2016高考数学全国1卷导数压轴题《极值点偏移问题》

f (x) 在(,1)单调递增，在 (1, )单调递减
又Q x 1 f '(x) 0,
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f
(x)极大值
=f
(1)
1 e
要证 x1 x2 2
f (x1) f (x2 )
只需证 x1 2 x2
不妨设 x1 1 x2,
只需证 f (x1) f (2 x2) x1, 2 x2 ,1
只需证 f (x2 ) f (2 x2 )
f (x0 x)与 f (x0 x) 大小，从而确定
x1 与 2x0 x2 大小.
则 F '(x) x[ex1 e(1x) ], 当 x 0 时，F '(x) 0
F(x)在0，+ 上单调递增，又F(0) 0F(x) 0
f (1 x) f (1 x), 不妨设 x1 1 x2, 令 1 x x2
f (x2 ) f (2 x2 ) f (x1) f (2 x2) Q x1 1, 2 x2 1, 而 f (x) 在(,1)上单调递增
原始型差函数
构造
对称型差函数
F(x) f (x) f (2 x)
F(x) f (1 x) f (1 x)
例: 已知函数 f (x) x ex (2)若 x1 x2, f (x1) f (x2 ) , 求证：x1 x2 2 解: 令 F(x) f (1 x) f (1 x) (1 x)e(1x) (1 x)ex1
极值点居中
极值点偏移
例: 已知函数 f (x) x ex (1) 求函数 f (x) 的单调区间和极值 (2)若 x1 x2, f (x1) f (x2 ), 求证：x1 x2 2
解: (1) f '(x) ex x (ex ) (1 x)ex
Q x 1 f '(x) 0, x 1 f '(x) 0
x1 2 x2 , x1 x2 2
极值点偏移问题的求解步骤
1. 构造函数 F (x) f (x0 x) f (x0 x) ； 2. 求导判断函数 F(x) 单调性； 3. 根据 F(0) 0判断 f (x0 x), f (x0 x) 大小； 4. 结合 f (x1) f (x2) 及 f (x) 单调性，判断