含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法(专题)(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等式的解集为 R， 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
a＞0， 2 Δ＝b －4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y ＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是 1 x |x ＜－2 或 x ＞－ 2 ，求 ax 2－bx ＋c＞0 的解集．
二、不等式恒成立
关于 x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1 对 x ∈R 恒成立， 求实数 1、 m 的取值范围．源自 a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
微专题06 含参数不等式问题的处理策略(解析版)
微专题06 含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。
解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。
【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 题型三：分式、根式含参数不等式问题 题型四：绝对值含参不等式问题 【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 例1．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22120(0)x ax a a --<<； (2)()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝．【解析】（1）依题意22120(0)x ax a a --<<，()()430x a x a -+<，403a a <<-解得43a x a <<-，所以不等式22120(0)x ax a a --<<的解集为{}|43x a x a <<-. （2）依题意()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝，()110,1x a x a a a⎛⎫--<<< ⎪⎝⎭， 解得1a x a<<， 所以不等式()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 例2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 例3．（2022·全国·高一专题练习）设1a >，则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a---<的解集是_________. 【答案】()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】1a >时，10a -<，且1a a>， 则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a ---<可化为1()()0x a x a-->，解得1x a<或x a >， 所以不等式的解集为(-∞，1)(a a ⋃，)∞+．故答案为：()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式；(2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2210ax x ++<． 【解析】（1）当0a =时，原不等式210x +<，解得12x <-，∴不等式解集为1(,)2-∞-；（2）当0a >时，44a ∆=-，2()21f x ax x =++开口向上，由图象得：①若01a <<时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111----+-<a a 不等式0f x <（）的解集为1111(----+-a a ； ②若1a ≥时，0∆≤，不等式0f x <（）解集为∅； （3）当0a <时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111-+----a a2()21f x ax x =++开口向下，由图象得不等式解集为1111(()-+-----∞⋃+∞a a； 综上可知，当0a <时不等式解集为1111()()-+-----∞⋃+∞a a； 当0a =时，不等式解集为1(,)2-∞-；当01a <<时，不等式解集为1111()----+-a a ； 当1a 时，不等式解集为∅． 例6．解关于x 的不等式： （1）2(1)10()ax a x a R -++<∈； （2）2(21)20()ax a x a R +--<∈； （3）2210()ax x a R -+<∈； （4）20(0)x x m x ++>【解析】解：（1）2(1)10ax a x -++<等价于(1)(1)0()ax x a R --<∈， 当0a =时，不等式的解集为(1,)+∞， 当0a >时，等价于1()(1)0x x a--<，即当01a <<时，不等式的解集为1(1,)a当1a =时，不等式的解集为空集， 当1a >时，不等式的解集为1(a ，1)，当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a -->，即不等式的解集为(-∞，1)(1a⋃，)+∞（2）2(21)20ax a x +--<等价于(2)(1)0()x ax a R +-<∈ 当0a =时，不等式的解集为(2,)-+∞，当0a >时，不等式等价于1()(2)0x x a -+<，不等式的解集为1(2,)a -当0a <时，不等式等价于1()(2)0x x a-+>，当102a -<<时，不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当12a =-时，不等式的解集为(-∞，2)(2--⋃，)+∞，当12a <-时，不等式的解集为(-∞，12)(a -⋃，)+∞，（3）2210()ax x a R -+<∈；当0a =时，不等式的解集为1(2，)+∞，当0a >时，且△440a =->时，即01a <<时，不等式的解集为244(2a --，244)2a+-， 当0a >是，且△440a =-时，即1a 时，不等式的解集为空集， 当0a <时，且△440a =->时，即0a <时，不等式的解集为(-∞，244244)(22a a--+-⋃，)+∞， （4）20(0)x x m x ++>， 当△140m =->时，即14m <时，20x x m ++=的根为1142m x ---=-（舍去）或1142m x -+-=，若当11402m -+->时，即0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，若当11402m -+-<时，即104m <<时，不等式的解集为空集若当11402m-+-=时，即0m =时，不等式的解集为空集当△140m =-<时，即14m >时，不等式的解集为空集， 当△140m =-=时，即14m =时，不等式的解集为空集， 综上所述当0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，当0m 时，不等式的解集为空集． 例7．解关于x 的不等式： （1）22(1)10()x a x a R -++<∈； （2）2(8)10()ax a x a R --+>∈．【解析】解：（1）△24(1)40a =+-=时，解得0a =或2-． 当0a =或2-时，不等式化为2(1)0x ±<，此时不等式的解集为∅．由△0>解得0a >或2a <-，此时不等式化为2[(1)2]x a a a -+-+ 2[(1)2]0x a a a -+++<， 解得221212a a a x a a a +-+<<+++，此时不等式的解集为： 22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++；△0<时，即20a -<<时，不等式的解集为∅． 综上可得：20a -时，不等式的解集为∅；当0a >或2a <-时，不等式的解集为22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++．（2）当0a =时，不等式化为810x +>，解得18x >-，此时不等式的解集为1{|}8x x >-．当0a ≠时，由△2(8)40a a =-->，解得16a >或4a <．∴当16a >或4a <且0a ≠时，不等式化为228206482064()()022a a a a a a a x x a a -+-+---+-->． 当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{|2a a a x x a -+-+>或282064}2a a a x a ---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 综上可得：当0a =时，不等式的解集为1{|}8x x >-．当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{2a a a xx a -+-+>或282064}2a a a x a---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是( ) A ．{|0}x x a < B ．{|0x x >或4}5x a <-C ．{|}2ax x a -<<D ．4{|5x a x a -<-或0}x a <【答案】A【解析】解：不等式222a x x a -<+可化为：222244a x x ax a -<++， 即2540x ax +>，(0)a > 解得：0x >或45x a <-，又由20x a +>，且220a x -得：12a x a -<．综上可得：0x a <．故不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是{|0}x x a <， 故选：A ．例9．（2022秋•清河区校级期中）已知a R ∈，解不等式11xa x >+-． 【解析】解：原不等式化为(1)01ax a x -++>-①（1）当0a =时，原不等式为1011x x -<⇒>-． 在①中，分子中x 的系数含有字母a ，分类讨论就从这里引起．（2）当0a ≠时，原不等式化为1()01a a x a x +-<-． ② 对于不等式②，分子中的系数a 不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．当0a >时，原不等式等价于101a x a x +-<-． 由于11a a +>，可解得11a x a+<<．也可先确定两根1x ，212()x x x <， 然后直接写出解集．当0a <时，1()01a a x a x +-<-等价于101a x a x +->-． 由1111a a a +=+<可解得1a x a+<或1x >． 综上，当0a =时原不等式的解集为(1,)+∞． 当0a >时，解集为1(1,)a a + 当0a <时，解集为1(,)(1,)a a+-∞+∞．例10．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式(1)22a x x ->-（其中1a ≤） 【解析】()()()()411242220001222a x a x a x a x a a x x x x -------->⇔->⇔>⇔<----， 又由42122a a a a a ---=≤--及知 当01a <≤时，42,2a a ->-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，原不等式解集A 为空集； 当0a <时，42,2a a -<-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-；综上：当01a <≤时，4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，A 为空集； 当0a <时，4{|2}2a A x x a -=<<-. 例11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知关于x 的不等式250mx x m-<-的解集为S ，若5S ∈且6S ，则实数m 的取值范围为_____;【答案】(]5[,1)25,366；【解析】由题意，2250(5)()0mx mx x m x m-<⇔--<- 故5S ∈且6S ，可得(55)(25)0(65)(36)0m m m m --<⎧⎨--≥⎩由(55)(25)0m m --<可得，1m <或25m >；由(65)(36)0m m --≥可得，5366m ≤≤因此：(]5[,1)25,366m ∈ 故答案为：(]5[,1)25,366例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a --<--∣； （2）原不等式等价于()()120ax x -->， 当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a <，所以解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣； 当12a >时，12a <，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.例13．（2022·全国·高一课时练习）解不等式：01axx ≤+． 【解析】()0101axax x x ≤⇔+≤+且10x +≠． 当0a >时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≤且1010x x +≠⇔-<≤， 此时原不等式的解集为{}10x x -<≤； 当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≥且101x x +≠⇔<-或0x ≥， 此时原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥．综上可知，当0a >时，原不等式的解集为{}10x x -<≤；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥． 题型四：绝对值含参不等式问题例14．（2022春•安平县校级期中）对于任意的实数x ，不等式|1|x kx +恒成立，则实数k 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．[0，)+∞【解析】解：不等式|1|x kx +恒成立，|1|y x ∴=+的图象不能在y kx = 的图象的下方，如图所示：01k ∴；故选：C ．例15．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()2,3【解析】由2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，∴{}1B x a x a =≤≤+． 由A B B =，得B A ⊆.显然B ≠∅，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<．故答案为：()2,3.例16．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4． 故答案为：2≤a ≤4例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有2、3，则b 的取值范围是______． 【答案】78b ≤≤【解析】由34x b -<可得434x b -<-<，也就是4433b bx -+<<， 因为解集中的整数只有2,3，所以44123433b b-+≤<<<≤， 所以71058b b ≤<⎧⎨<≤⎩，故78b ≤≤．填78b ≤≤．例18．（2022·上海·高一课时练习）解关于x 的不等式：()1x x a a R ->-∈.【解析】两边平方，得()()221x x a ->-，即()()()2111a x a a ->-+.当1a =时，不等式解集为∅；当1a >时，不等式解集为1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当1a <时，不等式解集为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 例19．（2022·上海嘉定·高一期末）已知集合2{|23,}A x x x x R =+<∈，集合{|1,0,}B x x a a x R =-<>∈．若A B ⊆．求实数a 的取值范围．【解析】由223x x +<得2230x x +-<，解得31x -<<，即()3,1A =-． 又由1,0x a a -<>解得11a x a -<<+，即()1,1B a a =-+．因为A B ⊆，所以1311a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥． 因此所求实数a 的取值范围是[)4,+∞．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >-B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集，不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤， ①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤；②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤，所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤；综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-．故选：B ．2．（2022·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．() 1?∞--，D ．(-1，0) 【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意，若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意； 若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线， 对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ， 故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<， 当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C二、多选题4．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ）A ．5-B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <-解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<- 此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数， 则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-.故选：ABD.5．（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈R ，关于x 的不等式()10a x x a ->-的解集可能是（ ） A ．{}1x x a <<B ．{}1x x x a 或C ．{}1x x a x 或D ．∅ 【答案】BCD【解析】当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <．故选:BCD ．三、填空题6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞ 【解析】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ，(){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =，由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞7．（2022·上海市控江中学高一期中）已知k 为正实数，关于x 的不等式()24(2)0kx k x --+<的解集为,A B A =⋂Z ，则当k 的值变化时，集合B 中的元素个数的最小值为______;【答案】6【解析】由方程240kx k --=，可解得44x k k=+≥，当且仅当2k =时，等号成立， 则42,A k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即(]2,4A -⊂，由(]{}2,41,0,1,2,3,4-⋂=-Z ，则集合B 中的元素最少有6个， 故答案为：6.8．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤ 【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<， 当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤， 故答案为：315a -<≤. 四、解答题9．（2022·全国·高一课时练习）在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B （其中m ∈R ）．(1)求a 、b 的值；(2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得______？【解析】（1）因为一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >， 则关于x 的一元二次方程2320ax x -+=的两根分别为1、b ， 所以，32021a b a -+=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）可得(){}()(){}222020B x x m x m x x x m =-++<=--<. 当2m =时，(){}220B x x =-<=∅；当2m <时，()(){}{}202B x x x m x m x =--<=<<；当2m >时，()(){}{}202B x x x m x x m =--<=<<.（3）若选①，{1A x x =<或}2x >，由A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m =时，B A =∅⊆；当2m <时，{}2B x m x A =<<⊄，不合乎题意；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊆，合乎题意.综上所述，2m ≥；选②，当2m =时，B =∅，此时A B =∅，不合乎题意；当2m <时，{}2B x m x =<<，若A B ⋂≠∅，则1m <，此时1m <；当2m >时，{}2B x x m =<<，此时A B ⋂≠∅.综上所述，1m <或2m >； 选③，{}12A x x =≤≤R .当2m =时，R B A =∅⊆；当2m <时，{}R 2B x m x A =<<⊆，则12m ≤<；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊄R ，不合乎题意.综上所述，12m ≤≤.10．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合{|12,},{|()(2)0,}A x x x B x x a x a x =-<<∈=--<∈R R ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】当0a >时，{|2}B x a x a =<<，当0a =时，B =∅，当0a <时，{|2}B x a x a =<<，由B A ⊆，而{|12,}A x x x =-<<∈R ，若0a >，有122a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则01a <≤； 若0a =，显然B =∅A ⊆成立；若0a <，有212a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则102a -≤<； 综上，112a -≤≤. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|12}{|40}A x x B x x ax =≤≤=-+≥，，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，B 一定非空，若2160a =-≤，得44a -≤≤，R B =，A B ⊆成立，若0>，即4a >或者4a ，设()24f x x ax =-+，(1)()11450f a a =-+=-≥，即5a ≤，对称轴02a <，所以4a ，(2)()2820f a =-≥，即4a ≤，对称轴22a ≥，不成立， 综上，(]4a ∞∈-，． 12．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于x 的不等式()()21440ax a x a ---<∈R .【解析】①当0a =时，原不等式可化为40x --<，解得4x >-；②当0a >时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得14x a -<<； ③当0a <时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， <i>当14a <-，即104a -<<时，解得1x a <或4x >-； <ⅱ>当14a =-，即14a =-时，解得4x <-或4x >-； <ⅱ>当14a >-，即14a <-时，解得4x <-或1x a>. 综上所述，当14a <-时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当14a =-时，不等式解集为{}4x x ≠-；当104a -<<时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0a =时，不等式解集为{}4x x >-；当0a >时，不等式解集为14x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.13．（2022·全国·高一专题练习）当a ≤0时，解关于x 的不等式()21220ax a x +--≥．【解析】由()21220ax a x +--≥可得（ax ＋1）（x －2）≥0①当a ＝0时，原不等式即x －2≥0﹐解得x ≥2﹔②当a <0时，（ax ＋1）（x －2）≥0，方程（ax ＋1）（x －2）＝0的两根为11x a =-，22x = 当12a =-时，原不等式解为：x ＝2﹔ 当102a -<<时，12a ->，原不等式的解为；12x a ≤≤-， 当12a <-时，12a -<，原不等式的解为：12x a -≤≤，综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{}2x x ≥； 当12a =-时，原不等式的解集为{}2x x =； 当102a -<<时，原不等式的解集为：12x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭； 当12a <-时，原不等式的解为：12x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-，①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，综上，1a >时，不等式的解集是R ，1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，15．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x 不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．(1)求实数a 、b 的值.(2)解关于x 不等式2ax -+(ac+b)x -bc>0.【解析】(1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且0,a > b >1． 由根与系数的关系得3121b ab a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩.(2)原不等式化为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，不等式的解集为∅．16．（2022·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<，求m ，n 的值； （2）求关于x 的不等式()210x a x a +--> （其中a R ∈）的解集.【解析】（1）由题意4620m +-=，1m =-，不等式为2320x x -+->，即2320x x -+<，解得12x <<，所以1n =；（2）不等式2(1)0x a x a +-->可化为(1)()0x x a -+>，1a <-时，1x <或x a >-，1a =-时，1x ≠，1a >-时，x a <-或1x >．综上，1a ≤-时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞-+∞，1a >-时，解集为(,)(1,)a -∞-+∞．。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
高考数学《一元二次不等式及解法》专项复习
一元二次不等式及其解法【课标要求】熟练运用转化与化归的思想，反复思考一元二次不等式与二次函数的关系.【学习目标】（1）．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．（2）．掌握图象法解一元二次不等式的方法．（3）．培养数形结合、分类讨论思想方法．【重难点】一元二次不等式的解法.【知识回顾】1、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0时，有两不等实根，此时对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个公共点，Δ＝0时，有两相等实根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个公共点；当Δ<0时，没有实数根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.2、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含有一个未知数注意：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论.3、利用二次函数图像解一元二次不等式设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不等实根分别为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.注意：(1)上述给出的解集形式是在a>0的情况下的解集形式．若a<0，应将不等式两边同时乘－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式再解．(2)若ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ＝0，则方程有两个相等的实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x≠－b2a}，ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅.一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表：x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a没有实数根|x<x或x>x{x|x≠－b2a}R4、解一元二次不等式的一般步骤：[方法规律总结]第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．5、含参一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．6、穿根法解高阶不等式解法：穿根法解高次不等式的步骤①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．7、分式不等式等）（或00<>++dcx bax 的解法 [方法规律总结]1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 8、一元二次不等式恒成立问题 [方法规律总结](1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ≤0.2．不等式有解问题(1)若ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)有解，则a >0或⎩⎨⎧a <0，Δ>0.(2)若ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)有解，则a >0，或⎩⎨⎧a <0，Δ≥0.【随堂练习一】1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13} 2．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( )A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16} 3．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}4．(2015·东北三校二模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为()A．8 B．7 C．4 D．3 5．不等式x2－4x－5>0的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5}6．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)7．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是() A．2,12 B．2，－2 C．2，－12 D．－2，－128．函数y＝log 12(x2－1)的定义域是()A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1)∪(1，2)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)9．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．1＜a≤2 C．a＞2 D．a≤2 10．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|log2(x＋1)<1}，则A∩B等于() A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)11、不等式x2＋x－2<0的解集为________．12、不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．13、不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________【随堂练习二】1、若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋1t)x＋1＜0的解集是()A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t } 2．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{0,1,2} 3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )A ．x ＞5a 或x ＜－aB ．x ＞－a 或x ＜5aC ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}5．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12} D ．{x |x <13或x >12}6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞47．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜38．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0 D ．m ≥－4 9．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]10．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)11、解不等式：(1)2x－13x＋1>0；(2)axx＋1<0.12．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?13、解关于x的不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参一元二次不等式解法及恒成立 高中数学课件
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课堂小结
• 本节课重点学习了含参一元二次不等式的解法及与一元二次不等式有关 的恒成立问题，能正确进行分类讨论（确定分类讨论的原因和标准）及确 立参数的取值范围是本节重难点，正确书写不等式的解集，掌握分类讨论 和数形结合的方法。
• 活动三：课堂检测
• 1.若不等式 a 2 x2 2a 2 x 4 0 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的
取值范围.
2, 2
• 2.设 m R，解关于 x 的不等式 m2x2 2mx 3 0.
当m=0时，原不等式的解集为R
当m&l>0时，原不等式的解集为
R
• （3） x2 6x 9 0
3
• （4） (x 1)(3 2x) 0
1,
3 2
教学过程
• 活动一：掌握含参数不等式的解法
• 1.解关于x 的不等式 x a x 1 0 a R.
解：当a=1时，原不等式解集为
当a>1时，原不等式解集为1, a
当a<1时，原不等式解集为a,1
• 2.解关于x的不等式 x 2ax 2 0. aR
解：当a 0时，原不等式的解集为,2
当a 1时，原不等式的解集为,2 2,
当a
0时，原不等式的解集为
2 a
, 2
当0 a 1时，原不等式的解集为,2
a2,
当 a 1时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 , 2 2 ,
含参一元二次不 等式的解法及恒成立问题
教学目标
• 1.复习巩固一元二次不等式的解法； • 2.掌握含参一元二次不等式解法 （重点）； • 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题 （难点） .
复习巩固
含参数的一元二次不等式的解法专题训练
专题 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)
For personal use only in study and research; not for commercialuse含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下，均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解:∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例２ 解不等式 分析 因为0≠a ,0>∆,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或;当0<a 时,解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于０,故只需考虑∆与根的情况。
解:∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ=０时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆，此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ,显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ,即0=∆时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ,即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
一元二次不等式解法及含参不等式恒成立问题探究
一元二次不等式解法及含参不等式恒成立问题探究例、解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
② 当30m +≠即3m ≠-时，)6(4)2)(3(442m m m m -=-+-=∆。
（1）当0<△，即6>m 时，若30m +>即3m >-，则此时不等式的解集为R 。
若30m +<即3m <-，则此时不等式的解集为∅。
（2）当0=△，即6=m 时，若30m +>即3m >-，则此时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠32|x x 。
若30m +<即3m <-，则此时不等式的解集为∅。
（3）当△>0，即63<<-m 时， 若30m +>即3m >-， 则此时不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+->+---<3636|m m m x m m m x x 或。
若03<+m 即3-<m ，则此时不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-<<+---3636|m m m x m m m x 。
注：当二次项系数有参数且有可能为零时，首先需要对二次项是否为零进行讨论。
本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情况不确定，因此需要对其判别式进行讨论。
练习： 解x 的不等式04)1(22>++-x a ax 。
解：① 当0=a 时，原不等式可化简为240x -+>，此时不等式的解集为}2|{<x x ② 当0a ≠时，原不等式可转化为0)2)(2(>--x ax（1）当0>a 时，有0)2(2>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x若22a >即10<<a ，此时不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x x 22|或。
含参数一元二次不等式解法(专题)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，往常状况下，均需分类议论，那么怎样议论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x2项的系数 a 的符号分类，即a0, a 0, a0 ;例 1解不等式： ax 2 a 2 x10剖析：此题二次项系数含有参数，a 2 24a a240 ，故只需对二次项系数进行分类议论。
解：∵a 2 24a a 2 4 0解得方程ax2a 2 x10 两根 x1a2 a 24, x2a2a242a2a∴当 a0 时,解集为x | x a2a24或 x a2a242a2a当 a0时，不等式为2x10 ,解集为x | x 1 2当 a0时 , 解集为x |a2 a 24xa2 a 24 2a2a例 2解不等式 ax 25ax6a0 a0剖析因为 a0，0，因此我们只需议论二次项系数的正负。
解a(x 25x 6) a x 2 x 3 0当 a 0时，解集为x | x 2或x3；当 a0 时，解集为x | 2x3二、按鉴别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3解不等式 x 2ax 4 0剖析此题中因为x2的系数大于0,故只需考虑与根的状况。
解：∵ a 216∴当 a4,4 即0 时，解集为 R ；当a 4即＝ 0 时，解集为且a；x x R x2当 a 4 或 a 4 即0 ,此时两根分别为x1a a 216aa216x2, 2， x22，明显 x1∴不等式的解集为x x a a216 或x〈 a a 2 1622例 4解不等式 m2 1 x24x10 m R解因 m2 1 0,( 4) 2 4 m 2 1 4 3 m2因此当 m 3 ，即0 时，解集为x | x 1；2当3m 3 ，即0时，解集为x x 2 3m2或x〈23m2；m21m21当 m3或m 3 ，即0 时，解集为R。
三、按方程ax2bx c0的根 x1, x2的大小来分类，即x1 x2 , x1x2 , x1x2；例 5解不等式 x 2(a1) x 1 0 (a0)a剖析：此不等式能够分解为：x a (x1 ) 0，故对应的方程必有两解。
2021-2022年高考数学专题恒成立问题复习教学案(无答案)
2021年高考数学专题恒成立问题复习教学案（无答案）一、教材分析：本节课主要内容是继一元二次不等式及其解法之后的一个拓展和补充，同时也是对研究函数和不等式的一个渗透。
通过引入中求两个不等式的解集问题，引出我们这节课的主题一：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。
通过例1让学生直观了解一元二次不等式恒成立所需的条件；再通过例2让学生理解不等式恒成立所需条件；最后通过例3让学生深入理解一元二次不等式恒成立所需条件，以及通过此道题的解法的繁琐性让学生探索是否还有其它方法，从而引出本节课主题二：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理。
三个例题，由浅入深，层层递进，即学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想。
二、学情分析：本节课的教学对象是高一学生，学生的基本情况是：已经熟练掌握一元二次不等式的解法，能利用图象解决较简单的方程和不等式问题，但对含参的一元二次不等式、恒成立问题缺少办法，主要表现在题意的理解以及合理的等价转化，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式。
三、教学分析：教学目标：1.理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2.掌握一元二次不等式的恒成立问题的等价转化；3.通过用不等式、函数、方程表述数量关系的过程，体会模型思想、建立分类讨论意识以及数形结合观点和普遍联系的辨证观；4. 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
教学重难点：重点：一元二次不等式中的恒成立问题的等价转化。
难点：含参不等式的讨论和恒成立问题的正确有效等价转化。
教学策略：在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采取探究式教学方法，即“问题驱动——小组讨论——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合。
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含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0分析： 本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
2 解 ：∵ a 2 2 4a a 24 0a2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当a 0时,解集为x|x a 2a4或xa 2a 42a 2a当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0，0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类，即 0, 0, 0 ； 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。
解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即0 时，解集为 R ；解得方程2 ax 2a 2 x 1 0 两根 x 1a 2 a 2 4 2a, x2a 2 a 2 4 2a当 a 0时 , 解集为 x|a 2 a 2 4 2ax a 2 a242a当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ；当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1a a 16， x 22x 1 x 2 ,a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈22例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R2 2 2 2解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2当 m3或 m 3 ，即0 时，解集为 R 。
2三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a1分析： 此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。
本题 a 只需讨论两根的大小即可。
11解： 原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1aa 11∴当 a 1或 0 a 1时， a，故原不等式的解集为 x |a x ；a1当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为 ；a11当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故所以当 m 3 ，即 0 时，解集为x| x 12当 3 m 3 ，即 0 时，解集为2 3 m 2x或 x m 212 m 2 13 m 2；；a a 2 16a a 16，显然 ∴不等式的解集为只需比较两根 2a 与3a 的大小 .解 原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0 ，对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为x 12a,x 23a，当 a 0时，即 2a 3a ，解集为 x| x 3a 或x 2a ；当a 0时，即 2a 3a ， 解集为 x|x 2a或x 3a含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知 识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题 的过程中涉及的“函数与方程” 、“化归与转化” 、“数形结合” 、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生 的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题 的一般求解策略。
一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数2f(x) ax 2 bx c(a 0,x R) ,有2) f(x) 0对 x R 恒成立 a 0. 0例 1：若不等式 (m 1)x 2 (m 1)x 2 0的解集是 R ，求 m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m ，所以要讨论 m-1 是否是 0。
( 1)当 m-1=0 时，元不等式化为 2>0 恒成立，满足题意；m10(2)m 1 0时，只需2 ，所以， m [1,9) 。
(m 1)28(m 1) 0例 2．已知函数 y lg[ x 2 (a 1)x a 2 ]的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围。
解 ： 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x 2 (a 1)x a 2 0 对 x R 恒 成 立 ， 即 有2 21(a 1)2 4a 2 0 解得 a 1或a。
3所以实数 a 的取值范围为 ( , 1) (1, ) 。
3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1) f(x) 0 对 x R 恒成立a0 0取值范围。
解：若对任意 x [1, )， f (x) 0恒成立，考虑到不等式的分母 x [1, )，只需 x 2 2x a 0在 x [1, )时恒成立而得 而抛物线 g(x) x 2 2x a 在 x [1, )的最小值 g min (x) g(1) 3 a 0得a 3a注：本题还可将 f(x) 变形为 f (x) x 2 ，讨论其单调性从而求出 f ( x)最小值。
x例 5：在 ABC 中，已知 f(B) 4sinBsin 2( B) cos2B,且| f(B) m| 2恒成立，求实42数 m 的范围。
解析：由m f ( B) 2| f (B) m| 2恒成立， 2 f(B) m 2，即 m m f f ((B B )) 22恒成立， m (1,3]例 6：求使不等式 a sin x cos x, x [0, ] 恒成立的实数 a 的范围。
1) f (x) a 恒成立 a f (x)min2) f (x) a 恒成立 a f (x)max例 3、若 x2,2 时，不等式 x 2 ax 3 a 恒成立，求 a 的取值范围。
解：设 f x x 2 ax 3 a ，则问题转化为当 x 2,2 时， f x 的最小值非负。
1)a当a 22即：a 4时， f x minf 2 7 3a 0 a 7又a 4所以 a 不存在；32)a当 2 2 即： 4 a 4 时，2f xmi n2a3 a 0 6 a 2 又43)4 a 4 4 a 2 当a2综上所得： 2 即：a4时， f x minf 2 7 a 0 a 7又a 4 7 a 4例 4． 函数 f (x)7a2x 2 2x a, x [1, ) ，若对任意 x [1, ) ， f ( x) 0恒成立，求实数 a 的即对 x [1, ) ，f (x)2x 2 2x a x0 恒成立，f (B) 4sin B sin2B 2( 4 B 2)cos2B 2sin B 1, 0 B , sin B (0,1] ， f ( B) (1,3] ，解析：由于函a sin x cosx 2sin(x ), x [ ,3 ] ，显然函数有最大值2 ，4 4 4 4a 2 。
三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：323 f t min f 2 43a2 a 34a例8、已知函数f x lg x a 2x解：根据题意得：x 2 1 在x 2, 上恒成立，x即：a x2 3x 在x 2, 上恒成立，2 3 29 设f x x23x ，则f x x24当x 2 时，f x max 2 所以a 2例9．已知函数f (x) ax 4x x2,x (0,4]时f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围。
4x x 2 解：将问题转化为a 对x (0,4] 恒成立。
x4x x 2 令g( x) ，则a g( x)min1) f ( x) g (a)(a为参数)恒成立g( a) f ( x ) max2) f ( x) g (a)(a为参数)恒成立g(a) f (x)max例7、已知x ,1 时，不等式 1 2x a a24x0 恒成立，求a 的取值范围。
解：令2x t ，x ,1 t 0, 2 所以原不等式可化为： 2 t 1a a2，要使上式在t 0,2 上恒成立，只须求出 f t t21在t 0,2 上的最小值即可。
221 1 12t2t t t 2 4f t t 21 1 21 1t12 ,13a22，若对任意x 2, 恒有f x 0，试确定a 的取值范围。
x2由g(x)1 可知 g(x) 在 (0,4] 上为减函数，故 g( x) min g(4) 0xx∴ a 0即 a 的取值范围为 ( ,0) 。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考， 往往会使问题降次、简化。
例 10．对任意 a [ 1,1] ，不等式 x 2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求 x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式，但若把 a 看成主元，则问题可转化为一次不 等式 (x 2)a x 2 4x 4 0在 a[ 1,1] 上恒成立的问题。
解：令 f (a) (x 2)a x 2 4x 4 ，则原问题转化为 f (a) 0恒成立( a [ 1,1] )。
当 x 2时，可得 f (a) 0 ，不合题意。
当 x 2 时，应有f (1) 0解之得x 1或 x 3 。
f ( 1) 0故 x 的取值范围为 ,1) (3, ) 。
注：一般 地， 一次 函数 f(x) kx b(k 0)在[ , ]上恒有 f(x) 0的充要条 件为f ( ) 0。
例 11、若不等式 2x 1 m x 2 1 对满足 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。
解：设 f m m x 2 1 2x 1 ，对满足 m 2的 m ， f m 0恒成立，2 f 2 0 2 x 1 2x 1 0 2 解得：f 2 0 2 x 2 1 2x 1 0五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙 处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。