高等量子力学_第1章希尔伯特空间

加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1 l 2 m2 lm l 3 m3 l m 4 4
l1 l 2 l l3 l 4
* * * (l, m) l1* m1 l2 m2 l3 m3 l4 m4
量子力学的五个原理：
原理3. 微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi (i = 1, 2,
3), 与相应的正则动量算符Pi 有下列对易关系：
ˆ ,X ˆ 0 , P ˆ ,P ˆ 0, X i j i j
ˆ ,P ˆ i X i j ij
原理4. 微观系统的状态|y(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程
f ( x), g ( x) a
b
f * ( x) g ( x)dx
这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是

b
a
f * ( x) f ( x)dx
§1-2 正交性和模
（y，） 0 ，我 如果两个矢量y 和 的内积为零，即
们说这两个矢量正交。
矢量同它自己的内积 是一个大于零的实数， （y，y） 称为矢量y 的模方，记作
对给定任意小的实数 0 ，有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 （y m y n ,y m y n）
在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。
下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明：
设在空间中有 1 和 2 ，对所有矢量y 都满足
具有加法与数乘两种运算并满足条件（1）~（8）的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间， 而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。 在本章中， 矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。
空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序列 { y 1 ,y 2 ,y 3 ,...}的极限也必须在本空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：
（y，y） y
2
模方的正平方根称为模， 记作 y ， 又可称为矢量y 的长度。 模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。
下面我们证明两个与模有关的基本关系。
Schwartz不等式： 对于任意矢量y 和 有
（y，） y
（1.1）
证明： 给定y 和 后，构造一个矢量 ，
y
(y ,y ) y 2 Re( y ) , y y (y , , ) ( )y 2 (y , ) y
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2y
2
y ) y 2 Re(y , ) y 2 (y , ) y 2y
证明：
若 1 , 2 都是y 的逆元，即
y 1 ,y 2
于是
1 1 1 (y 2 ) (1 y ) 2 (y 1 ) 2 2 2
证明了 1 2 ，即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据 条件（3） ，第三步根据条件（1） 。
这是一个复数域上的内积空间。
第四个例子
数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f ( x) 的全体，而且都是平方可 积的。 所谓 “行为较好” 是指满足一定数学要求， 如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法 和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的内积为
条件（1）y y （交换律）
条件（2）y ( ) (y )
（结合律）
条件（3）集合中有零矢量 存在，对任意矢量y 满足
y y
（加法单位元存在）
条件（4）对集合中任意矢量y ，都有矢量 存在，满足
y
（加法逆元存在）
我们把满足条件（4）的 记为
y 1 y ,y 2 y
取第一式的y 为 2 ，第二式中的y 为 1 ，分别得
2 1 2 ,1 2 1
于是，根据条件（1） ，
2 2 1 1 2 1
即 1 2 ，只有唯一的零矢量。
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
y y
2 2
于是得
y y
§1-3 基矢
1. 线性无关
矢量空间中有限个（n 个）矢量的集合 y i ，若下式
y a
i 1 i
n
i
0
(1.3)
只有当全部复数 ai (i 1,2,3,...,n) 都为零时才成立， 则这 n 个 矢量 y i 是线性无关的。
n 1 1 1 1 s0 1, s1 1 , s2 1 ,...,sn 1! 1! 2! i 0 si !
这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当n 的极限是 e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。
第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引
§1 矢量空间
主要内容：
§1-1 定义 §1-2 正交性和模 §1-3 基矢 §1-4 子空间 §1-5 右矢和左矢
§1-1 矢量空间的定义
我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。
出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中
位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘
中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘
以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的
内积空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵：
l1 l2 l l 3 l 4
原理1. 描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量， 相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态。
原理2. (1) 描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算
符；(2) 物理量所能取的值，是相应算符的本征值；(3) 物理
量A在状态|y>中取各值ai 的概率，与态矢量|y>按A的归一化 本征矢量{| ai >}的展开式中| ai >的系数的复平方成正比。
ˆ y t i y t H t
量子力学的五个原理：
原理5. 描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，
是对称的或反对称的。服从前者的粒子成为玻色子，服从后
者的粒子称为费米子。
以五个基本原理为出发点，在五个基本原理之上建立量子力学 的理论体系。
第一章 希尔伯特空间
本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积
量子力学II
赵美玉 myzhao@hit.edu.cn 86403305(office)
学好量子力学需要做到两件事：
1. 掌握描述量子力学时用到的数学工具。
2. 理解用量子力学描述物理系统的思想方法。
第一章 希尔伯特空间
第二章 量子力学的理论结构
第三章 狄拉克方程
第四章 对称性理论
第五章 角动量理论





* * * （，y） * （，y） （ ， y ） （ ，y） 2 ， （ ， y ） （ ， y ） （ ， y ） 1 2 y）（ 0 （ ， ） y （ y ， ） （ ， y ） （ 0 （， ） y （2y ， ） （，y） （ y （ y ， ） 2 2 2， 2） 22 2 2
（，y）

2

作 的模方，它一定大于或等于零：
2
(y , ) (y , )
*
* * ） （，y） （ ，y ( ,y ) （，y( ,（ y ) ，y） y (y , y ) 0 （，） （y， ） （ ， y ） 2 2 2 2 2 2
第六章 散射理论 第七章 二次量子化 第八章 辐射的量子理论
第一章 希尔伯特空间
解决量子力学的数学基础。
第二章 量子力学的理论结构
用归纳量子力学的五个原理，建立量子力学的基本框架， 使你能以一种更新的角度看到许多早已接触的知识：表象， 绘景，微扰等等，从而对量子力学的理解近一步加深了。
量子力学的五个原理：
（分配律）
条件（10） ： （y , ）=（y , ）+ (y , )
条件（11） ： y , y ,
(y , ) * (y , )
条件（12） ： (y ,y ) 0 对任意y 成立；若 (y ,y ) 0 ，则必有
y
条件（6） ： (y a)b y (ab)
（结合律）
条件（7） ：y (a b) y a yb
（第一分配律）
条件（8） ： (y )a y a y a
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
内积
两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，
（3）y 0 （4）y (1) y （5） （6）如果y ，那么 0 或者y
（7） (y , ) * (y , ) （8） (y , ) (y , ) ( , ) （9） (y , ) 0
下面，讨论几个矢量空间的例子。
同时把 (y ) 记为
y
y
数乘
集合内任意一矢量可以与数（实数或复数）相乘，
得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规则， 使任意矢量y
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
y a ay
称为y 与 的乘积。 数乘要满足下列四个条件：
条件（5） ：y 1 y
第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所 有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积 为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢 量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数， 这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。
值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间 之外。例如取以下序列：
按一定次序任取两个矢量y 与 ，总有一个数 c 与之相对应，记作
(y , ) c
在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：
条件（9） ： (y , ) ( ,y )* （ c* 表示 c 的复共轭）
2Байду номын сангаас2
y
2

1

2
1 2 2 2 y （ y ， ） （ ，） 2 2

由于
0 ，所以有 （y，） y
2
2

2
即 （y，） y
三角形不等式： 对于任意y 和 ，有
y y
（1.2）
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取y 的模方，利 用此关系和 Schwartz 不等式，有
y ,, ,... ， 我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合
在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。
加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢 量y 和 ，总有一个确定的矢量 与之对应，记成
y
加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：