数学建模中的层次分析法-icaredbd
数学建模中的层次分析法
对应于目标层的权向量（系数）
( w1 , w2 , , w8 )T
(0.119, 0.036, 0.082, 0.087, 0.261, 0.204, 0.150, 0.061)T
评价公式 即
y w1 x1 w2 x2
w8 x8
y 0.119 x1 0.036 x2 0.082 x3 0.087 x4 0.261x5 0.204 x6 0.150 x7 0.061x（分） 8
层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立 多个因素 层次结构
实际问题
确定
诸因素的 相对重要性
计算 权向量
判断 综合决策
二、层次分析法基本步骤
1、建立层次结构模型 结点（变量） 第一层
结点
结点
结点
第二层
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
第三层
例 对学生的评价
对学生的评价 目标层
数学建模中的 层次分析法
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂（saaty) 等人于20世 纪70年代提出的一种决策方法。它是将 半定性、半定量问题转化为定量问题的 有效途径。它将各种因素层次化，并逐 层比较多种关联因素，为分析和预测事 物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重系数。层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
于是取权重系数wi=ai
例：评价影视作品
在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：
x1表示教育性 x2表示艺术性
x3表示娱乐性
有一名专家经成对赋值：
数学建模之层次分析法
第四讲层次分析法在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。
这些因素是相互制约、相互影响的。
我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。
这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。
层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。
层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
一、建立系统的递阶层次结构首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
一个决策系统大体可以分成三个层次：（1） 最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；（2） 中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则；（3） 最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。
比如旅游景点问题，我们可以得到下面的决策系统：目标层——选择一个旅游景点准则层——旅游费用、景色、居住、饮食、交通方案层——宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山、楠溪江二、构造成对比较判断矩阵和正互反矩阵在确定了比较准则以及备选的方案后，需要比较若干个因素对同一目标的影响，从额确定它们在目标中占的比重。
如旅游问题中，五个准则对于不同决策者在进行决策是肯定会有不同的重要程度，而不同的方案在相同的准则上也有不同的适合程度表现。
层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
数学学年论文毕业论文数学建模的层次分析法
数学建模的层次分析法摘要：阐述了数学建模层次分析法的基本思想、方法和核心问题，运用层次分析法建立数学模型的一般步骤和计算方法，并通过实例分析，说明了层次分析法在决策中的有效性。
关键词：数学模型层次分析法决策分析排序层次分析法(Analytic Hicrarchy process简记为AHP)是美国著名运筹学家T.L.Saaty在70年代初提出来的，它是将半定性、半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法。
把复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题。
因此层次分析法在工程技术、能源系统分析、经济管理、城市规划和社会科学等众多领域中都得到了广泛的应用。
本文阐述了层次分析法的基本思想和步骤、计算问题，针对企业留成利润合理使用问题，利用层次分析法对各项措施进行了最优方案的选择。
1、AHP建模的基本思想和步骤[1-3]AHP的基本思想是先按问题要求建立一个描述系统功能或特征的内部独立的递阶层次结构，通过两两比较因素（或目标、准则、方案）的相对重要性，给出相应的比例标度；构造上层某要素对下层相关元素的判断矩阵，以给出相关元素对上层某要素的相对重要序列。
AHP的核心问题是排序问题，包括递阶层次结构原理、标度原理和排序原理。
运用AHP解决实际问题，大体可以分为4个基本步骤。
1）建立递阶层次结构模型这是AHP中最重要的一步。
将问题所包含的因素按属性不同而分层，可以划分为最高层、中间层和最低层。
同一层次元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
这种从上至下的支配关系形成一个递阶层次。
最高层通常只有一个元素，它是问题的预定目标，表示解目标层决问题的目的，因此也称目标层。
中间层为实现总目标而采 准则层 取的措施、方案和政策，它可 以由若干个层次组成，包括所 需要考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
数学建模方法之层次分析法
数学建模方法之层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
数学建模教材第9章层次分析法模型
数学建模教材第9章层次分析法模型第九章层次分析法模型层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP ）是对⼀些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易⽅法，它特别适⽤于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的⼀种简便、灵活⽽⼜实⽤的多准则决策⽅法。
9.1.1层次分析法的基本原理与步骤⼈们在进⾏社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，⾯临的常常是⼀个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂⽽往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了⼀种新的、简洁⽽实⽤的建模⽅法。
运⽤层次分析法建模，⼤体上可按下⾯四个步骤进⾏：（i）建⽴递阶层次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii）层次单排序及⼀致性检验；（iv）层次总排序及⼀致性检验。
下⾯分别说明这四个步骤的实现过程。
1递阶层次结构的建⽴与特点应⽤AHP分析决策问题时，⾸先要把问题条理化、层次化，构造出⼀个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素⼜按其属性及关系形成若⼲层次。
上⼀层次的元素作为准则对下⼀层次有关元素起⽀配作⽤。
这些层次可以分为三类：（i）最⾼层：这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般它是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此也称为⽬标层。
（ii ）中间层：这⼀层次中包含了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可以由若⼲个层次组成，包括所需考虑的准则、⼦准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这⼀层次包括了为实现⽬标可供选择的各种措施、决策⽅案等，因此也称为措施层或⽅案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，⼀般地层次数不受限制。
每⼀层次中各元素所⽀配的元素⼀般不要超过9个。
这是因为⽀配的元素过多会给两两⽐较判断带来困难。
下⾯结合⼀个实例来说明递阶层次结构的建⽴。
例1假期旅游有R、P2、P3 3个旅游胜地供你选择，试确定⼀个最佳地点。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
数学建模第三讲层次分析法
数学建模第三讲层次分析法在数学建模的领域中，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。
它能够帮助我们在面对复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。
那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。
比如说，我们要选择一个旅游目的地。
这时候，可能会考虑多个因素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。
这些因素就构成了不同的层次。
然后，我们会对每个因素进行两两比较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。
为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。
第一步，建立层次结构模型。
这是层次分析法的基础。
我们需要把问题分解成目标层、准则层和方案层。
目标层就是我们最终要实现的目标，比如选择最佳的旅游目的地。
准则层就是影响目标实现的各种因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。
方案层就是我们可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。
第二步，构造判断矩阵。
在这一步，我们要对同一层次的元素进行两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。
比较的结果通常用 1 9 标度法来表示。
比如说，如果因素 A 比因素 B 稍微重要，就给A 对B 的比较值赋 3；如果 A 比 B 明显重要，就赋 5；如果 A 比 B 极端重要，就赋 9。
反过来，如果 B 比 A 稍微重要，就给 B 对 A 的比较值赋 1/3，以此类推。
第三步，计算权重向量并进行一致性检验。
通过数学方法，比如特征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
这个特征向量就是我们所需要的权重向量。
但是，为了确保我们的判断是合理的，还需要进行一致性检验。
如果一致性比率小于 01，就认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
数学建模之层次分析法
层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断,往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误.（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化,完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。
(5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择,而不能给出新的、更优的策略。
1。
模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。
(1）公司选拔人员，(2）旅游地点的选取，（3)产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5)煤矿安全研究,(6)城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。
2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
准则层目标层方案层目标层:表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
通常只有一个总目标.准则层:表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节. 方案层:表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等.通常有几个方案可选.注意:（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。
这是因为，心理学研究表明,只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。
当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数,来减少同一层的元素数。
②构造判断(成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则,对其支配的下层各因素之间进行两两比较.得到判断矩阵，再求出各元素的权重。
层次分析法及其应用数学建模
层次单排序
根据判断矩阵求解各因素对于上一层次因素的相 对重要性权重，得到层次单排序结果。
02
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检验，检查各因素之间的 相对重要性是否合理。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重和下一层因素相对于上一层因素的权重，计算出最底层因素相对于总目标的 权重。
一致性检验
判断矩阵的构造
确定比较标度
比较同一层次中各因素对于上一 层次因素的相对重要性，通常采 用1-9的标度法进行比较。
构造判断矩阵
根据比较标度，构造出判断矩阵， 矩阵中的元素表示对应因素的比 较结果。
求解判断矩阵
通过计算判断矩阵的特征向量， 得到各因素对于上一层次因素分析法可以根据问题 的实际情况调整层次结构 和判断矩阵，具有较高的 灵活性。
局限性
主观性
层次分析法在构造判断矩阵时依赖于专 家的主观判断，因此结果可能受到专家
主观因素的影响。
计算复杂度较高
对于大规模问题，层次分析法的计算 复杂度较高，需要借助计算机进行辅
助计算。
一致性检验困难
对于构造的判断矩阵，一致性检验是 一个难题，需要找到合适的检验方法。
层次分析法在数学建模中的应用
01 在数学建模中，层次分析法常用于解决多目标决 策问题，例如在资源分配、方案选择、风险评估 等方面。
02 通过构建层次结构模型，可以将复杂的决策问题 分解为多个层次，使得决策过程更加清晰和有条 理。
02 在应用层次分析法时，需要构建判断矩阵，并进 行一致性检验，以确保决策的合理性和准确性。
02
层次分析法的基本原理
层次结构模型的建立
01 明确问题
首先需要明确问题的目标，并确定相关的因素， 将因素按照属性不同分为不同的层次，形成层次 结构。
层次分析法在数学建模中的应用
层次分析法在数学建模中的应用摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。
在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。
这是就有人提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。
关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率一．问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。
诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。
然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。
在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。
T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
二．层次分析法的基本步骤1.将决策问题分解为三个层次。
最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。
2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。
3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。
在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。
三．构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。
数学建模的层次分析法
1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学 建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决 实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根 据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解 决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。 例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到 最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的 数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标 体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选 题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范 性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例 如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域， 数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数 学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域 也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究 领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行 科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方 法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。
【数学建模】1.层次分析法
【数学建模】1.层次分析法1.解决问题的类型⾸先，提出⼀个⽅法考虑的应该是他对应解决什么类型的问题，对于层次分析法来说，它是⽤来解决确定评价指标、形成评价体系的评价类问题.解决评价类问题需要考虑的三个问题1.评价⽬标是什么2.为了达到这种⽬标有⼏种可以选择的⽅案3.评价的准则是什么2.层次分析法的步骤第⼀步建⽴系统的递阶层次结构.注：如果⽤到了层次分析法，层次结构图要放在建模论⽂中.层次结构图可以⽤PPT的SmartArt⽣成层次结构图可以⽤专业软件：亿图图⽰⽣成第⼆步构造判断矩阵对于判断矩阵来说很重要的⼀点就是确定各个指标的权重，那么下⾯就来说⼀说怎么确定权重3.权重的确定（1）⾸先填写判断矩阵把评价准则（景⾊、花费、居住、饮⾷、交通）和可选择的⽅案（苏杭、北戴河、桂林）做成判断矩阵（制表）我们采⽤填写判断矩阵的⽅法确定权重，参考如图总的判断表格判断矩阵判断指标然后需要对总的判断表格中的评价准则和针对不同准则⽅案之间的差异重新制表写判断表格。
对⾓线均为1评价准则的判断矩阵针对不同准则⽅案之间的差异值得注意的⼀点，填写完判断矩阵后我们要判断矩阵是否为⼀致矩阵⼀致矩阵特点：各⾏（各列）成倍数关系注：判断矩阵中的元素只能是1-9和他们的倒数.（2）其次进⾏⼀致性检验⼀致性检验：检查我们构造的判断矩阵和⼀致矩阵是否有太⼤的差别。
检验的具体原理这⾥就不详细的叙述了，下⾯就直接讲⼀致性检验的步骤了注：matlab中可以进⾏特征值计算，如果特征值为虚数，那么就⽐较特征值的模长.如果得到的判断矩阵符合⼀致性检验，那么我们就可以计算⼀致矩阵的权重了。
（3）再次⼀致矩阵权重的计算有三种⽅法：算术平均法、⼏何平均法、特征值法。
通常采⽤特征值法计算权重如果⼀个矩阵是⼀致矩阵那么采⽤特征值法计算权重的⽅法为那么对于通过⼀致性检验的矩阵来说，也可以采⽤这种⽅法最后汇总权重，计算得分得到的表格(4)CR>0.1的修正上⾯说的都是判断矩阵经过⼀致性检验的步骤，那如果没有经过⼀致性检验呢，这就需要我们对判断矩阵进⾏修正调整的原则就是：往⼀致矩阵调整就OK了，⼀致矩阵隔⾏成倍数关系4.层次分析法的局限性5.模型拓展6.例⼦7.附录优先选择知⽹（万⽅、百度学术、⾕歌学术等平台）搜索⽂献。
数学建模讲义-层次分析法
优化建模
3、排序原理：
一组元素两两比较其重要性,计算元素相对
重要性的测度问题。
优化建模
二、层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按 照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素 从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下 一层的因素或受到下层因素的作用。
优化建模
将问题包含的因素分层： 最高层（解决问题的目的）； 中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑 的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把 各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清 晰地表达这些因素的关系。
优化建模
成对比较阵 和权向量
优化建模
1.建立层次结构模型 1.
例. 选择旅游地
目标层
如何在3个目的地中按照景色、 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 费用、居住条件等因素选择.
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量
方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
方案层对C 居住 居住) 方案层对 3(居住 的成对比较阵
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5
4 7 1 2 3
数学建模5-层次分析法
数学建模5-（离散模型）层次分析法层次分析法的基本步骤如下：层次结构分析模型实例：（选择旅游地）每次取两个因素C i和C j，用a ij表示C i和C j对上层因素O的影响之比，全部结果可用成对比较矩阵表示：a ij=1（i=j）由成对比较阵求权向量的特征根法：（原理）一致阵的概念：a ij·a jk=a ik，I,j,k=1,2,……,n一致阵的性质：1.R（A）=1，A的唯一非零特征根为n；2.A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。
若A不是一致阵在不一致容许的范围内，用对应于A最大特征根（记作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足Aw=λw。
（实现方法）——和法例子：一致性检验：一致性指标：（CI越大A的不一致程度越严重）随机一致性指标：一致性比率：当时，认为A的不一致程度在容许范围内。
组合权向量的计算组合一致性检验：关于层次分析法的一些问题：1.不完全层次结构中组合权向量的计算：例：如何得到合理结果？用支配因素的数量对权向量进行加权修正2.成对比较阵残缺时的处理：设Θ表示残缺；3.本节讨论的内容主要是逐阶层次结构（层次内部因素无相互影响或支配，层次自上而下，逐层传递的支配关系）对于更复杂的层次结构，可能存在层次内部因素之间的相互影响，下层反过来对上层有支配作用，层次之间存在反馈作用等。
附：层次分析法的简单MATLAB实现clc;clear;A=[1 1.2 1.5 1.5;0.833 1 1.2 1.2;0.667 0.833 1 1.2;0.667 0.833 0.833 1];%因素对比矩阵A，只需要改变矩阵A[m,n]=size(A); %获取指标个数RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];R=rank(A); %求判断矩阵的秩[V,D]=eig(A); %求判断矩阵的特征值和特征向量，V特征值，D特征向量；tz=max(D);B=max(tz); %最大特征值[row, col]=find(D==B); %最大特征值所在位置C=V(:,col); %对应特征向量CI=(B-n)/(n-1); %计算一致性检验指标CICR=CI/RI(1,n);if CR<0.10disp('CI=');disp(CI);disp('CR=');disp(CR);disp('对比矩阵A通过一致性检验，各向量权重向量Q为：');Q=zeros(n,1);for i=1:nQ(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化endendQ。
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对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如
下所示：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 甲 5 5 5 5 4 3 4 5
乙 3
丙 3
2
3
4
4
5
2
5
5
5
5
4
5
3
4
按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286， 由高到低排序为乙、丙、甲。
对权重系数的量化过程
（1）成对比较 从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重 要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
德
智
体
准则层
思 想
道 德
语 文
数 学
…
眼
…
肺
项目层
(指标层)
二、层次分析法基本步骤
2、确定权系数w1， w2， … ，wn，其满足： wi0 ,
n
w
i 1
i
1
3、建立综合评判函数 设x1, x2, … xn为对应各因素的决策变量， 其线性组合： y = w1x2 + w2x2 + … + wn xn
对应于目标层的权向量（系数）
( w1 , w2 , , w8 )T
(0.119, 0.036, 0.082, 0.087, 0.261, 0.204, 0.150, 0.061)T
评价公式 即
y w1 x1 w2 x2
w8 x8
y 0.119 x1 0.036 x2 0.082 x3 0.087 x4 0.261x5 0.204 x6 0.150 x7 0.061x（分） 8
数学建模中的 层次分析法
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂（saaty) 等人于20世 纪70年代提出的一种决策方法。它是将 半定性、半定量问题转化为定量问题的 有效途径。它将各种因素层次化，并逐 层比较多种关联因素，为分析和预测事 物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重系数。层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
（2）建立成对比较矩阵
由xi/xj建立n阶方阵A
(3)
迭代
按下列方法求向量迭代序列： e0=( 1/n 1/n … 1/n)T e’k=Aek-1 || e’k||为Aek-1 的n个分量之和 ek= e’k / || e’k|| , k=1,2, … 数列｛ ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1 a2 … an)
e0
1 3 1 3 1 3
0.733 Ae0 0.788 e1 3
4.511 e1
0.733 0.162 1 e1 0.788 0.172 4.511 0.665 3
于是取权重系数wi=ai
例：评价影视作品
在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：
x1表示教育性 x2表示艺术性
x3表示娱乐性
有一名专家经成对赋值：
x1/x2=1
x1/x3=1 /5
x2/x3=1/3
于是得到成对比较矩阵
1 A 1 5
1 1 3
1 5 1 3 1
是综合评判函数。
例 对学生的评价
对学生的评价 0.3 0.55
0.15 体
德
0.5 思 想 道 德 0.5 0.2 语 文
智
0.15
0.25
0.15 眼
0.1
计 数 … 算 学 机
…
肺
语文成绩对学生评价中的权系数为：0.2×0.55=0.11
例 某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型
对象的评分 0.237 知识
层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立 多个因素 层次结构
实际问题
确定
诸因素的 相对重要性
计算 权向量
判断 综合决策
二、层次分析法基本步骤
1、建立层次结构模型 结点（变量） 第一层
结点
结点
结点
第二层
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
结 点
第三层
例 对学生的评价
对学生的评价 目标层
0.467 0.155 0.565 , e2 3.014, e2 0.184 e2 1.991 0.661 0.471 0.156 0.559 , e3 3.018, e3 0.185 e3 1.998 0.659 0.473 0.156 0.561 , e4 3.028, e4 0.185 e4 1.994 0.659
0.5 0.154 0.346
0.348 能力
0.250 0.750
0.415 表现
0.492 0.361 0.147
x1 语 文 知 识
x2 外 语 知 识
x3
政治 经济 时事 知识
x4 计算 机操 作能 力
x5 公 关 能 力
x6
x7
x8 音 色
容貌 体形 与气 高矮 与胖 质 瘦
评价指标
( x1 , x2 , , x8 )
尺度
aij
1 相同
2
3 稍强
4
5 强
6
7
8
9 绝对强
Ci : C j的重要性
明显强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是
w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 相应的综合评价公式是 Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以 上公式算出的便是作品综合评分y。
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 • 便于定性到定量的转化：