福建省2020届高考数学押题卷试题(文理)新人教A版

2020年福建押题卷——数学（文理）
一、选择题
1.已知集合{
}{
}
2
2,0,1(2)x
M y y x N x y g x x ==>==-，则M N I 为( ). （A ）（1，2） （B ）),1(+∞ （C ）),2[+∞ （D ）),1[+∞
1.Ａ {
}{
}
2,01x
M y y x y y ==>=>，{
}{
}
2
1(2)02N x y g x x x x ==-=<<，则
{}{}{}10212M N y y x x x x =><<=<<I I
2.设i 是虚数单位，若复数z 满足32zi i =-，则z =( ).
（A ）32z i =+ （B ）23z i =- （C ）23z i =-- （D ）23z i =-+ 2.C 232(32)32
32231
i i i i zi i z i i i --+=-⇒=
===---. 3.命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为( ).
（A ）对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ （B ）对任意x R ∉，均有2250x x ≤－＋ （C ）存在x R ∈，使得2250x x >－＋ （D ）存在x R ∉，使得2250x x >－＋ 3.C 因为全称命题的否定为特称命题，所以“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为“存在x R ∈，使得2250x x >－＋”.
4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面
的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生( ).
（A ）30人，30人，30人 （B ）30人，50人，10人 （C ）20人，30人，40人 （D ）30人，45人，15人
4. D 因为三所学校共10800180054003600=++名学生，从中抽取一个容量为90人的样本，则抽取的比例为：
12011080090=，所以在甲校抽取学生数为301201
3600=⨯名，在乙校抽取学生数为4512015400=⨯
名，在丙校抽取学生为15120
1
1800=⨯名. 5.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的图象大致是( )
5.A 因为()()sin()sin sin ln ln ln sin()sin sin x x x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----+-⎛⎫⎛⎫
-====
⎪ ⎪ ⎪-+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以函数()y f x =是偶函数,其图象关y 于轴对称应排除B 、D ； 又因为当0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时,0sin x x << ,sin 01sin x x x x -<
<+,sin ln 0sin x x
x x
-<+ ，
所以选A.
6.设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2
π
ϕ<，且其图象关于直线0x =对称，
则( ).
（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为减函数
（C ）()y f x =的最小正周期为
2π，且在(0,)4π
上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4
π
上为减函数
6.B ())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6
x π
ϕ=++，∵函数的图象关于直线
0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22
T π
π==，
∵02
x π
<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.
7. 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43
π
的球体与棱
柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( ) (A)36 (B)312 (C) 318 (D) 324
7.C 此三棱柱为正三棱柱，体积为
43
π
的球体的半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是
，所以三棱柱的表面积为(2
232+⨯=.
8.已知直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题,其中正确的是( ). ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l
（A ）①③ （B ） ②③④ （C ） ②④ （D ） ①②③
8.A 因为//αβ，直线⊥l 平面α，所以直线⊥l 平面β，又因为直线m ⊂平面β，所以
l m ⊥，所以①式正确，所以可以排除选项B 、C. 若αβ⊥，直线⊥l 平面α，直线m ⊂平
面β，则l 与m 可以有平行、异面、相交三种位置关系，所以②不正确. 9.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且1321,
,22a a a 成等差数列，则91078
a a
a a +=+( ). （A
（B
）3- （C ）
3+ （D
9.C 因为1321
,
,22
a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q =+，解
得1q =
(
2
291078
13a a
q a a +==+=++
10.已知向量()()3sin ,cos 2,12sin ,1,,22ππαααα⎛⎫
==--∈
⎪
⎝
⎭
，a b 若85⋅=-，a b 则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为( ).
（A ）
17 （B ）27 （C ）17- （D ） 27
- 10.C ∵2228
sin 2sin cos 2sin 2sin (12sin )sin 15
ααααααα⋅=--=---=-=-，a b
3sin 5α∴=-,又因为3,
22ππ
α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3tan 4α=,所以tan 11tan 41tan 7πααα-⎛
⎫-==- ⎪
+⎝
⎭. 11. 如图，已知(,)P x y 为△ABC 内部（包括边界）的动点，若目标函数y kx z +=仅在点B 处取得最大值，则实数k 的取值范围是（ ）
（A ）)43
,2(- （B ）)2
1,2(-
（C ）),21()2,(+∞--∞Y （D ）),4
3()2,(+∞--∞Y
)
4,
11.B 由z kx y =+可得y kx z =-+，z 表示这条直线的纵截距，直线y kx z =-+的纵
截距越大，z 就越大，依题意有，51231BC k -=
=-，541
352
AB k -==--，要使目标函数z kx y =+仅在点B 处取得最大值，则需直线y kx z =-+的斜率处在1
(,2)2
-内，即
1
22
k -<-<，从而解得122k -<<.
12.设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin B
A
的取值范围是（ ）
（A ）(0,)+∞ （B ） 510,2⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 5151,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 51,2⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
12. C 根据,,a b c 成等比数列,有ac b =2
,则
b
c
a b A B ==sin sin , 根据三角形三边关系a c b a c +>>-,有2
2
2
()()a c b a c +>>-,
所以2
2
2
2a c ac b +-<,即2
2
2
30a c b +-<,消掉a 得2222
()30b c b c
+-<,
化简得：4
22
4
30c b c b -+<，两边同时除以4
b ，可得22
222()310c c b b
-+<，
解得22353522c b -+<<.则5151
22
c b -+<<. 13. 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的
端点在圆周上．若双曲线以A B 、为焦点，且过C D 、两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( ).
（A 3 1 （B ）3 2 （C 3 1 （D ）3 2
13.D 分别过点,C D 作AB 的垂线，垂足分别为,F E ，连结OD ,设AOD θ∠=,
则222cos ,2cos 44222cos OE OF AD BC OA OD OA OD θθθ===+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯＝221cos θ-等腰梯形ABCD 的周长44cos 421cos l θθ=++-1cos ,t θ-=则2cos 1t θ=-，所以()2
2
2441424102l t t t ⎛⎫=+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以当2
,2
t =即60θ=o 时，max 10l =, 此
时
，
222,22222cos12023AD BD ==+-⨯⨯=o ,
因为,A B 为双曲线的焦点，D 点在双曲线上，所以实轴长
2232a DB DA =-=.
14.若在区间[]1,5和[]2,6内各取一个数，分别记为a 和
b ，则方程()22
221x y a b a b
-=<5( ).
（A ）
12 （B ）1523 （C ）1732 （D ）3132
14.B 由题意知横轴为a ，纵轴为b ，建立直角坐标系，先作出满足题意的a 、b 的可行
域15,26,,
a b a b ⎧⎪
⎨⎪<⎩
剟
剟并求出其面积为232，又由双曲线的离心率小于5得15c a <<，则
02b
a
<
<，即()20,0b a a b <>>，再作出虚线2b a =，并求出其在可行域内的端点坐标分别为()1,2A 、()3,6B ，由此可求出可行域范围内满足2b a <的面积为
15
2
，所以所求概5
1
26
O
b a
B(3,6)
A(1,2)
率为15
15 2
23
23
2
p==.
15.函数()2sin()(0,)
22
f x x
ππ
ωϕωϕ
=+>-<<的图象如图所示,则AB
u u u r
·BD=
u u u r
( ).
（A）8 （B）－8 （C）
2
8
8
π
-（D）
2
8
8
π
-+
15.Ｃ由图可知，
43124
Tπππ
=-=，所以Tπ
=，故2
ω=，又由2
3
π
ϕπ
⋅+=，得
3
π
ϕ=，
从而,0
6
A
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，,2
12
B
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
7
,2
12
D
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，所以,2,,4
42
AB BD
ππ
⎛⎫⎛⎫
==-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
，
2
,2,48
428
AB BD
πππ
⎛⎫⎛⎫
⋅=⋅-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
.
16..△ABC中，角,,
A B C成等差数列是sin(3sin)cos
C A A B
=+成立的( ).
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
16.A 若,,
A B C成等差数列，则+=2
A C B，∴=60
B︒.若sin(3sin)cos
C A A B
=+，则sin()3cos sin cos
A B A B A B
+=+，
即sin cos cos sin3cos sin cos
A B A B A B A B
+=+，
∴cos sin cos A B A B =，
∴cosA 0=
或tanB ==90︒或=60B ︒.
故角,,A B C
成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的充分不必要条件. 17.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足
20'()
x
f x -≤，则必有( ). （A ）)2(2)3()1(f f f <+ （B ）)2(2)3()1(f f f ≤+ （C ）)2(2)3()1(f f f >+ （D ）)2(2)3()1(f f f ≥+
0≤，∴当2x <时，'()0f x <，则函数)(x f 在(),2-∞上单调递减，当2x >时，'()0f x >，则函数)(x f 在()2,+∞上单调递增，即函数)(x f 在2x =处取得最
小值(2)f ，∴(1)(2)f f >，(3)(2)f f >，则将两式相加得)2(2)3()1(f f f >+．
18.已知点A B C 、、
三点不共线，且有AB ⋅u u u r u ( ).
18.B 设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
由AB ⋅u u u r u
得
cos cos (2cos ac B C bc A =
=-，又由正
弦
定理
得
，
tan tan ,tan (2tan 3
C B A B =
=-+,
所以在△
ABC
中，有
tan tan 0,tan 0B C A >><，所以A B C >>
19.（文科）将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某
一个数表,计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值a
b
,称这些比值中的最小
值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”的最大值为( ). （A ）
32 （B ）4
3
（C ） 2 （D ） 3
19.A 当2n =时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当12，同行或同
列时，这个数表的“特征值”为43；当13，同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或3
2
；当14，同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或3
2
，故这些可能的“特征值”的最大值
为32
. 19.（理科）设n
x
x )15(-
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）
（A ）150- （B ）150 （C ）300 （D ）300-
19.B 各项系数和2(51)2n n M =-=，二项式系数和2n N =，
所以2222240222400(216)(215)04n n n n n n n -=⇒--=⇒-+=⇒=.
4
(5x
的展开式的通项公式为：
3444442
2
14
44(5)
((1)5(1)5r r r r r
r r r r r r r r T C x C x C x ------+==-⨯=-⨯.
由3412
r -
=得2r =，所以展开式中x 的系数为2422
4
(1)5150C --⨯=. 20.若定义在区间[]2015,2015-上的函数)(x f 满足：对于任意的[]12,2015,2015x x ∈-，都有1212()()()2014f x x f x f x +=+-，且0>x 时，有()2014f x >，)(x f 的最大值、最小值分别为N M ,，则N M +的值为( ).
（A ）2020 （B ）2020 （C ）4028 （D ）4030
20.C 令120x x ==，得(0)2014f =，再令120x x +=，将(0)2014f =代入可得
()()4028f x f x +-=.
设12x x <，[]12,2015,2015x x ∈-，则2121210,()()()2014x x f x x f x f x ->-=+--，所以21()()20142014f x f x +-->.又因为11()4028()f x f x -=-，所以可得
21()()f x f x >，所以函数()f x 是递增的，所以max min ()(2015),()(2015)f x f f x f ==-.
又因为(2015)(2015)4028f f +-=，所以N M +的值为4028. 二、填空题
21. 曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .
21.310x y -+= 21x
y xe x =++Q ，()12x y x e '∴=++，当0x =时，
()00123y e '=+⋅+=，因此曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为13y x -=，
即310x y -+=.
22.（理科）某同学参加北大、清华、科大三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为3
1
,
41,51（各学校是否录取他相互独立，允许他可以被多个学校同时录取），则此同
学至少被两所学校录取的概率为_____. 22.
6
1
记“此同学至少被两所学校录取”为事件E, 该同学被北大，清华，科大录取分别记为事件
A ，
B ，C,则
BC A C B A C AB ABC E +++=,所以
)()()()()(BC A P C B A P C AB P ABC P E P +++==
6
1. 2
2..（文科）设集合{,1},{,1,2},,{1,2,3,4,5,6,7}P x Q y x y ==∈，且P Q ⊆，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对(,)x y 所表示的点中任取一个，若该点落在圆
2222()x y R R Z +=∈内的概率为
25
，则满足要求的2
R 的最小值为 ． 22..30 当2x =时，3,4,5,6,7y =，有5种取法；当3x =时，3y =，有1种取法；当
4x =时，4y =，有1种取法；当5x =时，5y =，有1种取法；当6x =时，6y =，
有1种取法；当7x =时，7y =，有1种取法，所以共有51510+⨯=个基本事件．因为该点落在圆2
2
2
2
()x y R R Z +=∈内的概率为
2
5
，所以满足“该点落在圆内”的基本事件共有4个.由小到大依次为2
2
2
2
2
2
2
2
23,33,24,2529++++=，又2
R Z ∈，所以满足要
求的2
R 的最小值为30.
23.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上
一动点，Q 是线段DC 上一动点，,(1)DQ DC CP CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围
是 ．
23.[]0,2 建立平面直角坐标系如图所示，则()()()()0,0,2,0,1,1,0,1A B C D ．
因为,(1)DQ DC CP CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以()()2,,,1P Q λλλ-，
所以()()2,,,1AP AQ λλλ=-=u u u r u u u r
，
()()2
239
,12,324AP AQ λλλλλλ⎛⎫⋅=⋅-=-+=--+ ⎪⎝
⎭u u u r u u u r ()01λ≤≤,
所以02AP AQ ≤⋅≤u u u r u u u r
.
24.已知直线x t =交抛物线2
4y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ，使得
AC BC ⊥，则t 的取值范围为_________.
24.[4,)+∞ 由题意(,2),(,2)A t t B t t -(,2)(0)C m m m ≥由AC BC ⊥得
2220,()(22)(22)(42)40AC BC m t m t m t m t m t t ⋅=∴-+-+=+-+-=u u u r u u u r
，
解得m t =(舍)或4m t =-,由40m t =-≥得t 的取值范围为[4,)+∞. 25.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足bc a c b
=-+222
，
0AB BC ⋅>u u u r u u u r ,32a =, 则22b c +的取值范围是 .
25.35
(,)44
∵0AB BC ⋅>u u u r u u u r ,∴|||
|cos()>0AB BC B π⋅⋅-u u u r u u u r ，∴cos 0B <，∴B 为钝角， ∵bc a c b =-+2
2
2
，∴2221
cos 222b c a bc A bc bc +-=
==，∴3
A π=，
∵1sin sin sin a b c A B C ====，∴sin b B =，sin c C =，∴2222sin sin b c B C +=+， ∵
22
3
B π
π<<
，
06
C π
<<
，
∴
sin 1B <<，10sin 2
C <<，∴
2235sin sin 44
B C <+<，∴2235
44b c <+<.
26.在数列{}n a 中，11
3
a =
，n S 为数列{}n a 的前项和且(21)n n S n n a =-，则 ________.n S =
26.
21
n
n + 当1n >时，11(21)(1)(23)n n n n n a S S n n a n n a --=-=----， 即1(1)(21)(1)(23)n n n n a n n a --+=--，所以123
21
n n n a a n --=+，
所以121232325232531
212121212175
n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⨯==⨯⨯⨯⨯++-+-L L
1(21)(21)n n =
+-，所以1(21)(21)(21)(21)21
n n n
S n n a n n n n n =-=-⨯=+-+.
27.一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、
11B C 的中点.
下列结论中正确的是_________.（填上所有正确项的序号） ①
线MN 与1AC 相交；②MN BC ⊥；③MN //平面
11ACC A ；
A 1
左视图
俯视图
④三棱锥1N A BC -的体积为27.②③④ 取11A B 的中点D ，连结DM 、DN .由于M 、N 分别是所在棱的中点，所以可得11//,DN A C DN ⊄平面11A AC C ,11A C ⊂平面11A AC C ,所以//DN 平面11A AC C .同理可证//DM 平面11A AC C .又DM DN D =I ,所以平面DMN //平面11A AC C ,所以直
线MN 与1AC 相交不成立，①错误；由三视图可得11
A C ⊥平面11BCC
B .所以DN ⊥平面11BC
C B ，所以DN BC ⊥，又易知DM BC ⊥，所以BC ⊥平面DMN ，所以BC ⊥MN ，
②正确； ③正确；
所以④正确.综上，②③④正确.
28.若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 .
28.2
[,)3e +∞ 由3ln 1mx x -≥得3ln 1mx x -≥或3ln 1mx x -≤-，即3ln 1mx x ≥+或
3ln 1mx x ≤-.又(]0,1x ∈，所以3ln 1x m x +≥或3ln 1x m x
-≤.因为不等式3ln 1
mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立，所以3max ln 1x m x ⎛⎫+≥
⎪⎝⎭或3min
ln 1x m x ⎛⎫-≤ ⎪
⎝⎭. (1)令3ln 1()x f x x
+=，则326
1(ln 1)3()x x x x f x x ⋅-+⋅'=2632(1ln )
2x x x -+=. 令()0f x '=得23
1x e -=<，当23
0x e -
<<时，()0f x '>；当23
1e
x -
<≤时，()0f x '<，
所以()f x 在2
3(0,)e
-上是增函数，在23
(,1]e -是减函数，
所以223
3
max
22
323
21
l ()()(n 133)e f x e e e e f -----++====，所以23e m ≥. (2)令3
ln 1()x g x x -=，则32
6
1(ln 1)3g ()x x x x x x ⋅--⋅'=22
643ln x x x x -=，因为(]0,1x ∈，所以ln 0x ≤，所以g ()0x '>，所以g()x 在(]0,1上是增函数.易知当0x →时，
g()x →-∞，故g()x 在(]0,1上无最小值，所以3ln 1x m x
-≤在(]0,1上不能恒成立.
综上所述，23e m ≥，即实数m 的取值范围是2
[,)3
e +∞.
29.设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈，存在唯一的y D ∈，使
()()
2
f x f y C +=（C 为常数）成立。

则称函数()f x 在D 上的“均值”为C .已知四个函数：
①3
()y x x R =∈；②1
()2
x
y =()x R ∈；③ln ((0,))y x x =∈+∞；④2sin 1().y x x R =+∈
上述四个函数中，满足在定义域上的“均值”为１的函数是 ．（填上所有满足条件函数的序号）
29.①③ ①对于函数3
y x = ，定义域为R ，设x R ∈ ，由3312
x y += ，得33
2y x =- ，
所以y R =，所以函数3
y x =是定义域上“均值”为1的函数；
②对于函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，定义域为R ，设x R ∈ ,由
11221,2x y
⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=得
11222y x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当2x =-时 ，2
1222-⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭ ，不存在实数y 的值，使
122y
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，所以该函数不是定义域上“均值”为1的函数； ③对于函数ln y x = ，定义域是()0,+∞ ，设
ln ln 12
x y
+= ，得ln 2ln y x =- ，则()2ln 0,x y e -=∈+∞ ，所以该函数是定义域上“均值”为1的函数；
④对于函数2sin 1y x =+ ，定义域为R ，设x R ∈ ,由
2sin 12sin 1
12
x y +++= ，得
sin sin y x =- ，因为sin [1,1]x -∈-，所以存在实数y ，使得 sin sin y x =-成立，但
这时y 的取值不唯一，所以函数2sin 1y x =+不是定义域上“均值”为1的函数.
30. 已知点0(00),(01),(67),n O A A ，
，，点121,,,(,2)n A A A n N n -∈≥L 是线段0n A A 的n 等分点，则011n n OA OA OA OA -++++u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r
L = ．
30.5(1)n + 由题设，知
166,1A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，226
26,1A n
n ⨯⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，
33636,1A n n ⨯⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，…，6
6,1k k k A n n ⨯⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，… ，()()11616,1n n n A n n --⨯-⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭ , 所以166,1OA n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ，22626,1OA n n ⨯⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u u r ， 33636,1OA n n ⨯⨯⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭u u u u r ，…，
66,1k k k OA n n ⨯⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u u r ，… ，()()11616,1n n n OA n n --⨯-⨯⎛⎫=+
⎪⎝⎭
u u u r , ()6,7n OA =u u u u r , ()()011616116616
60,10n n n n n n OA OA OA OA n n n n n n n ---⎛⎫⨯⨯++++=++++++++++ ⎪
⎝
⎭u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r L L L =12126,16n n n n n ++++++⎛
⎫
⨯
++⨯ ⎪⎝⎭
L L =()()()31,41n n ++ ,
()01151n n OA OA OA OA n -++++==+u u u u r u u u r u u u u u r u u u u r L
三、解答题 31.已知向量)
,cos ,x x =
a 向量()sin ,cos ,x x =
b 记().f x =⋅a b
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域. 31.解：（1
）(
)21cos 212cos 2sin(2).262
x f x x x x x π+=⋅=+=+=++a b 由222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+≤
+∈得
,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
故函数()f x 的单调递增区间为[,
]()3
6
k k k Z π
π
ππ-++∈.
（2）由,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，得22[,]633x πππ+∈-
，
所以sin(2)16
x π
≤+≤， 所以(
)f x 的值域为3
]2
. 32.在△ABC 中，5=BC ，A C AC sin 2sin ,3==.
(1)求AB 的值； (2)求π
sin(2)4
A -
的值． 解：（1）因为A C sin 2sin =，所以sin 1
sin 2
BC A AB C ==
（2
33.已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2n n S a =-.在等差数列{}n b 中，
14b =，且21b -是11b -与41b -的等比中项.
(1)求n a 和n b ， (2)记n
n n
b c a =
，求{}n c 的前n 项和n T . 33.解：(1)对于数列}{n a ，由题设可知n n a s -=2 ①， 当2≥n 时，112---=n n a S ②， ①-②得()211≥+-=---n a a S S n n n n ， 即1-+-=n n n a a a ，()221≥=∴-n a a n n ，
()22
1
,01≥=∴
≠-n a a a n n n Θ， 又}{,1,21111n a a a s a ∴=∴-==是以1为首项，以
2
1
为公比的等比数列， 1
21-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∴n n a .
设等差数列}{n b 的公差为d ，由题设可知()()()111412
2--=-b b b ，
又d b d b b 34,4,4421+=+==Θ，
()()d d 33332
+=+∴，解得0=d 或3=d .
当0=d 时，4=n b ；当3=d 时，13+=n b n . (2)当4=n b 时，11422n n n
n n
b c a -+=
=⋅=， ()
422
12142-=--=∴+n n
n T ；
当13+=n b n 时，()1213-⋅+==
n n
n
n n a b C ， 此时()1
2102132102724-⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ ③，
()()n n n n n T 21322327242121⋅++⋅-++⋅+⋅=-Λ ④，
③-④得()
()n n n n T 2132
22341
21⋅+-++++=--Λ ()()121243
31212
n n n --=+-+⋅-()4326312n n n =+⋅--+⋅()2322n n =-⋅-，
()n n n T 2232⋅-+=∴．
综上，当4=n b 时，42
2
-=+n n T ；当13+=n b n 时，()n n n T 2232⋅-+=． 34.（文）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通
指数为T ．其范围为[]100，，分别有五个级别：[)2,0∈T 畅通;[)4,2∈T 基本畅通;[)
6,4∈T 轻度拥堵;[)8,6∈T 中度拥堵；[)10,8∈T 严重拥堵．在晚高峰时段(2≥T )，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？
(2)用分层抽样的方法从交通指数在[)[)[]10,88,66,4，，
的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．
34.解：(1)由直方图得：这２０个路段中，轻度拥堵的路段有()62012.01.0=⨯⨯+个，中度拥堵的路段有()92012.025.0=⨯⨯+个，严重拥堵的路段有()320105.01.0=⨯⨯+个． (2)由(1)知：拥堵路段共有18396=++个，按分层抽样，从18个路段选出６个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为：
26186=⨯，39186=⨯，1318
6
=⨯，即从交通指数在[)[)[]10,88,66,4，，的路段中分别抽取的个数为1,3,2．
(3)记选出的２个轻度拥堵路段为21,A A ，选出的３个中度拥堵路段为321,,B B B ，选出的１个严重拥堵路段为1C ，则从６个路段中选取２个路段的所有可能情况如下：
()()()()()()()()()()()()121112131121222321121311,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B B B B C ()()()232131,,,,,B B B C B C ，共１５种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：
()()()()()()()()()123222121131211121,,,,,,,,,,,,,,,,,C A B A B A B A C A B A B A B A A A ，共９种，∴
所选２个路段中至少一个轻度拥堵的概率是
5
3
159=. 34.（理）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通
指数为T ．其范围为[]100，，分别有五个级别：[)2,0∈T 畅通;[)4,2∈T 基本畅通;[)
6,4∈T 轻度拥堵;[)8,6∈T 中度拥堵；[)10,8∈T 严重拥堵．在晚高峰时段(2≥T )，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列及期望．
34.解：(1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是()个62012.01.0=⨯⨯+， 中度拥堵的路段个数是()0.250.21209+⨯⨯=个． (2)X 的可能取值为3210，，，．
()3011932011076C C P X C ⋅=== ，()21
1193
2033
176C C P X C ⋅===， ()1211932033295C C P X C ⋅=== ，()031193
207
395
C C P X C ⋅===，
∴1133337513012376769595380
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 35.（文）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点
.
(1)求证：平面；
(2)若AB =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EG
EO
的值；若不存在，请说明理由.
35. 解：（1）证明如下：连接OF .
由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点. 又F 为BE 的中点，所以//OF DE .
又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ， 所以//DE 平面ACF .
(2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥. 于是作CG OE ⊥于点G ，
因为EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，又EC AC C =I ，所以BD ⊥平面ACE ， 而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥.
又OE BD O =I ，所以CG ⊥平面BDE ，
又AB =
，所以CO AB CE =
=， 所以G 为EO 的中点，所以1
2
EG EO =.
解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中，
AB
，CO AB CE =
=，所以CG EO ⊥. 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥. 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥. 又AC EC C =I ， 所以BD ⊥平面ACE ， 而BD ⊂平面BDE ，
所以平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE I 平面BDE EO =. 因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE . 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE .
由G 为EO 的中点，得
1
2
EG EO =. 35.（理）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．
（1）求证：AB ⊥DE ；
（2）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；
（3）在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由．
解：（1）证明如下：取AB 的中点O ，连结OD,OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^.
因为四边形ABCD 是直角梯形，1
2
DC AB =，AB //CD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC . 又AB BC ^，所以AB OD ^.
又因为OD OE O =I ,所以AB ^平面ODE ， 所以AB DE ^.
A
B
E
C D
P
·
（2)因为平面ABCD ⊥平面ABE ， AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ， 所以OE OD ⊥.
如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.
则(100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-
，(00)E ，
所以 =(101)AD ,,-uuu r
,=(01)DE -u u u r
，
设平面ADE 的一个法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则
110
0DE AD
ìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n
n 11110
z x z ìï-=ïÛí
ï-+=ïî， 令11z =，则11x =
,1y =
所以1
n =(11). 同理可求得平面BCE 的一个法向量为2
n =(10),-，设平面ADE 与平面BCE 所成的
锐二面角为θ，则
cos θ12
12
×=
n n n
n =，
所以平面ADE 与平面BCE
所成的锐二面角的余弦值为
7
. （3）设22(0)Q x ,y ,
，因为11()222
P ,-
，
所以2211
()22
PQ x ,y =+--uu u r ，=(100)CD ,,u u u r
,=(01)DE -uu u r .
依题意得00PQ CD PQ DE
ìï?ïíï?ïïîuu u r uu u r uu u r uuu r ，，
即2
2102102x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî
解得 21
2
x =-
，2y =符合点Q 在△ABE 内的条件.
所以存在点1(0)2Q -
，使PQ ^平面CDE
，此时PQ =. 36.某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，
且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的
钢管和其中一个座位的总费用为2k ⎤
+⎥⎣⎦
元．
假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．
（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 36.解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =
，即k
n x
=，
21082k k y k k k x x x ⎤⎛=++=+ ⎥ ⎣⎦⎝⎭
， 定义域为0,2k k x x Z x ⎧⎫
<≤
∈⎨⎬⎩⎭
. （2）当100k =
时，100010020y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.
令1000
()f x x
=
+
则21000()f x x '=-
+32
2
10005120x
x -+==， ∴32
12564x =
，2
3
125256416x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 当25(0,
)16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25
(0,)16
x ∈上单调递减，
当25(
,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25
(,50)16x ∈上单调递增， ∴在2516
x =时，y 取到最小值，此时座位个数为100
642516
=个．
37.已知,A B 是抛物线2
:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为
(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.
（1）求k 的取值范围；
（2）设C 为W 上的一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.
解：（1）抛物线2
y x =的焦点为1
(0,)4
.由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-，
令0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -.因为抛物线W 的焦点在直线
AB 的下方，所以114k ->
，解得3
4k <，因为0k >，所以304
k <<.
（2）结论：四边形ABDC 不可能为梯形.理由如下：
假设四边形ABDC 为梯形.依题意，设2
11(,)B x x ，2
22(,)C x x ，33(,)D x y ，
联立方程2
1(1),,
y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以11x k =-. 同理，得21
1x k
=-
-.对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为22
22x k
=--.
由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则2
2k k
=--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. 若//AC BD ，则1
22k k
-
=-，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行，所以四边形ABDC 不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可
能为梯形.
38. 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设
1+=n n S b ，n n b b b k c ++++=Λ21（k +∈R ）．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）当1=t 时，若对任意*
N ∈n ，||||3b b n ≥恒成立，求a 的取值范围；
（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．
38.解：（1）因为a S t S n n +⋅=+1①， 当2≥n 时，a S t S n n +⋅=-1②，
①②得，n n a t a ⋅=+1（2≥n ）， 又由a S t S +⋅=12，得2a t a =⋅，
所以}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1
-⋅=n n t a a （*N ∈n ）．
（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ，
由||||3b b n ≥，得|13||1|+≥+a na ，0]2)3[()3(≥++-a n a n （*）， 当0>a 时，若3<n ，则（*）式不成立．
当0<a 时，（*）式等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n ， 当3=n 时，（*）式成立；
当4≥n 时，有02)3(≤++a n ，即3
2+-≤n a 恒成立，所以72
-≤a ；
当1=n 时，有024≥+a ，21-≥a ；当2=n 时，有025≥+a ，5
2
-≥a ． 综上，a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--
72,5
2
． （3）当1≠t 时，t t a S n n --=1)1(，t
at t a t t a b n
n n ---+=+--=11111)1(，
2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2
221)1()1(11)1(t at
t k n t t a t at n ---+
⋅--++-=+，
所以当⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=---=--+0)
1()
1(,0112
2
t at t k t t
a 时，数列}{n c 是等比数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以k a t +=2，即1
12-+
-=t t
t t ， 解得2
1
5+=
t ． 从而，2
1
5-=
a ，2
3
5+=k ． 所以，当2
1
5-=a ，2
1
5+=t ，2
3
5+=k 时，数列}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．
39.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点1
(3,)2
M -，圆2C 的
直径为1C 的长轴.如图，C 是椭圆短轴的一个端点，动直线AB 过点C 且与圆2C 交于,A B 两点，CD 垂直于AB 交椭圆于点D .
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）求△ABD 面积的最大值，并求此时直线AB 的方程.
39.解：（1）由已知得到32c a =,所以2232
a b a -=
,即22
4a b =. 又椭圆经过点1(3,)2M -,所以22
31144b b +=, 解得2
2
1,4b a =∴=,
所以椭圆的方程是2
214
x y +=. （2）因为直线AB CD ⊥且两直线都过点(0,1)C ,
①当AB 斜率存在且不为0时,设直线:1AB y kx =+,直线1
:1CD y x k
=-
+,即0x ky k +-=,所以圆心(0,0)到直线AB 的距离
为d =
,所
以
AB ==
,
由220,1,4
x ky k x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(4)80k x kx +-=,
所以2
84
C D k
x x k +=
+
, 2
4
CD k ===+,
所以1122ABD
S AB CD ===V .
令t =则22
2
3,34t k t -=>
, 2283232133134
4
ABD t t S t t t t =
==≤-+++V
当13
,t t t
=
=
k ==时,等号成立,
故△ABD
此时直线AB
的方程为1y =. ②当AB 的斜率为0,即//AB x 时
, 13
ABD S =V ; 当AB 的斜率不存在时,不符合题意; 综上, △ABD
,此时直线AB
的方程为1y =+.
40.（文）设函数2()ln f x ax x =+. （1）求()f x 的单调区间；
（2）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.
40.解：（1）因为2
()ln f x ax x =+，其中0x >． 所以221
()ax f x x
+'=，
当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，
当0a <时，令()0f x '=，得x =
所以()f x 在上是增函数，在)+∞上是减函数. （2）令()()()h x f x g x =-，则2()(21)ln h x ax a x x =-++， 根据题意，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <恒成立.
1(1)(21)
'()2(21)x ax h x ax a x x
--=-++
=. ①若1
02
a <<
，当1(,)2x a ∈+∞时，'()0h x >恒成立，
所以()h x 在1(
,)2a +∞上是增函数，且1
()((),)2h x h a
∈+∞，不符合题意； ②若1
2
a ≥
，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >恒成立， 所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，且()((1),)h x h ∈+∞，不符合题意；
③若0a ≤，当(1,)x ∈+∞时，恒有'()0h x <，故()h x 在(1,)+∞上是减函数， 于是“()0h x <对任意(1,)x ∈+∞都成立”的充要条件是(1)0h ≤， 即(21)0a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤.
综上所述，a 的取值范围是[]1,0-. 40.（理）已知函数x x x x f 2)1ln(2)1(ln )(2-+++=．
（1）证明函数)(x f 在区间)1,0(上单调递减； （2）若不等式221
(1)n a
e n
++≤对任意的*∈N n 都成立，
（其中e 是自然对数的底数），求实数a 的最大值．
40.解：（1）证明如下：2[ln(1)]
'()1x x f x x
+-=
+，令()ln(1),(0,1)g x x x x =+-∈，
1'()1011x g x x x
-=
-=<++，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减， ∴()(0)0g x g <=，∴'()0f x <， ∴函数)(x f 在区间)1,0(上单调递减.
（2）在原不等式两边取对数得1()ln(1)12a
n n
++≤，由111n +
>知112ln(1)a n n
≤-+.
设11
(),(0,1]ln(1)G x x x x
=
-∈+，则
22
222211(1)ln (1)'()(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x G x x x x x x x ++-=-+=++++，
设2
2
()(1)ln (1),(0,1]h x x x x x =++-∈，则
2'()ln (1)2ln(1)2h x x x x =+++-.
由（1）知(0,1]x ∈时，'()'(0)0h x h <=，
∴函数()h x 在(0,1]x ∈上单调递减，∴()(0)0h x h <=， ∴'()0G x <，∴函数()G x 在(0,1]x ∈上单调递减. ∴1
()(1)1ln 2
G x G ≥=
-， ∴函数()G x 在(0,1]x ∈上的最小值为1(1)1ln 2G =-，∴112ln 2
a ≤-， ∴a 的最大值为
2
2ln 2
-.。