2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第7讲 函数的图像.7

§2.7　函数的图像
最新考纲考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图
象法、列表法、解析法表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，
解决方程解的个数与不等式解的问题.函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.
1．
描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图像．
2．图像变换(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )y ＝－f (x )；
――――――→关于x 轴对称
②y ＝f (x )y ＝f (－x )；
――――――→关于y 轴对称 ③y ＝f (x )y ＝－f (－x )；――――――→关于原点对称 ④y ＝a x (a >0且a ≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1)．――――――→关于y ＝x 对称
(3)伸缩变换①y ＝f (x ) y ＝f (ax )．
――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变 ②y ＝f (x )y ＝af (x )．――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变
(4)翻折变换
①y ＝f (x )y ＝|f (x )|.
――――――――――→保留x 轴上方图像
将x 轴下方图像翻折上去②y ＝f (x )y ＝f (|x |)．――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其 关于y 轴对称的图像知识拓展
1．关于对称的三个重要结论
(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称．
(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．
(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．
2．函数图像平移变换八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图像相同．(　×　)
(2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图像相同．(　×　)
(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于原点对称．(　×　)
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．(　√　)题组二　教材改编
2．函数f (x )＝x ＋的图像关于( )
1x A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
答案　C
解析　函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )
答案　C
解析　小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
4．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案　(－1,1]
解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图像(如图)．由图像知不等式的解集是(－1,1]．
题组三　易错自纠
5．下列图像是函数y＝Error!的图像的是( )
答案　C
6．将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度得到函数__________的图像．
答案　f(－x＋1)
解析　图像向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．
答案　(4，＋∞)
解析　画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图像如图所示．
由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2(由于a <b ，故取不到等号)，所ab 以ab >4.
题型一　作函数的图像
作出下列函数的图像：(1)y ＝|x |；
(1
2)(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝x 2－2|x |－1.解　(1)作出y ＝x 的图像，保留y ＝x 的图像中x ≥0的部分，再作出y ＝x 的图像中x >0(12)(12)
(1
2)部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝|x |的图像，如图①实线部分．(12)
(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②实线部分．
(3)∵y ＝Error!且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，如图③实线部分．
思维升华图像变换法作函数的图像
(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函
数、形如y ＝x ＋的函数．
1x (2)若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．题型二　函数图像的辨识
典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图像为( )
答案　A
解析　f (x )为奇函数，图像关于原点对称，将y ＝ln
x (x >1)的图像向左平移1个单位得到y ＝ln(x ＋1)(x >0)的图像．
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )
答案　B
解析　方法一　由y ＝f (x )的图像知，
f (x )＝Error!
当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，
所以f (2－x )＝Error!
故y ＝－f (2－x )＝Error!图像应为B.
方法二　当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；
当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.
观察各选项，可知应选B.
思维升华函数图像的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
跟踪训练 (1)(2018届全国名校联考)函数y ＝(a >1)的图像的大致形状是( )|x |ax x
答案　C
解析　y ＝Error!(a >1)，对照图像选C.
(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )
答案　B
解析　y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，其图像是由y ＝log 2x 的图像向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B 满足．
题型三　函数图像的应用
命题点1　研究函数的性质
典例 (1)设函数y ＝，关于该函数图像的命题如下：
2x －1
x －2①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；
②任意两点的连线都不平行于y 轴；
③关于直线y ＝x 对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是________．
答案　②③
解析　y ＝＝＝2＋，图像如图所示，可知②③正确．
2x －1x －22(x －2)＋3
x －23x －2
(2)(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在
[m 2，n ]上的最大值为2，则＝________.
n m 答案　9
解析　作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.
若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，
从图像分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝.
19从而m ＝，n ＝3，故＝9.
13n m 命题点2　解不等式
典例函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为________________．
f (x )
cos x
答案　∪(－π2，－1)(1，π2)
解析　当x ∈时，y ＝cos x >0.
(0，π2)当x ∈时，y ＝cos x <0.
(π2，4)结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图像知，
当1<x <时，<0.又函数y ＝为偶函数，
π2f (x )cos x f (x )
cos x 所以在[－4,0]上，<0的解集为，f (x )cos x (－π2，－1
)
所以<0的解集为∪.f (x )cos x (－π2，－1
)(1，π2)
命题点3　求参数的取值范围
典例 (1)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________．
答案　(0,1]
解析　作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像，如图所示，
由图可知k ∈(0,1]．
(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a
的取值范围是__________．
答案　[－1，＋∞)
解析　如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
思维升华 (1)注意函数图像特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题．
跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．
答案　
(12，1)解析　先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜
率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值
12范围为.(12，1)
(2)已知函数y ＝f (x )的图像是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是__________．
答案　(－1,0)∪(1，]
2解析　由图像可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x .
在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图像，由图像可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
2
高考中的函数图像及应用问题
考点分析高考中考查函数图像问题主要有函数图像的识别，函数图像的变换及函数图像的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图像和解析式问题
典例1 (1)(2017·太原二模)函数f (x )＝的图像大致为( )
ln|x －1|
|1－x |
(2)已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝
B ．f (x )＝ln|x |x
e x x C ．
f (x )＝－1
D ．f (x )＝x －1
x 21x
解析　(1)函数f (x )＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图像关于x ＝1对称，排
ln|x －1||1－x |除B ，C.取特殊值，当x ＝时，f (x )＝2ln <0，故选D.1212(2)由函数图像可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －，则x →＋∞时，1x f (x )→＋∞，排除D ，故选A.
答案　(1)D (2)A
二、函数图像的变换问题
典例2 若函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图像大致为( )
解析　由y ＝f (x )的图像得到y ＝－f (x ＋1)的图像，需要先将y ＝f (x )的图像关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图像，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图像，根据上述步骤可知C 正确．
答案　C
三、函数图像的应用
典例3 (1)若函数f (x )＝的图像如图所示，则m 的取值范围为( )
(2－m )x
x 2＋m
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,2)
C ．(0,2)
D ．(1,2)
(2)已知函数f (x )＝Error!若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )
A ．(1,2 018)
B ．[1,2 018]
C ．(2,2 019)
D ．[2,2 019]
解析　(1)根据图像可知，函数图像过原点，
即f (0)＝0，∴m ≠0.
当x >0时，f (x )>0，∴2－m >0，即m <2，
函数f (x )在[－1,1]上是增加的，
∴f ′(x )>0在[－1,1]上恒成立，
f ′(x )＝
(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x
(x 2＋m )2＝>0，
(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2∵m －2<0，∴只需要x 2－m <0在[－1,1]上恒成立，
∴(x 2－m )max <0，∴m >1，
综上所述，1<m <2，故选D.
(2)函数f (x )＝Error!的图像如图所示，不妨令a <b <c
，
由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 018，
所以2<a ＋b ＋c <2 019，故选C.
答案　(1)D
(2)C
1．(2018届珠海二中月考)函数y ＝2x －x 2的图像大致是(
)
答案　A
解析　易知x →＋∞时，y →＋∞，排除C ；x →－∞时，y →－∞，排除D ；又当x ＝2和x ＝4时，y ＝0，故选A.
2．已知函数f (x )＝Error!则y ＝f (1－x )的图像是( )
答案　C
解析　方法一　画出y ＝f (x )的图像，再作其关于y 轴对称的图像，得到y ＝f (－x )的图像，再将所得图像向右平移1个单位，得到y ＝f (－(x －1))＝f (－x ＋1)的图像．
方法二　∵y ＝f (1－x )过点(0,3)，可排除A ；过点(1,1)，可排除B ；又x ＝－时，f (1－x )＝f 12<0，可排除D.故选C.
(32)3．(2018届全国名校联考)函数f (x )＝(e 是自然对数的底数)的图像( )e2x ＋1
e x
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称答案　B
解析　∵f (x )＝e x ＋e －x ，∴f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称．
4．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案　C
解析　在平面直角坐标系内作出f (x )，g (x )的图像如图所示，由已知g (x )＝(x －2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图像的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像有2个交点．
5．函数f(x)的图像向右平移1个单位，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1
C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1
答案　D
解析　与y＝e x的图像关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图像向右平移一个单位，得y＝e－x的图像．∴f(x)的图像由y＝e－x的图像向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1. 6．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间
(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数
为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案　B
解析　作出f(x)的图像，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图
像可知函数存在最小值0.所以①②正确．
7．函数f(x)＝|x|－cos x在(－∞，＋∞)内有____个零点．
答案　2
解析　在同一坐标系内画出两个函数y1＝|x|和y2＝cos x的图像如图所示．这两个函数的图像有且只有2个交点，即函数f(x)有2个零点．
8．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减
函数，且图像过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．
答案　{x|x≤0或1<x≤2}
解析　画出f(x)的大致图像如图所示．
不等式(x－1)f(x)≤0可化为Error!或Error!
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．
9．(2017·银川调研)给定min{a，b}＝Error!已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，则实数m的取值范围为__________．
答案　(4,5)
解析　作出函数f(x)的图像，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图像如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
10．已知定义在R上的函数f(x)＝Error!关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案　0
解析　方程f(x)＝c有三个不同的实数根等价于y＝f(x)与y＝c的图像有三个交点，画出函数f(x)的图像(图略)，易知c＝1，且方程f(x)＝c的一根为0，令lg|x|＝1，解得x＝－10或10，故方程f(x)＝c的另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.
11．函数y＝ln|x－1|的图像与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于________．
答案　6
解析　作出函数y＝ln|x－1|的图像，又y＝－2cos πx的最小正周期为T＝2，如图所示，
两图像都关于直线x＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.
12．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解　(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝Error!
∴f(x)的图像为：
(2)由函数的图像可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是递减区间；(1,2]，[3，＋∞)是递增区间．
(3)由f(x)的图像知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}．
13．已知函数f(x)＝Error!则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是( ) A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案　D
解析　函数f(x)的图像如图实线部分所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
14．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方
程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是_________________．
答案　(－1
3，0)
解析　由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图像过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图像知，方程有四个根，
即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图像有四个交点，
故k AB <k <0，k AB ＝＝－，∴－<k <0.
0－12－(－1)131
315．(2017·黄山二模)已知函数f (x )＝Error!与g (x )＝|x ＋a |＋1的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )
A ．R
B ．(－∞，－e]
C ．[e ，＋∞)
D ．∅
答案　C
解析　设函数h (x )与函数f (x )的图像关于y 轴对称，
则h (x )＝f (－x )＝Error!
作出h (x )与g (x )
的函数图像如图所示．∵f (x )与g (x )的图像上存在关于y 轴对称的点，
∴函数h (x )与函数g (x )的图像有交点，
∴－a ≤－e ，即a ≥e.故选C.
16．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋＋2的图像关于点A (0,1)对称．
1x (1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．
a x 解　(1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在函数h (x )的图像上，
即2－y ＝－x －＋2，
1x ∴y ＝f (x )＝x ＋(x ≠0)．
1x (2)g (x )＝f (x )＋＝x ＋，g ′(x )＝1－.
a x a ＋1x a ＋1
x 2∵g (x )在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，a ＋1
x 2故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．。