10%20偏序与偏序格ppt
合集下载
第3章 10偏序关系
(1)用小圆圈代表元素 用小圆圈代表元素; 用小圆圈代表元素 (2)若元素 若元素a≠b且a≤b时，则结点 若元素 且 时 则结点a 画在结点b的下方 的下方。 画在结点 的下方。 (3)若b盖住 ， 则在 与 b之间用 若 盖住 盖住a，则在a与 之间用 直线连接.由于所有边的箭头向 直线连接 由于所有边的箭头向 故省去箭头。 上,故省去箭头。例3中的关系 ρ 故省去箭头 中的关系 的哈斯图如右图. 的哈斯图如右图
B中任意元素 ，都满足 中任意元素x， 中任意元素
（1） x ）
，则称 为 的上界 的上界； ≤ a，则称a为B的上界； x ，则称 为B的下界； 则称a为 的下界 的下界；
（2）a ≤ ）
的上界， （3）若a是B的上界，且对 的任意上界 ） 的上界 且对B的任意上界
a′，均有 a ≤ a′ a′ ，均有 a′ ≤ a,
注意: 定理 注意: 定理3.10.1的逆不成立 。 的逆不成立
例如: 整数集 和实数集 上的小于等于关系“≤”是 和实数集R上的小于等于关系 例如: 整数集Z和实数集 上的小于等于关系“
全序关系, 不是良序关系 全序关系,但不是良序关系 。
但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立. 但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立.即有 3.10.1的逆也成立
定义3.10.3（极大元，极小元，最大元，最小元） 极大元，极小元，最大元，最小元） 定义 ， 是一个偏序集， 设 A, ≤ 是一个偏序集，且B ⊆ A，如果存在元素 ∈B， ，如果存在元素b
使得 满足x 且 的极大元； ，则称b为 的极大元 （1）不存在 ∈B满足 ≠b且b ≤ x，则称 为B的极大元； ）不存在x 满足 的极小元； ，则称b为 的极小元 满足x 且 （2）不存在 ∈B满足 ≠b且x ≤ b，则称 为B的极小元； ）不存在x 满足 中任意元素x，均有x 的最大元； （3）对B中任意元素 ，均有 ≤ b，则称 为B的最大元； ） 中任意元素 ，则称b为 的最大元 中任意元素x，均有b 的最小元。 （4）对B中任意元素 ，均有 ≤ x，则称 为B的最小元。 ） 中任意元素 ，则称b为 的最小元
《离散数学》偏序关集与格
17
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
离散数学格的概念
其中 I+ 是正整数，D是整除关系，A={a,b,c} Sn ={n的所有因子}如：S6={1,2,3,6}、S12={1,2,3,4,6,12}、 解：< I+ , D>是格
∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大下界等于a、b的最大公约数。
❖ 基本概念
< B2 , D >是否 < S30 , D >的子格?
30
6
30
10
6 15
2
3
10
15
1 ∨1 2 3 6 11236 22266
2
53
5
∧1 2 3 6
1
11111
21212
说明：
33636 66666
31133 61236
(1) 子格必是格。
运算∨和∧在B1上封闭，B1 S30 且B1 ≠Ø, ∴ < B1, D >是 < S30 , D >的子格； 同理可证< B2 , D >是 < S30 , D >的子格
例：A={a, b, c }, < P(A) , > 所诱导的代数系统为？
< P(A),∪,∩>
❖ 基本概念
定义3:设<A,≤ >是一个格，由其所诱导的代数系统为 <A,∨,∧>。设BA且B ≠Ø ，如果运算∨和∧在B上封闭， 则称<B,≤ > 是<A,≤ >的子格。
❖ 基本概念
例2：B1 = {1,2,3,6} ， B2 = {5,10,15,30} ，< B1, D >和
离散数学
❖ 格与布尔代数 1 格的概念
∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大下界等于a、b的最大公约数。
❖ 基本概念
< B2 , D >是否 < S30 , D >的子格?
30
6
30
10
6 15
2
3
10
15
1 ∨1 2 3 6 11236 22266
2
53
5
∧1 2 3 6
1
11111
21212
说明：
33636 66666
31133 61236
(1) 子格必是格。
运算∨和∧在B1上封闭，B1 S30 且B1 ≠Ø, ∴ < B1, D >是 < S30 , D >的子格； 同理可证< B2 , D >是 < S30 , D >的子格
例：A={a, b, c }, < P(A) , > 所诱导的代数系统为？
< P(A),∪,∩>
❖ 基本概念
定义3:设<A,≤ >是一个格，由其所诱导的代数系统为 <A,∨,∧>。设BA且B ≠Ø ，如果运算∨和∧在B上封闭， 则称<B,≤ > 是<A,≤ >的子格。
❖ 基本概念
例2：B1 = {1,2,3,6} ， B2 = {5,10,15,30} ，< B1, D >和
离散数学
❖ 格与布尔代数 1 格的概念
《离散数学课件》7偏序关系
例 找出极大、极小元与最大、最小元
极小：1 极大：5，6，7，8，9 最小：1 最大：无
极小：φ
极大：{a，b，c}
最小：φ
最大：{a，b，c}
3、上界、下界
设(A，≺)是一个偏序集， BA, yA。
若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B的上界 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为B的下界
d c
e b
a
特点： 每个结点没有环， 两个连通的结点之间的有序关系通
过结点位置的高低表示，位置低的元素 的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点 之间连边。
哈斯图实例
例 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
例 试画出哈斯图
设A={ {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,5}, {3,6},
d c b
a
({ a, b, c, d }, ≺) 链
({ a, d, e }, ≺) 链
e ({ b, e }, ≺)
反链
({ c, e }, ≺) 反链
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e} d c e b
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
R是A上一个偏序关系。
例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0}，即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+，
离散-9-2-偏序关系
5
§4.5 序关系
1.偏序关系(5)
例：设<{1,2,3,6},|>，B1={1,2}, B2={2,3}
6 2 B1 1 1 3 2 6 B2 3
特殊元定义
最大元：2 最小元：1 极大元：2 极小元：1
上界：2，6 上确界：2 下界：1 下确界：1
最大元：无
最小元：无 极大元：2，3
上界：6 上确界：6
若x(xBb≤xx=b)，则称b是B的极大元素；
若x(xBx≤bx=b)，则称b是B的极小元素；
aA且：若x(xBx≤a)，则称a是B的上界；
若a是B的上界且对B的任何上界a’，均有a≤a’，
则称a是B的最小上界/上确界(lub B); 若x(xBa≤x)，则称a是B的下界； 若a是B的下界且对B的任何下界a’，均有a’≤a， 则称a是B的最大下界/下确界(glb B);
性质:
有限的全序集是良序集；
证明：设A有限，<A,≤>非良序集，则有BA且B无最小元，
∴ 必有x,yB,x,y不可比，
与≤全序矛盾。
定理4.5.4: 设<A,≤>是偏序集，则<A,≤>是良序集 iff
10
(1) ≤为全序关系； (2) A的每个非空子集都有极小元。
定理4.5.4: 设<A,≤>是偏序集，则<A,≤>是良序集 iff (1) ≤为全序关系；(2) A的每个非空子集都有极小元。
2
§4.5 序关系
1.偏序关系（2）
* a≤b指的覆盖： 设R是A上的偏序关系，aA。如果bA,且满足：
(1)aRb且a≠b;
(2)若有xA使aRx且xRb,则必有x=a或x=b， 无其他元
§4.5 序关系
1.偏序关系(5)
例：设<{1,2,3,6},|>，B1={1,2}, B2={2,3}
6 2 B1 1 1 3 2 6 B2 3
特殊元定义
最大元：2 最小元：1 极大元：2 极小元：1
上界：2，6 上确界：2 下界：1 下确界：1
最大元：无
最小元：无 极大元：2，3
上界：6 上确界：6
若x(xBb≤xx=b)，则称b是B的极大元素；
若x(xBx≤bx=b)，则称b是B的极小元素；
aA且：若x(xBx≤a)，则称a是B的上界；
若a是B的上界且对B的任何上界a’，均有a≤a’，
则称a是B的最小上界/上确界(lub B); 若x(xBa≤x)，则称a是B的下界； 若a是B的下界且对B的任何下界a’，均有a’≤a， 则称a是B的最大下界/下确界(glb B);
性质:
有限的全序集是良序集；
证明：设A有限，<A,≤>非良序集，则有BA且B无最小元，
∴ 必有x,yB,x,y不可比，
与≤全序矛盾。
定理4.5.4: 设<A,≤>是偏序集，则<A,≤>是良序集 iff
10
(1) ≤为全序关系； (2) A的每个非空子集都有极小元。
定理4.5.4: 设<A,≤>是偏序集，则<A,≤>是良序集 iff (1) ≤为全序关系；(2) A的每个非空子集都有极小元。
2
§4.5 序关系
1.偏序关系（2）
* a≤b指的覆盖： 设R是A上的偏序关系，aA。如果bA,且满足：
(1)aRb且a≠b;
(2)若有xA使aRx且xRb,则必有x=a或x=b， 无其他元
第3章 10偏序关系
3.10.4 两种特殊的偏序集
1.全序
设“≤”是集合A上的一个偏序关系，对于任意a,b∈A， 当a≠b时，a≤b和b≤a至多一个成立，这意味着允许a≤b 和b≤a可以都不成立。 例如 在例3的整除关系中，3≤4，4≤3均不成立。
在例4的包含关系中
{b} {a, c},{a, c} {b}
显然
cov A 。
哈斯(Hasse)根据盖住的概念给出了偏序关
系图的一种画法,这种画法画出的图称为哈 斯图,作图规则如下：
(1)用小圆圈代表元素;
(2)若元素a≠b且a≤b时，则结点a 画在结点b的下方。 (3) 若b盖住 a ，则在 a 与b 之间用 直线连接 . 由于所有边的箭头向 上,故省去箭头。例3中的关系 的哈斯图如右图.
（4）若a是B的下界，且对B的任意下界 ，均有 a
则称a为B的最大下界（下确界），记作GLB(B)。
通过以上例子可以看出界有以下性质： （1）一个集合可能没有上界或下界，若有，则不一 定唯一，并且它们可能在B中，也可能在B外；
（2）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且 若是B的最大（小）元素，则它必是B的上（下）确界。
例如 ρ 1 = ｛〈 0,1 〉，〈 1,2 〉，〈 3,3 〉，〈 3,4 〉｝， ρ 1· ρ 2=｛〈1,3〉，〈1,4〉，〈3,3〉｝，
1
2
则ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈4,3〉｝或
ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈3,3〉｝都可以。
3 .有人说，集合A上的关系
，如果是对称的且可
对任意 S , S 2U ，若 S S 且 S S ，则 Si S j i j j i i j 所以“ ” 是反对称的。 对任意 S , S , S 2U，若 S S ，S S ，则Si S k 所以“ ”是可传递的。
偏序关系
良序 全序 偏序 偏序/全序/良序的逆关系是否仍为偏序/全序/良序？ 良序的逆关系不一定是良序
例如(N， )
链与反链
链与反链
设C是偏序集(P,≼)的一个子集
如果C中任何两个元素均可比，则C构成一个链 如果C中任何两个元素均不可比，则B构成一个反链
链与反链（示例）
a
元素个数最多的反链，含k个元素
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
离散数学集合论南京大学计算机科学与技术系极大小元最大小元格及其性质partialorder给定有限字符集合若在上有一个偏序关系类似上述办法可以对任意正整数k定义由中字符构成的长度为k的串的集合上的偏序关系
偏序关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
偏序与全序
哈斯图
第8节 偏序关系
14/20
集合论 与图论
实 例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一 个偏序集(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？ A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与 3更小的元素。 称24和36都是极大元素,2与3都是极小元素。
②上界与下界可能有很多元素 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
12/20
集合论 与图论
最大与最小元素
定义6 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一个 元素aB使得对B中每个元素x有x≤a，则称a是B中的最 大元素。 如果存在一个元素bB，使得对B的每一个元素x有 b≤x，则称b是B中的最小元素。 ①最大元素一定是上界，最小元素一定是下界; ②有上下界不一定有最大与最小元素, 因为上下界不一定在子集中; ③最大元素与最小元素若有一定是唯一的。
3/20
集合论 与图论
实 例
例2：自然数集合N上的整除关系“”是不是偏序关 系? 自然数集合N上的整除关系“”是偏序关系。
(N,)是一个偏序集。
设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。 若x≥y且xy，则简记为x>y。
4/20
实数间的常用的“小于或等于”关系是不是全序关 系? 是全序关系，相应的偏序集也是全序集。 集合的包含关系与自然数间的整除关系是不是全 序关系? 二者都不是全序关系。
5/20
集合论 与图论
盖住的定义
定义4 设(X,≤)是一个偏序集，称y盖住x，如果 x<y且对每个zX，若x≤z≤y，则x=z或y=z。 如果y盖住x，则y被称为x的后继，而x称为y的前 驱。 例3：偏序集(N,≤)中，称3盖住2，3是2的后继，2是3 的先驱。 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆 盖2；但4不覆盖1.
集合论 与图论
实 例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一 个偏序集(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？ A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与 3更小的元素。 称24和36都是极大元素,2与3都是极小元素。
②上界与下界可能有很多元素 6,12,24,36都是子集{2,3}的上界。
12/20
集合论 与图论
最大与最小元素
定义6 设(X,≤)是一个偏序集，BX。如果存在一个 元素aB使得对B中每个元素x有x≤a，则称a是B中的最 大元素。 如果存在一个元素bB，使得对B的每一个元素x有 b≤x，则称b是B中的最小元素。 ①最大元素一定是上界，最小元素一定是下界; ②有上下界不一定有最大与最小元素, 因为上下界不一定在子集中; ③最大元素与最小元素若有一定是唯一的。
3/20
集合论 与图论
实 例
例2：自然数集合N上的整除关系“”是不是偏序关 系? 自然数集合N上的整除关系“”是偏序关系。
(N,)是一个偏序集。
设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。 若x≥y且xy，则简记为x>y。
4/20
实数间的常用的“小于或等于”关系是不是全序关 系? 是全序关系，相应的偏序集也是全序集。 集合的包含关系与自然数间的整除关系是不是全 序关系? 二者都不是全序关系。
5/20
集合论 与图论
盖住的定义
定义4 设(X,≤)是一个偏序集，称y盖住x，如果 x<y且对每个zX，若x≤z≤y，则x=z或y=z。 如果y盖住x，则y被称为x的后继，而x称为y的前 驱。 例3：偏序集(N,≤)中，称3盖住2，3是2的后继，2是3 的先驱。 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆 盖2；但4不覆盖1.
偏序
x(( x B) a((a A) (a x))) ，则称 a 为 B 的下界。
(3) 设 C={yy 是 B 的上界} A，C 的最小元称为 B 的最小上界（上确界）。 (4) 设 C={yy 是 B 的下界} A，C 的最大元称为 B 的最大下界（下确界）。
注意：上、下界不唯一，但上、下确界是唯一的。
解答
极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。
没有最小元与最大元
说 明
哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
18
上界与下界举例
24 36
12 6 2 3
B
上界
无
12,24,36
下界
无
2,3,6 无 2,3,6
上确界
无
12 6 6
下确界
无
6 无 6
{2,3,6,1
2,24,36}
{6,12}
{2,3,6} 6,12,24,36
{6}
6,12,24,36
考虑右图中的偏序集。令B＝{b ，c，d}，则B的下界和最大下界 都不存在，上界有d和f，最小上 界为d。
19
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
6
4
图 5.5.1 关系示意图 显然，偏序关系“”具有自反、反对称和传递性，因此<A，>是偏序集。
4
16
偏序集中的特殊元素
24
36 12 6
B
最大 元
最小 元 无 6 无 6
极大 元 24,26 12 6 6
极小 元 2,3 6 2,3 6
离散数学课件-次序关系
4
补充定义： x与y是可比较的： <A,≤>是偏序集，如果对x,y∈A，必有x≤y,或y≤x, 则称x与y是可比较的。 上例中1,2,4或1,2,6间是可比较的，而4与6间是不可比较的 【注意】若“≤”是集合A上的一个偏序关系，这意味着对于 任意x,y∈A，当x≠y时，x≤y和y≤x至多一个成立。
f
g
d c
e B2
a
b
B1
极 大 元
B1 B2 a,b d,e
极 小 元
c
最 最 上界 大 小 元 元
c,d,e,f,g,h h 无 c
下界
上 确 界
c h
下 确 界
无 c
23
a,b 无 无
无 c,a,b
次序关系
偏序关系 拟序关系 全序关系 良序关系
24
实数集R上的“＜”关系不是偏序关系。 A上的真包含关系“ ”也不是偏序关系。 定义1：R是A上的关系，如果它是反自反的、传递的则称 R 是A上的拟序关系。并称<A,R>是拟序集。 定理1：集合A上的关系R是拟序的，则必是反对称的。 证明：假设A不是反对称的，则必存在x，y ∈A，且x≠y， 满足<x,y> ∈R并且<x,y> ∈R。因为R是拟序关系，所以R 具有传递性，从而有<x,x> ∈R。这与R是反自反的矛盾。 定理2 :设R是集合A上的关系，则 (1)如果R是一个拟序关系，则 r(R)=R ∪ I是一个偏序关系 (2)如果R是一个偏序关系，则 R － I是一个拟序关系
3.最大元（最小元）本身应属于子集B，且与B中任一元素都
有关系。最大元（最小元）可能存在也可能不存在，如果存 在是唯一的。
21
补充定义： x与y是可比较的： <A,≤>是偏序集，如果对x,y∈A，必有x≤y,或y≤x, 则称x与y是可比较的。 上例中1,2,4或1,2,6间是可比较的，而4与6间是不可比较的 【注意】若“≤”是集合A上的一个偏序关系，这意味着对于 任意x,y∈A，当x≠y时，x≤y和y≤x至多一个成立。
f
g
d c
e B2
a
b
B1
极 大 元
B1 B2 a,b d,e
极 小 元
c
最 最 上界 大 小 元 元
c,d,e,f,g,h h 无 c
下界
上 确 界
c h
下 确 界
无 c
23
a,b 无 无
无 c,a,b
次序关系
偏序关系 拟序关系 全序关系 良序关系
24
实数集R上的“＜”关系不是偏序关系。 A上的真包含关系“ ”也不是偏序关系。 定义1：R是A上的关系，如果它是反自反的、传递的则称 R 是A上的拟序关系。并称<A,R>是拟序集。 定理1：集合A上的关系R是拟序的，则必是反对称的。 证明：假设A不是反对称的，则必存在x，y ∈A，且x≠y， 满足<x,y> ∈R并且<x,y> ∈R。因为R是拟序关系，所以R 具有传递性，从而有<x,x> ∈R。这与R是反自反的矛盾。 定理2 :设R是集合A上的关系，则 (1)如果R是一个拟序关系，则 r(R)=R ∪ I是一个偏序关系 (2)如果R是一个偏序关系，则 R － I是一个拟序关系
3.最大元（最小元）本身应属于子集B，且与B中任一元素都
有关系。最大元（最小元）可能存在也可能不存在，如果存 在是唯一的。
21
集合论--第9讲偏序关系
离散数学偏序关系第9讲定义9.1设R为非空集合A上的关系, 如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A上的偏序关系。
简称偏序, 记作≼。
设≼为偏序关系。
如果<x,y > ∈ ≼, 则记作x≼y, 读作“x小于等于y”。
意即：依据这个序，x排在y的前面或x就是y。
定义9.2设R是非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x,y∈ A, x与y可比⇔x ≼y ∨ y ≼x。
(2)∀x,y∈ A, x ≺y ⇔x ≼y ∧ x≠y。
其中x≺y读作“x小于y”。
由上面定义可知，在具有偏序关系≼的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：x与y不可比；x≺y；y≺x；x=y。
定义9.3集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼>。
利用偏序关系的自反性，反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。
我们需要下面覆盖的定义。
定义9.4设<A, ≼> 是偏序集， x,y∈ A ，如果x≺y且不存在z ∈ A使得x≺z≺y ，则称y覆盖x。
例子例9.1<A,≼>是偏序集,其中A＝{1,2,3,4,5}, ≼是整除关系。
解: 对任意x∈A都有1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的。
对于1和2来说,1≺2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2覆盖1。
同样,4覆盖2,但4不覆盖1,因为有1≺2≺4成立。
如果x与y不可比,则一定不会有x覆盖y或y覆盖x。
哈斯图——关系图的简化哈斯图的画法1在关系图中去掉所有的自环。
2若y覆盖x，则保留从x到y的边，其它的边全去掉。
3若y覆盖x，将x放在下方，y放在上方，去掉边上的方向。
这一点是能做到的，因为偏序关系的关系图中无有向圈。
例子画出<{1,2,…,12},R 整除>和<P({a,b,c}), R >的哈斯图.例9.2179361211510248<{1,2,…,12},R 整除>{a}{b}{c}{b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b}∅<P({a,b,c}), R >⊆⊆基本概念定义9.5设<A,≼>为偏序集,B ⊆A .①y∈B, y是B 的最小元: 若∀x(x∈B→y ≼x)成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 根据箭头的方向自下而上重排 列所有顶点，而后将所有的有 向边替换为无向边
哈斯图
( ) ( )
哈斯图
11
哈斯图（续）
哈斯图
12
哈斯图（续）
哈斯图
13
哈斯图（续）
哈斯图
14
哈斯图（续）
( )
(
哈斯图
)(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
15
偏序集中的特殊元素及其性质
Least, greatest, maximal, minimal element
⑴ 通过偏序集与偏序关系定义
⑵ 通过普通集合与特殊运算定义
本讲我们仅从偏序的角度去定义格，并研
究其中的若干基本运算
偏序关系与格 24
偏序关系与格（续）
格作为偏序集的定义：
：
(
)
偏序关系与格
25
偏序关系与格（续）
( )
(
)
(
)
(
)
偏序关系与格
26
偏序关系与格（续）
( ( ) )
偏序关系与格
：
(
)
偏序集中的特殊元素及其性质
16
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
： ( )
偏序集中的特殊元素及其性质
17从哈斯ຫໍສະໝຸດ 看特殊元素偏序集中的特殊元素及其性质
18
从哈斯图看特殊元素（续）
h f d Upper bounds g e Upper bounds f GLB d c a h g
e B2
b Lower bounds
Discrete Mathematics
第九讲：偏序与偏序格
南京大学计算机科学与技术系
离 散 数 学
2014 年 10 月
回顾
• 关系的闭包
• 闭包的定义
• 闭包的计算公式
• 传递闭包的Warshall算法
• 等价关系
• 等价类
• 划分
2
提要
偏序关系
偏序集与哈斯图
偏序集中的特殊元素 特殊元素的性质
27
格的对偶原理
：
格的对偶原理
28
格的对偶原理（续）
格的对偶原理
29
小结
偏序：自反，传递，反对称
偏序集，哈斯图 最大，最小，极大，极小 元素 上界，下界，上确界，下确界 对偶原理
格：任二元素均有上下确界的偏序集
2015-6-17
30
本次课后作业
教材内容：[Rosen] 8.6 节 课后习题：
pp. 444 - 446（英文教材 pp. 579-581）: 29, 31, 43, 45, 51, 60(参考8.6.6节)
程序设计：无
课后作业和程序设计 31
22
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
( ) ) ( ( ( ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( )
(
) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) )
) (
)
偏序集中的特殊元素及其性质
23
偏序集与格
格（lattice）作为一个代数系统（见第十 六讲）可以通过两种方式进行定义：
偏序格
本讲主要内容 3
偏序关系(Partially Ordered)
偏序关系
4
偏序关系（续）
：
：
：
偏序关系
5
偏序集(poset)与哈斯图
： ( ( (
)
) )
偏序集与哈斯图
6
偏序集
偏序集
7
偏序集（续）
偏序集
8
偏序集（续）
偏序集
9
哈斯图（Hasse Diagrams）
将偏序关系简化为哈斯图： • 省略所有顶点上的环 • 省略所有因传递关系而引出的边
c
a b B1
LUB
偏序集中的特殊元素及其性质
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
( )
偏序集中的特殊元素及其性质
20
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
( ( )
)
)
(
( ( (
)
) )
偏序集中的特殊元素及其性质
21
偏序集中的特殊元素及其性质（续）
( )
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
偏序集中的特殊元素及其性质