2019高考(文)数学复习 同步练习 第五节 椭圆
【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。
高考数学专题《椭圆》练习
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.104．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．34C ．12D ．146．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x +=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．22194x y +=2359练基础7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b ab +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C ．⎫⎪⎪⎭D ．⎫⎪⎭2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.练提升4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．10．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a ；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 23121314121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C 12MF F △M 练真题（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．。
2019版高考数学5年高考3年模拟：椭圆及其性质
x2 y2 A. + =1 25 5 x2 y2 C. + =1 36 16 x2 y2 B. + =1 30 10 x2 y2 D. + =1 45 25
(2)(2017湖北武汉调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上, P(2, 3 )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为 .
x2 y 2 ∴椭圆方程为 + =1. 8 6
答案
x2 y 2 (2) + =1 8 6
方法 2 求椭圆的离心率(范围)的方法
1.求解椭圆离心率常用的方法:①若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点 位置确定a2,b2,求出a,c的值,从而利用公式e= 直接求解;②若椭圆的方 程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的等式,化为关于a,c的齐 次方程,进而转化为关于e的方程进行求解,最后注意e的取值范围. 2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关 于a,c的齐次不1
3 4
3
解析 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|= 2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得
4 5
2 2 2 2 2 c a b 4 b 4 3 ,又0<e<1,所以e∈ ≥ ,即b≥1.所以e = = = ≤ a2 4 a2 5 4 32 (4) 2
(1 k 2 )( x1 x2 ) 2 |AB|=
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 1 k2 · =
1 2 1 = k 2 ( y1 y2 ) 1 2 ( y y ) 4 y1 y2 (k为直线斜率,k≠0). 1 = 2 · 1 2 k
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第5节椭圆练习新人教A版练习
2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第5节椭圆练习新人教A版练习 椭圆[基础对点组]1．(导学号14577739)(2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(导学号14577740)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：C [若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.]3．(导学号14577741)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32解析：B [如图，连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8.由题意知|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.]4．(导学号14577742)(2018·一模)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.15B.154C.265D.14解析：B [不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝20－4b ＝2，解得a ＝8，b ＝2，∴c ＝64－4＝215，∴该椭圆的离心率为e ＝c a ＝2158＝154.故选B.]5．(导学号14577743)(2018·三模)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855D.455解析：C [设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.∵|MF ′|＋|NF ′|≥|MN |，∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得△FMN 的周长的最大值＝4a ＝45，c ＝5－4＝1.把c ＝1代入椭圆标准方程得15＋y 24＝1，解得y ＝±45，∴此时△FMN 的面积S ＝12×2×2×45＝855.故选C.] 6．(导学号14577744)(2018·二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C 的标准方程是 ________ .解析：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，焦距是2，则有2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．(导学号14577745)(2018·一模)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝ ________ .解析：由椭圆x 225＋y 216＝1，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B为椭圆的两个焦点．三角形ABC 中，a ＝|BC |，b ＝|AC |，c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c 2R ，5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：38．(导学号14577746)(2018·诊断)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为 ________ .解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案：69．(导学号14577747)(2018·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 10．(导学号14577748)(2018·一模)已成椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，左右焦点分别为F 1、F 2，其中长轴长为4，且圆O ：x 2＋y 2＝127为菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆． (1)求椭圆C 的方程；(2)点N (n,0)为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点F 2在l 上的射影为H ，若△F 1HN 的面积不小于316n 2，求n 的取值范围．解：(1)由题意知2a ＝4，所以a ＝2，所以A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， 则直线A 2B 2的方程为x 2＋yb ＝1，即bx ＋2y －2b ＝0，所以|－2b |4＋b2＝127，解得b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n 3x 2＋4y 2＝12，消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3(n 2－4)＝0.由直线l 与椭圆C 相切，得Δ＝(6mn )2－4×3×(3m 2＋4)(n 2－4)＝0， 化简得3m 2－n 2＋4＝0.设点H (mt ＋n ，t )，由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则t －0mt ＋n －1·1m＝－1，解得t ＝－m n －1＋m2，所以△F 1HN 的面积S △F 1HN ＝12(n ＋1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m n －1＋m 2＝12|m n 2－1＋m 2，代入3m 2－n 2＋4＝0，消去n 化简得S △F 1HN ＝32|m |，所以32|m |≥316n 2＝316(3m 2＋4)，解得23≤|m |≤2，即49≤m 2≤4，从而49≤n 2－43≤4，又n＞0，所以433≤n ≤4，故n 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤433，4.[能力提升组]11．(导学号14577749)(2018·四模)神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了人的航天梦想，某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示，假设航天员到地球最近距离为d 1，到地球最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后，地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2解析：D [设椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 1，运行中的航天员为P ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －cd 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，神秘信号传导的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.故选D.]12．(导学号14577750)(文科)(2018·一模)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：A [设P (x 0，y 0)，则|x 0|＜a ，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→·PF 2→＜0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＜0，即有c 2＞x 20＋y 20有解，即c 2＞(x 20＋y 20)min .又y 2＝b 2－b 2a 2x 20，∴x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2，x 20∈[b 2，a 2)，即(x 20＋y 20)min ＝b 2，∴c 2＞b 2，c 2＞a 2－c 2，∴c 2a 2＞12，即e ＞22.又0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.故选A.]12．(导学号14577751)(理科)(2018·模拟)已知点F ，A 是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左焦点和上顶点，若点P 是椭圆C 上一动点，则△PAF 周长的最大值为 ________ .解析：椭圆C ：x 216＋y 212＝1，a ＝4，b ＝22，c ＝2，则其左焦点F (－2,0)，右焦点F 2(－2,0)和上顶点A (0,22)．由椭圆的定义|PF |＋|PF 2|＝2a ＝8，|AF |＋|AF 2|＝2a ＝8，∴△PAF 周长l ＝|AF |＋|PF |＋|PA |≤|AF |＋|PF |＋|PF 2|＋|AF 2|＝4a ＝16，当且仅当AP 过F 2时△PAF 周长取最大值，∴△PAF 周长的最大值16.答案：1613．(导学号14577752)(2018·一模)已知A 、B 、F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q ＞0，则椭圆的离心率的取值范围为 ________ .解析：如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b22b ＝q .∵p ＋q ＞0，∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b ＞0，化为b ＞1－b 2.又0＜b ＜1，解得22＜b ＜1. ∴e ＝c ac ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 14．(导学号14577753)(理科)(2018·二模)已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数． (1)求椭圆C 的方程；(2)设动点M 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值．解：(1)∵双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a ＝6，e 双曲线＝65，e 椭圆＝56＝ca， ∴c ＝5，b ＝6－5＝1， ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1. (2)当直线MN 的斜率为0时，由|MN |＝433，得M ⎝⎛⎭⎪⎫233，y ，所以y ＝73，所以直线MN 在y 轴上的截距为73. 当直线MN 的斜率不存时，与y 轴无焦点． 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 26＋y 2＝1，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－12km 1＋6k 2，x 1x 2＝6m 2－61＋6k2Δ＝(12km )2－4(1＋6k 2)(6m 2－6)＞0，Δ＝144k 2－24m 2＋24＞0，∴m 2＜6k 2＋1， |MN |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝433，∴ ＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－4×6m 2－61＋6k 2＝433，整理，得m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9， ∴m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＜6k 2＋1， 整理，得36k 4＋12k 2＋1＞0，即6k 2＋1＞0，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＝－k 2＋2＋k 2＋－50k 2＋.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则f (t )＝－2t －509t ＋253，t ＞1，求导f ′(t )＝－2＋509t2.令f ′(t )＞0，解得1＜t ＜53；令f ′(t )＜0，解得t ＞53，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞单调递减， ∴当t ＝53时，f (t )取最大值，最大值为53，∴m 的最大值为53，综上可知：m 的最大值为53.14．(导学号14577754)(文科)(2018·一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33.其右顶点与上顶点的距离为5，过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，当QM ⊥AB 时，求直线l 的方程． 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，其右顶点与上顶点的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33a 2＋b 2＝5a 2＝b 2＋c2，解得a ＝3，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM ⊥AB ，∴方程为x ＝0. ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 23＋y22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝72k 2－48＞0，x 1＋x 2＝－12k 2＋3k2.11 / 11设M (x 0，y 0)，则x 0＝－6k 2＋3k 2，y 0＝k ·－6k 2＋3k 2＋2＝42＋3k 2. 由QM ⊥AB ，知y 0x 0－25·k ＝－1，化简得3k 2＋5k ＋2＝0， 解得k ＝－1或k ＝－23，将结果代入Δ＝72k 2－48＞0验证，舍掉k ＝－23， 此时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或x ＋y －2＝0.。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 理
答案 B 因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a,因为P(5,2),F1(-6,0),F2 (6,0),所以|PF2|= 5 ,|PF1|=5 5 ,所以2a=6 5 ,a=3 5 ,又c=6,所以b2=9,所以 b=3,2b=6.
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短
1)(3m2
4) 3k
6k 2m2 2 1
(3k
2
1)m2
=
4m2 4k 3k 2
2
1
4
= 4(k 2 1) 4k 2 4 =0. 3k 2 1
所以OA⊥OB.
综上所述,总有OA⊥OB成立.
(3)因为直线AB与圆O相切,所以圆O的半径即为△OAB的AB边上的高, 当l的斜率不存在时,由(2)可知|AB|=2, 则S△OAB=1. 当l的斜率存在时,由(2)可知,
ka
kO (caE的ac)中,所点以为 12N=,aa则 Ncc ,即0, ka2a=,3由c,于所B以,Me=,13N .三故点选共A.线,所以kBN=kBM,即
2 =
a
方法技巧 求椭圆离心率的常用方法 (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.
∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
考点三 直线与椭圆的位置关系
典例3 已知圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C:x2+3y2=4相交于A,B两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)求证:OA⊥OB; (3)求△OAB面积的最大值.
2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第5节 椭圆练习 新人教A版
第八章 第5节 椭圆[基础对点组]1．(导学号14577739)(2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.2．(导学号14577740)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：C [若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.]3．(导学号14577741)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32解析：B [如图，连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8.由题意知|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.]4．(导学号14577742)(2018·玉林市一模)如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)，一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.15 B.154C.265D.14解析：B [不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝20－4b ＝2，解得a ＝8，b ＝2，∴c ＝64－4＝215，∴该椭圆的离心率为e ＝c a ＝2158＝154.故选B.]5．(导学号14577743)(2018·郑州市三模)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655 C.855D.455解析：C [设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.∵|MF ′|＋|NF ′|≥|MN |，∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得△FMN 的周长的最大值＝4a ＝45，c ＝5－4＝1.把c ＝1代入椭圆标准方程得15＋y 24＝1，解得y ＝±45，∴此时△FMN 的面积S ＝12×2×2×45＝855.故选C.] 6．(导学号14577744)(2018·中卫市二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C 的标准方程是 ________ .解析：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上任意一点M 到两个焦点的距离和是4，焦距是2，则有2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．(导学号14577745)(2018·西安市一模)已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝ ________ .解析：由椭圆x 225＋y 216＝1，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝8，焦距2c ＝6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．三角形ABC 中，a ＝|BC |，b ＝|AC |，c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c 2R ，5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：38．(导学号14577746)(2018·绵阳市诊断)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为 ________ .解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6. 答案：69．(导学号14577747)(2018·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 10．(导学号14577748)(2018·深圳市一模)已成椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点分别为A 1、A 2，上下顶点分别为B 1、B 2，左右焦点分别为F 1、F 2，其中长轴长为4，且圆O ：x 2＋y 2＝127为菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆． (1)求椭圆C 的方程；(2)点N (n,0)为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点F 2在l 上的射影为H ，若△F 1HN 的面积不小于316n 2，求n 的取值范围．解：(1)由题意知2a ＝4，所以a ＝2，所以A 1(－2,0)，A 2(2,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )， 则直线A 2B 2的方程为x 2＋yb ＝1，即bx ＋2y －2b ＝0，所以|－2b |4＋b2＝127，解得b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，m ≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n 3x 2＋4y 2＝12，消去x 得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3(n 2－4)＝0.由直线l 与椭圆C 相切，得Δ＝(6mn )2－4×3×(3m 2＋4)(n 2－4)＝0， 化简得3m 2－n 2＋4＝0.设点H (mt ＋n ，t )，由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则t －0mt ＋n －1·1m＝－1，解得t ＝－m n －11＋m2， 所以△F 1HN 的面积S △F 1HN ＝12(n ＋1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m n －11＋m 2＝12|m n 2－1|1＋m 2，代入3m 2－n 2＋4＝0，消去n 化简得S △F 1HN ＝32|m |，所以32|m |≥316n 2＝316(3m 2＋4)，解得23≤|m |≤2，即49≤m 2≤4，从而49≤n 2－43≤4，又n ＞0，所以433≤n ≤4，故n 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤433，4.[能力提升组]11．(导学号14577749)(2018·怀化市四模)神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人的航天梦想，某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示，假设航天员到地球最近距离为d 1，到地球最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后，地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2解析：D [设椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 1，运行中的航天员为P ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －cd 2＋R ＝a ＋c，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，神秘信号传导的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.故选D.]12．(导学号14577750)(文科)(2018·广州市一模)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：A [设P (x 0，y 0)，则|x 0|＜a ，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→·PF 2→＜0有解，即(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝(－c －x 0)(c －x 0)＋y 20＜0，即有c 2＞x 20＋y 20有解，即c 2＞(x 20＋y 20)min .又y 2＝b 2－b 2a 2x 20，∴x 20＋y 20＝b 2＋c 2a2，x 20∈[b 2，a 2)，即(x 20＋y 20)min ＝b 2，∴c 2＞b 2，c 2＞a 2－c 2，∴c 2a 2＞12，即e ＞22.又0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.故选A.]12．(导学号14577751)(理科)(2018·泰州市模拟)已知点F ，A 是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的左焦点和上顶点，若点P 是椭圆C 上一动点，则△PAF 周长的最大值为 ________ .解析：椭圆C ：x 216＋y 212＝1，a ＝4，b ＝22，c ＝2，则其左焦点F (－2,0)，右焦点F 2(－2,0)和上顶点A (0,22)．由椭圆的定义|PF |＋|PF 2|＝2a ＝8，|AF |＋|AF 2|＝2a ＝8，∴△PAF 周长l ＝|AF |＋|PF |＋|PA |≤|AF |＋|PF |＋|PF 2|＋|AF 2|＝4a ＝16，当且仅当AP 过F 2时△PAF 周长取最大值，∴△PAF 周长的最大值16.答案：1613．(导学号14577752)(2018·张家界市一模)已知A 、B 、F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q ＞0，则椭圆的离心率的取值范围为 ________ .解析：如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b22b ＝q .∵p ＋q ＞0，∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b＞0，化为b ＞1－b 2.又0＜b ＜1，解得22＜b ＜1. ∴e ＝c ac ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 14．(导学号14577753)(理科)(2018·广州市二模)已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数． (1)求椭圆C 的方程；(2)设动点M 在椭圆C 上，且|MN |＝433，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值．解：(1)∵双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a ＝6，e 双曲线＝65，e 椭圆＝56＝ca， ∴c ＝5，b ＝6－5＝1， ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 2＝1. (2)当直线MN 的斜率为0时，由|MN |＝433，得M ⎝⎛⎭⎪⎫233，y ，所以y ＝73，所以直线MN 在y 轴上的截距为73. 当直线MN 的斜率不存时，与y 轴无焦点． 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 26＋y 2＝1，得(1＋6k 2)x 2＋12kmx ＋6m 2－6＝0，x 1＋x 2＝－12km 1＋6k 2，x 1x 2＝6m 2－61＋6k2Δ＝(12km )2－4(1＋6k 2)(6m 2－6)＞0，Δ＝144k 2－24m 2＋24＞0，∴m 2＜6k 2＋1，|MN |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝433，∴ 1＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12km 1＋6k 22－4×6m 2－61＋6k 2＝433，整理，得m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9， ∴m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＜6k 2＋1， 整理，得36k 4＋12k 2＋1＞0，即6k 2＋1＞0，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则m 2＝39k 2－18k 4＋79k 2＋9＝－18k 2＋12＋75k 2＋1－509k 2＋1.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则f (t )＝－2t －509t ＋253，t ＞1，求导f ′(t )＝－2＋509t 2.令f ′(t )＞0，解得1＜t ＜53；令f ′(t )＜0，解得t ＞53，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞单调递减， ∴当t ＝53时，f (t )取最大值，最大值为53，∴m 的最大值为53，综上可知：m 的最大值为53.14．(导学号14577754)(文科)(2018·深圳市一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33.其右顶点与上顶点的距离为5，过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，当QM ⊥AB 时，求直线l 的方程． 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，其右顶点与上顶点的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33a 2＋b 2＝5a 2＝b 2＋c2，解得a ＝3，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM ⊥AB ，∴方程为x ＝0. ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 23＋y22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝72k 2－48＞0，x 1＋x 2＝－12k 2＋3k2. 设M (x 0，y 0)，则x 0＝－6k 2＋3k 2，y 0＝k ·－6k 2＋3k 2＋2＝42＋3k 2.由QM ⊥AB ，知y 0x 0－25·k ＝－1，化简得3k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－1或k ＝－23，将结果代入Δ＝72k 2－48＞0验证，舍掉k ＝－23，此时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或x ＋y －2＝0.。
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)
2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。
当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。
椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。
椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
高考数学一轮复习 7.5椭圆(一)练习 理-人教版高三全册数学试题
第五节 椭 圆 (一)基础回顾 一、椭圆的定义平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长2a ()2a>||F 1F 2的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P||PF 1|＋|PF 2|＝2a ，2a ＞|F 1F 2|}是椭圆．其中两定点F 1，F 2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a ＝||F 1F 2时，点的轨迹为线段F 1F 2，2a<||F 1F 2时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)；焦点在y 轴上：y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)．三、椭圆的标准方程、性质标准方程x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0) y 2a 2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形中心 (0，0)(0，0)焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) F 1(0，－c)，F 2(0，c) 顶点 (±a，0)，(0，±b)(±b，0)，(0，±a)轴长 长轴|A 1A 2|的长2a ，短轴|B 1B 2|的长2b ，|B 2O|＝b ，|OF 2|＝c ，|B 2F 2|＝a离心率 e ＝ca(0<e<1) X 围 |x|≤a，|y|≤b|y|≤a ，|x|≤b对称性 对称轴方程为x ＝0，y ＝0；对称中心为O(0，0)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2－b 2基础自测1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为(A ) A.32B.34 C.22D.23解析：先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.所以离心率e ＝c a ＝32.故选A.2．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(A )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y236＝1 解析：依题意知，2a ＝18，∴a ＝9，2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为x 281＋y272＝1.故选A.3．(2013·某某模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为6．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝1．解析：方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k ＝1，a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k －1＝2，解得k ＝1.品味高考1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为(D )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y29＝1 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2， ⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2，又k AB ＝0＋13－1＝12，b 2a 2＝12，又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆方程为x 218＋y29＝1，故选D.2．如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.解析： (1)设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P＝54y.∵点P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625（x 1－x 2）2＝4125×41＝415.高考测验1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF 1|的最大值为15．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM|＋|PF 1|＝10＋|PM|－|PF 2|.易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM|－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM|＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋（6－3）2＋42＝15.2．设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F(3，0)，长轴长为4.(1)求C 的方程；(2)点P 是圆x 2＋y 2＝b 2上第一象限内的任意一点，过P 作圆的切线交椭圆C 于Q(x 1，y 1)，R(x 2，y 2)(y 1＞y 2)两点．①证明：|PQ|＋|FQ|＝2； ②求|QR|的最大值．(1)解析：由题得a ＝2，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1.代入得x 24＋y 2＝1.(2)①证明：∵Q(x 1，y 1)在椭圆上，∴x 214＋y 21＝1，则|QF|＝（x 1－3）2＋y 21＝（2－32x 1）2＝2－32x 1. |PQ|＝OQ 2－OP 2＝x 21＋y 21－1 ＝x 21＋1－x 214－1＝32x 1.∴|PQ|＋|FQ|＝2.②解析：方法一 由①同理得|PR|＋|FR|＝2， 则|QR|＋|QF|＋|FR|＝4.又|QR|≤|QF|＋|FR|⇒2|QR|≤4⇒|QR|≤2. ∴当QR 过点F 时取最大值2.方法二 设切线为y ＝kx ＋m ，m>0，由题QR 与圆相切得|m|k 2＋1＝1，m 2＝k 2＋1.再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，由①同理可求|PR|＝32x 2， ∴|RQ|＝32(x 1＋x 2)＝43·|k|m 1＋4k 2＝43·|k|m m 2＋3k2. 又m 2＋3k 2≥23m|k|，|QR|≤43×123＝2，当m ＝－3k 时，取最大值2.∴|QR|的最大值为2.课时作业1．(2013·海淀模拟)2<m<6是方程x 2m －2＋y26－m ＝1表示椭圆的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，所以2<m<6且m≠4. 故2<m<6是x 2m －2＋y26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．故选B.2．已知椭圆x 24＋y 2＝1，F 1，F 2为其两焦点，P 为椭圆上任一点．则|PF 1|·|PF 2|的最大值为(B )A ．6B ．4C ．2D ．8解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ＝4，|PF 1|·|PF 2|＝mn≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．故选B.3．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是(B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM 是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．故选B.4．已知椭圆x 216＋y29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，P 为直角顶点，则点P 到x 轴的距离为(C )A.95 B ．3 C.977 D.94解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4×7，∴|PF 1||PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12×18＝12×27×h(其中h 为P 到x 轴的距离)，∴h ＝977.故选C.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，求点P 的横坐标为(D )A ．1 B.83 C ．2 2 D.263解析：∵c＝a 2－b 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设P(x ，y)， ∵PF 1⊥PF 2， ∴PF 1→·PF 2→＝0.即(－3－x ，－y)(3－x ，－y)＝0，∴x 2＋y 2－3＝0. 又∵x 24＋y 2＝1，∴x 2＋(1－x24)－3＝0，解得x ＝±263，∵x ＞0，∴x ＝263.6．与椭圆x 29＋y 24＝1共焦点，且过M(3，－2)的椭圆方程为x 215＋y210＝1．解析：∵c 2＝9－4＝5，∴设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，代入(3，－2)得a 2＝15或a 2＝3(舍去)．∴所求方程为x 215＋y210＝1.7．椭圆x 225＋y216＝1的焦点为F 1，F 2，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么|PF 1|的值是345．解析：设P(－3，y)，则（－3）225＋y216＝1，解得y ＝±165，∴|PF 2|＝165.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|＝10－165＝345.8．如图，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝θ，则△PF 1F 2的面积等于b 2tan_θ2．解析：在△PF 1F 2中，由余弦定理得：2|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|2＝(2a)2－2|PF 1|·|PF 2|－(2c)2(其中c 2＝a 2－b 2)．所以|PF 1|·|PF 2|·(1＋cos θ)＝2b 2， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝12·2b 21＋cos θ·sin θ＝b 2tan θ2. 9．(2013·卷)已知A 、B 、C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解析：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32，所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k≠0，m ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形.10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点P(3，1)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1P →·F 2P→＝－6.(1)求椭圆E 的方程； (2)若M ，N 是直线x ＝5上的两个动点，且F 1M⊥F 2N ，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．解析：(1)设点F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)(c>0)，则F 1P →＝(3＋c ，1)，F 2P →＝(3－c ，1)，故F 1P →·F 2P →＝(3＋c)(3－c)＋1＝10－c 2＝－6，可得c ＝4，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（3＋4）2＋12＋（3－4）2＋12＝62，故a ＝32，b 2＝a 2－c 2＝18－16＝2，所以椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.(2)设M ，N 的坐标分别为(5，m)，(5，n)，则F 1M →＝(9，m)，F 2N →＝(1，n)， 又F 1M →⊥F 2N →，可得F 1M →·F 2N →＝9＋mn ＝0，即mn ＝－9，又圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m ＋n 2，半径为|m －n|2，故圆C 的方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m －n|22， 即(x －5)2＋y 2－(m ＋n)y ＋mn ＝0，也就是(x －5)2＋y 2－(m ＋n)y －9＝0， 令y ＝0，可得x ＝8或2，故圆C 必过定点(8，0)和(2，0)．。
2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时作业201807203226
第五节 椭圆课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B. 答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D ．x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B ．55C.14D ．5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12.答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B ．22C ．1D ． 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥2 2－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2， ∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b2＝1.解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ，∴a 2－c 2＝36ac . ∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b . 令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0. 直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b . 令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →.(1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意． 则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47， 可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0.则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6) B ．(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x a2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22) D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是该椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0， 解得e >2－1，又e <1， ∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝c a ， 所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k 2k ＋122k ＋12－22k －12＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第五节椭圆习题理
2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何第五节椭圆习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.k>1C.k>0D.无法确定1.A【解析】将方程x2+ky2=2化为标准方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则>2,解得0<k<1,即实数k的取值范围是(0,1).2.已知椭圆=1的上焦点为F,直线x+y+1=0和x+y-1=0与椭圆相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=()A.2B.4C.4D.82.D【解析】如图,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,由椭圆的对称性可知,四边形DFBF1(其中F1为椭圆的下焦点)为平行四边形,∴BF1=DF,同理CF1=AF,∴AF+BF+CF+DF=CF1+BF+CF+BF1=4a=8.3.已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3.C【解析】因为直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点分别是(4,0)和(0,-2),由椭圆性质可知a=4,b=2,所以c==2,所以该椭圆的离心率为e=.4.直线y=-x与椭圆C: =1(a>b>0)交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为()A.B. -1 C. -1 D.4.B【解析】如图所示,设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则OF2=OA=OB=OF1=c,∠AF2B=,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=,所以AF2=c,AF1=c,由椭圆定义得c+c=2a,故离心率e=-1.5.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为()A.B.-C.D.-5.D【解析】设点M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1),则y2=b2-=b2-,所以k1·k2==--1=e2-1=-,即k1·k2的值为-.二、填空题(每小题5分,共20分)6,则该椭圆的离心率是.6.【解析】由椭圆的2c,2b,2a构成等差数列得2b=c+a,则4b2=4(a2-c2)=c2+2ac+a2,化简得5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0,且椭圆的离心率e∈(0,1),故e=.7=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.7.4或8【解析】由椭圆的焦距为4得c=2,当2<a<6时,椭圆焦点在x轴上,则10-a-(a-2)=4,解得a=4;当a>6时,椭圆焦点在y轴上,则a-2-(10-a)=4,解得a=8.故a=4或8.8P与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形,则椭圆的离心率为.8.【解析】设椭圆的两个焦点分别为点F1和F2,若以F1F2为底边,则点P在短轴的一个端点上,则e1==sin 60°=;若以F1F2为一条腰,则PF1=2c,PF2=2c,由椭圆定义可得PF1+PF2=2c+2c=2a,此时离心率e2=.9.已知点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值是.9.6【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有=1,解得=3,因为=(x0+1,y0), =(x0,y0),所以=x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+3+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.三、解答题(共20分)10.(10分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.10.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代入得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1,又a=3b,代入得b2=9,a2=81,故椭圆的方程为=1.综上,椭圆的标准方程为+y2=1或=1.11.(10分)已知直线l:y=kx+2(k为常数),过椭圆=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F 的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d.(1)若d=2,求k的值;(2)若d≥,求椭圆离心率e的取值范围.11.【解析】(1)取弦的中点为M,连接OM,由平面几何知识得OM=1,再由点到直线的距离公式得OM==1,解得k2=3,k=±,又直线过点F,B,则k>0,则k=.(2)设弦的中点为M,连接OM,则OM2=,所以d2=4,解得k2≥,所以e2=,则0<e≤,所以椭圆离心率e的取值范围是.[高考冲关]1.(5分A1,A2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.1.C【解析】设点P(x,y),则=->-,所以离心率e=,又椭圆离心率e<1,所以该椭圆离心率的取值范围是.2.(5分)设椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2) () A.在圆x2+y2=2内B.在圆x2+y2=2上C.在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能2.A【解析】由题意可得a=2c,b=c,所以方程ax2+bx-c=0,即为2x2+x-1=0,方程的两根分别为x1,x2,所以x1+x2=-,x1x2=-,则=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2,故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.3.(5分C: =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,点O为坐标原点,线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P,设直线PA,PB,PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,k3,k4,若k1·k2=-,则k3·k4=()A.B.-C.-D.-43.C【解析】由题意可得P,A(-a,0),B(a,0),则k1k2=-=-,则a=2b,即c=b,则k3k4==-.4.(5分C: =1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点M,过点M引圆O的两条切线,切点分别为E,F,使得△MEF为正三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.4.C【解析】连接OE,OF,OM,由题意可得在直角三角形OEM中,OE=b,∠OME=30°,则OM=2b,即椭圆上存在点M到中心O的距离为2b,则2b≤a,即4b2=4(a2-c2)≤a2, a≤2c,所以离心率e=,又椭圆离心率e∈(0,1),则≤e<1.5.(5分)已知椭圆C: =1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的两焦点的对称点分别为P,Q,线段MN的中点在C上,则|PN|+|QN|=.5.16【解析】设线段MN的中点为A,则AF1是△MPN的中位线,AF2是△MQN的中位线,所以|AF1|=|PN|,|AF2|=|QN|.由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=8,所以|PN|+|QN|=16.6.(10分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为=1(a>0,b>0),且可知左焦点为F'(-2,0),∴c=2,2a=|AF|+|AF'|=8,解得a=4,∴b2=a2-c2=12,∴椭圆C的方程为=1.(2)假设存在适合题意的直线l,设其方程为y=x+t,联立得3x2+3tx+t2-12=0,∵直线l与椭圆C有公共点,∴Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-4≤t≤4.又由直线OA与直线l的距离等于4,可得=4,解得t=±2∉[-4,4],故舍去,∴不存在符合条件的直线l.7.(10分xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E: =1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B 两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求的值;②求△ABQ面积的最大值.7.【解析】(1)由题意知2a=4,则a=2.又,a2-c2=b2,可得b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为=1.①设P(x0,y0), =λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为=1,又=1,即=1,所以λ=2,即=2.②设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2. ②由①②可知0<t≤1,因此S=2=2.故S≤2.当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,取得最大值2.由①知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.。
高考文科数学练习题含解析椭圆
课时跟踪检测（四十九） 椭圆[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m ＜n ＜0，∴0＜－n ＜－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1. 3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12. 5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1 B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1 解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.故选C.6．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 解析：选C 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D 曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D. 2．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：选C ∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8，故选C.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆D ：x 2＋y 2－2ax ＋316a 2＝0交于A ，B 两点，若四边形OADB (O 为原点)是菱形，则椭圆C 的离心率为( )A.13 B.12 C.32D.62解析：选B 由已知可得圆D ：(x －a )2＋y 2＝1316a 2，圆心D (a ，0)，则菱形OADB 对角线的交点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，将x ＝a 2代入圆D 的方程得y ＝±3a4，不妨设点A 在x 轴上方，即A ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 4，代入椭圆C 的方程可得14＋9a 216b 2＝1，所以34a 2＝b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2c ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 26＋y 23＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选C 由题意知双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为22，所以点(2，2)在椭圆上，所以2a 2＋2b2＝1.①又椭圆的离心率为22， 所以a 2－b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2.②由①②得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.故选C.7．(2019·安阳模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.6－32 C.6－ 5D.6－52解析：选A 以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则， 由PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP ―→|＝|OF 1―→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－ 3.故选A.8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|PA |＋|PB |＝4＋|PA |－|PC |≤4＋|AC |＝5.9．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．10．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1 B.⎣⎡⎦⎤33，22C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选B 设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )．所以PF 1―→·PF 2―→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1―→·PF 2―→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2. 所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. 11．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．解析：当k ＞4 时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365. 答案：209或36512．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac ＜0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：∵c 2－b 2＋ac ＜0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac ＜0，即2c 2－a 2＋ac ＜0，∴2c 2a 2－1＋c a ＜0，即2e 2＋e －1＜0，解得－1＜e ＜12.又∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 13.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，114．(2019·辽宁联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，所以焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．∵|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号， ∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |－|PF 2|)max ＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，此时得|PM |＋|PF 1|的最大值，为10＋5＝15.答案：1515．(2019·武汉调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a 2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝23＝63.16．(2019·广东七校联考)已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )＞0，则k ＞0或k ＜－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)4k (k －2)2k 2－8k＝4.当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142.所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.。
第8章 第5节 第1课时 椭圆及其性质-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
A．13
B．12
C．
2 2
D．2 3 2
解析 不妨设 a>0.因为椭圆 C 的一个焦点为(2，0)，
所以焦点在 x 轴上，且 c＝2， 所以 a2＝4＋4＝8，所以 a＝2 2，所以椭圆 C 的离心
率
e＝ac＝
2 2.
5．已知点
F1，F2
分别为椭圆
C：x2＋y2＝1 43
的左、右焦
点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠F1PF2＝60°，则
解析 由 AM＝1，可知点 M 的轨迹为以 A(5，0)为圆心， l 为半径的圆过 P 作该圆的切线 PM，M 为切点，则|PM|2＋ |AM|2＝|PA|2，|PM|2＝|PA|2－1.要使|PM|最小，则|PA|应最小．
由图可知，当点 P 为椭圆右顶点时，|PA|＝a－c＝3 时 取最小值，|PM|＝ 32－1＝2 2.
(4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
( ×)
(5)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．
(√ )
◇教材改编
2．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶
点，则该椭圆的标准方程为( C )
A．x2＋y2＝1 5
B．x2＋y2＝1 45
C．x2＋y2＝1 或x2＋y2＝1
离心 性质
率
c
e＝__a__且 e∈(0，1)
a，b，c 的 关系
c2＝a2－b2
教材拓展
与椭圆定义有关的结论
以椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－ c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则
2019年《·高考总复习》数学：第七章 第5讲 椭 圆
范围
性 质
对称性பைடு நூலகம்
顶点
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
4
(续表)
准方程、新课标Ⅲ第11题考查离心率
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
2
1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1 ，F2 的距离之和等于常数 2a( 大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数.
第5讲 椭 圆
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
1
考纲要求
考点分布
考情风向标
2011年新课标第4题考查椭圆的概念及
离心率的计算；
椭圆作为解析几何知识的
1.掌握椭圆的定 2012年新课标第4题以求椭圆的离心率 一个重点，每年都是高考
义、几何图形、 为背景，考查椭圆的几何性质；
重点考查的内容.主要考
2.理解数形结合 2015年新课标Ⅰ第5题以求线段长度为 学思想方法——函数与方
的思想.
背景，考查椭圆、抛物线的几何性质；程、数形结合、转化与化
3.了解椭圆的简 2016年新课标Ⅰ第5题考查椭圆的概念 归 等.考查解析几何的本
单应用
及离心率的计算；
2019版高考数学(文)第8章 平面解析几何 第5讲椭圆 Word版含答案
第讲椭圆
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点椭圆的概念
在平面内到两定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合＝{＋＝}，＝，其中>，>，且，为常数：
()若>，则集合为椭圆；
()若＝，则集合为线段；
()若<，则集合为空集．
考点椭圆的标准方程和几何性质
[必会结论]
椭圆的常用性质
()设椭圆＋＝(>>)上任意一点(，)，则当＝时，有最小值，点在短轴端点处；当＝±时，有最大值，点在长轴端点处．
()椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中为斜边，＝＋.
()已知过焦点的弦，则△的周长为.
()过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.
()椭圆离心率＝.
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)。
2019版高考数学(文)一轮复习教师用书：第八章 第五节 椭 圆 Word版含答案
第五节椭__圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x∈[－a，a]，y∈[－b，x∈[－b，b]，1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√2．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选C △F 1AB 的周长为 |F 1A |＋|F 1B |＋|AB |＝|F 1A |＋|F 2A |＋|F 1B |＋|F 2B | ＝2a ＋2a ＝4a .在椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，a ＝5，∴△F 1AB 的周长为4a ＝20，故选C.3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4. 答案：(3,4)∪(4,5)4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．解析：当k ＞4 时，有e ＝1－4k ＝23，解得k ＝365；当0＜k ＜4时，有e ＝ 1－k4＝23，解得k ＝209.故实数k 的值为209或365. 答案：209或3655．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．。
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第五节 椭圆A 组 2019高考针对性练习之基础题型1.已知方程x 22-k +y 22k -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A.(12,2)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(12,1)2.椭圆x 225+y 29=1上一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,则|ON|等于( ) A.2B.4C.8D.323.设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 1的中点在y 轴上,若∠PF 1F 2=30°,则椭圆C 的离心率为( ) A.√33B.√36C.13D.164.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=15.已知椭圆C:x 24+y 23=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点,则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.√32B.3√32C.94D.1546.直线x-2y+2=0过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1和一个顶点B,则椭圆的方程为 . 7.如图,椭圆x 2a2+y 22=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|=4,∠F 1PF 2=120°,则a 的值为 .8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(43,13),且BF2=√2,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.B 组 提升题组10.已知椭圆E:x 2a2+B 组 2019高B 组 2019高考针对性练习之提高题型提高题型 (a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0,√32] B.(0,34] C.[√32,1)D.[34,1)11.已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为√2-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+√2=0相切,则椭圆C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1B.x 24+y 22=1C.x 22+y 2=1D.x 26+y 22=112.已知椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率等于13,其焦点分别为A,B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中,sinA+sinB sinC的值等于 .13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A 1,A 2,B 1,B 2,焦点分别为F 1,F 2,延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点,若∠B 1PA 2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 .14.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O 到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c. (1)求椭圆E 的离心率;(2)如图,AB 是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A,B 两点,求椭圆E 的方程.答案全解全析 A 组 基础题组1.C ∵方程x 22-k +y 22k -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴{A 组 2019高考针对性练习之基础题型解得{k <2,k >12,k >1,故k的取值范围为(1,2).2.B 设椭圆的另一个焦点为F 2.如图,连接MF 2,已知|MF 1|=2,又|MF 1|+|MF 2|=10, ∴|MF 2|=10-|MF 1|=8.由题意知|ON|=12|MF 2|=4.故选B.3.A 如图,设PF 1的中点为M,连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点,所以OM 为△PF 1F 2的中位线. 所以OM ∥PF 2,所以∠PF 2F 1=∠MOF 1=90°. 因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2|PF 2|.由勾股定理得|F 1F 2|=√|PF 1|2-|PF 2|2=√3|PF 2|, 由椭圆定义得2a=|PF 1|+|PF 2|=3|PF 2|⇒a=3|PF 2|2,2c=|F 1F 2|=√3|PF 2|⇒c=√3|PF 2|2, 则e=c a =√3|PF 2|2·23|PF 2|=√33.4.D 直线AB 的斜率k=0+13-1=12,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 12a 2+y 12b 2=1, ①x 22a2+y 22b2=1,②①-②得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2.即k=-b 2a2×2-2,∴b 2a=12. ③又a 2-b 2=c 2=9, ④由③④得a 2=18,b 2=9.∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1,故选D.5.B 由椭圆方程知c=√4-3=1,所以F 1(-1,0),F 2(1,0),因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2,所以可设A(1,y 0),代入椭圆方程可得y 02=94,所以y 0=±32.设P(x 1,y 1),则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y 0),所以F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1y 0,因为点P 是椭圆C 上的动点,所以-√3≤y 1≤√3,故F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3√32,选B.6.答案x 25+y 2=1解析 直线x-2y+2=0与x 轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y 轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1. 所以a 2=b 2+c 2=5,所以椭圆的方程为x 25+y 2=1.7.答案 3解析 由题意知|F 1F 2|=2√a 2-2,因为|PF 1|=4,|PF 1|+|PF 2|=2a,所以|PF 2|=2a-4,在△F 1PF 2中,由余弦定理得cos 120°=42+(2a -4)2-(2√a 2-2)22×4×(2a -4)=-12,化简得8a=24,即a=3.8.解析 设椭圆的焦距为2c,则F 1(-c,0),F 2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF 2=√b 2+c 2=a. 又BF 2=√2,故a=√2. 因为点C (43,13)在椭圆上,所以169a 2+19b 2=1,解得b 2=1. 故所求椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)因为B(0,b),F 2(c,0)在直线AB 上, 所以直线AB 的方程为x c +yb=1.解方程组{xc+yb =1,x 2a 2+y 2b 2=1, 得{x 1=2a 2ca 2+c 2,y 1=b(c 2-a 2)a 2+c2,{x 2=0,y 2=b.所以点A 的坐标为(2a 2ca 2+c 2,b(c 2-a 2)a 2+c 2).又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为(2a 2ca 2+c 2,b(a 2-c 2)a 2+c 2).因为直线F 1C 的斜率为b(a 2-c 2)a 2+c 2-02a 2ca 2+c 2-(-c)=b(a 2-c 2)3a 2c+c 3,直线AB 的斜率为-bc ,且F 1C ⊥AB,所以b(a 2-c 2)3a 2c+c 3·(-bc )=-1.结合b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2.故e 2=15.因此e=√55.9.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a ),∴b 2ac -(-c)=34,即2b 2=3ac. 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac,解得c a =12或ca =-2(舍去). 故C 的离心率为12.(2)由题意,得原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a=4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|. 设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0, 则{2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=-32c,y 1=-1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 将①及c=√a 2-b 2代入②得9(a 2-4a)4a 2+14a =1.解得a=7,b 2=4a=28,故a=7,b=2√7.B 组 提升题组10.A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B 两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l 的距离不小于45,得4bB 组 2019高考针对性练习之提高题型≥45,即b ≥1B 组 2019高考针对性练习之提高题型=a 2-b 2a 2=4-b 24≤34,又0<e<1,所以e ∈(0,√32],故选A.11.C 由题意知a-c=√2-1①,b=√2√1+1=1,所以a 2-c 2=1②,联立①②解得{a =√2,c =1,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.故选C.12.答案 3解析 在△ABC 中,由正弦定理得sinA+sinB sinC=|CB|+|CA||AB|,因为点C 在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sinA+sinB sinC=2a 2c =1e =3.13.答案 (√5-12,1) 解析 设椭圆的方程为x 2a 2+y2b 2=1(a>b>0),∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b 2<ac,即a 2-c 2<ac,故(c a)2+ca -1>0,即e 2+e-1>0,解得e>√5-12或e<-√5-12,又0<e<1,∴√5-12<e<1. 14.解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O 到该直线的距离d=√b 2+c2=bca, 由d=12c,得a=2b=2√a 2-c 2,解得离心率e=c a =√32. (2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.① 依题意,得圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|=√10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k 2)x 2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k(2k+1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k+1)2-4b 21+4k 2.由x 1+x 2=-4,得-8k(2k+1)1+4k 2=-4,解得k=12.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2|=√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.② 依题意,得点A,B 关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=√10.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得 -4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0,易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12.因此直线AB 的方程为y=12(x+2)+1, 代入②得x 2+4x+8-2b 2=0. 所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|=√1+(12)2|x 1-x 2| =√52√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√10(b 2-2).由|AB|=√10,得√10(b 2-2)=√10, 解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.。