《1.4生活中的优化问题举例》教学案

《1.4生活中的优化问题举例》教学案教学目标：
1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题.
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
三．典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小.
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
例3．在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C (x )，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )，R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x ).
(1)、如果C (x )＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2)、如果C (x )=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-
=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214
L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大
四．课堂练习
1．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．(高为1.2 m ，最大容积3
1.8m )
5．课本练习
五．回顾总结
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具.
六．教后反思：。