5.1.2 互逆性与基本积分公式

f
(x)
或
d f (x) dx f (x) dx
F (x)dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
微分、积分的互逆性 (2) 基本积分公式来自于基本导数公式， 对照理解或记忆
例2
x10
x dx
21
x 2 dx
1
211
x2 C
21 1
2
23
x2
23
C.
2
x dx x1 C
1
基本的积分方法有:
分项积分法、换元法、分部积分法，以及这些方法的综合运用.
接下来的几讲依次介绍这些方法.
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
小结
(1)
d dx
f
(x) dx
arc cot x C1；
(arctanx)源自11 x2
（7）
dx 1 x2
arcsin x C arccos x C1;
(arcsin x) 1 1 x2
（8） sec x tan xdx sec x C ;
csc x cot x dx csc x C .
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（2） x dx x1 C ， ( 1, x 0) ； 1 dx ln x C ， (x 0) ；
1
x
（3） a xdx a x C (a 0, a 1) ， ln a
(xb ) bxb1
e xdx e x C ；
(a x ) a x ln a
（4） cos x dx sin x C ； sin x dx cos x C ；
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（5） sec2 x dx tan x C ；
sec x 1 , csc x 1
cos x
sin x
csc2 x dx cot x C ；
(tan x) sec2 x, (cot x) csc2 x
（6）
dx 1 x2
arctan x C
微积分学（上）
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
本讲要点
介绍积分运算与微分运算的互逆性、基本 积分公式.
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
1. 积分与微分运算的互逆性
设 F (x) f (x) , 则
d dx
f
(
x)
dx
f (x)
或
d f (x) dx
f (x) dx
d dx
f
( x) dx
—— 先积分后求导（或微分）正好还原； d (F (x) C)
F (x)dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
dx F'(x) f (x)
—— 先求导（或微分）后积分不能完全还原，需加上一个常数.
例1 已知 f (x) dx x ln x C , x (0,) , 则
f
(x)
d dx
f
(x) dx
(x
ln
x
C)
1
ln
x
.
微积分学（上） 5.1.2 互逆性与基本积分公式
2. 基本积分公式(C 为任意常数) f (x) dx F (x) C F(x) f (x)
（1） k dx kx C （ k 为常数），特别地， 0 dx C ， dx x C ；