第4章 希尔伯特空间
量子力学中的希尔伯特空间与波函数
量子力学中的希尔伯特空间与波函数在量子力学中，希尔伯特空间是一个非常重要的概念，它是处理量子系统的基础数学工具。
那么什么是希尔伯特空间呢？希尔伯特空间实际上是一个向量空间，其中的向量是无限维的。
这个向量空间具有特殊的性质——它是完备的。
这意味着在希尔伯特空间中，所有的收敛序列都有一个极限。
在量子力学中，态矢量就是希尔伯特空间中的向量。
态矢量描述一个量子系统的状态，它包含了所有可以被观测到的信息。
在经典物理中，我们通常使用变量来描述一个系统，例如位置，速度和动量等。
但在量子力学中，我们使用波函数来描述一个系统的状态。
波函数实际上是一个复数函数，在量子力学中代表了一个物理系统的状态。
它描述了一个量子系统所处的状态，包括位置、动量、自旋等信息。
波函数的模的平方给出了在某个位置观测到粒子的概率幅。
在希尔伯特空间中，波函数就是一个态矢量。
由于希尔伯特空间是完备的，因此波函数也是完备的。
这意味着任何另一个状态都可以被描述为一组波函数的线性组合。
波函数的演化是由薛定谔方程描述的。
在给定初始状态下，薛定谔方程可以精确地预测未来的演化。
因此，波函数成为了处理量子系统的核心概念之一。
需要注意的是，波函数并不是真实存在的物理实体。
它只是用来描述一个量子系统的状态的数学工具。
在观测到一个粒子时，波函数将塌缩成一个特定的值，这个过程被称为测量。
同一量子体系的不同观测结果可看为测量各种物理量得到的结果。
这些结果所形成的概率分布是由波函数的模的平方决定的。
除了态矢量和波函数，希尔伯特空间还包括了操作符，也就是量子力学中的算符。
这些操作符代表了对量子系统的观测和演化过程，它们在希尔伯特空间中也是向量。
操作符可以作用于态矢量，产生新的态矢量，这个过程被称为一个量子态的演化。
总之，希尔伯特空间和波函数是量子力学中非常重要的概念，它们为我们描述量子系统提供了一些非常强大的数学工具。
虽然它们可能难以理解，但我们仍然可以使用这些工具来预测未来的物理现象。
希尔伯特空间
希尔伯特空间在数学中，希尔伯特空间（以大卫·希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从二维和三维欧几里得空间推广到可能具有无限维数的空间。
希尔伯特空间是一个具有内积运算的向量空间，它允许定义距离函数和垂直度（称为正交性）。
此外，对于这个距离，希尔伯特空间是完备的，这意味着空间中有足够的限制，可以使用微积分技术。
希尔伯特空间在数学和物理中自然而频繁地出现，典型的是无穷维函数空间。
在偏微分方程、量子力学、傅立叶分析（包括信号处理和传热的应用）和遍历理论（形成热力学的数学基础）中，它们是不可或缺的工具。
约翰·冯·诺伊曼创造了希尔伯特空间这个术语，用来描述这些不同应用的抽象概念。
希尔伯特空间方法的成功开创了一个非常富有成果的泛函分析时代。
除了经典的欧几里得空间外，希尔伯特空间的例子还包括平方可积函数空间、序列空间、由广义函数组成的索伯列夫空间和全纯函数的哈代空间。
几何直觉在希尔伯特空间理论的许多方面都起着重要的作用。
毕达哥拉斯定理和平行四边形定律在希尔伯特空间中有确切的类比。
在更深层次上，在子空间上的垂直投影在优化问题和理论的其他方面起着重要的作用。
希尔伯特空间理论是代数、拓扑和几何的融合。
在这个意义上，代数和几何之间的“相互作用”是相当平滑的。
不过，只要考虑到无限维线性空间，情况就会发生变化，这也是拓扑学出现的地方。
对于无限维线性空间，所有的线性算子都是连续的，算子的收敛具有单一的含义，任何线性空间都与它的双重对偶自然同构，而且封闭单位球是紧凑的。
这些便利条件在无限维的情况下并不存在。
虽然基数确实存在，但其存在的证明是非结构性的，而且往往不能明确地给出基数。
因此，依靠坐标和矩阵的技术通常是不合适的。
线性算子不一定是连续的，事实上，许多感兴趣的线性算子都不是连续的。
由两个线性空间之间的所有线性算子组成的空间带有两种不同的拓扑结构，因此也有两种不同的收敛概念。
对偶空间的正确概念是所有连续线性算子进入地五十度的空间，即使如此，原空间也只嵌入其双重对偶中。
希尔伯特空间入门
希尔伯特空间入门希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，它在数学分析、量子力学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍希尔伯特空间的基本概念、性质以及一些常见的例子。
一、希尔伯特空间的定义希尔伯特空间是一个向量空间，它具有内积的结构。
设H是一个实数域或复数域上的向量空间，如果在H上定义了一个满足以下条件的二元运算（内积）<x, y>，则称H为希尔伯特空间：1. 对于任意的x, y∈H，有<x, y>=<y, x>（对称性）；2. 对于任意的x, y, z∈H和任意的实数a，有<a*x+y, z>=a<x,z>+<y, z>（线性性）；3. 对于任意的x∈H，有<x, x>≥0，并且当且仅当x=0时，<x, x>=0（正定性）。
二、希尔伯特空间的性质1. 希尔伯特空间是一个完备的度量空间。
这意味着在希尔伯特空间中，任意一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。
2. 希尔伯特空间中的范数可以由内积来定义。
对于任意的x∈H，定义||x||=√<x, x>，则||x||是H上的一个范数。
3. 希尔伯特空间中的向量可以进行正交分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果<x, y>=0，则称x和y是正交的。
4. 希尔伯特空间中的向量可以进行投影分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果y是x的一个投影，则y是x在H上的正交投影。
三、希尔伯特空间的例子1. 有限维希尔伯特空间：设V是一个n维向量空间，定义内积为<x, y>=x1y1+x2y2+...+xnyn，则V是一个希尔伯特空间。
2. L2空间：L2空间是所有平方可积函数的集合，定义内积为<f,g>=∫f(x)g(x)dx，则L2空间是一个希尔伯特空间。
第4讲希尔伯特(Hilbert)空间
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
希伯特空间上的算子理论及应用
希伯特空间上的算子理论及应用算子理论是函数分析的重要分支领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
其中，希伯特空间上的算子理论尤为重要，它是通过研究希伯特空间中的线性算子性质和运算规律，来深入了解和应用算子的性质和特点。
一、希伯特空间的基本概念在介绍算子理论之前，我们首先来了解一下希伯特空间的基本概念。
希伯特空间是指一个具有内积的完备线性空间，它是由一组满足特定条件的向量所组成的。
希伯特空间具有以下几个重要性质：1. 连续性：希伯特空间中的向量和算子都是连续的，这也是它在计算和分析问题中的重要性。
2. 完备性：希伯特空间是一个完备的空间，也就是说，它中的柯西序列都能收敛于某一点。
3. 内积：希伯特空间中的向量之间定义了内积，这决定了向量的长度和夹角。
二、希伯特空间上的算子理论希伯特空间上的算子理论主要研究在希伯特空间中定义的线性算子的性质和运算规律。
线性算子是将一个希伯特空间映射到另一个希伯特空间的操作。
对于希伯特空间上的线性算子，我们有以下几个重要概念：1. 自伴算子：如果一个算子与其共轭转置相等，那么它就是一个自伴算子。
自伴算子在量子力学中具有重要的应用。
2. 酉算子：如果一个算子的逆等于其共轭转置，那么它就是一个酉算子。
酉算子在正交变换和傅里叶变换中有广泛应用。
3. 压缩算子：如果一个算子将希尔伯特空间中的向量映射到一个子空间中，且保持其长度不变，那么它就是一个压缩算子。
算子理论研究了以上概念的性质和运算规律，可以通过分析算子的特征值和特征向量来了解算子的行为和性质。
通过研究这些性质，我们可以更好地掌握希伯特空间上的算子理论，为实际问题的求解提供有力的工具和方法。
三、希伯特空间上算子理论的应用希伯特空间上的算子理论在许多不同的科学领域中都有广泛的应用，下面以几个具体领域为例进行介绍：1. 量子力学：希伯特空间上的算子理论是量子力学的重要基础，通过研究自伴算子和酉算子的性质，可以描述量子体系中的能量和态的演化规律。
hilbert空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
希尔伯特空间
希尔伯特空间欧⼏⾥得空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。
函数空间 = 元素 + 规则，即⼀个函数空间由元素与元素所满⾜的规则定义，⽽要明⽩这些函数空间的定义⾸先得从距离，范数，内积，完备性等基本概念说起。
1、度量空间：定义了距离的空间。
具体的距离：实际上距离除了我们经常⽤到的直线距离外，还有向量距离， 函数距离、 曲⾯距离、折线距离等等。
距离就是⼀个抽象的概念，其定义为：设X是任⼀⾮空集，对X中任意两点x,y，有⼀实数d(x,y)与之对应且满⾜：1. d(x,y) ≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y;2. d(x,y)=d(y,x);3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。
欧⼏⾥称d(x,y)为X中的⼀个距离。
2、线性空间、向量空间定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满⾜加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位⼀；数乘与加法的结合律（两个）共⼋点要求，从⽽形成⼀个线性空间，这个线性空间就是向量空间向量空间。
3、赋范空间定义了范数，是绝对值（形式|a-b|）的延伸，是对向量、函数和矩阵定义的⼀种距离度量形式，如距离D(a,b)=||a−b||。
在向量空间中，我们定义了范数的概念，表⽰某点到空间零点的距离：1. ||x|| ≥0;2. ||ax||=|a|||x||;3. ||x+y||≤||x||+||y||。
将范数与距离⽐较，可知，范数⽐距离多了⼀个条件2，数乘的运算，表明其是⼀个强化了的距离概念。
范数与距离的关系可以类似理解为与红富⼠苹果与苹果的关系。
接下来对范数和距离进⾏扩展，形成如下：范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间4、内积空间、欧⽒空间下⾯在已经构成的线性赋范空间上继续扩展，添加内积运算，使空间中有⾓的概念，形成如下：线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间；欧⽒空间。
欧几里得空间与希尔伯特空间
欧⼏⾥得空间与希尔伯特空间
欧⼏⾥得空间，希尔伯特空间都属于函数空间。
函数空间 = 元素 + 规划，即⼀个函数空间由元素与规则定义。
⽽要明⽩函数空间的定义得从距离、范数、内积、完备性说起。
1. 距离
距离包括各个点之间的距离，向量之间的距离，曲线之间的距离，函数之间的距离等。
距离⽤于衡量同⼀空间不同元素之间的差异，下⾯是关于距离的属性：
元素之间的距离⼤于等于0，若距离等于0则为相同元素。
A到B的距离等于B到A的距离。
满⾜三⾓不等式。
2. 范数
范数在距离的概念上加了零点限制条件。
⼆维平⾯中范数可以看做平⾯中的点到零点的距离。
拥有距离的空间成为度量空间。
拥有范数的空间称为赋范空间。
赋范空间⼀定是度量空间。
总结：元素χ的范数 ||χ|| 看作χ到零点的距离。
3. 内积
内积在范数的概念上加了⾓度限制条件。
内积空间⼀定是赋范空间。
有限维内积空间是欧⼏⾥得空间。
4. 完备性
集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。
例如：有理数组成的⼀个集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合极限为√2，⽽√2是⽆理数，不是有理数，即有理数不具备完备性。
线性完备内积空间称希尔伯特空间（不在局限于有限维，还具有完备性）。
有限维线性内积空间称欧⼏⾥得空间。
现代分析报告基础结课作业——Hilbert空间性质介绍
Hilbert空间性质介绍摘要在这篇文章中，主要是为了介绍Hilbert空间的一些性质，并且把线性分析中各个空间的性质进行了描述，这也是为了更好的描述Hilbert空间及其性质做好基础，并且把各个空间的性质关系进行了讲述，总结了在线性分析基础这门课程中的收获与感悟。
引言学习了线性分析基础的课程之后，我对于空间的理解有个更加深刻的认识，同时也对各种空间的应用与关系有着许多的困惑与不解，老师的课程十分精彩，介绍了许多原来没有接触过的知识，同时我感觉到了线性分析基础这门课程的重要性。
在接下来的文章中，我们主要想对Hilbert空间及其性质进行介绍，在介绍Hilbert空间之前，必须把Hilbert建立的基础进行描述，甚至文章的一大部分都在描述可测空间、测度空间、赋线性空间和Banach空间等，但是这些空间的性质也在Hilbert空间中得以体现，可以认为Hilbert空间是这些空间基础上比较特殊的一类空间，它在满足这些空间所具有的性质的同时也有着自己特殊的性质以及应用。
Hilbert空间是在一个复向量空间H上的给定的积并导出一种数，如果其对于这个数来说是完备的，那么这个复向量空间就是希尔伯特空间。
这里已经说明了希尔伯特空间是一个积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），可以根据它的特点和性质来进行扩展，得到我们想要得到的可以加以利用的空间。
另外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。
在下面的文章中，我们将详细的对所学的知识进行整理和阐释。
关键词可测测度空间数完备性Banach空间积空间Hilbert空间1.可测空间及其性质首先我们要对拓扑空间进行一定的了解。
假设X是一个集合，如果有一个子集族，我们定义为τ，满足以下的几点性质：（1）.空集ø和集合X是在子族集当中。
（2）在这个子集族τ的元素满足交运算封闭。
(3) τ中元素族集的并运算封闭。
那么我们称τ为X上的一个拓扑，称X为拓扑空间，而τ中的元素成为拓扑的开集，在X中，如果一个集合是这个开集的余集，那么称为闭集。
希尔伯特空间
希尔伯特空间量子化学维基，人人都可编辑的量子化学百科全书。
Jump to: navigation, searchTemplate:Zhwp在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。
希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。
简单介绍希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。
冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。
冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。
此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。
“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词，此书的英文平装版ISBN编号为0486602699。
一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。
在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。
例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。
详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。
量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。
Hilbert空间
Hilbert班级：15级自动化三班姓名：谢洪涛学号：115110001090指导老师：姚洪亮[《现代分析基础》读书报告——HILBERT 空间]摘要：本文从初学者的角度详细介绍了Hilbert空间的引出与定义，直交性与投影定理，内积空间的直交系以及Hilbert空间在量子力学中的引用。
其中包括了详细的定义定理阐述与证明，以及相应问题的典型举例。
在文章最后给出了Hilbert个人的一些介绍，可以感受到Hilbert空间理论的深刻的背景，加深对理论的学习和理解，同时也向伟大的数学家致敬。
目录1. 内积与H ILBERT空间 (1)1.1 内积的定义与性质 (1)1.2 Hilbert空间的定义 (3)2. 直交性与投影定理 (4)2.1 直交性 (4)2.2 投影定理 (5)3. 内积空间中的直交系 (8)3.1 标准直交系 (8)3.2 标准直交系的一些性质 (11)4.H ILBERT空间在量子力学中的应用 (13)4.1 对Hilbert空间的描述 (13)4.2 量子力学中对Hilbert空间的描述 (13)4.3 为何要引进Hilbert空间来描述态矢量所在空间 (14)5. 附录 (14)5.1 Hilbert简介 (14)5.3 感想与致谢 (15)5.2 参考文献 (16)1. 内积与Hilbert 空间1.1 内积的定义与性质在欧式空间中有一些重要的基本概念，如向量的内积、夹角、正交以及投影等，这些概念在欧式空间几何学中起着重要的作用。
为此，我们将把这些概念抽象化、引入到线性空间中去，就得到Hilbert 空间。
首先回顾解析几何中的有关概念：例如，在R^2中，任意两个向量),(),,(2121y y y x x x ==的内积为2211),(y x y x y x +=x 与y 的夹角为||||),(cos y x y x =α 当x=y 时，1cos =α，),(||2x x x =，从而向量长度为),(||x x x =当x 与y 正交，2πα=，0cos =α−→−0),(=y x 。
希尔伯特空间的共轭空间
希尔伯特空间的共轭空间
希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。
在希尔伯特空间中，我们可以定义向量的长度和角度，从而使得我们可以进行更加深入的研究。
而希尔伯特空间的共轭空间则是希尔伯特空间的一个重要扩展，它在数学中有着广泛的应用。
希尔伯特空间的共轭空间是指对于一个给定的希尔伯特空间H，存在一个与之对应的共轭空间H*，它包含了所有的线性连续函数。
这些函数可以将H中的向量映射到复数域中的一个数。
共轭空间H*中的元素被称为线性连续函数或者线性泛函。
共轭空间的概念在数学中有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，希尔伯特空间的共轭空间被用来描述物理系统的态空间。
在这种情况下，共轭空间中的元素被称为态矢量，它们可以用来描述物理系统的状态。
另外，在函数分析中，共轭空间也被用来描述函数的性质，例如连续性和可微性等等。
共轭空间的另一个重要应用是在泛函分析中。
在这种情况下，共轭空间被用来描述线性算子的性质。
例如，如果我们有一个线性算子T，它将一个希尔伯特空间H中的向量映射到另一个希尔伯特空间K中的向量。
那么，我们可以定义一个共轭算子T*，它将K中的向量映射到H*中的向量。
这个共轭算子T*可以用来描述T的性质，例如它是否是有界的或者是否是紧的等等。
希尔伯特空间的共轭空间是一个非常重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
它可以用来描述物理系统的态空间，函数的性质以及线性算子的性质等等。
因此，对于数学学习者来说，深入理解共轭空间的概念是非常重要的。
希尔伯特空间有界序列有弱收敛的子列
希尔伯特空间有界序列有弱收敛的子列下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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对希尔伯特空间的理解
对希尔伯特空间的理解希尔伯特空间是一种数学概念,描述了一组公理和定义,使得可以通过定义线性变换和模运算来描述空间中元素之间的关系。
希尔伯特空间的概念可以追溯到19世纪,当时数学家们开始研究空间的性质,特别是在微积分和线性代数中。
希尔伯特空间是这些领域的一个重要分支,因为它提供了一种有效的方法来定义和描述各种数学对象之间的关系。
在希尔伯特空间中,一个元素称为点,一个线性变换称为矩阵,模运算称为标量乘法。
这些概念在物理学、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。
以下是一些关于希尔伯特空间的基本概念和定理:1. 希尔伯特空间的基:一个希尔伯特空间的基是指满足以下条件的元素:a. 它们都是希尔伯特空间的点;b. 对于任意的点x和y,它们的线性变换对应的矩阵的行列式都不为0;c. 对于任意的向量v和w,它们的标量乘法结果为0,即v·w=0。
一个希尔伯特空间的基是称为线性无关的,因为对于任意的向量x和y,它们都可以唯一地表示为基向量v和w的线性组合。
2. 希尔伯特空间的标量乘法:标量乘法是指将两个向量相加得到它们的和。
对于希尔伯特空间中的向量,标量乘法的定义如下:a. 两个向量v和w的标量乘法是指它们对应矩阵的行列式的乘积;b. 对于任意的向量x,它的标量乘法结果为v·x,即x·v=v·x。
希尔伯特空间的标量乘法是基本的数学运算之一,可以用于求解线性方程组和进行向量空间的推广。
3. 希尔伯特空间的线性变换:线性变换是指将一个希尔伯特空间映射为另一个希尔伯特空间的空间的变换。
线性变换的定义为:a. 一个线性变换是一个矩阵,它满足矩阵的行列式不为0;b. 对于任意的基向量,线性变换可以唯一地表示为一个由这些向量构成的矩阵的乘积;c. 对于任意的点x和y,线性变换可以将希尔伯特空间中的向量v映射为y-x,即v(y-x)。
希尔伯特空间的线性变换是空间变换的基础,它在物理、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。
量子力学中的Hilbert空间
量子力学中的Hilbert空间罗XX（XX大学物理科学学院XX级光X班）摘要解偏微分时，需要解本征值方程，常用的方法是级数法。
这时需要有一个函数空间，其轴是一组正交完备系。
由一组正交完备的基底通过线性叠加组成方程的解。
本征解既是在一个具体表象（固定坐标轴）中只有一个轴表示。
这个空间叫做希尔伯特空间。
关键词Hilbert空间、态、态矢量、表象引言在量子力学的研究中用到了Hilbert空间来描述微观系统的态空间，为研究带来了理论基础及方便。
一、对Hilbert空间的描述在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。
希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。
[1]二、量子力学中对Hilbert空间的描述同一个态可以在不同的表象中用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式也不同，但他们描写同一个态。
这和几何中一个矢量可以在不同的坐标系中描写类似。
矢量A可以在直角笛卡尔坐标中用三个分量（Ax,Ay,Az）来描写，也可以在球极坐标中用三个分量（Ar,Aθ,Aφ）来描写等等。
在量子力学中，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。
选取一个特定的Q表象，就相当选取一个特定的坐标系。
Q的本征函数u1(x)u2(x)u3(x)···un(x)···是这个表象的基矢。
这相当于直角坐标系中单位矢量i,j,k。
波函数（（a1(t)a2(t)···）是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向的“分量”。
希尔伯特空间 柯西施瓦布不等式
希尔伯特空间柯西施瓦布不等式
希尔伯特空间（Hilbert Space）是数学中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。
在这个空间中，向量之间的内积被定义为一个满足特定性质的函数，这个函数可以度量向量之间的“夹角”以及向量的“长度”。
希尔伯特空间为许多数学和物理领域提供了强大的工具，包括量子力学、调和分析、数值分析等。
柯西施瓦布不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是希尔伯特空间中的一个基本不等式，它表述为：对于任意两个向量x和y，在希尔伯特空间中，它们的内积的绝对值不超过它们各自模的乘积，即 |<x, y>| ≤ ||x|| ||y||，其中||x||和||y||分别表示向量x和y 的模。
柯西施瓦布不等式的应用非常广泛。
在数值分析中，它常用于估计误差界限；在优化理论中，它是很多优化算法的基础；在信号处理中，它被用来描述信号之间的相关性。
此外，这个不等式也是量子力学中许多重要结论的基础，如不确定性原理。
柯西施瓦布不等式不仅在数学中占据重要地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
它提供了一种度量向量之间关系的方式，同时也是许多数学定理和物理原理的基础。
在希尔伯特空间中，柯西施瓦布不等式是一个强有力的工具，它帮助我们理解和处理向量空间中的各种问题。
希尔伯特空间傅里叶变换
希尔伯特空间傅里叶变换
以希尔伯特空间傅里叶变换为标题，我们来探讨一下这个主题。
什么是希尔伯特空间？希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，它满足完备性和可分性的条件。
在希尔伯特空间中，我们可以定义内积和范数，从而可以进行向量的加法和数乘运算。
接下来，我们来看一下傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合的方法。
它在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有广泛的应用。
在希尔伯特空间中，我们可以定义傅里叶变换为一个线性算子，它将一个函数映射到另一个函数。
具体来说，我们可以将一个函数表示为一组正交基的线性组合，然后通过傅里叶变换将其转换为另一组正交基的线性组合。
希尔伯特空间傅里叶变换具有许多优良的性质，比如线性性、平移不变性、对称性等。
它还可以用于求解微分方程、计算积分等问题。
希尔伯特空间傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用。
通过深入研究它的性质和应用，我们可以更好地理解和应用它。
第四章 态和力学量的表象
章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。
对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质？(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。
（一）.态的表象1．特例动量本征函数组成完全基任意态利用：是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。
2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示：分立本征值：本征函数：是态中测量力学量所得结果为的几率。
为态在表象中的表示。
用矩阵表示：同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系特定表象本征函数（二）态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系：左乘取标积,对积分即：矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。
[证明]即：。
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。
算符在自身表象的矩阵：算符在其自身表象中是一对角矩阵。
如具有连续本征值，本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。
[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数，利用公式(1)(2)(3)二．力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
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( Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
证明：
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ， 满足下列三条（内积公理）：
① 对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
(x, y)U ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2, ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2, ), y ( y1, y2, ) l2，定义
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
M {y y x,x M}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形公式）。
§4. 2 正交分解与投影定理
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
③ 正定性：(x, x) 0， (x, x) 0 x 0
则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理 x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
第4章 希尔伯特（ Hilbert）
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。