极值点偏移的问题(含答案)

极值点偏移的问题（含答案）

2

1212()ln ,(1()11

21()()3(),,f x x ax a f x x x a a f m f m

f x x x x x e =-==⋅1.已知为常数）

（）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（）当时，试比较与的大小；

（）有两个零点证明：＞

21212()ln (),,.

f x x ax f x x x x x e =-⋅变式：已知函数，a 为常数。(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，试证明：＞

2012120()+sin

,(0,1);

2

()()()()(),2.

x

f x x ax x f x a a f x f x f x f x x x x π=+∈=+2.已知（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）当=-2时，记取得极小值为若求证＞

(

)2121212121

()ln -,()

2

(1=()()()(1)(),,0,f x x ax x a R f f x g x f x ax g x a x x f x f x x x x x =+∈-++=+≥

3.已知（1）若）0，求函数的最大值；

（2）令=-,求函数的单调区间；

（3）若=-2,正实数满足（）证明：

2

12122(1)1

(1)1,,x x x x x e -+>>4.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-证明：当时，g(x)>0恒成立；

（2）若函数f(x)无零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x 求证：x

12123

12()2ln ,1()2(),8f x x a a x a R f x f x x x x x a x x a =--∈<⋅<5.已知常数。（）求的单调区间；

（）有两个零点，且；

(i)指出的取值范围，并说明理由；（ii)求证：

6.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且12x x <．

（1）求a 的取值范围； （2

）证明：0f '

<（()f x '为函数()f x 的导函数）

； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC

t =，求(1)(1)a t --的值．

【解】（1）()e x f x a '=-．

若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．

当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；

于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．

因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；

存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，

又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围.

（2）因为1212e 0e 0x

x ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，

，

两式相减得2121e e x x a x x -=-．

记21(0)2

x x s s -=>，则()

12

1221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，

则有()(0)0g s g <=，而12

2

e

02x x s

+>，所以()

1

2

02x x

f +'

<． 又()e x f x a '=-

是单调增函数，且12

2

x x +>

所以0f '

<．

（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）． 于

是12

2

e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以

12

012()2

x x x x x +=

∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知

21

02

x x y -=-， 所以21

002

x x y -+

=，即12

21212e ()022x x x x a x x a +--+++=，

所以21

12()02

2

x x a x x a -+++

=，

即2112(1)(1)

[(1)(1)]02

2

x x a x x ----+-+

=．

因为110x -≠

，则()

22111

1

11

10212

x x x a x ----++=-，

t =，所以221(1)(1)022

a at t t -++-=， 即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --=

7.已知函数()()x

f x xc x R -=∈

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当

1x >时，()()f x g x >

（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +> （Ⅰ）解：f ’'

()(1)x

x f x e -=- 令f ’(x)=0,解得x=1

当x 变化时，f ’(x)，f(x)的变化情况如下表

所以f(x)在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数。