信号处理实验六报告

实验六 离散时间滤波器设计一、 实验原理IIR 数字滤波器设计 （一）、脉冲响应不变法变换原理脉冲响应不变法将模拟滤波器的s 平面变换成数字滤波器的z 平面，从而将模拟滤波器映射成数字滤波器。

IIR 滤波器的系统函数为1z -(或z )的有理分式，即01()1Mkk k N kk k b zH z a z -=-==-∑∑一般满足N M ≤。

1、转换思路：)()()()()(z H n h nT h t h s H z a a −−→−=−−−→−−−−−−→−变换时域采样拉普拉斯逆变换若模拟滤波器的系统函数()H s 只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次，表达式：11()1k Nks T k TA H z ez -==-∑2、s 平面与z 平面之间的映射关系。

⎩⎨⎧Ω==→=→=→⎩⎨⎧Ω+==ΩT e r e e re e z s re z T TT sT ωσσσωωj j j j]IIR 数字滤波器设计的重要环节是模拟低通滤波器的设计，典型的模拟低通滤波器有巴特沃思和切比雪夫(I 型和II 型)等滤波器。

由模拟低通滤波器经过相应的复频率转换为)(s H ，由)(s H 经过脉冲响应不变法就得到所需要的IIR 数字滤波器)(z H 。

（二）、巴特沃思滤波器设计巴特沃思滤波器是通带、阻带都单调衰减的滤波器。

(1) 调用buttord 函数确定巴特沃思滤波器的阶数，格式 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)其中：Wp ，Ws 为归一化通带和阻带截止频率；Ap ，As 为通带最大和最小衰减，单位为dB ；N 为滤波器阶数，Wc 为3dB 截止频率，对于带通和带阻滤波器，Wc=[W1，W2]为矩阵，W1和W2分别为通带的上下截止频率。

(2) 调用butter 函数设计巴特沃思滤波器，格式 [b,a]=butter(N,Wc,options) 其中：options=’low ’, ‘high ’, ‘bandpass ’, ‘stop ’，默认情况下，为低通和带通。

b 和a 为设计出的IIR 数字滤波器的分子多项式和分母多项式的系数。

注意，利用以上两个函数也可以设计出模拟滤波器，格式为 [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,’s ’) [b,a]=butter(N,Wc,options,’s ’) 其中：Wp 、Ws 和Wc 均为模拟频率。

（三）、切比雪夫I 型滤波器的设计切比雪夫I 型滤波器为通带波纹控制器：在通带呈现纹波特性，在阻带单调衰减。

[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As) [b,a]=cheby1(N,Ap,Wc,options) 其中的参数含义和巴特沃思的相同。

（四）、切比雪夫II 型滤波器的设计切比雪夫II 型滤波器为阻带波纹控制器：在阻带呈现纹波特性，在通带单调衰减。

[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As) [b,a]=cheby2(N,As,Wc,options)其中的参数含义和巴特沃思的相同。

已知模拟滤波器，可以利用脉冲响应不变法转换函数impinvar 将其变换为数字滤波器，调用格式为[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)其中b,a 分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs 为采样频率；bz 、az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。

（五）、双线性变换法变换原理为克服脉冲响应不变法产生频率响应的混叠失真，可以采用非线性频率压缩方法，使s 平面与z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，这就是双线性变换法。

1、转换思路：→)(s H 写出微分方程−−→−近似差分方程→写出)(z H 由于双线性变换法中，s 到z 之间的变换是简单的代数关系，得到数字滤波器的系统函数和频率响应，即111111()()1z a a s c z z H z H s H c z ----=+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭j tan 2()(j )j tan 2a c H e H H c ωωω⎛⎫Ω= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设模拟系统函数的表达式为2001120120()NkN kk N a NNkN kk A sA A s A s A s H sB B s B s B sB s==++++==++++∑∑ 应用双线性变换得到()H z 的表达式111200121211210()()|1NkN kk N a NNz s ckN z k k a za a z a z a z H z H sb z b z b zb z------=----=-+=++++===++++∑∑ 2、s 平面与z 平面之间的映射关系。

2222j Ω)(Ω)(j Ωj Ω+-++=−−→−--++=→-+=σσσσωc c r c c re s c s c z 取模Z 平面S 1平面S 平面用不同的方法选择c 可使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应的关系。

(1) 采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有1Ω≈Ω。

当1Ω较小时，2c T=。

(2) 采用数字滤波器的某一特定频率(例如截止频率1c c T ω=Ω)与模拟原型滤波器的一个特定频率c Ω严格相对应，则有cot 2cc c ω=Ω。

已知模拟滤波器，可以利用双线性变换函数bilinear 将其变换为数字滤波器，调用格式为[bz,az]=bilinear(b,a,Fs)其中b,a 分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs 为采样频率；bz 、az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。

设计时要注意模拟原型低通频率预畸，否则衰减指标不能满足设计要求。

FIR 数字滤波器设计1、设计原理FIR 滤波器的设计问题，就是要使所设计的FIR 滤波器的频率响应)(j ωe H 逼近所要求的理想滤波器的频率响应)(j d ωe H 。

逼近可在时域进行，也可在频域进行。

窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的，用窗函数截取无限长的)(n h d ，这样得到的频率响应)(j ωe H 逼近于理的频率响应)(d ωj e H 。

2、设计流程)()()()(j j ωωe H n h n h e H d d −−−−→−−−−−→−−−−−−→−序列傅里叶变换移序加窗截断序列傅里叶反变换(1)给定希望逼近的频率响应函数j ()d H e ω； (2) 求单位脉冲响应()d h n ；(j j 1()()2n d d h n H e e d πωωπωπ-=⎰)(3)由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度N 。

设待求滤波器的过渡带用ω∆表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。

因过渡带ω∆近似与窗口长度成反比，N A ω≈∆，A 决定于窗口形式；(4) 计算所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应；()()()01d h n h n w n n N =≤≤-(5) 由()h n 求FIR 滤波器的频率响应j ()H e ω，检验是否满足设计要求。

一旦选取了窗函数，其指标（过渡带宽、阻带衰减）就是给定的。

所以由窗函数设计FIR 滤波器就是由阻带衰减指标确定用什么窗，由过渡带宽估计窗函数的长度N 。

MATLAB 中提供了数种可以调用的窗函数，常用的有：hd=boxcar(N) ％N 点矩形窗函数 ht=triang(N) ％N 点三角窗函数 hd=hanning(N) ％N 点汉宁窗hd=hamming(N) ％N 点汉明窗函数 hd=blackman(N) ％N 点布莱克曼窗hd=kaiser(N ，β) ％给定beta 值的N 点凯泽窗函数MATLAB 中提供的fir1可以用来设计FIR 滤波器，调用格式为h=fir1(M,Wc,’ftype ’,window) 其中：h 为FIR 数字滤波器的系数构成的矩阵（即系统的单位脉冲响应）, Wc 是滤波器的截止频率（以π为单位），可以是标量或数组；M+1为FIR 数字滤波器的阶数，ftype 指定滤波器类型，缺省时为低通，低通用“Low ”表示，高通用“high ”表示，带通用“bandpass ”表示，带阻用“stop ”表示，Window 指定窗函数，若不指定，默认为汉明窗。

二、 实验内容及结果分析（一）IIR 数字滤波器设计1、要求通带截止频率3kHz p f =，通带最大衰减1dB p a =，阻带截止 4.5kHz s f =，阻带最小衰减15dB s a =，采样频率30kHz c f =，用脉冲响应不变法设计一个切比雪夫数字低通滤波器，并图示滤波器的振幅特性，检验,p s ωω对应的衰减。

【程序】%---文件expIIR_1.m---clearall;close all;clc%切比雪夫原型低通的技术指标wp = 3*2*pi*10^3;ws = 4.5*2*pi*10^3;ap = 1; %通带最大衰减1as = 15; %阻带最小衰减15fs = 30*10^3; %采样频率wp1 = wp/fs; %数字频率ws1 = ws/fs;%确定切比雪夫低通滤波器的阶数N和3dB 截止频率[N WC] = cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s') %设计切比雪夫滤波器[b a] = cheby1(N,ap,WC,'s');%脉冲响应不变法实现数字低通[bzaz] = impinvar(b,a,fs)w0 = [wp1,ws1];Hx = freqz(bz,az,w0);[H W] = freqz(bz,az); %求频响%求wp1和ws1对应的衰减dbHx = -20*log10(abs(Hx)/max(abs(H))) hf = figure;plot(W,abs(H));xlabel('相对频率');ylabel('幅频');grid on;saveas(hf,'expIIR.1.fig');【结果及分析】程序运行结果：N =4WC =1.8850e+04bz =-0.0000 0.0054 0.0181 0.0040 0az =1.0000 -3.0591 3.8323 -2.2919 0.5495dbHx =1.0005 21.5790滤波器阶数是4，dbHx中的1.0005和21.5790为ωｐ，ωｓ处的衰减，可见ｐａ＝1.0005≈１，ｓａ＝21.5790基本满足要求。

图1.1 IIR 滤波器设计题1的幅频响应2、用双线性变换法设计一个切比雪夫Ⅰ型数字高通滤波器。