2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二年级上册学期期末数学(文)试题【含答案】

2021-2022学年陕西省渭南市富平县高二上学期期末数学（文）试题
一、单选题
1．设函数()f x 在1x =处的导数为2，则0
(1)(1)
lim x f x f x
∆
→+∆-=∆（ ）
A ．2
B ．1
C ．23
D ．6
【答案】A
【分析】根据导数的定义即得.
【详解】因为函数()f x 在1x =处的导数为2， 所以()()
11lim
x f x f x
∆→+∆-∆()21f '==.
故选：A.
2．命题“对任意一个实数x ，都有240x +≥”的否定是（ ） A ．存在实数x ，使得240x +< B ．对任意一个实数x ，都有240x +≤ C ．存在实数x ，使得240x +≤ D ．对任意一个实数x ，都有240x +<
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案.
【详解】“对任意一个实数x ，都有240x +≥”的否定是：存在实数x ，使得240x +<. 故选：A
3．如果椭圆22
110036
y x +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）
A ．6
B ．26
C ．4
D ．14
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义122PF PF a +=及椭圆
22
110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6 ，可得2PF 的长.
【详解】解：根据椭圆的定义12220PF PF a +==， 又椭圆
22
110036
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6， 2620PF ∴+=，则214PF =， 故选：D.
4．如果,,a b c ∈R ，且a b <，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A ．c a c b -<-
B ．22a b ->-
C ．ac bc >
D ．
1b a
> 【答案】B
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，即可得出.
【详解】对于A 项，因为a b <，所以a b ->-，所以c a c b ->-，故A 项错误； 对于B 项，因为a b <，所以a b ->-，所以22a b ->-，故B 项正确； 对于C 项，因为a b <，若0c ，则0ac bc ==，故C 项错误； 对于D 项，取1a =-，1b =，则满足a b <，但11b
a
=-<，故D 项错误. 故选：B.
5．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在123H H H →→这个生物链中，若能使3H 获得10kJ 的能量，则需1H 提供的能量为（ ） A ．510kJ B ．410kJ C ．310kJ D ．210kJ
【答案】C
【分析】设1H 需提供的能量为a ,由题意知有大约10%的能量能够流到下一个营养级，即2H 的能量为10%a ，3H 的能量为()2
10%a ，即构成等比数列，要使3H 获得10kJ 的能量，列等式，即可求得a 的值.
【详解】设1H 需提供的能量为a ,由题意知：2H 的能量为10%a ，3H 的能量为()2
10%a ， 即()2
10%10a =，解得：310a =，
所以要能使3H 获得10kJ 的能量，则需1H 提供的能量为310kJ ， 故选：C.
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率2e =，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）
A ．12y x =
B ．2y x =
C ．y =
D ．y = 【答案】D
【分析】根据题意，可知该双曲线焦点在x 轴上，则它的渐近线方程为b
y x a
=±，再根据双曲线离心率2
2
214b e a
=+=，求出b a 的值，从而可求出该双曲线的一条渐近线方程.
【详解】解：根据题意，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率2e =，
可知该双曲线焦点在x 轴上，则它的渐近线方程为b
y x a
=±
，
而2
2
214b e a =+=，则22213b e a
=-=，所以b a =
故其中一条渐近线方程为y =， 故选：D.
7．若函数()ln m
f x x x
=-在[]1,3上为增函数，则m 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．[)3,-+∞
C ．[)1,-+∞
D ．(],3-∞-
【答案】C
【分析】求出函数的导数，问题转化为0x m +≥在[]1,3恒成立，参变分离求出m 的范围即可. 【详解】已知函数()ln m
f x x x
=-
在[]1,3上为增函数，则()2210m x m f x x x x '+=+=≥在[]1,3恒成立，
即0x m +≥在[]1,3恒成立，则()max m x ≥-，解得1m ≥-. 故选：C.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．
8．设数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论不正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
【答案】C
【分析】由767S S a -=可判断B ；由76d a a =-，分析可判断A ；由()678995782a a a S S a a a ++-=+=+可判断C ；由56S S <，678S S S =>可判断D.
【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 正确； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：C
9．下列函数中，最小值是2的是
A ．1y x x
=+
B ．()1
lg 110lg y x x x
=+
<< C ．33x x y -=+ D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+
<< ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】结合基本不等式以及各个选项的定义域，即可求出y 的取值范围. 【详解】解：A ：当0x <时，
1
0x
<，最小值不是2，故A 错误；
B ：当110x <<时，0lg 1x <<，则1lg 2lg y x x =+≥， 当且仅当1
lg lg x x
=
，即10x =时等号成立，故当110x <<时，2y >，B 错误；
C ：332x x y -=≥=+，当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，C 正确；
D ：因为02
x π
<<
，所以0sin 1x <<，所以1sin 2sin =+
≥=y x x ， 当且仅当1
sin sin =x x
，即sin 1x =±时等号成立，由0sin 1x <<得2y >，D 错误. 故选:C.
【点睛】本题考查了基本不等式.在用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等. 10．“ 1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分且必要 D ．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据1a =时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为π时，利用周期公式求得a 的值，从而判定是否必要；注意函数()os y c x ωϕ=+的最小正周期公式2π
T ω=，不要遗漏绝对值
.
【详解】解：22cos sin cos 2y ax ax ax =-=
当1a =时，cos 2y x =的最小正周期为π，故充分性成立 当函数cos2y ax =的最小正周期为π时， 所以2π
π,1|2|
T a a =
=∴=±,不能得出1a =，故必要性不成立， 综上：“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分而不必要条件. 故选：A.
11．已知命题():1,2p k ∀∈，方程22
121x y k k -=--都表示双曲线；命题q ：抛物线28y x =的焦点坐标
为()2,0.则下列命题是真命题的是（ ） A ．p ⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．()p q ∧⌝
【答案】D
【分析】首先判断命题p 和q 的真假，再根据复合命题的真假性质进行判断即可．
【详解】方程22
121
x y k k -=--表示双曲线，则有(2)(1)0k k -->，解得12k <<，
故命题:(1,2)P k ∀∈，方程22121
x y
k k -=--都表示双曲线为真命题；
抛物线28y x =化成标准方程为2
18
x y =，焦点坐标为1(0,)32，
故命题q ：抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0是假命题； 所以p ⌝为假，p q ∧为假，()p q ⌝∨为假，()p q ∧⌝为真. 故选：D
12．设1F 和2F 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点，若1F ，2F ，()0,2P b 是等边三角形的三个顶
点，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D 【答案】B
【分析】由三角形1F 2F P 是等边三角形，得到b 、c 的齐次式，即可求出离心率. 【详解】设椭圆是焦距为2c .
因为1F ，2F ，()0,2P b 是等边三角形的三个顶点，
所以tan
6
2c b π
=
=
()2222
344c b a c ==-，则c e a ==故选：B.
二、填空题
13．若数列{}n a 为等差数列，244a a +=，则3a =________. 【答案】2
【分析】利用等差数列的性质即可求解.
【详解】由等差数列的性质可得 24324a a a +==，解得32a =，
故答案为：2.
14．若关于x 的不等式210x kx ++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为______. 【答案】[]22-,
【分析】根据二次不等式的解法即得.
【详解】因为关于x 的不等式210x kx ++<的解集为空集， 所以240k ∆=-≤，解得22k -≤≤， 即实数k 的取值范围为[]22-,. 故答案为：[]22-,
. 15．海面上有,,A B C 三个灯塔，10nmile AB =，从A 望C 和B 成60︒视角，从B 望C 和A 成75︒视角，则BC =______nmile .（nmile 表示海里，1nmile 1852m =）
【答案】【分析】根据题意得到ABC 中的两角一边三个元素，从而利用正弦定理即可得解. 【详解】根据题意，可知在ABC 中，10AB =，60A ∠=︒，75B ∠=︒，则45C ∠=︒，
所以由正弦定理得
sin sin BC AB A
C
=，即
10
sin 60sin 45BC =
︒
︒
，解得BC =
所以BC =nmile .
故答案为：
16．曲线ln 1y x =+在点()1,1处的切线也为曲线e x y a =+的切线，则实数=a ______. 【答案】1-
【分析】利用导数求得曲线ln 1y x =+在点()1,1处切线的斜率，点斜式得到切线方程，此方程也是曲线e x y a =+的切线方程，设切点坐标，利用导数列方程组求实数a 的值. 【详解】由ln 1y x =+求导得 1
y x
'=
， 则曲线ln 1y x =+在点()1,1处的切线斜率为1，切线方程为y x =，
设直线y x =与曲线e x
y a =+相切的切点为(),e t
t a +，由e x y a =+求导得e x
y '=，于是得e 1
e t t a t
⎧=⎨+=⎩，
解得0
1t a =⎧⎨=-⎩
. 故答案为：-1
三、解答题
17．求下列函数的导数： (1)3cos y x x =； (2)y
=
【答案】(1)233cos sin y x x x x -'=
(2)(2
12x y x +='
【分析】（1）根据导数运算法则运算求解即可； （2）根据导数运算法则运算求解即可；
【详解】（1）解：()3323cos (cos )3cos sin y x x x x x x x x ''=+=-'
（2）解：()(2
(1)112x x x y x
x
'
'--+=
=
18．若关于x 的不等式220ax x b -+>的解集为()-31，
（1）求,a b 的值；
（2）求不等式220bx ax +-≤的解集. 【答案】（1）1,3a b =-=；（2）2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）由题意可知，方程220ax x b -+=的两根为3,1-，结合根与系数的关系得出,a b 的值； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由题意可知，方程220ax x b -+=的两根为3,1- 由根与系数的关系可知，231,3b
a a
--+=--=，解得1,3a b =-= （2）由（1）可知，1,3a b =-=
2320x x --≤，即(32)(1)0x x +-≤，解得2
13
x -≤≤
即该不等式的解集为2,13⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足
3cos sin C c
B b
=.
(1)求角C 的大小；
(2)点D 为边AC 的中点，2BD =，设,BC x CD y ==，求BCD △面积的最大值. 【答案】(1)π3
C = 3
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan 3C =C ；
（2）利用余弦定理与基本不等式求得4xy ≤，从而利用三角形面积公式即可求得BCD △面积的最大值.
【详解】（13cos C c
b =， 3cos sin sin C C
B =
3cos sin C C =，故tan 3C = 又0πC <<，所以π
3
C =.
（2）在BCD △中，,,2BC x CD y BD ===，
所以由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅，即224x y xy =+-， 又2242x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当2x y ==时，等号成立，则4xy ≤， 所以13sin 32BCD
S
xy C =
⋅=≤2x y ==， 故BCD △320．已知各项均不为零的数列{}n a 满足125
a =
，且*
11223,n n n n a a a a n ++-=∈N . (1)证明：2n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，并求{}n a 的通项公式；
(2)令2,n
n n n
c T a =为数列{}n c 的前n 项和，求n T .
【答案】(1)证明见解析，*2
,32
n a n n =
∈+N
(2)()3121n
n T n =-⋅+
【分析】（1）构造得
122
3n n
a a +-=解决即可； （2）由（1）得()12322n
n n n c n a -==+⋅，错位相减解决即可. 【详解】（1）由11223n n n n a a a a ++-=， 得*122
3,n n
n a a +-=∈N ， 又
1
2
5a =， 2n a ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为3的等差数列. ()253132n n n a ∴
=+-=+，故*2,32
n a n n =∈+N . （2）由（1）知()122,32232n
n n n n
a c n n a -=
∴==+⋅+， 所以()()2
21582112312322n n n T n n --=+⨯+⨯+
+-⋅++⋅① ()()23125282112312322n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⋅++⋅②，
①-②得：
()()()12
1
6(12)
5323232
3225322132112
n n n
n n n T n n n --⋅--=+⨯+⨯+
+⨯-+⋅=+-+⋅=-⋅--，
()3121n n T n ∴=-⋅+.
21．设抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，且8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3. (1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线2:l y kx m =+与圆221
:2
O x y +=和抛物线C 均相切，求实数m 的值. 【答案】(1)24y x =； (2)1±.
【分析】（1）设出A 、B 点坐标，由已知可得126x x +=，又易得128AB x x p =++=，即可解出2p =；
（2）根据直线与圆相切，可得2221m k =+；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得Δ0=，即可推得1km =.联立两式，即可解出实数m 的值. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，12,0x x >. 则线段AB 的中点坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭， 由题意知
12
32
x x +=，则126x x +=，
如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足为1A 、1B ，根据抛物线的定义可知，112
p AF AA x ==+，122
p
BF BB x ==+
， 又AB AF BF =+，所以128AB x x p =++=，所以2p =， 所以，抛物线C 的方程为：24y x =.
（2）因为圆22
1
:2
O x y +=
圆心为()0,0O ，半径为2
2
r ，直线2:l y kx m =+，即0kx y m -+=与圆221
:2
O x y +=
相切， 2
2
2
1m k =
+，即有2221m k =+① 联立直线2l 与抛物线C 的方程2,4,y kx m y x =+⎧⎨=⎩，可得()222
240k x km x m +-+=，
因为直线2l 与抛物线C 相切，
所以222Δ(24)40km k m =--=，得1km =②，
联立①②22
121km m k =⎧⎨=+⎩，解得11k m =⎧⎨=⎩或1
1k m =-⎧⎨=-⎩， 即实数m 的值为1±.
22．已知函数()322133
f x x ax a x =+-. (1)当1a =时，求函数()f x 在[]0,2上的最大值和最小值；
(2)若函数()f x 在区间()1,2内存在极小值，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)最大值为23，最小值为53
- (2)()21,1,233⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论3a -与a 的大小关系.
【详解】（1）当1a =时，则函数()32133f x x x x =
+-，()()()22331f x x x x x '=+-=+-， 令()0f x '=，解得3x =-或1x =，
当01x ≤<时，()0f x '<，当12x <≤时，0f x ，
则函数()f x 在[)01
，上单调递减，函数()f x 在(]12，上单调递增， ∴()f x 在1x =时取得极小值为()513f =-，且()()20023
f f =<=， 故()f x 在[]0,2上的最大值为23，最小值为53
-. （2）∵()322133
f x x ax a x =+-，则()()()22233f x x ax a x a x a '=+-=+- ①当0a =时，()20f x x '=≥，函数()f x 单调递增，无极值，不合题意，舍去；
②当0a >时，令0f x ，得3x a <-或x a >，
∴()f x 在(),3a -∞-，(),a +∞上单调递增，在()3,a a -上单调递减，
故函数()f x 在3x a =-时取得极大值，在x a =时取得极小值，
∴12a <<；
③当a<0时，令0f x ，得x a <或3x a >-，
∴()f x 在(),a -∞和()3,a -+∞上单调递增，在(),3a a -上单调递减，
故函数()f x 在x a =时取得极大值，在3x a =-时取得极小值，
∴132a <-<，解得2133
a -<<-.
综上所述：实数a 的取值范围是()21,1,233⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.。