应用多元统计分析课后答案
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇
第三章 多元正态总体参数的检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.
若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),
(2x12
x22
2x1x2
22x1
14x2
65)
1 2 1 2
1
2
exp
1
212
2 2
(1
2
)
[
2 2
(
x1
1 ) 2
21 2(x1
1)(x2
2
)
2 1
(
x2
2
)
2
]
比较上下式相应的系数,可得:
1 2
2 2
1 2
2
1
2 1
1
1 2 1
2 1
1
2
1/
21
2 2
2
2
2 1
21 22 21 21
f (x; , ) a
a0 (2 ) p/ 2 |
(x )1
|1/ 2 ,当0 a
(x )
1
ba02
时,
其中 b2 2 ln[a(2 ) p/2 | |1/ 2 ] 2 ln[aa0 ] 0, 20
第二章 多元正态分布及参数的估计
因 0,的特征值记为1 2 p 0, i对应
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等 阵,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇共174页文档
(2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
证明(1):任给x,当x≤-1时
P { X 2 x } P { X 1 x } ( x )
当x≥1时, P{X2x}
P{X2 1}P{1X2 1}P{1X2 x}
P{X11}P{1X11}P{1X1x}
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ ,Σ ),Σ ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ ,Σ ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
5
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y Y Y 1 2 X X 1 1 X X2 2 1 1 1 1 X X 1 2 CX
则 Y ~ N 2 (C ,C C )
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
x14)2
2
X1~N(4,1).
类似地有
应用多元统计分析课后答案-朱建平版(前9章)
第二章2.1.试表达多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求〔1〕随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 〔2〕随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； 〔3〕判断1X 和2X 是否相互独立。
〔1〕解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()ddcc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后答案
第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd cc d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 12122222()()2[()2()]()()()()dd cc d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰2212122222()()[()2()]1()()()()d cdcd c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇部分习题解答(00004)市公开课金奖市赛课一等奖课件
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量分子为
L(aˆ0
, ˆ 0 2
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
第5页
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
第18页 18
第四章 回归分析
第19页 19
第四章 回归分析
等号成立 C(ˆ ) 0 (CC)1C • C(ˆ ) 0 ˆ.
第20页 20
第四章 回归分析
第21页 21
第四章 回归分析
第22页 22
第四章 回归分析
见附录P394定理7.2(7.5)式
第23页 23
第四章 回归分析
证实:(1)预计向量为 Yˆ Cˆ C(CC)1CY HY
yˆ
1 n
n i 1
yˆi
1 n
1n
Yˆ
1 n
1n
HY
1 n
(H1n )Y
1 n
1n
Y
y.
(因1n C张成的空间,这里有H1n 1n )
(2) 因 n ( yi y)( yˆi yˆ ) n ( yi yˆi yˆi y)( yˆi y)
0
ln
L
2
n
2
2
1
2( 2 )2
(Y
应用多元统计分析_课后答案
图 2.1
Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话框中选择 Mean 复选框，即计 算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按钮返回主对话框。
图 2.2 Options 子对话框 3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2） 。
2.5 解： 依据题意，X= 57000 40200 21450 21900 45000 28350
′
15 16 12 8 15 8
27000 18750 12000 13200 21000 12000
144 36 381 190 138 26
′ E(X)= ∑6 α=1 x(α) = (35650,12.33,17325,152.5) n σ1 σ2 ρ2 (x1 −μ1 )2 σ2 1
+
σ2 1
(x2 −μ2 )2 σ2 2 )2
= = [
(x1 −μ1 )2 σ2 1 ρ(x1 −μ1 ) σ1
− −
2ρ(x1 −μ1 )(x2 −μ2 ) σ1 σ2 (x2 −μ2 ) 2 ] σ2
+
E( X ) μ
n→∞
lim E(
1 1 ������） = lim E( ������） = Σ n→∞ ������ n−1
2.7 试证多元正态总体 的样本均值向量 ̅) = E ( ΣX 证明： E(������ （α） ) = E (ΣX （α） ) =
n n 1 1 nμ n 1 n2
exp[−
应用多元统计分析课后答案_朱建平版
2 2
2 p
1
12
1
Σ 1
2 2
则 f (x1,..., xp )
1
2 p
1
2 1
1
p
2
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
(x
μ)
1
2 p
1 2
p
1 2
p
1
exp
1 2
(
x1
1
2 1
)2
1 2
( x2
3 )2
2 2
...
1 2
.设 X i (ni p) 是来自 N p (μi , Σi ) 的简单随机样本， i 1, 2,3, , k ，
（1）已知 μ1 μ2 ... μk μ 且 Σ1 Σ2 ... Σk Σ ，求 μ 和 Σ 的估计。 （2）已知 Σ1 Σ2 ... Σk Σ 求 μ1,μ2,...,, μk 和 Σ 的估计。
F (n m 2) p 1T 2 ~ F ( p, n m p 1) (n m 2) p
F F
（
其
中
T
2
(n
m
2)
nm nm
(X
Y)
S1
nm nm
(X
Y)
）
协 差 阵 不 等 nm
F F
F (n p)n ZS-1Z ~ F ( p, n p) p
协 差 阵 不 等 nm
解 ： 设 ( X1 X 2 ) 的 均 值 向 量 为 μ 1 2 ， 协 方 差 矩 阵 为
12 21
12
2 2
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第四章部分习题解答市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
0
2
)
3 2
(ˆ
2
)
3 2
ˆ 2 ˆ 0 2
3
2
V
3 2
下列来讨论与V等价旳统计量分布:
ˆ 2
1 3
( y1
aˆ)2
( y2
2aˆ
bˆ)2
( y3
aˆ
2bˆ)2
1 3
( y1
yˆ1 ) 2
( y2
yˆ2 )2
( y3
yˆ3 )2
1 3
(Y
Xˆ )(Y
Xˆ )
1Y 3
(I3
X
(
X
X
)1
Q(β)=(Y-Cβ) '(Y-Cβ) . 试证明β^＝(C'C)-1C'Y是在下列四种意义下达最小：
(1) trQ(β^)≤trQ(β) (2) Q(β^)≤Q(β) (3) |Q(β^)|≤|Q(β)|
(4) ch1(Q(β^))≤ch1(Q(β))，其中ch1(A)表达A
旳最大特征值. 以上β是(m+1)×p旳任意矩阵.
[(
y1
aˆ0
)2
]
0
可得
ˆ
2
1 3
( y1
aˆ0 )2
( y2
aˆ0 )2
( y3
3aˆ0 )2
drf
ˆ
2 0
似然比统计量旳分子为
L(aˆ0
,ˆ
2 0
)
(2
)
3 2
(ˆ 0 2
)
3 2
exp[
3 2
].
5
第四章 回归分析
似然比统计量为
L(aˆ0 ,ˆ02 ) L(aˆ,bˆ,ˆ 2 )
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇三部分习题解答公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
max
0
L(0,0 )
max
L(
,
0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01
1
( X ( )
0 )( X ( )
0 )]
第17页 17
第三章 多元正态总体参数检查
Yr1
X BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr
1
,,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1, …,Yr ,Yr+1 ,…,Yn互相独立,
故X′AX与X′BX互相独立.
第9页
9
第三章 多元正态总体参数检查
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵, 试证实 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)互相独立
Np(μ,Σ)随机样本, X和Ax分别表示正态总体X样 本均值向量和离差阵,则由性质1有
Tx2 n(n 1)( X ) Ax1( X )
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是p p非退化常数矩阵, d是p 1常向量。
则 Y(i) ~ N p (C d,CC) (i 1,2,..., n)
max L(
, 0 )
max L(, ) ,
分子当ˆ X达最大,且最大值
L( X
, 0 )
应用多元统计课后答案解析
2(d c)(x 1 a)x 2 (b a)2(d c)2 2[(b a )(X 2 c) 2(X 1 a )(X 2 c)] (b a)2(d c)2dx 22(d c)(x.| a)x 222~(b a) (d c) c2[(b a)t 2(X 1 a)t]2 2 (b a) (d c)dt 2(d c)(x-i a)x 22 2(b a) (d c)所以d c2 2(b a) (d c) o2 2[(b a)t 2(X 1 a)t ] 第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X !,X 2^|X p )的联合分布密度函数是-个p 维的函数，而边际分布讨论是 X (X i ,X 2」||X p)的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量(X 1 X 2)服从二元正态分布，写出其联合分布。
其中 a X 1 b , c X 2 d 。
求(1 )随机变量X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差；(2) 随机变量X 1和X 2的协方差和相关系数； (3) 判断X 1和X 2是否相互独立。
(1)解：随机变量 X 1和X 2的边缘密度函数、均值和方差;2[(d c)(x-i a) (b a)(x 2 c) 2(x 1 a)(x 2c)]2 2(b a) (d c)id解：设(X 1 X 2)的均值向量为口 ，协方差矩阵为21；，则其联合分布密度函数为21/21f(X).2-2.3已知随机向量(X 1f(X 1,X 2)型21122 2exp口)2112 2 2(X口)。
X 2) c)(X 的联合密度函数为a) (b a)(X 2c) 2 2(b a) (d c)2(X 1 a)(x 2 c)] dx(C d)(b a)36COV(N，X2)X i X2(3)解：判断X i和X2是否相互独立。
X i 和X2 由于f(X!,X2) f x,X i) f x,(X2)，所以不独立。
应用多元统计分析课后答案
2.点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计量。我们选择Agglomeration schedule与Cluster Membership中的Range of solution 2-4，如图5.2所示，点击Continue按钮，返回主界面。
（其中，Agglomeration schedule表示在结果中给出聚类过程表，显示系统聚类的详细步骤；Proximity matrix表示输出各个体之间的距离矩阵；Cluster Membership表示在结果中输出一个表，表中显示每个个体被分配到的类别，Range of solution 2-4即将所有个体分为2至4类。）
（1）用最短距离法进行聚类分析。
采用绝对值距离，计算样品间距离阵
0
1 0
2 1 0
5 4 3 0
8 7 6 3 0
10 9 8 5 2 0
由上表易知 中最小元素是 于是将 ， ， 聚为一类，记为
计算距离阵
0
3 0
6 3 0
8 5 2 0
中最小元素是 =2于是将 ， 聚为一类，记为
计算样本距离阵
0
3 0
a)系统聚类法:
1.在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→HierachicalCluster，调出系统聚类分析主界面，并将变量 移入Variables框中。在Cluster栏中选择Cases单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables，则对变量进行聚类）。在Display栏中选择Statistics和Plots复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。
100
2.73
-12.31
-2.77
朱建平-应用多元统计分析课后答案解析
第二章2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=-- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后答案朱建平版
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)(x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
当 2 已知
z (X 0 ) n
当 2 未知
t (X 0) n S
（ S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
n1
S jj ~ Wp (n 1, ) j 1
2.10.设 X i (ni p) 是来自 N p (μi , Σi ) 的简单随机样本， i 1, 2,3, , k ，
（1）已知 μ1 μ2 ... μk μ 且 Σ1 Σ2 ... Σk Σ ，求 μ 和 Σ 的估计。
（2）已知 Σ1 Σ2 ... Σk Σ 求 μ1, μ2 ,...,, μk 和 Σ 的估计。
i 1
ln
L(μ, Σ)
1 2
pn ln(2 )
n 2
ln
Σ
1 2
k a 1
na i 1
(xia
- μa )Σ-1(xia
-μa )
ln L(μ, Σ) n Σ1 1 k
Σ
2
2 a1
na
(Xia μa )(Xia μa )
i 1
Σ1
2
0
ln L(μ j , Σ)
应用多元统计分析课后答案-朱建平版
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
应用多元统计分析课后答案朱建平版
j 1
j 1
所以 Ζ1 Ζ2
Ζn1 独立同 N (0, Σ) 分布。
n
又因为 S (X j X)(X j X) i 1
n
X j Xj nXX j 1
因为
nXX
n
n
1 n
n
i 1
Xi
n
1 n
n i 1
Xi
ZnZn
X1
又因为
n
X jXj X1
j1
X2
Xn
X2
阵，如图 2.4。单击 Continue 按钮，返回主对话框。
图 2.4 Options 子对话框
3.
单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
出相关分析表，见表 2.2。表中 Covariance 给出样本协差阵。（另外，Pearson
Correlation 为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products 为样本离
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
fx1 (x1)
d c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
dx
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
d c
2[(b
a)( x2 (b
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
c
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
c
d 0
c
2[(b a)t 2(x1 a)t (b a)2 (d c)2
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2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。
2.2设二维随机向量12()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设12()X X '的均值向量为()12μμ'=μ，协方差矩阵为21122212σσσσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其联合分布密度函数为1/21222112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪'=---⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x μx μ。
2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----=--其中1ax b ≤≤，2c x d ≤≤。
求（1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；（3）判断1X 和2X 是否相互独立。
（1）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()()()dx cd c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--⎰12212222222()()2[()()2()()]()()()()dd c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----⎰ 121222202()()2[()2()]()()()()dd c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------=+----⎰ 2212122222()()[()2()]1()()()()d cdc d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a------=+=----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a+，方差为()212b a -。
同理，由于2X 服从均匀分布[]2121,()0x x c d f x d c⎧∈⎪=-⎨⎪⎩其它，则均值为2d c+，方差为()212d c -。
（2）解：随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；12cov(,)x x12121212222[()()()()2()()]22()()dbca d c x ab a xc x a x c a bd c x x dx dx b a d c --+-----++⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()36c d b a --=1212cov(,)13x xx x ρσσ==（3）解：判断1X 和2X 是否相互独立。
1X 和2X 由于121212(,)()()x x f x x f x f x ≠，所以不独立。
2.4设12(,,)p X X X X '=服从正态分布，已知其协方差矩阵∑为对角阵，证明其分量是相互独立的随机变量。
解： 因为12(,,)p X X X X '=的密度函数为1/2111(,...,)exp ()()2pp f x x --⎧⎫'=---⎨⎬⎩⎭Σx μΣx μ 又由于21222p σσσ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Σ 22212pσσσ=Σ212122111p σσσ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Σ 则1(,...,)p f x x211/2222212122111exp ()()21pp p σσσσσσ--⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪'==--=-⎨⎬⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭Σx μΣxμ()222123111222212()()()111exp ...222pp p p p x x x μμμσσσσσσ-⎧⎫---⎪⎪=----⎨⎬⎪⎪⎩⎭2121()()...()2pi i p i i x f x f x μσ=⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭ 则其分量是相互独立。
2.6 渐近无偏性、有效性和一致性； 2.7 设总体服从正态分布，~(,)p N XμΣ，有样本12,,...,n X X X 。
由于X 是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X 也服从正态分布。
又()111()n nni i i i i E E n E n n ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑X X X μμ()2211111()n nn i i i i i D D n D n n n ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑ΣX X X Σ 所以~(,)p N X μΣ。
2.8 方法1：11ˆ()()1n i i i n ='=---∑ΣX X X X 111ni i i n n =''=--∑X X XX11ˆ()()1ni i i E E n n =''=--∑ΣX X XX ()()111n i i i E nE n =⎡⎤''=-⎢⎥-⎣⎦∑X X XX 111(1)11n i n n n n n =⎡⎤=-=-=⎢⎥--⎣⎦∑ΣΣΣΣ。
方法2：1()n i i i ='=∑SX -X)(X -X 1((ni i i ='⎡⎤⎡⎤=----⎣⎦⎣⎦∑X -μX μ)X -μX μ)11()()2()()()nni i i i i n =='''=-+--∑∑X -μX -μX -μX -μX μ)(X μX μ1()()2()()ni i i n n ='''=---+--∑X -μX -μX μ)(X μX μ)(X μ1()()()ni i i n =''=---∑X -μX -μX μ)(X μ11()()()()11n i i i E E n n n =⎛⎫''=--- ⎪--⎝⎭∑S X -μX -μX μ)(X μ 11()()()1n i i i E nE n =⎛⎫''=---= ⎪-⎝⎭∑X -μX -μX μ)(X μΣ。
故1n -S 为Σ的无偏估计。
2.9.设(1)(2)()n X ,X ,...,X 是从多元正态分布~(,)p N XμΣ抽出的一个简单随机样本，试求S 的分布。
证明：设******()***1ij n γ⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎭Γ为一正交矩阵，即'=ΓΓI 。
令()'12n 12n Ζ=(ΖΖΖ)=X X X Γ，(1,2,3,4,),i n =i X Γ由于独立同正态分布且为正交矩阵 所以12()n 'Z =Z Z Z 独立同正态分布。
且有1()()(1,2,3,,1)na aj jj E E r a n ===-∑ΖΧ1najj ==r 10najnj i r r ='==∑ 1()()na aj j j Var Var r ==∑ΖΧ()2211n naj j aj j j r Var r =====∑∑ΧΣΣ所以121n -ΖΖΖ独立同(0,)N Σ分布。
又因为1()()nj j ='=--∑i S X X X X1nj j j n =''=-∑X X XX因为11n n i i n n i i n n =='⎫''==⎪⎭XX X X Z Z 又因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='∑=n n nj jjX X X X X XX X 21211()'⎛⎫ ⎪' ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭1212n n X X X X X ΓΓX ()'⎛⎫ ⎪' ⎪= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭1212n n Z Z Z Z Z Z 所以原式nnnj jjnnnj jjZ Z Z Z Z Z X X '-'='-'∑∑==111122...n n ''''=+++n n Z Z Z Z Z Z -ΖΖ故11n j jj -='=Z Z ∑S，由于121,,,n Z Z Z -独立同正态分布(0,)p N Σ，所以11~(1,)n j j p j W n -='=Z Z -∑∑S2.10.设()i i X n p ⨯是来自(,)p i i N μΣ的简单随机样本，1,2,3,,i k =，（1）已知2...k ====1μμμμ且2...k ====1ΣΣΣΣ，求μ和Σ的估计。
（2）已知2...k ====1ΣΣΣΣ求2,,...,,k 1μμμ和Σ的估计。
解：（1）11121ˆ...an k a ia i kn n n ====+++∑∑μx x，()()1112ˆ...an k aa ii a i kn n n =='--=+++∑∑xx x x Σ(2)1ln (,,,)k L μμΣ2111ln ()exp[]2a n k n paa i a i a a i 2π-=='⎡⎤=-⎣⎦∑∑-1Σ(x -μ)Σ(x -μ)1111ln ()ln()ln 222a n k aa i a i a a i n L pn 2π=='=---∑∑-1μ,ΣΣ(x -μ)Σ(x -μ)()21111ln (,)1()()022an k a a i a i a a i L n --==∂'=-+--=∂∑∑μΣΣX μX μΣΣ11ln (,)()0(1,2,...,)jn j ij j i jL j k -=∂=-==∂∑μΣΣX μμ 解之，得11ˆjn j j iji jn ===∑μx x，()()1112ˆ...jn kj j j i kn n n =='--=+++∑∑ijij xx x x Σ第三章3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。
其基本思想和步骤均可归纳为：第一，提出待检验的假设和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。