湘教版八年级数学下册第一章直角三角形PPT课件全套
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湘教版数学八年级下册(新) 课件：1.1.1 直角三角形的性质和判定(I)(共12张PPT)
直角三角形的判定定理： 1、有两个角互余的三角形是直 角三角形。 2、定义法：有一个角是直角的三角形是直 角三角形。 3、若三角形中一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
独立 作业
延伸课外
P7 A组1、2.
如图在Rt△ABC中，∠C=90° ， 90° 则两锐角的和 ∠A+∠B=＿＿＿。 直角三角形的性质定理：
A
直角三角形的两个锐角互余。
反之，在△ABC中，如果∠A+∠B=90° B 那么△ABC是直角三角形吗？ （是） 证明： 由三角形的内角和性质得：
C
A+B+C=180, 又 A+B=90， C=90,
直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半。
动动笔
做一做
1 如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB， 2 C
△ABC是直角三角形吗？
1 解：∵CD是中线，CD = AB， 2
∴AD=CD，CD=BD
∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° A D
练 习 二
CD=5cm，AB=10cm，则△ABC是＿＿＿三角形.
2.如图，AC与BD相交于点O， AB⊥BO,AO=CO,BO=DO.求证：Δ COD是直角三 角形.
A O B D C C
直角三角形的性质定理：
1、直角三角形有且只有一个角
是直角。 2、直角三角形的两锐角互余。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半。
A
H
B
AB CD,
BAC DCA 180.
又 CAH
湘教版2018八年级(下册)数学第一章直角三角形 全章课件
三角形顶点与对边中点的连线段。 这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质。
说一说： 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少 度呢？ A 在RT△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内 角和定理，可得： ∠A+∠ B=90 ° B 由此得到：直角三角形的两个锐角互余。 C
议 一议
如图在△ABC中，如果∠A+∠ B=90 °，△ABC是直 角三角形吗? 由∠A+∠ B=90 °和∠A+∠ B+∠C=180°，解得 A ∠C=90 °，因此△ABC是直角三角形。
例2：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁， 一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60° 的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示。该船如 3 果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
提问：A岛可以看
成一个点，轮船航 行的路线可以看成 一条线。点到线的 距离，什么最短？
北 A
30 3
A
分析：
B
30°
30°
D
30°
C
BC=BD+CD=6 cm
CD=A D
4、如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙
三家农户去种植。如果∠ C=90 ° ， ∠ B=30 ° ， 要 使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着 分一分，在图上画出来。
A
C
B
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
C 如图，取线段AB的中点D，连接CD ∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线 ∴CD=1 AB=BD B 2
∵∠BCA=90°。且∠A=30° ∴∠B=60° ∴△CBD是等边三角形
说一说： 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少 度呢？ A 在RT△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内 角和定理，可得： ∠A+∠ B=90 ° B 由此得到：直角三角形的两个锐角互余。 C
议 一议
如图在△ABC中，如果∠A+∠ B=90 °，△ABC是直 角三角形吗? 由∠A+∠ B=90 °和∠A+∠ B+∠C=180°，解得 A ∠C=90 °，因此△ABC是直角三角形。
例2：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁， 一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60° 的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示。该船如 3 果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
提问：A岛可以看
成一个点，轮船航 行的路线可以看成 一条线。点到线的 距离，什么最短？
北 A
30 3
A
分析：
B
30°
30°
D
30°
C
BC=BD+CD=6 cm
CD=A D
4、如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙
三家农户去种植。如果∠ C=90 ° ， ∠ B=30 ° ， 要 使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着 分一分，在图上画出来。
A
C
B
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
C 如图，取线段AB的中点D，连接CD ∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线 ∴CD=1 AB=BD B 2
∵∠BCA=90°。且∠A=30° ∴∠B=60° ∴△CBD是等边三角形
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定教学课件(新版)湘教版
所以BD=CD.
一般三角
形全等的 判定
SAS
ASA
AAS
SSS
直角三
角形全
等的判 SAS ASA AAS SSS HL
定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
教学课件
数学 八年级下册 湘教版
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
1.如图，△ABC≌△DEF，指出它们的对应 边、对应角.
AD
BE CF AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A—— ∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠F 2.我们已经学过判定全等三角形的方法有 哪些？
SSS、SAS、ASA、AAS
At△ACB≌Rt△ADB(HL).
D
∴BC=BD(全等三角形的对应
边相等).
3、 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木 桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：BD=CD.理由：因为 ∠ADB=∠ADC=90°. 所以在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
E
D
∵BC=CB,BE=CD,
B
C
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
1、如图，AB=CD ， BF⊥AC ， DE⊥AC ， AE=CF. 求证：BF=DE.
B
F
A
EG
C
D
2、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条
件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
直角三角形全等的判定
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直 角边”或“HL” ）.
一般三角
形全等的 判定
SAS
ASA
AAS
SSS
直角三
角形全
等的判 SAS ASA AAS SSS HL
定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
教学课件
数学 八年级下册 湘教版
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
1.如图，△ABC≌△DEF，指出它们的对应 边、对应角.
AD
BE CF AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A—— ∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠F 2.我们已经学过判定全等三角形的方法有 哪些？
SSS、SAS、ASA、AAS
At△ACB≌Rt△ADB(HL).
D
∴BC=BD(全等三角形的对应
边相等).
3、 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木 桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：BD=CD.理由：因为 ∠ADB=∠ADC=90°. 所以在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
E
D
∵BC=CB,BE=CD,
B
C
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
1、如图，AB=CD ， BF⊥AC ， DE⊥AC ， AE=CF. 求证：BF=DE.
B
F
A
EG
C
D
2、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条
件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
直角三角形全等的判定
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直 角边”或“HL” ）.
湘教版八年级下册数学全册课件
求证：△ABC是直角三角形.
证明：
CD
1 2
AB=
BD=
AD,
∴ ∠1=∠A，∠2=∠B .
∵∠A+∠B+∠ACB =180°， 即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
∴ ∠A+∠B =90°.
∴ △ABC是直角三角形.
2021/8/7
例6 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别 是AB、AC的中点．
∴ BDCB. ∴ CD= BD.
故得
CD=
AD=
BD=
1 2
AB.
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
从而CD与CD' 重合，且 CD 1 AB.
2
性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2021/8/7
例5 已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，
且
CD
1 2
AB
.
2021/8/7
三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上 的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关 系，你能得出什么结论？
2021/8/7
线段CD 比线段 AB短.
我测量后发现
1
CD = 2 AB.
试给出 数学证
明.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
湘教版八年级下册数学全册课件
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
2021/8/7
学习目标
湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件
正弦、余弦函数值在0到1之间，正切函数 值可正可负，且随着角度的增大而增大或减 小。
特殊角度下三角函数值记忆方法
30°、45°、60°等特殊角度的三 角函数值可通过几何图形或三角
函数表进行记忆。
利用三角函数之间的互相关系， 如tanA=sinA/cosA，可以通过 已知函数值推导出其他函数值。
制作三角函数卡片或表格，方便 随时查阅和记忆。
分类
按边长可分为普通直角三角形和 等腰直角三角形，其中等腰直角 三角形两腰相等。
直角三角形边与角关系
边长关系
对于直角三角形，满足勾股定理，即两直角边的平方和等于 斜边的平方。
角度关系
直角三角形两锐角互余，且满足三角函数的定义和性质。
勾股定理及其应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方。
05 复习策略与备考建议
重点知识点回顾与总结
直角三角形的定义和性质
01
直角三角形是一个角为90度的三角形，它具有一些特殊的性质
和定理，如勾股定理等。
直角三角形的边角关系
02
在直角三角形中，角度和边长之间有一定的关系，如正弦、余
弦、正切等三角函数。
直角三角形的判定方法
03
通过给定的条件，如角度、边长等，可以判定一个三角形是否
湘教版八年级下册数学第一章直角 三角形复习课件
目 录
• 直角三角形基本概念与性质 • 直角三角形中的函数关系 • 解直角三角形方法技巧总结 • 直角三角形在几何证明题中应用 • 复习策略与备考建议
01 直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及分类
定义
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
构造直角三角形
湘教版数学八年级下册(图片版)课件：第1章 直角三角形1.1-2
AB. ∴ BC BD= 1 2
在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜 边的一半.
动脑筋
如图 ，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB ，那么∠A=30°吗？ 2
如图 ，取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有 CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形. 所以∠B=60°. 又∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°.
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
求证：FC=2BF.
分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到
△AFB为等腰三角形.又∠B=∠C=∠BAF=30°，这样可求得∠FAC=90°.取CF中点M， 连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行说明.
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：如图，在△ABC中，AB=AC=2，
∠B=15°.
求等腰三角形ABC腰上的高的长.
分析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性
质创造了条件.
分析：由AM平分∠BAC及∠BAC=60°这两个条件，易得∠B=∠CAM=∠BAM=30°，
从而有BM=AM=15cm.在Rt△ACM中，易得CM=1/2AM=7.5（cm）.故可由BM、CM的长求 出BC的长.
在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜 边的一半.
动脑筋
如图 ，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB ，那么∠A=30°吗？ 2
如图 ，取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有 CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形. 所以∠B=60°. 又∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°.
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
求证：FC=2BF.
分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到
△AFB为等腰三角形.又∠B=∠C=∠BAF=30°，这样可求得∠FAC=90°.取CF中点M， 连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行说明.
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：如图，在△ABC中，AB=AC=2，
∠B=15°.
求等腰三角形ABC腰上的高的长.
分析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性
质创造了条件.
分析：由AM平分∠BAC及∠BAC=60°这两个条件，易得∠B=∠CAM=∠BAM=30°，
从而有BM=AM=15cm.在Rt△ACM中，易得CM=1/2AM=7.5（cm）.故可由BM、CM的长求 出BC的长.
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》公开课课件
图形面积的两个基本性质
很重要，根据这两个性质，我 们可以借助于适当的辅助线割 补多边形，割补后所成新图形 的面积和原图形面积相等，这 种方法叫做面积割补法。
b
b2
ac
a2
c2
a2 b2
c2 a2+b2=c2
Байду номын сангаас
勾股定理的应用 在直角三角形中，
如果已知任意两条边 长，就可以求出第三 条边长。
Rt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０º， ∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别是a、
b、c，则有a²＋b²＝c², 且
ac2b2;bc2a2
例题
已知：如图，等腰△ＡＢC 的周 长是32cm，底边长是12cm。A
（1）求高AD的长； （2）求S△ＡＢC。.
B
C
D
练习： 若三角形三内角的 度数之比为1：2：3，则它 的三条边的比为多少？
思考：你能根据下列图形及
提示，证明勾股定理吗？
勾股定理
4
?
3
勾股定理
股弦 勾
勾股弦 34 5 6 8 10 5 12 13 ……
勾2+股2=弦2
勾股定理
直角三角形两直角边a、b的 平方和，等于斜边c的平方。
即 a2+b2=c2
面积证法（面积割补法） 图形面积的有关性质：
（1）两个图形全等，它们的 面积相等；
（2）一个图形的面积，等于 它的各部分面积的和。
a
c
b
c
b
a
例题：求图所示（单位mm）矩 形零件上两孔中心A和B的距离 （精确到0.1mm）。
21
A
40 C
60
B 21
例题：作长为 2, 3, 5的线段。
八年级数学下第一单元直角三角形小结与复习湘教版全面版ppt课件
A E
C
B
D
9、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标 注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
A D
AB=AB,
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
10、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
二、直角三角形全等的判定： 斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）.
三、角平分线的性质： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等。 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
随堂练习
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ）
知识梳理
一、直角三角形的性质和判定：
性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的
平方.
a2 + b2 =c2
判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 如果三角形的三条边长，a,b,c满足关系：
a2 + b2 =c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，
湘教版八年级数学下册课件 1-3 直角三角形全等的判定
✔
2. 如图，∠DAB和∠BCD都是直角，AD = BC. 判断△ABD和△CDB是否全等，并说明理由.
△ABD和△CDB全等，理由如下： 证明 在Rt△DAB和Rt△BCD中， ∵AD = BC， DB = BD， ∴Rt△DAB ≌ Rt△BCD(HL).
四 课堂小结
直角三角形全等的判定定理：
湘教版八年级数学下册
第一章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
一 复习导入
我们学过哪些判定三角形全等的方法？
SSS ASA SAS AAS
二 新课探究
如图1-22，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，已知
AB = A'B'，AC = A'C’，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，
那么Rt△ABC和Rt△A'B'C’
作法（1）作∠MCN= 90°.
A
（2）在CN上截取C弧，
交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，
如图所示.
C
图1-24
BN
三 随堂巩固
1. 下面说法是否正确？为什么？ （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ✘
要判断两个三角形全等至少要有一组边对应相等. （2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B'C'2=A'B'2 - A'C'2， ∴ BC = B'C'. ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
图1-22
由此得到直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”).
2. 如图，∠DAB和∠BCD都是直角，AD = BC. 判断△ABD和△CDB是否全等，并说明理由.
△ABD和△CDB全等，理由如下： 证明 在Rt△DAB和Rt△BCD中， ∵AD = BC， DB = BD， ∴Rt△DAB ≌ Rt△BCD(HL).
四 课堂小结
直角三角形全等的判定定理：
湘教版八年级数学下册
第一章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
一 复习导入
我们学过哪些判定三角形全等的方法？
SSS ASA SAS AAS
二 新课探究
如图1-22，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，已知
AB = A'B'，AC = A'C’，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，
那么Rt△ABC和Rt△A'B'C’
作法（1）作∠MCN= 90°.
A
（2）在CN上截取C弧，
交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，
如图所示.
C
图1-24
BN
三 随堂巩固
1. 下面说法是否正确？为什么？ （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ✘
要判断两个三角形全等至少要有一组边对应相等. （2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B'C'2=A'B'2 - A'C'2， ∴ BC = B'C'. ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
图1-22
由此得到直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”).
【课件】2022年湘教版初中数学八年级下第一章 直角三角形1
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），O
P
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
OP平分∠AOB
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的内角平分线相交 于内部一点
课后作业
见《学练优》本课时练习
∴点F在∠DAE的平分线上.
拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
课堂小结
内容
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上
角平分线 作 用 的判定定理
E B
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 的平分线上.
知识总结
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
湘教版八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)课件(共23张)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
求直角三角形面积的常用 方法 (1)两直角边长度乘积的一半； (2)斜边长度与斜边上高的乘积的一半.
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
题型四 运用直角三角形中30°角的性质进行有关计算
例题4 如图 1- 1- 18 , 在 R t △ A B C 中 , ∠C=90°, ∠A=30°, BT是
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质 和判定(Ⅰ)
考场对接
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
考场对接
题型一 利用直角三角形两锐角之间的关系பைடு நூலகம்角度
例题1 如图1-1-14, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是 AB边上的
高, 如果∠A=50°, 则 ∠DCB的度数为( ). A
A．50°
B．45°
C．40°
D．25°
图1-1-14
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
直角三角形中的经典图形
在直角三角形中, 斜边上的高分直角所得的 两个锐角与原
直角三角形的两个锐角之间存在 相等或互余的关系, 这是一个常
见的基本图形, 在 解题中应用广泛. 如图1-1-15, ∵∠B+∠A=90°,
例题3 如图1-1-17所示, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于点D, CE为斜边AB 上的中线, 且CD=4, CE=5, 求Rt△ABC的 面积.
图1-1-17
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
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∴△CBD为等边三角形.
1 ∴BC=BD= AB. 2
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
思考
1 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= 2
AB，那么
C
∠A=30°吗？
A
B
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都
在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这
个直角三角形斜边的长度.
c=5 我量得c为5.
B A
c=?
b=4 a=3 C
讨论
在方格纸上，以图中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正
方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面
积S1、S2、S3之间有什么关系呢？
西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与
轮船相距 30 3 海里.若该船继续保持由西向东的航向，那么
有触礁的危险吗？
分析：取轮船航向所在的直线为OB.过点A
作AD⊥OB，垂足为D.AD长为A岛到轮船航
道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船
由西向东航行就不会有触礁危险.
解：在图中，过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO.
在Rt△AOD中，AO= 30 3 海里，∠AOD=30°，
1 于是 AD AO 2 1 30 3 2 25.98(海里)＞20(海里).
由于AD长大于20海里，所以轮船由西向 东航行不会触礁.
练习
3.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°， 大厅两层之间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗？
使∠D′CA=∠A，则CD′=AD′. 又∵∠A+∠B=90°，∠D′CA+∠D′CB=90°， 1 ∴∠B=∠D′CB.∴CD′=BD′.故得CD′=AD′=BD′= AB. 2 ∴点D′是斜边AB上的中点，即CD′是斜边AB的中线. 1 B 从而CD与CD′重合，且CD= AB. 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
C
E
H
D
新知探究 3
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么
直角边BC与斜边AB有什么关系呢？
接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
1 ∴CD= AB=BD. 2
C
∵∠BCA=90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°.
A 30° D B
在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角 和定理，可得∠A+∠B=90°.
思考
有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
A
B
C
在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又 ∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是 直角三角形.
第一章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
思考
在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之
间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具
有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？
新知探究 1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余.
b
步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.
c
步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的 图形. 由于△DHK≌△EIH， ∴∠2=∠4. 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠4=90°. D
答案：电梯AB的长为12m.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足
1 为点D，DB= BC，求∠A的度数. 2
A
答案：∠A=30°.
D B
C
我思
我进步
通过本节课，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流.
第一章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
思考
∴△ABC是直角三角形.
练习
1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多
少？
答案：斜边AB的长为5cm.
2.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E
为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
若是，求出AC的长.
A B
答案：△AHF是直角三角形；AC=4.
新知探究 1
如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b， AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ 步骤1：先剪出4个如右图所示的直角三角形，由 于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b＞ a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长 相等.设斜边长为c.
B a C c A
1 AB=BD. 2 1 ∵BC= AB， 2
C
∴CD=
∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形. A
∴∠B=60°. ∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=30°.
D
B
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边 的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
【例2】如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由
D'
A
C
【例1】如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且 1 CD= AB. 2 求证：△ABC是直角三角形.
1 证明：∵CD= AB=AD=BD， 2
A D 2 1
∴∠1=∠A，∠2=∠B. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°.
B
C
∴2（∠A+∠B）=180°.∴∠A+∠B=90°.
S3
4 B 3 C A
S2
S1
S3
4 B 3
A
S2
C
S1
由图可知，S1=32，S2=42， 为了求S3，我们可以先算 出红色区域内大正方形 的面积，再减去4个小三 角形的面积，得S3=52. ∵32+42=52， ∴S1+S2=S3.
在图中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否 对所有直角三角形，都有两直角边的平方和等于 斜边的平方呢？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
新知探究 2
如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较
线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？
A
D
B
C
线段CD比线段AB短.
我测量后发现CD=0.5AB.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有CD= AB成立呢？ 2
1 如图，如果中线CD= AB，则有∠DCA=∠A.由此受到启发， 2 在左图的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线CD′交AB于D′，