含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0

分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

2 解 ：∵ a 2 2 4a a 2

4 0

a

2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当

a 0时,解集为

x|x a 2

a

4

或x

a 2

a 4

2a 2a

当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1

例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0，

0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0

当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0

分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即

0 时，解集为 R ；

解得方程

2 ax 2

a 2 x 1 0 两根 x 1

a 2 a 2 4 2a

, x

2

a 2 a 2 4 2a

当 a 0时 , 解集为 x|

a 2 a 2 4 2a

x a 2 a

2

4

2a

当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ；

当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1

a a 16

， x 2

2

x 1 x 2 ,

a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈

22

例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R

2 2 2 2

解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2

当 m

3或 m 3 ，即

0 时，解集为 R 。

2

三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1

例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a

1

分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。

11

解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1

aa 11

∴当 a 1或 0 a 1时， a

，故原不等式的解集为 x |a x ；

a

1

当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ；

a

11

当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a

例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0

分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故

所以当 m 3 ，即 0 时，解集为

x| x 1

2

当 3 m 3 ，即 0 时，解集为

2 3 m 2

x

或 x m 2

1

2 m 2 1

3 m 2

；

；

a a 2 16

a a 16

，显然 ∴不等式的解集为

只需比较两根 2a 与3a 的大小 .

解 原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0 ，对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为

x 1

2a,x 2

3a

，当 a 0时，即 2a 3a ，解集为 x| x 3a 或x 2a ；当a 0时，即 2a 3a ， 解集为 x|x 2a

或x 3a

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知 识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题 的过程中涉及的“函数与方程” 、“化归与转化” 、“数形结合” 、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生 的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题 的一般求解策略。

一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数

2

f(x) ax 2 bx c(a 0,x R) ,有

2) f(x) 0对 x R 恒成立 a 0. 0

例 1：若不等式 (m 1)x 2 (m 1)x 2 0的解集是 R ，求 m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m ，所以

要讨论 m-1 是否是 0。

( 1)当 m-1=0 时，元不等式化为 2>0 恒成立，满足题意；

m10

(2)m 1 0时，只需

2 ，所以， m [1,9) 。 (m 1)2

8(m 1) 0

例 2．已知函数 y lg[ x 2 (a 1)x a 2 ]的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围。

解 ： 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x 2 (a 1)x a 2 0 对 x R 恒 成 立 ， 即 有

2 2

1

(a 1)2 4a 2 0 解得 a 1或a

。

3

所以实数 a 的取值范围为 ( , 1) (1, ) 。

3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决

问题。 、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1) f(x) 0 对 x R 恒成立

a0 0