高考数学极值点问题

1. 已知函数2

()(1)x f x x e ax =-+ 有两个零点.

（1）当a =1时，求()f x 的最小值；

（2）求a 的取值范围；

（3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明12+0x x <.

【（1）(,0)-∞ 减(0,)+∞ 增（2）0a > ；说明零点存在，用不等式放缩，半a 与-1的较量；极值点偏移】

2. 【★★】已知函数2

()ln 2()f x x x x ax a R =+-+∈ 有两个不同的零点12,x x .

（1）求实数a 的取值范围.

（2）求证：12+2x x >.

（3）求证：121x x ⋅>.

【（1）3a > 】

3. 已知函数2()ln f x x x ax =- ，a R ∈ .

（1）当12

a = 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x < ，求1()f x 的取值范围.

4. （2016全国一：21）已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围；

(II)设12x x ，是的两个零点，证明：12 2.x x +<

5. 已知函数ln ()=x f x x

. （1）求函数()f x 的极值；

（2）当0x e << 时，求证：()()f e x f e x +>- ；

（3）设函数()f x 图像与直线y m = 的两交点分别为11(,())A x f x ，11(,())B x f x ，AB 中点横坐标为0x ，证明：0'()0f x < .