2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案(1)
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题(6×2)cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间(0,)内( )。
A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时,与相比是( )A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( )A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( )A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=xx2211、( )=x+1、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。
这条直线方程为:x23、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1x5、若则的值分别为:x+2x-31 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x=-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小( )2、0sin limx xx→-∞+∞在区间(,)是连续函数()3、0f"(x )=0一定为f(x)的拐点()4、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( )5、设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解:原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解:33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴=3 24lim(cos )x x x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xx e →→→→→→→-=---=====-∴=解:原式=原式4 (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦解:5 3tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dx x xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:原式=( = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解:原式= = = =五、证明题。
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷一、选择题(6×2)cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间(0,)内( )。
A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时,与相比是( )A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( )A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( )A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=xx2211、( )=x+1、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。
这条直线方程为:x23、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1x5、若则的值分别为:x+2x-3三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( )2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间(,)是连续函数()3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点()4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( )5、 设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。
微积分试卷(含答案)
微积分试题一、 填空题(每题2分⨯10=20分)1、函数()f x =的定义域是2、 设()2f x x =- ,则[(2)]f f =3、 22929lim 1n n n n →∞--=- . 4、 0sin 5limsin x x x→= 5、 1lim(1)x x x →∞+= 6、 '(arcsin )x =7、 函数2y x =,则=dy 8、 函数3x y e =的导数为 . 9、 02sin lim x x x→= . 10、数学思维从思维活动的总体规律的角度来考察,可分为形象思维、 、和直觉思维。
二 选择题(每题2分⨯5=10分)1、 若),1()(+=x x x f 则=-)(x f ( ).A x(x-1)B (x-1)(x-2)C x(x+1)D (x+1)(x+2)2、1sin(1)lim 1x x x →-=-( ). A 1 B 0 C 2 D 21 3、 函数)(x f 在0x x =处有定义是)(x f 在0x x =处连续的( ).A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 无关条件4、设)(x f y -=,则='y ( ).A )('x fB )('x f -C '()f x --D )('x f -5、 设函数(),()u x v x 在x 可导,则( )A []uv u v '''=B []uv u v '''=-C []u v u v '''⨯=+D []uv u v uv '''=+三、计算题(每小题6分,共24分)1、已知2(tan )6sec f x x =-,求)(x f 2、求极限333lim 22x x x x→∞- 3、求极限0tan sin lim x x x x→- 4、求极限10lim(14)xx x →+四、计算题(每小题8分,共24分)1、求4x y x e =的导数2、设)(x y y =由隐函数5y e xy =+确定,求y '。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
因为 d = 9 5 3 ,从而最短距离为 9 − 5 3 ,最长距离为 9 + 5 3 .
x x
2. 设函数 ϕ ( x ) 连续, 且满足 ϕ ( x ) = e + tϕ ( t )dt − x
x 0
∫
∫
0
ϕ ( t )dt , 求 ϕ ( x ) .
解: 等式两边对 x 求导得 再求导得微分方程 微分方程的特征方程为
2 2 2 2 2
Lx = 2 x − 2 xλ + µ = 0 (1) L = 2 y − 2 yλ + µ = 0 (2) y Lz = 2 z + λ + µ = 0 (3) z x2 + y 2 (4) = 1 (5) x + y + z =
(1)-(2)得: ( x − y )(1 − λ ) = 0 即 = λ 1或 = x y 若 λ = 1 ,带回(1)得 µ = 0 ,由(3)可得 z = − 故 y = x ,由(4) ,可得 z = 2 x ,代入(5)式
′ f= lim y (0, 0)
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微,则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
0 0
2
2
2
= ∫ (− y 2 + xy 3 ) dx = ∫ (−4 + 8 x)dx = (−4 x + 4 x 2 ) = 8 .
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题(每小题7分,共35分) 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题(每小题7分,共28分)1 设当0→x 时,c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小,求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数,求.dx dy 4 求证:.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、(8分)设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导,又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =,上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件,并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线,记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ,(1) 求图形D 的面积;(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、(7分)求证:方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、(8分)一圆柱形桶内有500升含盐溶液,其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合),同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
微积分试卷(附答案)
微积分试卷一、填空题(每题3分,共30分) 1、函数)1ln(3-+-=x x y 的定义域是____________.2、设xx f -=11)(则=))(1(x f f ________________. 3、已知654lim25=-+-→x kx x x ,则k =________________. 4、=+-∞→xx x x )11(lim ____________. 5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,1sin )(x a x xx x f 为),(+∞-∞上的连续函数,则a =____________ . 6、设)(x f 在0=x 处可导,且0)0(=f ,则=→xx f x )(lim 0. 7、已知xxx f +=1)1(,求)(ln x f '= . 8、曲线)1ln(2x y +=的在区间__________________单调减少。
9、若xe-是)(x f 的原函数,则=⎰dx x f x )(ln 2_____________.10、⎰=xdx x ln _____________. 二、单选题(每题3分,共15分)1、下列极限计算正确的是( )A . 111lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x B. e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0C . 1sin lim=∞→x x x D. 11sin lim 0=→xx x2、函数11arctan )(-=x x f 在x =1处是( ).A. 连续B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 第二类间断点3、函数3)(x x f =在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理,则其ξ=( ).A . 3 B.3- C.33-D. 33 4、当0→x 时,与2x 等价的无穷小是( )。
A. 12-xeB. )21ln(x+ C. )cos 1(2x - D.x arctan5、设)()(x f x F =',则下列正确的表达式是( ) A .⎰+=C x f x dF )()( B. C x F dx x f +=⎰)()(C.⎰+=C x f dx x F dx d)()( D. ⎰+='C x f dx x F )()( 三、计算题(每题8分,共32分)1、求极限xx xx x 3220sin sin lim -→2、求曲线x yy x arctan ln22=+所确定的函数)(x f y =在)0,1(处的切线方程。
微积分(经管类)14-15-1期末试题答案202212
微积分(经管类)14-15-1期末试题答案202212学院-------------------------------专密封业线班学----------------------------------------号密封线姓----------------------------------------名密封线---------------------------------------天津工业大学(2022—2022学年第一学期)《微积分(经管)》期末试卷(A卷)(2022.1理学院)满分21307888810题目一二三四五六七八总分复核得分评阅人一.满分21填空题(每空3分,请将答案写在空格处)得分e某31、求极限lim1某01co某(1co某)4。
co某2、设y2某2(某1)的第一类间断点为:某1。
3、设f(某0)0存在,且当某0时,f(某0某)f(某0)与A某是等价无穷小,则常数Af(某0)。
4、积分15某21in某co某某41某2d某=16。
5、函数y某arcin某in(tan某)的微分dy[arcin某某1某2ec2某cotan某]d某。
《微积分(经管)》第1页共8页装订线装订线装订线6、函数y某某(某1)(某2)的水平渐近线为y1。
7、生产某产品的固定成本C0,边际成本和边际收益分别为MCq214q111,:MR100-2q,求厂商利润表达式(只列式子不计算)L(q)1002qq214q111dqC0。
0q满分30二.求下列各题(每小题5分,共30分)得分1、2(某lim某1(a某b))0,求常数a,b的值。
某1tt2abt1解:令某,代入已知等式有lim0,t0tt2从而必有lim(1ttabt)0,即得:a1.t012(tt)1tt1bt12此时,原式limlimbb0,t0t0tt21b.22某2a2、lim8,求常数a。
某某a某某2a某3a3a某a某)lim(1)e3a8,解:由lim(某某a某某a得aln2.某a3a《微积分(经管)》第2页共8页3、设yy(某)是由某yeye确定隐函数,求y(某),y(0)。
最新微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.1lim 2xx -→=_________。
(A ) -∞ (B ) +∞ (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x xf x x+=的极限为 _________。
(A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
(A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的ξ= 。
3.设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4.设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
14-15第一学期微积分I高等数学期末试卷及答案(A卷)
一、计算下列各题:(每小题4分,共36分)1.求极限)0(21lim 1>++++∞→p nn p pp p n 。
2.求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
3.求由曲线3y x =-,1x =,2x =,0y =所围成的图形面积。
4.计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
厦门大学《微积分I 》课程期末试卷试卷类型:(理工类A 卷) 考试日期 2015.1.215.计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
6.求方程2x ydy dx +=的通解。
7.求不定积分2(1)(1)xdx x x ++⎰。
8.求方程1y y x x'-=的通解。
9.已知11y =,21y x =+,231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解,求此方程的通解。
二、计算下列各题:(每小题5分,共30分)1. 求极限20)(02sin limx dt e x x t x x ⎰-→⋅。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
3.设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定,求dxdy 。
4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。
5.求曲线⎰=x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。
6. 设物体作直线运动,已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒,其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =(牛顿),求物体在时间间隔[]0,1(单位秒)内克服阻力所作的功。
三、计算下列各题:(每小题6分,共24分)1.求微分方程32()()1dy x x y x x y dx++-+=-的通解。
2.设0>a ,求直线231aa x y +-=与x 轴,y 轴所围三角形绕直线a x =旋转一周所得旋转体的体积。
微积分测试题一(极限、连续)答案
微积分测试题(一)极限、连续部分(答案)一、选择题(每小题3分,共21分) 1、 当0x →+时,(A )无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的(C )。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的(D )。
A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于(A )。
A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于(D )。
A ∞B 2C 0D -2 6、设函数11()1x x f x e-=-则(D )。
A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点.B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点C x=0是()f x 的第一类间断点,x=1是()f x )的第二类间断点.D x=0是()f x 的第二类间断点,x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.且 0lim ()x f x →=∞,所以x=0为第二类间断点;1lim ()0x f x +→=,1lim ()1x f x -→=-,所以x=1为第一类间断点,故应选(D). 【评注】 应特别注意:1lim 1x x x +→=+∞-,1lim 1x xx -→=-∞- 从而+∞=-→+11lim x xx e,.0lim 11=-→-x x x e7已知lim()9xx x a x a→∞+=-,则a =( C ).A.1;B.∞;C.ln 3;D.2ln3.二、填空题(每小题4分,共20分) 1、21lim(1)x x x→∞-2、 当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数3、 已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数21()2x f x -=,则函数值(0)f4、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+5、 若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf xf x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→三、解答题1、(7分)计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解:原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•= 2、(6分)计算极限 30tan sin lim x x xx →-解:原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、(7分)计算极限 123lim()21x x x x +→∞++ 解:原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、(7分)计算极限1x e →-解:原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、(7分)设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值解:因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、(8分)设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ解:32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时,()()x x αβ7、(7分)试确定常数a ,使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续解:当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷选择题(6×2)cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间(0,)内( )。
A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时,与相比是( )A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( )A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( )A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD一、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=xx2211、( )=x+1、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。
这条直线方程为:x23、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1x5、若则的值分别为:x+2x-31 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x=-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1mlimlim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( )2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间(,)是连续函数()3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点()4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x )在0x 处连续不可导( )5、 设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有1~5 FFF FT三、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →解:原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x--→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 324lim(cos )xx x →求极限4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4costan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xxe →→→→→→→-=---=====-∴=解:原式=原式4 (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎢⎥---⎦解:53tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx xxd x dxx xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:原式=( = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解:原式= = = =四、证明题。
微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项,每小题2分,共计10分)1.1lim 2xx -→=_________。
(A ) -∞ (B ) +∞ (C ) 0 (D ) 不存在 2.当0x →时,()x xf x x+=的极限为 _________。
(A ) 0 (B ) 1 (C )2 (D ) 不存在 3. 下列极限存在,则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x -∆→+∆-'=∆0()(0)()lim (0)x f tx f B tf x→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-4. 设f (x )有二阶连续导数,且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
(A ) 极小值 (B )极大值( C )拐点 (D ) 不是极值点也不是拐点 5.若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰ ()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题(每小题3分,共18分)1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导,且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2.函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理,则定理中的ξ= 。
3.设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4.设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学(2-1)》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限16 %;第二章一元函数的导数与微分16 %;第三章微分中值定理与导数的应用14 %;第四章不定积分15 %;第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一.(共3小题,每小题4分,共计12 分)判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ,如果正确,请给出证明,如果不正确请举一个反例进行说明 .1.极限xx 1sinlim 0→不存在. ( √ )--------------------------------------------------(2分)证 设x x f 1sin )(= ,取πn x n 21=,221ππ+=n y n ,),2,1( =n0lim =∞→n n x ,0lim =∞→n n y ,但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ,)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n , 由海涅定理,xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------(2分)2.若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线,则)(x f 在0x 点必可导. ( ⨯ )--------------------------------------------------------(2分) 例:3x y =在)0,0(点处有切线0=x ,但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------(2分)3.设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸,在),(b a 内二阶可导,则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . (⨯ )----------------------------------------------------------(2分)例:4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸,但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------(2分)二.(共3小题,每小题6分,共计18分) 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------(3分).0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------(3分)2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------(2分)xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------(2分).141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------(2分)3.求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------(2分) ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------(2分) 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------(2分)1.求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点,---------------------------------------------------------------------(3分)又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee,)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e , 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------(3分)2.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ,求 .)(x f '解 当0≠x 时,2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- (3分 ) 当0=x 时,0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ,⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ ( 3分 )3.设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数,求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------(3分)22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------(3分)1.求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------(3分))(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------(2分) .212C e x += ----------------------------------------------------------------------(1分)2.求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------(2分) ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------(2分) ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------(2分)3.设)(x f 在]1,1[-上连续,求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------(2分)dx x 210120-+=⎰(上半单位圆的面积)-----------------------------------(3分)242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------(1分)解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------(2分)+=0dx x 2111-+⎰-(上半单位圆的面积)-------------------------------(3分)2π=.-------------------------------------------------------------------------------------(1分)五.(本题8分)设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ;(4分)(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .(4分)解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------(1分).12-=e------------------------------------------(3分) (2) ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------(2分)⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------(2分)xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六.(共2小题,每小题6分,共计12分)1.设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------(1分).44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------(2分)2.设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落,若空气的阻力与速度成正比(比例系数为0>k ),求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ,则根据牛顿第二运动定律,有 kv mg dtdvm-=,其中g 为重力加速度,-------------------------------------------(2分) 分离变量,得m dtkv mg dv =- , 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv , 1ln 1C m t kv mg k +=-- , 1ln kC t mkkv mg --=-, t mk Cekv mg -=- (其中1kC eC -=,0>-kv mg )---------------------------------(2分)由已知0)0(v v =,代入上式,得0kv mg C -=,故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------(2分)y,],0[R x ∈∀所做功的微元:取],[dx x x +(其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分)(3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七.(本题6分)求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为:,0652=+-r r 特征根:.3,221==r r对应齐次方程的通解为:.3221x x e C e C y +=----------------------------------------(3分) 而0不是特征根,可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21,----------------(1分)B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得, 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A , 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数,得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得,.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------(2分)八.(本题8分)设L 是一条平面曲线,其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. (1)试求曲线L 的方程;(2)求L 位于第一象限的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解(1)过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为:)(x X y y Y -'=-, 令0=X ,得切线在y 轴上的截距:y x y Y '-=,由题意,得y x y y x '-=+22,即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21,)0(>x ------------(2分)令u x y =,则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简,得 C y x y =++22,由L 经过点)0,21(,令21=x ,0=y ,得21=C ,故曲线L 的方程为:,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------(2分)(2)曲线L :241x y -=在点),(y x 处的切线方程为:)(x X y y Y -'=-,即)(2)41(2x X x x Y --=--,亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y , 切线与x 轴及y 轴的交点分别为:)0,241(2xx +,).41,0(2+x -----------------------(2分)所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ,)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ,)0(>x 令0)(='x S ,得)(x S 符合实际意义唯一驻点:63=x , 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点, 故所求切线方程为: 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------(2分)。
微积分考试题库(附答案)
85考试试卷(一)一、填空1.设c b a,,为单位向量,且满足0=++c b a ,则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2.xx e 10lim +→= ,xx e 10lim -→=,xx e 1lim →=3.设211)(x x F -=',且当1=x 时,π23)1(=F ,则=)(x F4.设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0,则)(x f '=5.⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b二、选择1.曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为( )。
(A )12222=+-z y x ; (B )122222=--z y x ;(C )12222=--z y x ; (D )122222=+-z y x2.2)11(lim xx x x -∞→-+=( )。
(A )1(B )21e (C )0 (D )1-e3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'⎰dx x f x f x )]()([( ) (A )c x xf +)(; (B )c x f x +')(; (C )c x f x +'+)(; (D )c x f x ++)(4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上至少有一点ξ,使得( ) (A )0)(='ξf (B )ab a f b f f --=')()()(ξ86(C )0)(=ξf (D )ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5.设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值,则=a ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题1. 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点(3,-2,1)的平面方程。
微积分(上册)习题参考答案
参考答案0. 预备知识习题0.11.(a )是 (b )否 (c )是 (d )否2.(a )否 (b )否 (c )否 (d )是 (e )否 (f )否 (g )是 (h )否 (i )是3. {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4f , {}{}2,3,4,1,2,3,4.4. 11,,0,1,2,3,4A B禳镲?--睚镲铪 ,10,1,4A C 禳镲-=--睚镲铪 ,11,,0,1,2,74A D A 禳镲?=--睚镲铪.5. 1,32A Bx x R x 禳镲??<睚镲铪, {,12}A B x x R x =危 ,{},23A B x x R x -=?<.6~15. 略。
16. 证明:先证()()()A B C A B A C --?惹.若()x A B C ?-,则,x A x B C 蜗-①如果x C Î,则,x A B C 蜗-;②如果x C Ï,则x B Ï,所以x AB ?,也有()()x A B AC ?惹,因此有()()()A B C A B A C --?惹.再证()()()A B C A C A B C --惹?-.若()()x A B A C ¢?惹,则,x A B ¢?或x A C ¢吻.①如果x A C ¢吻,有x C ¢Î,所以,x B C ¢?,又x A ¢Ï,于是()x A B C ¢?- ②如果x A C ¢锨,x A B ¢?,则有x A ¢Î,x C ¢Ï,x B ¢Ï,所以,x B C ¢?,于是()x A B C ¢?-. 因此有()()()A B A C A B C -惹?-.综上所述,()()()A B C A B A C --=-惹,证毕. 17~19. 略。
20142015微积分(上)期末试卷A答案
北京师范大学珠海分校2014-2015学年第一学期期末考试试卷A (参考答案)开课单位:_ 应用数学学院___课程名称:_微积分(上)(3学分)_ 任课教师:__ __考试类型:_闭卷_ 考试时间:_120 分钟 学院_________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明:(本试卷共4页,满分100分)------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题:(共5小题,每空 3分,共 30分)(1)函数y=arctanx 的定义域是__(,)-∞+∞__,其微分。
(2)函数f(x)在点0x 处连续,必须同时满足的条件是:1、f(x)在点0x 有定义,2、_0lim ()x x f x →存在__,3、_00lim ()()x x f x f x →=__。
(3) 曲线y=(1+x)lnx_y=2x-2____________,法线方程为。
(4)若函数f(x)在a,b )_内可导__,则至少有一点(,)a b ξ∈使得:()()'()()f b f a f b a ξ-=-。
(5)已知f (u )可导;y=2x f(lnx),则y '=_2(ln )(ln )x f x x f x '⋅+⋅__,2(ln )x f x dx =⎰u 若f(u)的一个原函数是e ,则。
二、单选题:(共5小题,每题 3分,共 15分)(1)下列正确的是( B ) A sin lim1x x x →∞= , B 1lim sin 1x x x →∞= , C 01lim sin 1x x x →= , D 1lim sin 0x x x→∞=。
(2)()f x 在0x 点可微与()f x 在0x 点可导是( C )的A 相等 ,B 相关 ,C 等价 ,D 无关 。
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(3)若00()0()0f x f x '''=<,,则下列结论正确的是( A )
A 0x 是()f x 的极大值点 ,
B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ,
C 0x 是()f x 的间断点 ,
D 0x 是()f x 的极小值点 。
(4)若在区间I 上,()0()0f x f x '''><, ,则曲线y=f(x)在I 上是( D )
A 单调减的凹弧 ,
B 单调增的凹弧 ,
C 单调减的凸弧 ,
D 单调增的凸弧 。
(5)设(),()(0,1)ln x
x
a f x a g x a a a
==>≠则( C ) A ()()g x f x 是的不定积分 , B ()()g x f x 是的导函数 ,
C ()()g x f x 是的一个原函数 ,
D ()()f x x 是g 的一个原函数 。
三、计算题:(共9小题,每题5分,共45分)(要求写出计算过程) (1)已知arccos ,y x x =求:0
'
x y =';
(2)已知)0(arcsin 2222
2>+-=a a
x a x a x y ,求:dy
(3) 设(sin )(cos )x y x x = ,求:
dy
dx
(4)求极限:30(cos sin )(1)
lim sin x x x x x e x x
→--
(5
)计算:2
(6)计算:12
x
e
dx x ⎰
(7)计算:求2
1
4dx x -⎰.
解:
(8)计算:cos x e xdx -⎰
解:cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-⎰⎰⎰
cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-⎰⎰---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+⎰e d e -------------------2’
(9)计算:dx x
⎰
所以,当3x >时,
当3x <-时,同理可得:
四、应用题:(10分)(要求写出计算过程)
设大型超市通过测算,已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为
23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),
现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.
解: 利润函数为
()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’,
求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’,
令()0L '=Q ,因0>Q ,故得唯一驻点为2000=Q --------2’,
因此使利润最大的销量为2000条。
------------------2’。