近世代数简介
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对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
(
x qm
1
1
)
的根，称
为共轭元，这些共轭元具有相同的基底，构成一个
共轭根系。共轭根系至多包含m个共轭元，以共轭
根系为根的多项式的最高次数不会超过m次。
一个多项式的根可以来自多个根系。如果一个首一
多项式的所有根来自同一个 根系，我们称这样的 多项式为 的最小多项式，最小多项式在GF (q)中
一定是既约的。
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
2+
(0110)
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
既约多项式 Irreducible Polynomials
对于某数域上的多项式PI（x），若除了常数C以 及CPI（x）外不能被该数域上的任何其它多项式 整除，则称为是该数域上的既约多项式。
本原多项式 Primary Polynomials
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶 15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
当q =2时，就是二元域GF(2)。
可以证明，伽逻华域GF(q) 的 (q-1)个 非零元素在模 q 乘运算下构成一个循环群 （幂群），即所有非零元素可以由一个元 素（该元素称作生成元或本原元）的各 次幂 0、1、2、…q-2 生成。
表2-1 GF(5) 各非零元素的幂、阶及逆元
元素
各次幂
元素 加法 乘法
加法成“群”
去零后乘法也成
“群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
非零元素逆元存在
分配性
交换环
乘法交换率
有限整数集合F={0,1,2,…,q-1} (q是素 数)在模q加、模q乘运算下构成一个q阶有 限域，又称伽逻华(Galois)域，记作GF(q)。
循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是 交换群；循环群的子群仍是循环群；n阶循环 群子群的阶数一定是n的因子。
例2.1：令R、I、E分别是有理数、整数、偶 数 集 合 ， 则 (E,+) 是 (I,+) 的 子 群 ， 则 (I,+) 是 (R,+)的子群，单位元均是0。奇数集合O在加 法运算下构不成群，因不满足封闭性条件
扩 域GF(qm)上元素和的 ql幂次等于元素 ql 幂次的和
k
ql
i
k
( i )ql
(2-6)
i1
i 1
式中i是GF(qm)域元素。
定理2.7 共轭根系
如果是GF (q)上p次多项式f(x)的根，那么的ql
(l=1,2…lj
、 q1、
< p) 次幂也一定是f(x)的根。
q、2
q…3 都是多项式
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个扩域元素，
比如q=2、m=2时，扩域GF（22）的元素：
0,
1,
x,
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
Baidu Nhomakorabea11
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
例2.9
定理2.5 完全分解性
扩域GF(qm)上所有非零元素0,1,… qm 2 都 是GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 的根，即
( xqm 1 1) 可完全分解为一次项之积
( xqm 1 1) =(x-0) (x-1) (x-2)…(x- qm 2 )
(2-5)
定理2.6 幂和特性
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。
若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij) ，可推出G 的元素必以n为周期重复，即an = a0=e , 这样的循环群称为有限循环群。
星 际判官 http://www.9laidu.net/0/33/
拉格朗日定理（Lagranges）:
有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。
若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。
包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。
群(G，*)中，集合G的非空子集S在同样的运 算*下可构成群(S，*)，称群（S，*）为群 （G，*）的子群（Subgroup）。 (S, *) 为 (G , *) 子群的充要条件是：对于任 何a、b S, 必有a * b－1 S 。充要条件的这 种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性 以及子群的封闭性。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
得（见右边竖式）
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素 ？该剩余类环至多由多少元素组成？
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
(2-4)
如果模为合数，其因子一定能整除
它，不会产生一个余数1（单位元），
因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1
这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？ ！！！
环（Ring)
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
我们看到：
以GF（q）上的多项式f(x)为模的乘运算可 生成剩余类环；以既约多项式PI（x）为模 的乘运算可生成多项式域；而以本原多项式 (x)为模的乘运算所生成的非零域元素可以构 成多项式循环群。可见，模多项式的限制条 件越多，环元素具备的性质也就越多。
定理2.3 如何找循环群
GF(2）上本原多项式 P(x）在扩域 GF(2m)上的根一定是本原元。
定理2.1 多项式域的存在性
若PI（x）是GF(q)上的m次既约多项式，则 GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在 模q加、模PI（x）乘运算下构成一个qm阶 的有限域，称为GF(q)域的扩域（Extension Field），写作GF(qm)，而称GF(q)是扩域 GF(qm)的基域。
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下
A(x) B(x) = (x2+x+1) (x2+ 1) = x4+ x3+ x2+ x2+ x+1
= x4+ x3 + x+1 第二步是将结果除以f(x)后
x + 1商
取余式
x3+x+1 x4+ x3 + 0 + x +1
一个集合，二种运算
加法成“ 群”
乘法不成
“ 群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
？
分配性
交换环
乘法交换率 星 际 判 官 http://www.9laidu.net/0/33/
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 星际 判官 http://www.9laidu.net/0/33/
G5:交换性
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
(
x qm
1
1
)
的根，称
为共轭元，这些共轭元具有相同的基底，构成一个
共轭根系。共轭根系至多包含m个共轭元，以共轭
根系为根的多项式的最高次数不会超过m次。
一个多项式的根可以来自多个根系。如果一个首一
多项式的所有根来自同一个 根系，我们称这样的 多项式为 的最小多项式，最小多项式在GF (q)中
一定是既约的。
这里，
GCD表示最大公约数(Greatest Common Divisor)
推理
循环群中n阶元素的n次幂恒等于1
各次幂 k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的 多项式
多项式系数 m重
1
(0001)
(0010)
2
(0100)
3
(1000)
+1
(0011)
2+
(0110)
0 1 2 3 的阶 逆元 逆元
1111114 1
2124343 3
3134242 2
4141421 4
既约多项式 Irreducible Polynomials
对于某数域上的多项式PI（x），若除了常数C以 及CPI（x）外不能被该数域上的任何其它多项式 整除，则称为是该数域上的既约多项式。
本原多项式 Primary Polynomials
3+ 2
(1100)
3++1
(1011)
2+1
(0101)
3+
(1010)
2+ +1
(0111)
3+ 2+ (1110)
3+ 2+ +1 (1111)
3+ 2+1 (1101)
3+1
(1001)
上表利用了关系式4 = +1和15 = 1
元素的阶 15 / GCD(k,15)
1 15 15 5 15 3 5 15 15 5 3 15 5 15 15
当q =2时，就是二元域GF(2)。
可以证明，伽逻华域GF(q) 的 (q-1)个 非零元素在模 q 乘运算下构成一个循环群 （幂群），即所有非零元素可以由一个元 素（该元素称作生成元或本原元）的各 次幂 0、1、2、…q-2 生成。
表2-1 GF(5) 各非零元素的幂、阶及逆元
元素
各次幂
元素 加法 乘法
加法成“群”
去零后乘法也成
“群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
非零元素逆元存在
分配性
交换环
乘法交换率
有限整数集合F={0,1,2,…,q-1} (q是素 数)在模q加、模q乘运算下构成一个q阶有 限域，又称伽逻华(Galois)域，记作GF(q)。
循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是 交换群；循环群的子群仍是循环群；n阶循环 群子群的阶数一定是n的因子。
例2.1：令R、I、E分别是有理数、整数、偶 数 集 合 ， 则 (E,+) 是 (I,+) 的 子 群 ， 则 (I,+) 是 (R,+)的子群，单位元均是0。奇数集合O在加 法运算下构不成群，因不满足封闭性条件
扩 域GF(qm)上元素和的 ql幂次等于元素 ql 幂次的和
k
ql
i
k
( i )ql
(2-6)
i1
i 1
式中i是GF(qm)域元素。
定理2.7 共轭根系
如果是GF (q)上p次多项式f(x)的根，那么的ql
(l=1,2…lj
、 q1、
< p) 次幂也一定是f(x)的根。
q、2
q…3 都是多项式
下构成一个多项式扩域 GF(22) = {0, 1, x, x+1 },
该扩域的基域是GF(2) ={0,1}。
基域GF(q)是数域，由q个元素组成；
扩域GF(qm) 则是多项式域，由qm 个元素组成。
我们可以用m个基域元素去对应一个扩域元素，
比如q=2、m=2时，扩域GF（22）的元素：
0,
1,
x,
x+1
2个GF(2)元素的组合：
00， 01，
10，
Baidu Nhomakorabea11
定理2.2 循环群的存在性
若P(x)是GF(q)上m次本原多项式，则GF(q m) 域上次数小于m的非零多项式的全体（共q m1个），在模P(x)乘运算下构成一个多项式循 环群。也就是说，扩域GF(qm)里至少存在一 个本原元（代表一个次数小于m的多项式 ），它的各次幂0、1、2、…、构成了扩 域GF(q m)的全部非零域元素。
例2.9
定理2.5 完全分解性
扩域GF(qm)上所有非零元素0,1,… qm 2 都 是GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 的根，即
( xqm 1 1) 可完全分解为一次项之积
( xqm 1 1) =(x-0) (x-1) (x-2)…(x- qm 2 )
(2-5)
定理2.6 幂和特性
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
某一元素a（称作生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。
若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij) ，可推出G 的元素必以n为周期重复，即an = a0=e , 这样的循环群称为有限循环群。
星 际判官 http://www.9laidu.net/0/33/
拉格朗日定理（Lagranges）:
有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。
若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。
包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。
群(G，*)中，集合G的非空子集S在同样的运 算*下可构成群(S，*)，称群（S，*）为群 （G，*）的子群（Subgroup）。 (S, *) 为 (G , *) 子群的充要条件是：对于任 何a、b S, 必有a * b－1 S 。充要条件的这 种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性 以及子群的封闭性。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
称a、b为零因子。
有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
得（见右边竖式）
x4 + x2 + x
A(x) B(x)] mod f (x) = x2+ x 本题f(x)是3次多项式deg [f(x)]=3, 因此环元素的幂次不会超过2， 环元素的通式可表示为
x3+ x2 + 0 +1
x3 + 0 + x +1 余式x2 + x
a2x2+ a1x+ a0 ，其中a2, a1, a0GF(2)={0,1}, 3系数最多可有8种组合，即该剩余类环至多有8个域元素
g(x) 一般多项式：多项式环 m素数或合数,有限数环
PI(x) 既约多项式：多项式域（q元扩域）
q素数,整环
P(x) 本原多项式：域元素构成循环群
例2.8：剩余类环Rq(x) f(x) 中，q =2，f(x) = x3+x+1。若A(x)= x2+x+1、B(x)= x2+ 1 是两个环元素，求A(x) B(x)是什么元素 ？该剩余类环至多由多少元素组成？
循环群的构成步骤是： ① 找一个 m 次本原多项式 P(x)
② 取其根及根的各次幂0、…、 qm 2
③ 构成循环群
定理2.4 各元素的阶
GF(q m)扩域上非零元素{k} (k=0,1,…, q m-2) 的阶一定是(q m-1)的因子，其值为：
n = (q m-1)/GCD(k, q m-1)
(2-4)
如果模为合数，其因子一定能整除
它，不会产生一个余数1（单位元），
因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3
如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1
这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？ ！！！
环（Ring)
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q
可能是零因子环 整环
子环（ subring ）
理想子环（强收敛性）
主理想（所有元素是一个元
素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, ·) 子环的充要条件是 1． a、b S， a－b S。 2． a、b S， a b S。 上述条件1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是：
我们看到：
以GF（q）上的多项式f(x)为模的乘运算可 生成剩余类环；以既约多项式PI（x）为模 的乘运算可生成多项式域；而以本原多项式 (x)为模的乘运算所生成的非零域元素可以构 成多项式循环群。可见，模多项式的限制条 件越多，环元素具备的性质也就越多。
定理2.3 如何找循环群
GF(2）上本原多项式 P(x）在扩域 GF(2m)上的根一定是本原元。
定理2.1 多项式域的存在性
若PI（x）是GF(q)上的m次既约多项式，则 GF(q)域上次数小于m的多项式的全体，在 模q加、模PI（x）乘运算下构成一个qm阶 的有限域，称为GF(q)域的扩域（Extension Field），写作GF(qm)，而称GF(q)是扩域 GF(qm)的基域。
二元域上的多项式，在模2加、模x2+x+1乘运算
解：多项式系数取自GF(2)={0,1},系数作模2加、模2乘。 第一步是先做一般的多项式乘法运算如下
A(x) B(x) = (x2+x+1) (x2+ 1) = x4+ x3+ x2+ x2+ x+1
= x4+ x3 + x+1 第二步是将结果除以f(x)后
x + 1商
取余式
x3+x+1 x4+ x3 + 0 + x +1
一个集合，二种运算
加法成“ 群”
乘法不成
“ 群”
G1:封闭性
G1:封闭性
G2:结合性
G2:结合性
G3:单位元存在 G3:单位元存在
G4:逆元存在
？
分配性
交换环
乘法交换率 星 际 判 官 http://www.9laidu.net/0/33/
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
定理2.8 最小多项式因式分解
GF(q)上多项式 ( xqm 1 1) 一定可以分解成
若干最小多项式之积,即
( xqm 1 1) = 1(x) 1(x)… k (x)
k
= i( x )
i 1
(2-8)
共轭元与最小多项式关系
li次最小多项式i (x)必然有同一根系的li个共轭元
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在
交换群 星际 判官 http://www.9laidu.net/0/33/
G5:交换性
加群一定是交换群，加群一定含零元素
乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素
包含无数个元素的群称为无限群。