ）A ．01或±B ．或094－C ．941,0或－-D ．941-或－ 7.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 .8.直线l 方程为08)2()23(=+-++y m x m ，若直线不过第二象限，则m 的取值范围是 . 9.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到点(2,3)O ,光线经过的最短路程是；10．已知132=-n m ，则直线5=+ny mx 必然过定点___________.11．△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．1．直线L ：ax+4my+3a=0 (m ≠0)过点(1 , -1)，那么L 的斜率为（）A ．41B ．-4C ． -41D ．4 2．两平行直线分别过（1，5），（－2，1）两点，设两直线间的距离为d ，则（）A ．d=3B ．d=4C ．3≤d ≤4D ．0<d ≤53.过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）Ａ．１条Ｂ．２条Ｃ．３条Ｄ．４条4.等腰ABC ∆的三个顶点的坐标是A(-3,4),B(-5,0)C(-1,0),则BC 边的中线AD 的方程（）A. x=-3B.y=-3C.x=-3(40≤≤y )D.y=-3 (51x -≤≤-) 5．如果直线012=-+ay x 与直线01)13(=---ay x a 平行，则a 等于（）A ．0B ．61C ．0或1D ．0或61 6.已知直线l 过点P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为 .7.直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是 .8.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 .9．直线01)2(:05)1(:21=-++=+-+my x m l y m mx l 与互相垂直，则m 的值是 . 10.已知直线l 与直线3x+4y －7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程。

人教版高一数学必修二第三章直线与方程教案

教学课题人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。

②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。

高中数学必修二直线的方程课后训练

直线的方程1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y -1=x -1，即y=x ；当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2故选C.2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【解析】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A.3．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】0Ax By C ++=化为A Cy x B B =--， 0AC <且0BC <，0,0,0A CAB B B>∴-<->，直线0Ax By C ++=不通过第三象限.故选:C.4．抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=【解析】由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，选：A.5．方程1y ax a=-表示的直线可能是（） A ． B ． C ． D ．【解析】由题意0a ≠，排除B . 当0a >时，10a >，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的负半轴上，排除A .当0a <时，10a <，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的正半轴上，排除D ，选C .6．不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（） A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,0-C ．(2,3)D ．(9,4)-【解析】∵直线方程为()1(21)5m x m y m -+-=-∴直线方程可化为(21)(5)0x y m x y +-+--+=∵不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过定点∴210{50x y x y +-=--+=∴9{4x y ==-故选D7．经过点()3,0A 且直线斜率1k =的直线方程是（） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．30x y ++=D ．30x y -+=【解析】由题意可得直线的点斜式方程为()013y x -=⨯-，整理为一般式即30x y --=.故选：B.8．直线l 在平面直角坐标系中的位置如图，已知//l x 轴，则直线l 的方程不可以用下面哪种形式写出（）．A ．点斜式B ．斜截式C ．截距式D ．一般式【解析】//l x 轴，则l 的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以．故选：C ．9．若直线:l y kx =-30x y +-=相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ．()000,60B ．()0030,60C ．()0030,90D ．()0060,90【解析】联立方程30y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点，由交点在第一象限知：00>>⎩解得3k >，即tan ,3αα>是锐角，故3090α︒<<︒ ，选C. 10．已知点()2,0A -，()2,0B ，()1,1C ，()11D -,，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是（） A ．()0,1B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦C．13⎛ ⎝⎦D．12⎤⎥⎝⎦ 【解析】如图，当12k ≥时，因为三角形OGE 与三角形KHE 全等，所以直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以m 的值始终为12，排除C ；当0k =时，y m =与y 轴交于F 点，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，计算得，m =，进一步，当102k <<时，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，直线与y 轴的交点必须在F 点上方，排除,A B ；所以D 一定正确. 故选D.11．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】设点A （3,1）关于直线1y x =+的对称点为11'(,)A x y ，则111111313122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩ ，解得1104x y =⎧⎨=⎩ ，即'(0,4)A ，所以直线'A B 的方程为240x y -+=，联立2401x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，即(3,2)C -- ,又(3,1)A ，所以边AC 所在的直线方程为210x y --=，选C.12．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++；纵坐标：1233y y y ++A ．2100x y --=B ．250x y --=C ．2100x y +-=D ．250x y +-=【解析】设ABC ∆的重点为G ，外心为M ，则由重心坐标公式得74(,)33G ，并设M 的坐标为5(,)2a ，||||MA MC 222255(0)(0)(2)(4)22aa解得54a =，即55(,)24M4513475232GMk ∴欧拉方程为：417()323y x -=--，即： 250x y +-=故选：D 13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -= 15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,.16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ，若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=.若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=.（2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =，即1x =为所求. ②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫ ⎪++⎝⎭.22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=. 17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直；（2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-．由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32，所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±430x y -+=或430x y --= 19．方程y ＝k(x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线【解析】由方程y=k （x -2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．故选C ． 20．若0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过第二象限，故选B. 21．经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．27【解析】由两点式得直线方程为＝，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27．故选D ．22．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【解析】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．。

【精品课件】高中数学必修2 直线的方程(两点式、一般式)

x C A
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线.
问题探究
结论一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)表示.
结论二：任意一个关于x，y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)都表示一条直线.
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零不容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
⑤过原点
C=0
课堂练习
4.设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1)y=2m-6 根据下列条件确定m的值
(1)L在x轴上的截距为-3；(2)L的斜率为1.
小结
1.本节课都学了哪些知识点？
①二元一次方程与直线的一一对应关系； ②直线的一般式方程的概念； ③ 直线方程的一般式Ax+By+C=0系数A、B、C的几何意义； ④直线方程的各种特殊形式和一般式之间在一定条件下可以互相转化。
直线的方程 ①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程：
x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程：
y= y1 ③x轴： y= 0
④y轴： x= 0
问题探究
问题一：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用

高中数学必修2第三章直线与方程总结

第三章直线与方程知识点总结代县中学高二数学组一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围：斜率 k ∈ R 。

当 α=0°时，k=0当0<α<90°时，k.>0当α=90°时，k 不存在当90°<α<180°，k<03、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：判断方法一：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直②垂直：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；④相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）判断方法二：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，①1l ∥2l ⇔ 122112211221A B A B B C B C =≠≠且或A C A C ，当（A ，B ，C 不为0时）212121C C B B A A ≠= ②1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=③重合：A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2=B 2C 1或A 1C 2=A 2C 1，212121C C B B A A == ④相交：A 1B 2≠A 2B 1 ，2121B B A A ≠ 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。

新课标高中数学必修2直线与方程

新课标⾼中数学必修2直线与⽅程3。

1知识表直线⽅程的概念及直线的倾斜⾓和斜率(1)直线的⽅程：如果以⼀个⽅程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个⽅程的解,这时,这个⽅程就叫做这条直线的⽅程,这条直线叫做这个⽅程的直线．（2）直线的倾斜⾓：⼀条直线向上的⽅向与ｘ轴正⽅向所成的最⼩正⾓叫这条直线的倾斜⾓.倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜１8０°.（3）直线的斜率：倾斜⾓不是9０°的直线，它的倾斜⾓的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜⾓是9０°的直线的斜率不存在．过P 1（ｘ１，y 1)，P 2(x 2,ｙ2)(x ２≠x 1)两点的直线的斜率特别地是，当12x x =,12y y ≠时，直线与ｘ轴垂直,斜率k 不存在；当12x x ≠,12y y =时,直线与ｙ轴垂直,斜率k =0。

注意：直线的倾斜⾓α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平⾏或者重合. 当α=９0°时,斜率ｋ=０;当090α?<，随着α的增⼤，斜率k 也增⼤；当90180α?<１．特殊⾓与斜率※基础达标1．若直线1x =的倾斜⾓为α,则α等于（）。

A ．0 Ｂ．４5° Ｃ.9０° D.不存在2．已知直线l 3 ）.A 。

60° B. 30° Ｃ。

60°或120° D ． 3０°或150° 3。

已知直线经过点Ａ(0，４）和点Ｂ（1,2），则直线AB 的斜率为__＿__＿____4。

经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜⾓为１3５０,则y 的值等于（） 5。

过点Ｐ(－2，m )和Q (m ,4）的直线的斜率等于１,则m 的值为（）。

Ａ。

1 B 。

4 Ｃ.１或3 D.1或4６．已知两点A （x ,-2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝。

高中数学必修二直线的方程

若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
∵kPA=-2，kPB=
1， 2
∴-2≤k≤ 1 .
2
题型三求直线的方程【例3】求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 思维启迪选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可. 解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0.
D.第四象限
解析由题意知A·B·C≠0.
直线方程变为y=- A x- C ， BB
∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，
∴其斜率k=- A＜0,在y轴上的截距b=- C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直
线l：y=k（x-2）+1
与线段AB相交，则k的取值范围是
A.k≥
1 2
B.k≤-2
C.k≥ 1 或k≤-2 2
D.-2≤k≤ 1 2
（ D）
解析由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.
由已知3-
2
k =2-3k，解得k=-1或k=
2
,
k
3
∴直线l的方程为
y-2=-（x-3）或y-2=
2 3
(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.